CC BY
18Педагогика
УДК 372.851
кандидат педагогических наук, доцент Костюченко Роман Юрьевич
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Омский государственный педагогический университет» (г. Омск)
МЕТОД КОНКРЕТИЗАЦИИ В РЕШЕНИИ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПРИ СМЕШАННОМ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
Аннотация. В работе актуализируется необходимость специальной методической подготовки школьников к решению задач в тестовой форме. Необходимость такой подготовки обусловливается современными реалиями обучения. Так, многие модели смешанного обучения предполагают контроль, причем преимущественно в тестовой онлайн форме. Тест как форма контроля также используется при итоговой аттестации обучающихся. Автором рассматривается методика получения ответа к тестовой математической задаче посредством привнесения в её условие дополнительных данных. Эти данные сводят исходную задачу к её частному случаю. В методологии научного познания такой метод называют конкретизацией. В результате конкретизации получаем задачу, решение которой может быть выполнено присущим только ей методом. Этот метод может быть значительно легче метода решения исходной задачи. Ответ к преобразованной задаче при определенных условиях может быть перенесён на исходную задачу. Грамотное применение метода конкретизации школьником можно считать показателем его высокой математической грамотности. Это связано с тем, что здесь необходимо увидеть возможную математическую ситуацию, подобрать дополнительные условия и обосновать применение метода. В практическом плане мы имеем эффективный метод получения ответа к задачам. В теории обучения математике мы обогащаем знания о методах математики на конкретно-научном уровне. Все теоретические изыскания сопровождаются соответствующими примерами.
Ключевые слова: обучение математике, математическая задача, обучение решению задач, решение задач, методы решения задач, тесты в математике, итоговая аттестация по математике, конкретизация, метод конкретизации, смешанное обучение.
Annotation. The paper actualizes the need for special methodological preparation of schoolchildren for solving problems in a test form. The need for such training is determined by the modern realities of education. So, many blended learning models involve control, and mostly in an online test form. The test as a form of control is also used in the final certification of students. The author considers a technique for obtaining an answer to a test mathematical problem by introducing additional data into its condition. These data reduce the original problem to its particular case. In the methodology of scientific knowledge, this method is called concretization. As a result of concretization, we obtain a problem, the solution of which can be performed by a method inherent only to it. This method can be much easier than the method of solving the original problem. The answer to the transformed problem under certain conditions can be transferred to the original problem. The competent application of the method of concretization by a schoolchild can be considered an indicator of his high mathematical literacy. This is due to the fact that here it is necessary to see a possible mathematical situation, select additional conditions and justify the application of the method. In practical terms, we get an effective method for obtaining answers to problems. In the theory of teaching mathematics, we enrich knowledge about the methods of mathematics at a specific scientific level. All theoretical studies are accompanied by relevant examples.
Key words: teaching mathematics, mathematical problem, learning to solve problems, problem solving, problem solving methods, tests in mathematics, concretization, concretization method, blended learning.
Статья подготовлена в рамках реализации ГЗ на выполнение прикладной НИР по теме «Методика преподавания математики в общеобразовательной организации с учетом реализации моделей смешанного обучения» (Дополнительное соглашение Минпросвещения России и ФГБОУ ВО «ОмГПУ» №073-03-2022-035/2)
Введение. Тестирование в современной системе образования является одним из основных способов осуществления педагогического контроля. Между тем, в математическом образовании можно наблюдать некоторый диссонанс: процесс обучения в основном построен на традиционных для математики задачах на вычисление, на доказательство, на построение, а педагогический контроль зачастую предполагает решение хотя и тоже математических задач, но имеющих свою специфику. Особенность математических заданий, предлагающихся в тесте, обусловливается, прежде всего, формой их предъявления - часто это задания закрытого типа с выбором одного или нескольких ответов из предложенных, задания на установление соответствия.
В условиях смешанного обучения, «предполагающего чередование онлайн и очного форматов обучения» [2, С. 44], тестирование становится актуальным и востребованным. Так, учеными отмечается, что рост предметных результатов в условиях применения конкретных моделей смешанного обучении «достигается благодаря промежуточным тестированиям и работе учителя с детьми, у которых возникают непонимание или ошибки» [1, С. 25]. Тесты широко используются при проведении государственной итоговой аттестации в 9-ом и 11-ом классах. В этих тестах преобладают задания открытой формы: вписать полученный ответ или привести развернутое решение задачи. О методике решения тестовых заданий с кратким ответом и пойдет далее речь в нашей статье.
Изложение основного материала статьи. Вполне понятно, что в научно-методической литературе описывается большое разнообразие методов решения задач. Конкретизация, наряду с обобщением и абстрагированием, в учебниках по методике обучения математике чаще трактуется как операция мышления и рассматривается в качестве метода обучения. Между тем, как отмечает В. А. Далингер, методы научного познания, в том числе и конкретизация, «при решении задач присутствуют для учащихся менее зримо [по сравнению с собственно математическими методами], а поэтому задача учителя - постоянно акцентировать внимание школьников на тех общих приемах решения задач, которые базируются на этих методах научного познания» [3, С. 116].
Заметим, что в школьных учебниках методы решения задач особым образом не выделяются, поэтому их выявление, разъяснение содержания, а в дальнейшем применение, обобщение и систематизация ложатся на плечи учителя и учащихся. И если в отношении методов решения математических задач учителем проводится подобная работа, то выявление особенностей решения тестовых заданий, как правило, остается ученикам. И дело здесь не столько в желании учителя, а по большей мере в отсутствии соответствующей методики. Конечно, в рамках отдельной статьи мы не восполним обозначенный пробел, но обозначить существующую проблему и предложить частичное её решение, думаем, удастся.
Итак, перейдем к рассмотрению метода конкретизации, обозначенного нами в названии статьи. В чем его суть, достоинства, недостатки? Изложение поведем индуктивно, для чего вначале рассмотрим пример, характеризующий данный метод, а затем проведем обобщение и сделаем необходимые выводы.
Задача 1. В треугольнике ABC угол B равен 76°. Биссектрисы AK и CD этого треугольника пересекаются в точке E. Найдите угол AEC.
Решение. В треугольнике ABC (рис. 1 а) сумма углов A и C будет равна 180°-76°=104°, сумма их половин - 52°, т.е. сумма углов CAK и ACD и будет равна 52° (т.к. AK и CD - биссектрисы углов A и C треугольника ABC).
Искомый ¿4EC=180°-(¿CAE+¿4CE)=180°-52°=128°. Ответ: 128°.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) угол B равен 76°. Биссектрисы AK и CD этого треугольника пересекаются в точке E. Найдите угол AEC.
Решение. В равнобедренном треугольнике ABC (рис. 1 б) углы при основании A и C равны между собой и равны
каждый (180°-76°):2=52°. Так как AK и CD - биссектрисы углов A и C треугольника ABC, то ¿CAK=52°:2=26°,
¿ACD=52°:2=26°. Искомый ¿4EC=180°-(¿CAE+¿4CE)=180°-(26°+26°)=128°. Ответ: 128°.
а) б)
Рисунок 1. ДАВС, АК и CD - биссектрисы. Чертежи к решению задач 1 и 2
Как несложно заметить, задача 2 отличается от задачи 1 лишь тем, что в её условие было внесено дополнение о равенстве двух сторон заданного треугольника. Таким образом, мы совершаем переход от более общего (задача 1) к менее общему (задача 2), которое соответствует этому более общему, что, как известно, называют конкретизацией.
Что же это нам дает?
Во-первых, метод решения более общей задачи 1 может быть применен для решения задачи 2, являющейся частным
случаем задачи 1. Обосновывается это известным правилом вывода: для всех х Р(х)^Р(а), называемым правилом
конкретизации. «Его смысл таков: из того, что свойством Р обладают все элементы некоторого множества, следует, что этим свойством обладает произвольный элемент а этого множества» [9, С. 123]. Обратное в общем случае неверно. Действительно, метод решения задачи 2 нельзя применить к решению задачи 1. Но! Отдельные факты, полученные методом, характерным только для задачи 2, применимы и для задачи 1. Это в нашем изложении будет «во-вторых» и будет являться основным, из-за чего мы рассматриваем пример и к какому выводу хотим прийти. Итак:
Во-вторых, величина искомого угла в задаче 2 определена методом, характерным только для задачи 2, но не применимым для более общей задачи 1 (т.к. использовано дополнительное условие о равнобедренности треугольника). Между тем, величина искомого угла и для второй и для первой задачи будет той же самой. При этом при решении первой задачи мы исходили из предположения, что эта задача имеет ответ, этот ответ единственен и не зависит от вида треугольника.
Следовательно, для получения ответа в задаче на вычисление можно попытаться конкретизировать её условие (рассмотреть частный случай), затем вычислить требуемую величину более легким способом, который можно применить для частного случая, полученный ответ будет верен и для исходной более общей задачи; но при условии, что исходная задача корректна и имеет единственный ответ. Сказанное составляет суть метода конкретизации (рассмотрения частного случая).
Особо заметим, что названный нами метод конкретизации является способом получения ответа к задаче на вычисление, но не является ее обоснованным решением, поскольку решение рассматривается для частного случая, т.е. при каких-либо дополнительных условиях. Поэтому для обоснованного решения исходной задачи следует доказывать существование единственности ответа, причем независимо от введенных дополнительных условий частного случая. Этим замечанием существенно ограничивается использование данного метода в практике решения школьных задач, так как проверка условия его применимости есть не что иное, как решение исходной задачи. Причем эта проверка зачастую может быть более сложной по сравнению с самим решением исходной задачи.
Встает тогда вопрос, зачем же обучать методу конкретизации? Есть ли в этом необходимость?
На наш взгляд, в варианте обучения без использования тестов, данному методу как способу получения ответа вряд ли стоит уделять большое внимание. Исключение составят методические соображения. Например, исследование задачи и хода ее решения, поиск и осуществление новых способов решения задачи, формулирование и решение задач на основе исходной. Так, например, в научной статье рассматривается «способ введения параметра при решении задачи и дальнейшей его конкретизации для получения класса задач с прогнозируемым свойством решений» [6, С. 57].
Однако в современной практике обучения нашли свое место тесты. Среди них, и как мы уже отмечали выше, в итоговой аттестации преобладают тестовые задания, ответом которых служит одно конкретное число, его и необходимо указать. Здесь сама логика предъявления задания предполагает корректность задачи, существование обоснованного решения и единственность ответа. Так почему бы не воспользоваться методом конкретизации? Ведь самую сложную часть -
обоснование - за нас уже сделали составители теста. Более того, цель учащегося на экзамене - набрать как можно больше баллов. И если ученик осознанно применяет метод конкретизации, то почему бы и нет?
Приведем примеры решения тестовых заданий стандартным методом и методом конкретизации. Задания взяты из открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного уровня [7].
Задача 3. «Найдите значение выражения ((4x-3y)2-(4x+3y)2):(4xy)» [7, № 26810].
Общее решение, на основе тождественных преобразований. Раскрываем квадраты разности и суммы, затем приводим подобные слагаемые и выполняем деление:
((4x-3y)2-(4x+3y)2):(4xy) = (16x2-24x^+9y2-16x2-24xy-9y2):(4xy) = (-48xy):(4xy) = -48:4 = -12. Ответ: -12.
Решение на основе метода конкретизации.
Поскольку ответом к заданию «является целое число или конечная десятичная дробь» и не дано, при каких значениях неизвестных необходимо найти значение выражения, то заключаем, что значение данного выражения будет равно одному и тому же числу при всех допустимых значениях x и у.
Поэтому, положим, что x=1, у=1, тогда
((4x-3y)2-(4x+3y)2):(4xy) = ((4-1-3-1)2-(4-1+3-1)2):(4-1-1) = ((4-3)2-(4+3)2):(4) = (1-49):(4)= -12. Ответ: -12.
Заметим, что иногда учащиеся столь увлекаются поиском «быстрых» способов получения ответа, что установить обоснованность их решения при правильном числовом ответе становится затруднительно. Так, например, мы наблюдали следующее в решении приведенного примера. Ученик берет обыкновенный штрих-корректор и в исходном выражении закрашивает (замазывает) переменные x и у, получает выражение ((4-3)2-(4+3)2):(4), значение которого, как легко подсчитать, равно -12.
Задача 4. «Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки равные 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции» [7, № 27836].
Общее решение, основанное на свойствах трапеции и её средней линии.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD (рис. 2а) в которой высота BH делит основание ЛВ на отрезки ЛИ и ИВ, равные соответственно 4 и 10. Проведем высоту СК. Тогда КВ=4 (в силу равенства прямоугольных треугольников ЛВИ и СВК по гипотенузе и катету), поэтому ИК=ИВ-КВ=10-4=6. Значит ВС=ИК=6. Средняя линия трапеции МУ=(ВС+ЛВ):2=(14+6):2=10. Ответ: 10.
Решение на основе метода конкретизации.
Изобразим на листе в клетку трапецию ЛВСВ, удовлетворяющую условию задачи (рис. 2б). Построение может быть следующим:
1) На горизонтальной прямой отложим последовательно отрезки ЛИ и ИВ равные соответственно 4 и 10 клеткам.
2) В точке И восстановим перпендикуляр кЛВ (луч с началом в точке И, перпендикулярный ЛВ).
3) Поскольку высота трапеции по условию задачи не оговаривается, а ответ к задаче предполагается единственный, то заключаем, что высота может быть любой - главное, чтобы сохранялись равенство боковых сторон трапеции и деление большего основания высотой на отрезки 4 и 10. Значит, угол наклона боковой стороны трапеции к основанию можно взять произвольно. Поэтому из точки Л по диагонали клеток проведем луч до пересечения с ранее построенным перпендикуляром к ЛВ, получим точку В - третью вершину трапеции ЛВСВ.
4) Построение четвертой вершины С очевидно. Для её нахождения (в силу равнобедренности трапеции ЛВСВ) построим отрезок ВС равный отрезку ЛВ и составляющий такой же угол с прямой, содержащей основание трапеции.
5) Изображаем середины сторон ЛВ и СВ - точки М и N. Эти точки будут целочисленным, т.е. будут находиться точно в пересечении линий клетчатой основы рисунка. Отрезок MN - средняя линия трапеции ЛВСВ.
Для получения ответа посчитаем по клеткам длину отрезка MN, получим М^10, это и есть ответ на вопрос задачи. Ответ: 10.
Рисунок 2. Трапеция ABCD. Чертежи к задаче 4
Как видим из рассмотренных примеров, решение задач методом конкретизации имеет иную математическую основу, чем представленное общее решение. Это расширяет круг доступных методов решения, и ученик получает возможность использовать субъективно наиболее легкий из них. Так, в задаче 3 вместо действий над многочленами решение сводится к арифметическим действиям с целыми числами, что представляется менее сложным.
Уточним, метод конкретизации предполагает включение новых данных в условие задачи, тем самым формулируется и решается уже другая новая задача. Это является отличительной чертой рассматриваемого нами метода от методов, схожих ему. Среди таковых следует назвать несколько, описываемых в научно-методической литературе. Операцией мышления, наиболее схожей с конкретизацией, является специализация, которая «заключается в том, что от изучения данного ряда элементов мы переходим к изучению меньшего ряда или же к изучению отдельного элемента данного ряда» [8, С. 189]. Д. Пойа также отмечает, что «при решении задач специализация часто полезна» [8, С. 189]. В подтверждение автор приводит примеры, в которых приём специализации позволяет в одном случае опровергнуть выдвинутый тезис, в другом -найти способ решения. Разновидностью специализации можно назвать показанный Г. И. Саранцевым «приём рассмотрения предельного случая» [9, С. 112], применение которого в некоторых случаях позволяет также получить идею решения. Л.М. Фридман [10] говорит о том, школьников следует учить эвристическим методам поиска способа решения задач. Два из них - «метод преобразования задачи» и «метод введения вспомогательных элементов» созвучны методу конкретизации, однако в содержательном плане есть существенные различия. Заметим, что мыслительной операцией, обратной конкретизации, является обобщение. Поэтому в контексте рассматриваемой нами темы следует назвать и такой эвристический метод, как «приём обобщения, который часто используется при поиске решения, когда ищется решение не исходной задачи, а иной более общей, по отношению к данной задаче» [4, С. 59].
Выводы. Следует отметить, что не все педагоги-математики положительно оценивают использование метода конкретизации. Основной его недостаток - это то, что он корректно применяется в предположении, что исходная задача корректна и имеет свой способ решения и единственный ответ. А доказательство этого предположения делает с логико-математической точки зрения бессмысленным применение метода конкретизации. Без доказательства указанного предположения его корректней было бы назвать не методом решения задачи, а методом получения ответа к задаче. И здесь, как мы уже отмечали в начале статьи, теряется важная составляющая смешанного обучения, связанная с подтверждением знаний предыдущей темы при переходе к изучению следующей.
С другой стороны, можно выделить ряд несомненных достоинств рассматриваемого нами метода:
1. Метод конкретизации возможно применять к решению тестовых задач с кратким ответом. Здесь его обоснованность обеспечивается формой предъявления таких задач. А решение частной задачи по отношению к исходной может быть гораздо легче. Получаем наиболее быстрой способ достижения цели обучающегося на итоговом экзамене - указать с наименьшими временными затратами верный ответ к задаче.
2. Применение данного метода предполагает умение выполнять конкретизацию, находить такой частный случай, для которого можно указать несложное решение. С этой точки зрения сравнение уровня развития математического мышления у учащихся, решающих задачу «в лоб», и учащихся, применяющих и понимающих условия применимости метода конкретизации, представляется, будет в пользу последних.
Как итог отметим, что рассмотрение метода конкретизации имеет как теоретическое, так и практическое значение.
Так, в методике обучения математике есть необходимость рассмотрения объема и содержания понятия «математические методы», однако в силу сложности и многогранности данного понятия ни в одном учебнике по теории и методике обучения математике данный вопрос полноценно не освещается. Ранее мы уже отмечали [5], что для раскрытия объема понятия «математические методы» целесообразно его классификацию рассматривать на четырех уровнях: философском, общенаучном, конкретно-научном, технологическом. В приведенном контексте метод конкретизации будет дополнять методы математики на конкретно-научном уровне.
С практической точки зрения метод конкретизации является методом решения тестовых заданий с кратким ответом, который в школьных учебниках математики не рассматривается, но при этом является эффективным средством ответа на вопросы тестов итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах.
Литература:
1. Андреева, Н.В. Практика смешанного обучения: история одного эксперимента / Н.В. Андреева // Психологическая наука и образование. - 2018. - Т. 23. - № 3. - С. 20-28. - DOI 10.17759/pse.2018230302. - EDN XRVHWH.
2. Блинов, В.И. Модели смешанного обучения: организационно-дидактическая типология / В.И. Блинов, ЕЮ. Есенина, И.С. Сергеев // Высшее образование в России. - 2021. - Т. 30. - № 5. - С. 44-64. - DOI 10.31992/0869-36172021-30-5-44-64. - EDN YMTLMQ.
3. Далингер, В.А. Обучение учащихся решению математических задач / В.А. Далингер // Евразийское Научное Объединение. - 2017. - Т. 2. - № 7(29). - С. 114-119. - EDN YPJXCO.
4. Зацепина, Ю.А. Методика применения эвристических подходов при решении математических задач / Ю.А. Зацепина, Е.Е. Кирьянова // Тенденции развития науки и образования. - 2021. - № 70-2. - С. 56-60. - DOI 10.18411 /lj -02-2021-53. - EDN DBDRAP.
5. Костюченко, Р.Ю. Обучение основам математической обработки информации: содержательный аспект / Р.Ю. Костюченко // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия: Гуманитарные и социальные науки. - 2014. - № 4. - С. 164-172. - EDN SXDXFR.
6. Методические особенности обучения будущих учителей математики приемам составления задач / А.С. Великих, П.Ю. Романов, Л.В. Смирнова, О.А. Торшина // Современные проблемы науки и образования. - 2019. - № 3. - С. 57. - EDN SDKYBV.
7. Открытый банк математических задач ЕГЭ: сайт. - URL: https://mathege.ru (дата обращения: 14.04.2022).
8. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. - М.: Учпедгиз, 1959. - 208 с.
9. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.
10. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике / Л.М. Фридман. - М.: URSS, 2021. - 248 с.
Педагогика
УДК 378.937:681.14
аспирант Котов Григорий Сергеевич
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Южный федеральный университет» (г. Ростов-на-Дону)
СОВРЕМЕННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЭПОХУ ЦИФРОВИЗАЦИИ
Аннотация. В статье рассматривается влияние процесса цифровизации общества на систему высшего образования. Выделяются факторы, детерминирующие интерес к проблемам цифровизации образования, анализируются последствия цифровизации. Автор обосновывает необходимость пересмотра технологической составляющей учебного процесса с использованием достижений цифровой сферы. В работе раскрывается сущность образовательных технологий, и требований к ним (концептуальность, системность, управляемость, прогнозируемость результатов, воспроизводимость, вариативность, адаптивность). Дана характеристика ряда современных образовательных технологий (смешанное обучение, реверсивное обучение, геймификация). Представлены основные преимущества данных технологий: эффективность формирования профессиональных компетенций, повышение интереса к обучению и удовлетворение образовательных потребностей различных целевых групп, оптимизация организационных аспектов учебного процесса, более полный учет индивидуального стиля обучения, смена ролей преподавателя и обучающихся.
Ключевые слова: цифровизация образования, образовательные технологии, цифровые технологии, смешанное обучение, реверсивное обучение, геймификация.
Annоtation. The article discusses the impact of the process of digitalization of society on the system of higher education. The factors that determine the interest in the problems of digitalization of education are highlighted, the consequences of digitalization are analyzed. The author substantiates the need to revise the technological component of the educational process using the achievements of the digital sphere. The paper reveals the essence of educational technologies, and the requirements for them (conceptuality, consistency, controllability, predictability of results, reproducibility, variability, adaptability). The characteristics of a number of modern educational technologies (blended learning, reverse learning, gamification) are given. The main advantages of these
