CC BY
306
УДК 37.022:517
САЛАХОВ Агамет Зергерович, старший преподаватель кафедры высшей математики, соискатель кафедры методики преподавания математики Дагестанского государственного технического университета (г. Махачкала). Автор 8 научных публикаций, в т.ч. 4 учебно-методических пособий
МЕТОД ИСТОРИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ В СИСТЕМЕ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
СТУДЕНТОВ ВУЗА
В статье раскрыты исторические предпосылки и методические условия, на которые опирается идея включения в систему методов обучения математике в вузе метода исторической реконструкции. Основное содержание статьи посвящено раскрытию теоретических основ использования данного метода и их иллюстрации.
Методика обучения математике, вуз, метод обучения
Идея привлечения историко-научных данных к процессу обучения математике не является новой для методической науки. Вопрос о включении их в качестве элементов учебного материала в содержание школьных учебников обсуждался еще в период клейновской реформы. Об этом свидетельствуют материалы I и II Всероссийских съездов преподавателей математики (1911-1913), где представлен доклад известного историка-математика В.В. Бобы-нина на тему «Цели, формы и средства введения исторических элементов в курс математики средней школы», а также материалы прений по его докладу. Сегодня историко-научные данные не только приводятся на страницах всех учебных пособий по математике для учащихся общеобразовательных школ и студентов высших учебных заведений, но и широко используются в качестве основы, определяющей логику развертывания содержания обучения математике во взаимосвязанной
© Салахов А.З., 2010
деятельности учителя и учащихся, т.е. в качестве специального метода обучения матема-тике1. В методической литературе его чаще всего называют генетическим (Н.М. Бескин, В.В. Бобынина, Э.С. Сауфанов) или историкогенетическим (С.В. Белобородова, Н.А. Тере-шин) методом.
Степень обращения к этому методу при обучении математике в общеобразовательной и высшей школе различна. В системе общего математического образования историко-генетический метод возведен в ранг общего подхода. Он реализуется при проектировании логики развертывания содержания обучения на всех уровнях:
• на уровне учебного предмета (при определении логики развертывания содержательнометодических линий в учебных программах по математике);
• на уровне учебных материалов (при определении логики изложения отдельных вопросов,
выборе трактовок и терминологических обозначений математических понятий, доступных пониманию учащихся способов обоснования математических утверждений);
• на уровне учебного процесса (при определении способов подведения учащихся к открытию нового для них научного знания).
В доказательство приведем цитату из учебного пособия О.Б. Епишевой: «Исторический подход к обучению математике реализуется в первую очередь в построении содержания обучения, в разработке той или иной последовательности изучения материала и трактовке основных понятий»2.
Накопленный образовательной практикой опыт применения историко-генетического метода, а также исследования ученых показывают, что его реализация облегчает понимание учебного материала, способствует обогащению опыта творческой деятельности учащихся, формирует у них знания о методологии научного познания.
Требования, предъявляемые к уровню общности и строгости математических рассуждений в вузе, а также традиции преподавания существенно ограничивают область применения историко-генетического метода. Здесь логика развертывания основ математических теорий определяется в основном аксиоматическом методом и теоретико-множественным подходом, а привлечение историко-научных данных осуществляется чаще всего в форме кратких исторических справок, предваряющих или дополняющих развертывание основного содержания.
Пример 1. Наиболее распространенная (по результатам анализа и обобщения опыта работы преподавателей вузов) методическая схема введения понятия производной в вузовских курсах.
1. Рассказ о вкладе И. Ньютона и Г. Лейбница в развитие дифференциального исчисления.
2. Демонстрация образцов решения задач, подводящих к понятию производной: на вычисление мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения, на построение касательной к графику функции.
3. Введение определения понятия функции в точке как обобщения математических моделей, рассмотренных в примерах.
4. Введение понятия дифференцирование функции как термина, обозначающего операцию нахождения производной.
5. Введение понятий «функция, дифференцируемая в точке» и «функция, дифференцируемая на промежутке».
6. Раскрытие физического и геометрического смысла производной с опорой на рассмотренные ранее подводящие задачи.
Такой подход, при всех его достоинствах, приводит к отрыву знаний студентов о достижениях математической науки от знаний тех исторических фактов, которые обусловили появление этих достижений. Тем самым откладывая «в долгий ящик» процесс вхождения студентов в область математических исследований.
Решение этой проблемы мы видим в принципиально ином подходе к привлечению историко-научных данных к процессу учебного познания - в использовании тех образовательных возможностей, которые предоставляет метод исторической реконструкции.
«Историческая реконструкция - это интегральный метод, направленный на целостное воссоздание картины прошлого по его фрагментам, сохранившимся в исторических источниках и результатах предшествующих исторических событий»3.
Данный метод широко используется в методических исследованиях для воссоздания по имеющимся в литературе историко-научным данным логики развития в науке тех понятий, положений, идей и методов математики, которые являются предметом изучения и построения на этой основе методической схемы обучения.
В качестве метода обучения математике метод исторической реконструкции предполагает организацию взаимосвязанной деятельности преподавателя и студентов по воссозданию с опорой на имеющиеся в их распоряжении историко-научные данные цепи событий или логики рассуждений ученого (ученых), приведших
к появлению изучаемых в вузовской курсе математики положений. При этом степень самостоятельности студентов в ходе исторической реконструкции может быть различной.
По мере овладения студентами методом исторической реконструкции преподаватель может включать их в следующие виды деятельности:
• поиск студентами историко-научных данных, подтверждающих правильность представленных преподавателем исторических событий или их последовательности;
• обнаружение студентами неполноты представляемых преподавателем в ходе исторического экскурса историко-научных данных и постановка перед ними задания на восполнение этих пробелов в ходе исторической реконструкции;
• выполнение студентами заданий на реконструкцию исторических событий и их последовательности по представленным преподавателям данным;
• выполнение студентами заданий на реконструкцию исторических событий и их последовательности с самостоятельным подбором опорных историко-научных данных.
Степень активности и самостоятельности студентов в проведении исторической реконструкции ограничивается также местом ее использования в учебном процессе: самостоятельная работа студентов, аудиторные занятия (лекционные, практические).
Рассмотрим пример использования метода исторической реконструкции на лекционном занятии для раскрытия идейных исторических основ введения в науку основных понятий дифференциального исчисления.
Пример 2. Историческая реконструкция введения в науку основных понятий дифференциального исчисления.
1. Преподаватель сообщает студентам, что развитие методов дифференциального исчисления связано в истории математической науки с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Указывает на то, что перечень задач, подводящих к понятию производной, с их решениями можно найти в большинстве учебников по математическому ана-
лизу Ставит перед студентами задачу проверить соответствия этих учебных материалов историко-научным данным.
2. Преподаватель указывает, что, возможно, основная проблема решения всех этих задач заключалась в необходимости разработки математического аппарата, который позволил бы исследовать скорость изменения значений функции в точке. Разными путями ученые приходили к идее «линейной аппроксимации». В буквальном переводе с латинского аппроксимация (approxmare) означает приближение и заключается в замене одного изучаемого объекта другим, обладающим сходными величинами и более удобным для исследований. Данная идея состояла в замене исследуемой функции У = f (x) в окрестности интересующей ученых точки х0 линейной функцией, такой, что /(x0) = kx0 + Ь . Это позволяло локальные свойства рассматриваемых функций сводить к глобальным свойствам соответствующей линейной функции. Ставит перед студентами задачу поиска историко-научных данных, подтверждающих правильность гипотезы о привлечении к решению указанной проблемы идеи линейной аппроксимации.
3. Геометрически задача линейной аппроксимации функции у = f (x) в окрестности точки с абсциссой х0 сводится к построению касательной к ее графику в этой точке и изучению свойств этой касательной в окрестности ( x0 -5;x0 + 5), где 5>0.
Такая замена при рассмотрении любой точки x е (x0 - 5; x0 + 5) и x ^ x0 неизбежно приводит к появлению некоторой погрешности. Очевидно, что а = f (x) - (кx + Ь) - бесконечно малая величина, зависящая от (x - x0) . Причем, если использовать для выражения зависимости а от (x - x0) секущую АВ, то мож-
Г а = 0
но показать, что т 0, т.е. а имеет
x^xo X - Xo
более высокий порядок малости, чем величина (x - xo).
Прямая АВ имеет уравнение у = кг( x - x0) + / (x0) , а прямая АС имеет уравнение у = к (x - x0) + / (x0), тогда
а = (k1 - k)(x - x0). Когда x - x0 ^ 0, то и kx - k ^ 0. Таким образом, имеем
llm
а
x^ xo x - xn
= llm (k1 - k) = 0.
Таким образом, получаем, что для реализации идеи линейной аппроксимации необходимо ^) в точке x е (x0 - 5; x0 + 5) представить в виде у = к(x-x0) + /(x0) + а, где
а
llm
x^xo x - xr
= 0, а k = tgy, следовательно,
k = ™ = llm f (x) - f (x") - а
AD x-xo
x - xn
= llm
x-xo ^0
f (x) - f (xo)
x - xn
Математические понятия, позволяющие описывать выражения, входящие в уравнение у = к(х - х0) + f (x0) + а (уравнение линейной аппроксимации функций), и составляют фундамент теории дифференциального исчисления: ^ - Xo); / (x) - / (Xo); Нт ^ - xo);
llm (f (x) - f (xo)); llm
f (x) - f (xo)
x - x„
Систематическое обращение к методу исторической реконструкции, как показал формирующий эксперимент, позволяет активизировать познавательную деятельность студентов, обогатить результаты их математического образования знаниями истории математики и методологии математического познания.
0
xx
Примечания
1 Шабанова М.В. Методология учебного познания как цель изучения математики: моногр. Архангельск, 2004. С. 137.
2 Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекции: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. Тобольск, 1997. С. 110.
3 Ларина Т.М. Методологические проблемы исторической реконструкции: дис. ... канд. филос. наук. Куйбышев, 1984. С. 17.
Salakhov Agamet
HISTORIC RECONSTRUCTION METHOD IN THE SYSTEM OF METHODS OF TEACHING MATHEMATICS STUDENTS OF THE HIGHER EDUCATIONAL ESTABLISHMENT
The article shows historical background and methodological conditions, which support the idea of including the historic reconstruction method into the system of methods of teaching mathematics. The main content of the article is devoted to the disclosure of theoretical bases of using the given method and illustrating them by examples.
Контактная информация: e-mail: agamet-s@yandex.ru
Рецензент - Шабанова М.В., доктор педагогических наук, профессор кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
