CC BY
22
УДК 681.5:621.3
Г.А. Пюкке
МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ШИРОКОПОЛОСНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПРИ ДИАГНОСТИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ РЕАКТИВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ
Предлагаемый в работе метод диагностирования электрических цепей, содержащих компоненты с реактивными и активными сопротивлениями, основан на использовании в качестве тестирующего воздействия широкополосного сигнала, моделируемого гауссовским случайным процессом. Такой подход упрощает вычисления и дает возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании гармонических сигналов. Оценка величины тестового сигнала выполняется по величине спектральной плотности среднего квадрата случайного напряжения или тока. Оценка основных статистических характеристик тестового сигнала выполняются по записи выборочной реализации стационарного случайного процесса конечной длительности. Для регистрации сигналов используется квадратичный вольтметр, показания которого не зависят от формы исследуемого сигнала. Вводится понятие эквивалентного сопротивления реактивного элемента. Рассмотренная методика позволяет при решении практических инженерных задач избежать сложных аналитических решений, выполнив алгоритм последовательных вариаций эквивалентными сопротивлениями реактивных элементов.
Ключевые слова: широкополосный сигнал, эквивалентное сопротивление, реактивный элемент, случайный процесс, квадратичный вольтметр.
G.A. Pjukke
APPLICATION METHOD OF BROADBAND ELECTRIC SIGNALS FOR DIAGNOSING ELECTRIC CIRCUITS WITH REACTIVE COMPONENTS
The proposed method of diagnosing of electric circuits containing components with resistive and imaginary impedance is based on using as testing action the broadband signal generated from Gaussian random process. Such approach simplifies calculations, and enables to exclude from consideration the analysis of the phase ratio carried out using harmonious signals. Magnitude estimation of test signal is based on the value of spectral density of mean square of random voltage or current. Estimation of the basic statistical characteristics of test signal is carried out on the record of looking of stationary random process of finite duration. For registration of signals the square voltmeter which indications do not depend on the form of researched signal is used. The concept of equivalent resistance of reactive component is introduced. Dealing with practical engineering tasks the considered technique allows to avoid complex analytical solutions, using the algorithm of consecutive variations of equivalent impedance of reactive components.
Key words: broadband signal, equivalent impedance, reactive component, random process, square voltmeter.
DOI: 10.17217/2079-0333-2017-42-19-28
Введение и постановка задачи на исследование
Использование в качестве тестовых сигналов регулярных гармонических воздействий при решении различных задач анализа линейных электрических цепей, содержащих реактивные компоненты, часто сопровождается трудностями аналитического решения из-за громоздкости таких вычислений. В частности при выполнении тестирования таких объектов с целью определения их работоспособности или выявления локальной области неработоспособности на основе использования аналитических диагностических моделей необходимо выполнять анализ фазовых соотношений тестирующих сигналов на входе и выходе диагностируемого устройства. Это не всегда удобно, так как усложняет расчеты, по сравнению с анализом резистивных электрических цепей, при диагностировании которых достаточно использовать тестовый сигнал постоянного тока.
При диагностировании же цепей, содержащих реактивные компоненты, тестовый сигнал постоянного уровня не выявляет реактивного сопротивления, и все изменения параметров реактивных элементов, возникающие, например, из-за потери емкости конденсаторов вследствие необратимых физико-химических процессов, протекающих в структуре их диэлектриков, или изменения, возникающие из-за изменения индуктивности обмоток дросселей и трансформаторов вследствие межвитковых замыканий, будут находиться за пределами поля диагностирования. Для учета этих изменений неизбежно приходится тестировать в режиме переменного тока, выбирая для этих целей сигнал, изменяющийся по гармоническому закону.
Кроме того, наличие реактивных компонент в составе объекта диагностирования усложняет задачу локализации дефектов в системах моделируемых электрическими цепями. Такие сложности связаны, прежде всего, с переходом от систем линейных алгебраических уравнений, применяемых при описании цепей, содержащих только элементы с активным сопротивлением, к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами при построении диагностических моделей. Такой переход обусловлен тем фактом, что компонентные уравнения, описывающие свойства реактивных элементов электрической цепи, связывают ток и напряжение на двухполюсных компонентах через производные или интеграл (например, для емкости конденсатора и индуктивности катушки) [1]:
1 ' И'
ис = — Г Ш ; иь = Ь —. с с Г ; Ь л
После формирования модели всей цепи на основе использования объединяющих топологических уравнений это приводит к модели в виде системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В приложении к задачам диагностики такое объединение представляет собой исходную диагностическую модель, на основе которой может быть впоследствии разработан тот или иной метод диагностирования.
Возникает вопрос, можно ли подобрать такой по форме тестовый сигнал, который не связан со сложными вычислениями, как гармонический, и одновременно может быть использован для тестирования цепей, содержащих реактивные компоненты. Как будет показано ниже, в качестве такого сигнала может быть использован гауссовский белый шум, что упростит вычисления, так как даст возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании синусоидальных сигналов и использовать белый шум в качестве тестового сигнала при диагностировании электрических цепей, содержащих реактивные элементы.
Применение белого шума позволяет отказаться от расчета фазовых соотношений при воздействии тестового сигнала на инерционные цепи. Это упрощает расчет и дает возможность ограничиться оценкой среднеквадратических значений величин при определении параметров диагностируемой системы. Целью исследования является разработка методики тестирования электрических цепей с помощью широкополосного сигнала, упрощающего аналитические расчеты.
Теоретическое обоснование метода. Эквивалентное сопротивление
При выборе в качестве модели тестового сигнала нормального стационарного случайного процесса можно выполнять оценку величины тестового сигнала по спектральной плотности среднего квадрата случайного напряжения или тока, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Средний квадрат напряжения или тока можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую на единичном сопротивлении, например 1 Ом. Наложение условия эргодичности случайного процесса позволит выполнять анализ по выделенной из ансамбля какой-либо реализации хк(1). При этом ограничение ее длительности конечным интервалом времени Т даст возможность приближенно найти спектральную плотность сигнала Хкт (ю). Тогда среднюю мощность к-й реализации на отрезке Т можно найти из соотношения:
да да
х/(0 = (1/2п) Г (| Хкт (ю)|2 / Т)Шю = (1/2п) Г Ж (ю)Шю,
— да —да
где Жк (ю) - спектральная плотность средней мощности к-й реализации.
При эргодическом процессе спектральная плотность средней мощности ^й реализации Wk (ю) будет характеризовать весь процесс в целом. А так как измерения выполняются на конечном промежутке времени [0,7], то с уменьшением полосы пропускания относительная погрешность измерений будет возрастать [2].
Для дальнейших исследований необходимо ввести понятие эквивалентного сопротивления реактивной компоненты. Адекватность методики расчета эквивалентного сопротивления общепринятым методам анализа резистивных электрических цепей может быть дана при количественной оценке с использованием пакета моделирования динамических систем 8тиПпк. Возможности 8тиПпк позволяют, используя графический интерфейс пользователя, построить функциональную блок-схему моделируемого устройства и выполнять редактирование математических выражений в блоках функциональной схемы.
На рис. 1 показана модель системы измерения при воздействии на ЛС-цепь шумового сигнала.
Рис. 1. Модель системы измерения
Функциональная схема включает следующие компоненты: модель интегрирующей RC-цепи, описываемой дифференциальным уравнением (рис. 2); модель квадратичного вольтметра, включающего блок возведения в квадрат (Fcn, Fcn2), блоки осреднения и интегрирования в интервале [0, Т] (Transfer Fcn, Transfer Fcnl, Transfer Fcn2, Transfer Fcn3), блок нормирования (Fcnl, Fcn3) (рис. 3); осциллографы (Scope, Scopel, Scope2, Scope3); анализатор спектра (Spektrum analyzer); источник белого шума с ограниченным спектром (Band Limitec White Noise); устройство представления цифровой информации (Display).
-dUnJt) / dt = (1 / RC) UUt) - (1 / RC) ивЬК(0
Рис. 2. Модель интегрирующей RC-цепи
Рис. 3. Модель квадратичного вольтметра
Сигнал от генератора белого шума поступает на вход интегрирующей цепи. Измеряется его среднеквадратическое значение, регистрируется временной график выборки (осциллограф
Scope), выполняется анализ спектра (Spektrum analyzer). Измеряется среднеквадратическое значение сигнала на выходе цепи и регистрируется временной график выборки (Scope3).
Моделирование в среде Simulink указывает на адекватность белого шума сигналу постоянного уровня при их воздействии на резистивные электрические цепи. Это подтверждается выполнением для шумового сигнала принципа суперпозиции и закона Ома.
Гауссовский шум с ограниченным спектром имеет плотность S:
где юп /2п - полоса частот для спектра шума; Л(т) - корреляционная функция; В - дисперсия.
Будем считать спектральную плотность тестового сигнала в пределах АЧХ системы постоянной, если время корреляции шума много меньше всех существенных постоянных времени исследуемой системы. Анализ рассмотренных соотношений позволяет регулировать корреляцию: выбирая достаточно широкую полосу частот Аюп, можно получить произвольно малую корреляцию между двумя значениями процесса, что обеспечит его стационарность.
Как отмечено выше, оценки основных статистических характеристик тестового сигнала выполняются по записи выборочной реализации стационарного случайного процесса £(;) конечной длительности. Поэтому измерение характеристик сводится к обработке реализаций этих процессов. Однако при проведении эксперимента число реализаций всегда ограниченно, а длительность процесса конечна. Поэтому необходимо руководствоваться оценками соответствующих характеристик. При определении оценок как по различным реализациям, так и по различным участкам одной и той же реализации получаются результаты, приводящие к совокупности случайных величин, требующих оценки статистической погрешности [2].
Так как статистическая погрешность уменьшается с ростом длительности исследуемой реализации или числа анализируемых реализаций, то, задавшись допустимым значением дисперсии, можно определять требуемую длительность необходимой для измерений реализации или число реализаций. С практической инженерной точки зрения методика измерений тестовых сигналов будет заключаться в преобразовании реализаций процессов по определенному закону и измерении дисперсии с помощью квадратичного вольтметра.
Для регистрации шумовых сигналов на выходе объекта диагностирования используется квадратичный вольтметр, показания которого не зависят от формы исследуемого сигнала. Такие вольтметры пригодны для измерения сигналов сложной формы и шумов. При этом на вход квадратичного преобразователя подается центрированная реализация [2]:
где и(0 - реализация; ти - математическое ожидание.
Следует отметить, что аналитический расчет параметров всей совокупности составляющих компонент объекта диагностирования (резисторы, конденсаторы, индуктивности) при условии воздействия на цепь гауссовского шума связан со значительными трудностями вычислительного характера. Для решения этой задачи целесообразно ввести единую величину эквивалентного сопротивления Яэ (независимо от характера рассматриваемой компоненты), моделируемого для каждой компоненты на основе расчета цепи методом узловых потенциалов, при воздействии на схему случайного гауссовского процесса.
Расчет эквивалентного сопротивления можно выполнить, проведя реальный физический эксперимент, или моделировать, используя известные пакеты расширения системы MATLAB (Simulink и др.). Метод расчета эквивалентного сопротивления компонент основывается на уравнивании значений потенциалов совокупности узлов цепи при замене всех составляющих компонент различного характера на резистивные компоненты с последующим их регулированием. Процедура расчета включает следующие этапы:
1) подача на вход ранее выбранного канала прохождения тестового сигнала источника га-уссовского шума с ограниченным спектром;
Д(т) = (N / ят)яи(юпт); D = N(юп / л),
Т
Du = (1 / T) j [u(t) - muf dt,
0
2) измерение среднеквадратических значений потенциалов узлов цепи;
3) замена всех компонент исследуемой цепи на резистивные элементы;
4) варьирование величинами сопротивлений резистивных элементов при конечном подборе таких значений сопротивлений, которые обеспечат распределение потенциалов всех узлов цепи равное первоначальному распределению.
Полученные значения сопротивлений резистивных элементов будут равны эквивалентным сопротивлениям соответствующих компонент. Правомерность таких преобразований можно показать на примере элементарных цепей. Например, при воздействии гауссовского белого шума Цж(0 = п0(') c нулевым математическим ожиданием М{п0(')} = 0 и корреляционной функцией
Яп (¿1, к) = (N0 / 2) 5 (12 - н),
где N0 - интенсивность спектральной плотности, на интегрирующую ЯС-цепь, напряжение ивых(0 на выходе ЯС-цепи определяется линейным дифференциальным уравнением:
dUвыx(t) / dt + а Цвых(0 = а Ц^).
Общее решение при начальном условии ивых = и0 и t = 0 имеет вид:
í
ивых(0 = и0 е-* + а е-1* \ е^ п0(т) dт.
о
При детерминированной величине и0 плотность вероятности напряжения на выходе при t0 = 0 будет определяться дельта-функцией
Р0 (Uвых(t)) = 5 (Uвых(t) - Ц).
Математическое ожидание и корреляционная функция для описания гауссовского процесса определяются соотношениями:
твых (t) = Ц е-'.
В установившемся режиме при t, стремящемся к да,
твых (0 = 0; ЯвыхС, t + т) = (а / 4) е"ат (1 - е-2а).
В установившемся режиме
Я (т) = В е-а|т|
вых вых
где Ввых = а(^ /4) - дисперсия.
Процесс на выходе ЯС-цепи является гауссовским. Корреляционной функции соответствует спектральная плотность сигнала на выходе:
^вых 2а Ввых / (а2+ ю2).
Заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. При прохождении через линейные звенья у нормальных процессов не изменяются законы распределения, но изменяется корреляционная функция. Для анализа нормальных процессов достаточно определить функцию корреляции и математическое ожидание.
Лабораторные испытания
Для проведения лабораторных испытаний в качестве базового устройства для имитации различных объектов, техническое состояние которых определялось, использовалось лабораторное
устройство по электротехнике К4826. Устройство имеет монтажную панель для оперативной сборки наблюдаемой системы и большой ассортимент составляющих компонент.
Монтажная панель устройства К4826 используется для коммутации полюсов съема диагностической информации и подачи тестовых сигналов от генератора. На рис. 4 изображена схема
экспериментальной установки для проведения исследований по диагностированию электрических цепей различной сложности.
В состав комплекса входят следующие элементы: генератор шума, состоящий из ЭВМ (подключенный к ЭВМ по ЬТР-порту, цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП)) и широкополосный усилитель; лабораторное устройство К4826; буферный каскад и квадратичный Рис. 4. Схема комплекса экспериментальной установки вольтметр
Для регистрации шумовых сигналов на выходе ОД используется квадратичный вольтметр, показания которого не зависят от формы исследуемого сигнала. Буферный каскад служит для согласования внутреннего сопротивления квадратичного вольтметра с сопротивлением объекта наблюдения. ЭВМ генерирует код шумового сигнала, который преобразуется цифро-аналоговым преобразователем в аналоговый шум. После усиления широкополосным усилителем шумовой сигнал подается на заранее выбранный по диагностическим критериям канал прохождения тестового сигнала объекта идентификации. Сигнал снимается с выхода канала диагностирования для измерения квадратичным вольтметром и дальнейших практических расчетов.
Проводимые эксперименты имели целью подтверждение степени адекватности построенных моделей идентификации и состоятельности разработанных методик диагностирования.
Для исследований в среде 8тиПпк построена модель системы измерения (рис. 5), включающая модель интегрирующей ЛС-цепи.
Рис. 5. Модель системы измерения
Необходимо отметить, что при аналитическом описании RC-цепи линейным дифференциальным уравнением не может быть использовано понятие «реактивное сопротивление емкости» (из-за хаотичности параметров шумового сигнала). Поэтому моделирование выполняется на уровне дифференциального уравнения без аналитического описания зависимостей ивых(0, ивх(0. В окне Blok Parameters: Band - Limited White Noise пакета Simulink задается фиксированное значение мощности белого шума для континуальных систем: Noise power = [0,1 ед.]. Измеряется среднее квадратическое значение сигнала на входе ивых = 1ед. При постоянном значении величины сопротивления резистора интегрирующей RC-цепи R = 1кОм выполняется варьирование величиной коэффициента пропорциональности а = 1 / RC. Одновременно измеряется среднеквадратиче-ское значение сигнала на выходе RC-цепи. При достижении величины выходного напряжения
Цвых = 0,5ед. фиксируется значение коэффициента а = 64,35 и вычисляется значение величины емкости конденсатора С = 10 3 / 64,35. Если входное напряжение ивх разделится поровну между резистором и конденсатором при равенстве сопротивления резистора Я и эквивалентного сопротивления конденсатора Яэ = Я, то имеет место алгебраическое (скалярное, а не векторное) деление напряжения. Для доказательства необходимо поменять местами резистор и конденсатор и выполнить аналогичное моделирование (рис. 6, б). Получение идентичных результатов деления входного напряжения цвых(') = СЯd цвх(') / dt - СЯА Ц^О / dt при заданной полосе частот тестового сигнала будет свидетельствовать о справедливости сделанных предположений.
а б
Рис. 6. Результаты измерения сигнала интегрирующей цепи: а - на входе; б - на выходе
Точность проведенных измерений определяется шириной полосы частот тестового сигнала, которую можно регулировать в соответствии с необходимыми требованиями к точности. На рис. 7 приведена осциллограмма выборки входного сигнала, на рис. 8, а, б представлены результаты измерений при моделировании ЯС-цепи.
Рис. 7. Временная диаграмма выборки входного тестового сигнала
Как следует из диаграмм на рис. 6, а, б, величина напряжения в установившемся режиме составляет половину входного напряжения, что при заданной длине выборки 10 с, которой будет соответствовать конечная полоса частот сигнала, подтвердит предположение о скалярном характере сложения величин напряжений (при условии выполнения пропорциональности деления напряжения в опыте с дифференцирующей цепью).
На рис. 8, а, б приведены результаты измерения при моделировании дифференцирующей цепи. Пропорциональность деления выполняется с отклонением 3%, которые можно понизить при более точной корректировке полосы частот сигнала. Резюмируя проведенные исследования, можно сделать вывод о возможности подбора параметров шумового сигнала, обеспечивающих скалярные операции с величинами напряжений на реактивных элементах.
Необходимо отметить, что точность следования принципу скалярного сложения возрастает с увеличением ширины полосы частот тестового шумового сигнала. Однако возможности пакета Simulink и реальных применяемых сигналов всегда ограниченны, чем и объясняется возникновение погрешности при использовании белого шума с ограниченным спектром. Знакоперемен-
ное и хаотичное изменение фазовых сдвигов между напряжениями на конденсаторе и резисторе по гармоническим составляющим (рис. 9) приводит к нулевому осреднению фазы по частоте и свидетельствует о скалярном характере сложения напряжений ис и иЯ.
а
б
Рис. 8. Результаты измерения сигнала на входе дифференцирующей цепи: а - на входе; б - на выходе
х 10 15 Transfer Function (phase)
Frequency (rads/sec)
Рис. 9. Хаотичное распределение фазы по частоте
В данном эксперименте эквивалентное сопротивление конденсатора при фиксированной полосе частот шумового сигнала составит Яэ = 1 кОм. Скалярный характер сложения напряжений ис и иЯ должен сохраняться при вариации величины емкости конденсатора в интервале [0, да). Необходимо показать, что деление напряжения на резистивно-емкостном делителе выполняется пропорционально величинам Яэ и Я при изменении емкости в широких пределах (то есть так же, как и при воздействии шума на резистивный делитель). В таблице приведены результаты моделирования интегрирующей ЯС-цепи при начальном условии ивх = 1 В и постоянной величине сопротивления резистора Я = 1 кОм.
Таблица 1
Результаты моделирования ЙС-цепи
^ [c-1] RC C [Ф] R [кОм] UBbIX [B] Ubx [B] UR вых [B] Расхождение %
64,35 10-3/64,35 1 0,5 1 0,5 0
32,175 10-3/32,175 1 0,356 1 0,3333 6
16,087 10-3/16,087 1 0,2417 1 0,2 17
8,0437 10-3/8,0437 1 0,1551 1 0,1111 28
4,0218 10-3/4,0218 1 0,0946 1 0,0588 37
2,0109 10-3/2,0109 1 0,0567 1 0,0303 46
1,0054 10-3/1,0054 1 0,0342 1 0,0153 55
0,5027 10-3/0,5027 1 0,0233 1 0,0077 67
0,2513 10-3/0,2513 1 0,0193 1 0,0038 80
0,1256 10-3/0,1256 1 0,0148 1 0,0019 87
0,0628 10-3/0,0628 1 0,0096 1 0,0009 90
128,7 10-3/128,7 1 0,6565 1 0,6666 1,5
257,4 10-3/257,4 1 0,8015 1 0,8 0,18
514,8 10-3/514,8 1 0,8995 1 0,8888 1,18
1029,6 10-3/1029,6 1 0,9508 1 0,9411 1,02
2059,2 10-3/2059,2 1 0,9759 1 0,9696 0,64
Окончание табл. 1
[е-1] ЯС С [Ф] Я [кОм] ивых И ивх И и" вых И Расхождение %
4118,4 10-3/4118,4 1 0,988 1 0,9846 0,34
8236,8 10-3/8236,8 1 0,9941 1 0,9922 0,19
16473,6 10-3/16473,6 1 0,9971 1 0,9961 0,1
32947,2 10-3/32947,2 1 0,9986 1 0,9980 0,06
65894,4 10-3/65894,4 1 0,9994 1 0,9990 0,04
131788 10-3/131788 1 0,9997 1 0,9995 0,02
При вариации величиной емкости конденсатора С в пределах [.
1
1
.] mF (миллифа-
64,35 131788
рада) вычисляются значения ивых и строится график (№ 1 на рис. 10) зависимости ивых (а), где а = 1 / ЯС - коэффициент пропорциональности в исходном уравнении. В качестве сопрягающей выбрана точка Т с координатами (64,35; 0,5). Выполняется последовательное удвоение и деление пополам величины а по обе стороны от сопрягающей точки. В таблице приведены также значения напряжения ивыхЯ на выходе резистивного делителя при аналогичном удвоении и делении величины сопротивления выходного резистора Яэ по обе стороны от сопрягающей точки. На рис. 10 приведен график (№ 2) зависимости ивыхЯ (Яэ).
Рис. 10. Графики изменения выходных напряжений делителей при вариациях величинами емкости и эквивалентного сопротивления
Анализ полученных результатов подтверждает соответствие характера изменения емкости конденсатора характеру изменения активного сопротивления резистора при воздействии на электрическую цепь широкополосного шума. Это дает возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании детерминированных синусоидальных сигналов, и использовать белый шум в качестве тестового сигнала при диагностировании электрических цепей, содержащих реактивные элементы. По мере возрастания порядка и размерности диагностируемой электрической цепи методика и алгоритм определения эквивалентного сопротивления реактивных элементов сохраняется. Аналитически это можно сделать, решив задачу в форме Коши для потенциалов узлов электрической цепи и выполнив алгоритм
последовательной вариации величинами параметров эквивалентных сопротивлений инерционных элементов с использованием общепринятых методов оптимизации (наименьших квадратов, Зейделя и др.). Наращивать порядок дифференциального уравнения по мере возрастания порядка диагностируемой цепи нерационально, так как это приводит к усложнению анализа и громоздкости вычислений.
Выводы
Следует отметить, что при решении практических задач можно избежать сложных аналитических решений, выполнив алгоритм последовательных вариаций эквивалентными сопротивлениями реактивных элементов.
Алгоритм, кроме перечисленных выше пунктов определения эквивалентного сопротивления, включает итерационную процедуру подстройки ранее уравновешенных потенциалов узлов, что в конечном итоге приведет к эквивалентному распределению потенциалов всех узлов схемы, после чего становятся известными эквивалентные сопротивления реактивных элементов. Полученные значения эквивалентных сопротивлений будут использованы для построения диагностической модели, что обеспечит согласование результатов теоретических расчетов с результатами практических измерений.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности применения широкополосных электрических сигналов для тестирования электрических цепей, содержащих реактивные компоненты, что дает возможность при решении практических задач избежать сложных аналитических решений.
Литература
1. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. - Л 1981.
2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - 2-е изд., перераб. и доп. связь, 1982. - 624 с.
Информация об авторе Information about the author
Пюкке Георгий Александрович - Камчатский государственный технический университет; 683003, Россия, Петропавловск-Камчатский; доктор технических наук, доцент; профессор кафедры систем управления; geopyukke@yandex.ru
Pyukke Georgy Aleksandrovich - Kamchatka State Technical University; 683003, Russia, Petropavlovsk-Kamchatskу; Doctor of Technical Sciences, Docent, Professor of Control Systems Chair; geopyukke@yandex.ru
.: Энергоиздат, - М.: Радио и
