CC BY
37
УДК 519.85:621.3.011.7
Г.А. Пюкке
Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГАУССОВСКОГО ШУМА В КАЧЕСТВЕ ТЕСТОВОГО СИГНАЛА ПРИ ДИАГНОСТИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Предложенный в работе метод основан на использовании белого шума с ограниченным спектром в качестве тестового сигнала. Приведен аналитический расчет параметров совокупности составляющих компонент системы при условии воздействия на цепь гауссовского шума. Вводится единая величина эквивалентного сопротивления Яэ, независимо от характера рассматриваемой компоненты, при замене всех составляющих компонент различного характера на резистивные компоненты с последующим их регулированием. Это дает возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании детерминированных синусоидальных сигналов, и использовать белый шум в качестве тестового сигнала при диагностировании электрических цепей, содержащих реактивные элементы.
Ключевые слова: белый шум, эргодический процесс, скалярное сложение, статистическая погрешность, корреляция.
G.A. Pjukke (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003) The application of Gaussian noise as a test signal while diagnostics of electric circuits.
The method offered in work based on use of white noise with a limited spectrum as a test signal. Analytical calculation of parameters of set making a component of system under condition of Gaussian noise influence on a circuit is given. The uniform size of equivalent resistance Яэ is entered regardless of the character of considered (examined) components, at replacement of all making a component of various character on resistive components with their subsequent regulation. It enables to exclude from consideration the analysis of the phase parities (ratio) which is carried out at use of determined sine wave signals and to use white noise as a test signal at diagnosing the electric circuits containing jet elements.
Key words: white noise, ergodic process, scalar addition, a statistical error, correlation.
DOI: 10.17217/2079-0333-2015-31-37-44
В качестве тестового сигнала, воздействующего на объект при выполнении диагностических процедур, может быть выбран гауссовский шум с ограниченным спектром (рис. 1), плотностью S.
S = N
Дюп
Рис. 1. Полоса частот и корреляционная функция тестового сигнала
S = \ n R(t) = (N/жт>т(шйт); D = N(p„/ж),
[0 р|>ю„
где юп / 2п - полоса частот для спектра шума; Я(г) - корреляционная функция; Б - дисперсия. Будем считать спектральную плотность тестового сигнала в пределах АЧХ объекта диагностирования постоянной, если время корреляции шума много меньше всех существенных постоянных вре-
N»n /п
Т
мени исследуемой системы. Анализ рассмотренных соотношений позволяет регулировать корреляцию: выбирая достаточно широкую полосу частот Аюп, можно получить произвольно малую корреляцию между двумя значениями процесса. Применение белого шума позволяет отказаться от расчета фазовых соотношений при воздействии тестового сигнала на инерционные цепи. Это упрощает расчет и дает возможность ограничиться оценкой среднеквадратических значений величин при определении коэффициентов передачи многополюсных систем.
Оценки основных статистических характеристик тестового сигнала (ш^ , К (т), Б (ю), F(£,), р(2)) выполняются по записи выборочной реализации стационарного случайного процесса 2,(0 конечной длительности. Измерение характеристик сводится к обработке реализаций этих процессов. Характеристики можно рассчитать на ЭВМ, если имеется массив реализаций. Особенность задачи состоит в вводе в оперативную память машины большого объема исходных данных. Однако при проведении эксперимента число реализаций всегда ограниченно, а длительность процесса конечна. Поэтому будем руководствоваться оценками соответствующих характеристик. При определении оценок по различным реализациям или по различным участкам одной и той же реализации получаются различные результаты, приводящие к совокупности случайных величин, требующих оценки статистической погрешности [1, 2].
Статистическая погрешность уменьшается с ростом длительности исследуемой реализации или числа анализируемых реализаций. Поэтому, задавшись допустимым значением дисперсии, будем определять длительность, необходимую для измерений реализации, или число реализаций. Методика измерений тестовых сигналов заключается в преобразовании реализаций процессов по определенному закону и измерении дисперсии с помощью квадратичного вольтметра. При этом на вход квадратичного преобразователя подается центрированная реализация:
Д. =
т
(1/т ){[и(х) - ши ]2 ах,
где и(х) - реализация; ши - математическое ожидание. Следует отметить, что аналитический расчет параметров всей совокупности составляющих компонент объекта диагностирования (резисторы, конденсаторы, индуктивности, нелинейные элементы) при условии воздействия на цепь гауссовского шума связан со значительными трудностями вычислительного характера. Для решения этой задачи целесообразно ввести единую величину эквивалентного сопротивления Лэ (независимо от характера рассматриваемой компоненты), моделируемого для каждой компоненты на основе расчета цепи методом узловых потенциалов, при воздействии на схему случайного гауссовского процесса.
Расчет эквивалентного сопротивления можно выполнить, проведя реальный физический эксперимент, или моделировать, используя известные пакеты расширения системы МаАаЬ (8т-иНпк и др.). Метод расчета эквивалентного сопротивления компонент основывается на уравнивании значений потенциалов совокупности узлов цепи при замене всех составляющих компонент различного характера на резистивные компоненты с последующим их регулированием. Процедура расчета включает следующие этапы:
1) подача на вход ранее выбранного канала прохождения тестового сигнала источника га-уссовского шума с ограниченным спектром;
2) измерение среднеквадратических значений потенциалов узлов цепи;
3) замена всех компонент исследуемой цепи на резистивные элементы;
4) варьирование величинами сопротивлений резистивных элементов, при конечном подборе таких значений сопротивлений, которые обеспечат распределение потенциалов всех узлов цепи, равное первоначальному распределению.
Полученные значения сопротивлений резистивных элементов будут равны эквивалентным сопротивлениям соответствующих компонент. Правомерность таких преобразований можно показать на примере элементарных цепей. Например, при воздействии гауссовского белого шума ивх(х)=п0(х) с нулевым математическим ожиданием М{п0(х)} =0 и корреляционной функцией Я„ (х1, х2) = =(N0 /2)Щ2 - х1), где N0 - интенсивность спектральной плотности, на интегрирующую ЛС-цепь напряжение ивых(х) на выходе ЛС-цепи определяется линейным дифференциальным уравнением:
аивъж(хуах + а Цвых(0 = а ад.
0
Общее решение при начальном условии ивых = и0 и Х = 0 имеет вид:
г
ивых(Х) = и е-а' + а е-а | е-ат пМ dт.
о
При детерминированной величине и0 плотность вероятности напряжения на выходе при Х0 = 0 будет определяться дельта-функцией р0 (ивых(Х))= 5(ивых(Х) -и0). Математическое ожидание и корреляционная функция, для описания гауссовского процесса, определяются соотношениями: швых (Х) = = и0 е а\ в установившемся режиме при Х ^ ж, шы (Х) = 0; Лвых(Х, Х + т) = (а/4) е-ат(1 - е-2а), в установившемся режиме Х ^ ж, Лвых(т) = Двыхе-а|т|, где Двых = а(^/4) - дисперсия. Процесс на выходе ЛС-цепи одновременно является и гауссовским, и марковским. Корреляционной функции соответствует спектральная плотность сигнала на выходе: Бвых = 2а Двых /(а2+ ю2). Заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. При прохождении через линейные звенья у нормальных процессов не изменяются законы распределения, но изменяется корреляционная функция. Для анализа нормальных процессов достаточно определить функцию корреляции и математическое ожидание.
Стационарный случайный процесс может быть использован в качестве модели тестового сигнала. Оценку величины тестового сигнала можно выполнять по спектральной плотности среднего квадрата случайного напряжения или тока, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Средний квадрат напряжения или тока можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом. Выделяя из ансамбля какую-либо реализацию хк(Х) и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно найти спектральную плотность Хкт (ю). Тогда среднюю мощность к-реализации на отрезке Т можно найти:
хк2(Х)
(1/2п) | (| Хкт(ю)|2 / Т)аЮ = (1/2п) | Жк(ю)аЮ,
где Жк (ю) - спектральная плотность средней мощности к-й реализации.
При стационарном и эргодическом процессе Жк (ю) будет характеризовать весь процесс в целом. Так как измерения выполняются на конечном промежутке времени (0, Т], то с уменьшением полосы пропускания относительная погрешность измерений будет возрастать [1]. Адекватность методики расчета эквивалентного сопротивления общепринятым методам анализа резистивных электрических цепей может быть дана при количественной оценке с использованием пакета моделирования динамических систем 8тиНпк. Возможности 8тиНпк позволяют, используя графический интерфейс пользователя, построить функциональную блок-схему моделируемого устройства и выполнять редактирование математических выражений в блоках функциональной схемы.
На рис. 2 показана модель системы измерения при воздействии на ЛС-цепь шумового сигнала.
Рис. 2. Модель системы измерения
-ж
-ж
Функциональная схема включает следующие компоненты: модель интегрирующей RC-цепи, описываемой дифференциальным уравнением (рис. 3); модель квадратичного вольтмера, включающего блок возведения в квадрат (Fen, Fcn2), блоки осреднения и интегрирования в интервале [0, Т] (Transfer Fcn, Transfer Fcnl, Transfer Fcn2, Transfer Fcn3), блок нормирования (Fcnl, Fcn3) (рис. 4); осциллографы (Scope, Scopel, Scope2, Scope3); анализатор спектра (Spektrum analyzer); источник белого шума с ограниченным спектром (Band Limitec White Noise); устройство представления цифровой информации (Display).
dUblx(t) / dt = (l/RC^t) - (HRC)Uwx(t).
Сигнал от генератора белого шума поступает на вход интегрирующей цепи. Измеряется его среднеквадратическое значение, регистрируется временной график выборки (осциллограф Scope), выполняется анализ спектра (Spektrum analyzer). Измеряется среднеквадратическое значение сигнала на выходе цепи и регистрируется временной график выборки (Scope3).
Рис. 4. Модель квадратичного вольтметра
Моделирование в среде Simulink указывает на адекватность белого шума сигналу постоянного уровня при их воздействии на резистивные электрические цепи. Это подтверждается выполнением для шумового сигнала принципа суперпозиции и закона Ома. Необходимо изучить закономерности, возникающие при воздействии шума на инерционные электрические цепи, содержащие реактивные компоненты. Если будет подтверждено, что имеет место алгебраическое (скалярное) сложение напряжений, пропорциональных величинам эквивалентных сопротивлений реактивных элементов, то можно будет отказаться от анализа фазовых соотношений при диагностировании инерционных электрических цепей и пользоваться оценкой среднеквадрати-ческих значений шумовых сигналов.
Для исследований в среде Simulink построена модель системы измерения (рис. 5), включающая модель интегрирующей ЛС-цепи. Необходимо отметить, что при аналитическом описании ЛС-цепи линейным дифференциальным уравнением не может быть использовано понятие «реактивное сопротивление емкости» (из-за хаотичности параметров шумового сигнала). Поэтому моделирование выполняется на уровне дифференциального уравнения без аналитического описания зависимостей ивых(0, ивх(0. В окне Blok Parameters: Band - Limited White Noise пакета Simulink задается фиксированное значение мощности белого шума для континуальных систем: Noise power = [0,1 ед.]. Измеряется среднеквадратическое значение сигнала на входе ивых = 1 ед. При постоянном значении величины сопротивления резистора интегрирующей ЛС-цепи Л = 1 кОм выполняется варьирование величиной коэффициента пропорциональности а = 1/ЛС.
Одновременно измеряется среднеквадратическое значение сигнала на выходе ЛС-цепи. При достижении величины выходного напряжения ивых = 0,5 ед. фиксируется значение коэффициента а = 64,35 и вычисляется значение величины емкости конденсатора С = 10 3/64,35. Если входное напряжение ивх разделится поровну между резистором и конденсатором при равенстве сопротивления резистора Л и эквивалентного сопротивления конденсатора Лэ = Л, то имеет место алгебраическое (скалярное, а не векторное) деление напряжения. Для доказательства необходимо поменять местами резистор и конденсатор и выполнить аналогичное моделирование. Получение идентичных результатов деления входного напряжения
ЦвыХ(0 = СМ UJWdt - СЛ d U^(t)/dt
при заданной полосе частот тестового сигнала будет свидетельствовать о справедливости сделанных предположений.
к>
ux64.35x1
1
s
F cn4 Inteqrator
Рис. 3. Модель интегрирующей RC-цепи
Scope2
Display
i
s+1
Transfer F cn1
1
s+1
Transfer F cn3
u
uA( 1/2)/3.221
'■"■■double +
Band-Limitec White Noise
1
s+1
1
s+1
double
—e
uA(1/2)/3.221
Ш
Transfer F cn2
Scope И
Scope3
Display1
Zl
Spectrum Analyzer
Scope1
Рис. 5. Модель системы измерения
Точность проведенных измерений определяется шириной полосы частот тестового сигнала, которую можно регулировать в соответствии с необходимыми требованиями к точности. На рис. 6 приведена осциллограмма выборки входного сигнала, на рис. 7-10 представлены результаты измерений при моделировании ЛС-цепи.
Рис. 6. Временная диаграмма выборки входного тестового сигнала Как следует из рис. 7 и 8, величина напряжения в установившемся режиме составляет половину входного напряжения, что при заданной длине выборки 10 с, которой буд ет соответствовать конечная полоса частот сигнала, подтвердит предположение о скалярном характере сложения величин напряжений (при условии выполнения пропорциональности деления напряжения в опыте с дифференцирующей цепью).
0.534
+
¿■1/64.35*1
F cn4
F cn
F cn1
uu
F cn3
F cn5
Рис. 7. Результаты измерения сигнала на входе Рис. 8. Результаты измерения сигнала на выходе
интегрирующей цепи интегрирующей цепи
На рис. 9 и 10 приведены результаты измерения при моделировании дифференцирующей цепи. Пропорциональность деления выполняется с отклонением 3%, которые можно понизить при более точной корректировке полосы частот сигнала. Резюмируя проведенные исследования, можно сделать вывод о возможности подбора параметров шумового сигнала, обеспечивающих скалярные операции с величинами напряжений на реактивных элементах.
Рис. 9. Результаты измерения сигнала на входе Рис 10 РезУльтаты измерепия сиг/шла ш выходе
дифференцирующей цепи дифферещирующей цепи
Следует отметить, что точность выполнения принципа скалярного сложения возрастает с увеличением ширины полосы частот тестового шумового сигнала. Однако возможности пакета 8ти1тк и реальных применяемых сигналов всегда ограниченны, чем и объясняется возникновение погрешности при использовании белого шума с ограниченным спектром. Знакопеременное и хаотичное изменение фазовых сдвигов между напряжениями на конденсаторе и резисторе по гармоническим составляющим (рис. 11) приводит к нулевому осреднению фазы по частоте и свидетельствует о скалярном характере сложения напряжений ис и иЯ.
В данном эксперименте эквивалентное сопротивление конденсатора при фиксированной полосе частот шумового сигнала составит Яэ = 1 кОм. Скалярный характер сложения напряжений ис и иЯ должен сохраняться при вариации величиной емкости конденсатора в интервале [0, да).
х 10"15 Transfer Function (phase)
.д L_I_I_I___I_
□ 5 10 15 20 25 30
Frequency (rads/sec) Рис. 11. Хаотичное распределение фазы по частоте
Необходимо показать, что деление напряжения на резистивно-емкостном делителе выполняется пропорционально величинам Яэ и Я при изменении емкости в широких пределах (т. е. так же, как и при воздействии шума на резистивный делитель). В таблице приведены результаты моделирования интегрирующей ЯС-цепи при начальном условии ивх = 1 В и постоянной величине сопротивления резистора Я = 1 кОм. При вариации величиной емкости конденсатора С в пределах [—1—; -1-] шБ (миллифарада) вычисляются значения ивых и строится
64,35 131788
график (№ 1 на рис. 12) зависимости ивых (а), где а = 1/ЯС - коэффициент пропорциональности в уравнении. В качестве сопрягающей выбрана точка Т с координатами (64,35; 0,5). Выполняется последовательное удвоение и деление пополам величины а по обе стороны от сопрягающей точки. В таблице приведены также значения напряжения ивыхЯ на выходе резистивного делителя при
аналогичном удвоении и делении величины сопротивления выходного резистора Лэ по обе стороны от сопрягающей точки. На рис. 12 приведен график (№ 2) зависимости ивыхЛ (Лэ).
Результаты моделирования ЙС-цепи
1/ЛС [с-1] С [Ф] Л [кОм] ивых [В] ивх[В] ивыхЛ[В] Расхождение, %
64,35 10-3/64,35 1 0,5 1 0,5 0
32,175 10-3/32,175 1 0,356 1 0,3333 6
16,087 10-3/16,087 1 0,2417 1 0,2 17
8,0437 10-3/8,0437 1 0,1551 1 0,1111 28
4,0218 10-3/4,0218 1 0,0946 1 0,0588 37
2,0109 10-3/2,0109 1 0,0567 1 0,0303 46
1,0054 10-3/1,0054 1 0,0342 1 0,0153 55
0,5027 10-3/0,5027 1 0,0233 1 0,0077 67
0,2513 10-3/0,2513 1 0,0193 1 0,0038 80
0,1256 10-3/0,1256 1 0,0148 1 0,0019 87
0,0628 10-3/0,0628 1 0,0096 1 0,0009 90
128,7 10-3/128,7 1 0,6565 1 0,6666 1,5
257,4 10-3/257,4 1 0,8015 1 0,8 0,18
514,8 10-3/514,8 1 0,8995 1 0,8888 1,18
1029,6 10-3/1029,6 1 0,9508 1 0,9411 1,02
2059,2 10-3/2059,2 1 0,9759 1 0,9696 0,64
4118,4 10-3/4118,4 1 0,988 1 0,9846 0,34
8236,8 10-3/823,8 1 0,9941 1 0,9922 0,19
16473,6 10-3/16473,6 1 0,9971 1 0,9961 0,1
32947,2 10-3/32947,2 1 0,9986 1 0,9980 0,06
65894,4 10-3/65894,4 1 0,9994 1 0,9990 0,04
131788 10-3/131788 1 0,9997 1 0,9995 0,02
Рис. 12. Графики изменения выходных напряжений делителей при вариациях величинами емкости
и эквивалентного сопротивления
Анализ полученных результатов подтверждает соответствие характера изменения емкости конденсатора характеру изменения активного сопротивления резистора при воздействии на электрическую цепь широкополосного шума. Это дает возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании детерминированных синусоидальных сигналов и использовать белый шум в качестве тестового сигнала при диагностировании электрических цепей, содержащих реактивные элементы. По мере возрастания порядка и размерности диагностируемой электрической цепи методика и алгоритм опред еления эквивалентного сопротивления реактивных элементов сохраняется. Аналитически это можно сделать, решив задачу в форме Коши для потенциалов узлов электрической цепи и выполнив алгоритм последовательной вариации величинами параметров эквивалентных сопротивлений инерционных элементов с использованием общепринятых методов оптимизации (наименьших квадратов, Зейделя и др.). Наращивать порядок дифференциального уравнения по мере возрастания порядка
диагностируемой цепи нерационально, так как это приводит к усложнению анализа и громоздкости вычислений. На рис. 13 приведена диагностируемая цепь размерности 3 х 6, ниже приведена система для потенциалов (Б - оператор дифференцирования).
Рис. 13. Схема проведения эксперимента по определению эквивалентного сопротивления
реактивных элементов
'Ю-7 D + 2 -10-4 -10-7 D -10-4 ^ ЧС) ^ Г- J (t))
- 10-7 D 6 -10-7 D - 4-10-7 D Ф2С ) = 0
-10-4 V - 4-10-7 D 4-10-7 D +11-10-5 j уФз(0 j V j (t) J
Следует отметить, что при решении практических задач можно избежать сложных аналитических решений, выполнив алгоритм последовательных вариаций эквивалентными сопротивлениями реактивных элементов.
Алгоритм, кроме перечисленных выше пунктов определения эквивалентного сопротивления, включает итерационную процедуру подстройки ранее уравновешенных потенциалов узлов, что в итоге приведет к эквивалентному распределению потенциалов всех узлов схемы, после чего становятся известными эквивалентные сопротивления реактивных элементов. Полученные значения эквивалентных сопротивлений будут использованы для построения диагностической модели, что обеспечит согласование результатов теоретических расчетов с результатами практических измерений.
Литература
1. Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н., Кузнецов С.Е. Диагностирование электрических цепей методом изовар // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. - № 1. - С. 35-40.
2. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 648 с.
3. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.
4. Синтез линейных электрических и электронных цепей / П.А. Ионкин, Н.Г. Максимович,
B.Г. Миронов, Ю.С. Перфильев, П.Г. Стахив. - Львов: Высшая школа. Изд-во при Львовском унте, 1982. - 312 с.
5. Блинов Э.К., Розенберг Г.Ш. Техническое обслуживание и ремонт судов по состоянию: Справочник. - СПб.: Судостроение, 1992. - 189 с.
6. Лурье О.Б. Интегральные микросхемы в усилительных устройствах. Анализ и расчет.-М.: Радио и связь, 1988. - 176 с.
7. Айзинов С.Д., Белавинский А.Ю., Солодовниченко М.Б. Комплексная оценка надежности судовых радиоэлектронных средств // Эксплуатация морского транспорта. - СПб.: Наука, 2003. -
C. 242-247.
8. Выбор информативных параметров при контроле качества изделий электронной техники / Д.В. Гаскаров, В.И. Попеначенко, С.А. Попов, В.И. Шаповалов. ЛДНТП. - Л.: Общество Знание, 1979. - 32 с.
