Метод интегральных уравнений в задаче распространения электромагнитной волны в пространстве, заполненном локально неоднородной средой, со слоем графена на границе области неоднородности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968, 517.983.37

doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-8

Метод интегральных уравнений в задаче распространения электромагнитной волны в пространстве, заполненном локально неоднородной средой, со слоем графена на границе области неоднородности

А. А. Цупак

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия altsupak@yandex.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - вывод гибридного интегро-дифференциального уравнения в случае неоднородного объемного препятствия электромагнитной волны, покрытого слоем графена. Материалы и методы. Для вывода уравнения используются тензор Грина и тензорный аналог интегральной формулы Грина. Результаты. Задача сопряжения для системы уравнений Максвелла сведена к гибридному интегро-дифференциальному уравнению. Выводы. Получено новое уравнение, описывающее распространение монохроматической электромагнитной волны в локально неоднородной среде со слоем графена; для численного решения полученного уравнения предложен метод коллокаций.

Ключевые слова: распространение электромагнитной волны, слой графена, уравнения Максвелла, тензор Грина, формула Грина, гибридное интегро-дифференциальное уравнение, метод коллокаций

Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 20-11-20087).

Для цитирования: Цупак А. А. Метод интегральных уравнений в задаче распространения электромагнитной волны в пространстве, заполненном локально неоднородной средой, со слоем графена на границе области неоднородности // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 96-106. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-8

An integral equation method in the problem of electromagnetic wave propagation in a space filled with a locally inhomogeneous medium with a graphene layer at the boundary of the inhomogeneity region

A.A. Tsupak

Penza State University, Penza, Russia altsupak@yandex.ru

Abstract. Background. The purpose of the study is to obtain a hybrid integro-differential equation in the case of an inhomogeneous volumetric graphene-covered obstacle to an electromagnetic wave. Material and methods. The Green tensor and the tensor analogue of the Green integral formula are used to derive the equation. Results. The transmission problem for the Maxwell equations is reduced to a hybrid integro-differential equation. Conclusions. A new equation is obtained to describe the propagation of a monochromatic electromagnetic wave in the three-dimensional locally inhomogeneous space with a graphene layer; collocation method is proposed to solve the hybrid equation numerically.

© Цупак А. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Keywords: electromagnetic wave propagation, graphene layer, Maxwell's equations, Green's tensor, Green's formula, hybrid integro-differential equation, collocation method

Financing: the research was financed by the RSF within the research project No. 20-11-20087).

For citation: Tsupak A.A. An integral equation method in the problem of electromagnetic wave propagation in a space filled with a locally inhomogeneous medium with a graphene layer at the boundary of the inhomogeneity region. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):96-106. (In Russ.). doi: 10.21685/20723040-2024-1-8

Введение

История исследования графена насчитывает не одно десятилетие. Началом таких исследований, пожалуй, можно считать наблюдения за структурой термически восстановленного оксида графита (GO) еще в середине XIX столетия [1]. Подробное описание и, что важнее, выделение графена в 2004 г. Андре Геймом и Константином Новоселовым вызвало волну интереса исследователей из разных областей науки к изучению графена и связанных с ним физических процессов. Спектр таких исследований чрезвычайно широк: от свойств графена на атомарном уровне до макроскопических явлений.

Возможность промышленным способом формировать тонкие слои графена привела к появлению структур с новыми электромагнитными свойствами. Как оказалось, некоторые связанные с такими структурами физические явления могут быть описаны в рамках классической электродинамической теории. В работах [1-3] рассмотрена задача о распространении электромагнитной волны в диэлектрическом слое, покрытом графеном.

Несомненный интерес представляет и задача о распространении электромагнитной волны в неограниченном трехмерном пространстве, заполненном неоднородной средой со слоем графена на границе области неоднородности. Скалярный аналог такой задачи рассматривался в работах [4, 5]. Методами теории потенциала задача сопряжения для уравнения Гельмгольца сводится к системе поверхностных уравнений [4] или к одному гибридному уравнению [5].

В настоящей работе рассмотрен второй подход к исследованию задачи; для вывода интегрального уравнения применяется тензорный аналог формулы Грина. Как и в [5], полученное уравнение является гибридным: оператор уравнения представляет собой сумму интегро-дифференциальных операторов; в первом интеграл вычисляется по объему тела, а во втором - по его поверхности. Такое уравнение с точки зрения численного решения представляется более трудным, однако позволяет рассматривать задачи, в которых покрытое графеном препятствие электромагнитной волны является неоднородным (его диэлектрическая проницаемость является функцией пространственных координат).

1. Постановка задачи

Пусть пара вектор-функций (E0, H0) = (E0, H0)e_irat описывает монохроматическую электромагнитную волну с круговой частотой ю> 0 , распро-

3

страняющуюся в трехмерном однородном изотропном пространстве Ш .

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1 Рассмотрим пространство М , заполненное локально неоднородной

3

средой; ограниченная область неоднородности Q с М с гладкой границей дQ характеризуется диэлектрической проницаемостью £(х). Вне тела диэлектрическая проницаемость постоянна и равна £д, причем на границе дQ

области неоднородности диэлектрическая проницаемость может меняться

3

скачкообразно. Всюду в М магнитная проницаемость постоянна и равна |0 . На поверхность дQ нанесен бесконечно тонкий слой графена.

Распространяющаяся в однородном пространстве электромагнитная волна является решением системы уравнений Максвелла

УхИ0 = -/Ш£0Е0, VxEo = /Ю|10Ho. (1)

В рассматриваемой задаче требуется определить полное электромагнитное поле (Е, H) =:(Е/, И/) в области неоднородности Q и

з —

(E,И) =: (Ее,He) в М \ Q , удовлетворяющее:

- уравнениям Максвелла:

УхИг- = -/ш£(х)Ег-, Ух Ег- = / Ю|10Нг-, хе Q, Ух H е = -/Ш£0Ее, Ух Ее = /ю|10 H е, х еМ3\ Q,

- условиям ограниченности энергии:

(2)

Е, H е Ь2М (М3), (3)

- условиям излучения для рассеянного поля (Е5, H5 ):=(Ее - Eo, Ие - И):

Е5 = О(1/г), гх(УхЕ5) + /ко^э(Г) ^ 0, (4)

И, = О(1/г), гх(УхИ,) + /k0rHs(г) ^ 0, г

- условиям сопряжения на дQ :

п х (Ее - Е/) = 0, п х (И е - И/) = с§ Ет. (5)

Поясним используемые обозначения: х = (Х1,Х2,Х3), у = (л,У2,У3) -точки трехмерного пространства, г = (Х1, Х2, Х3) и г' = (у^, У2, У3) - радиус-

72 2 2 Х + Х2 + Х3 ; п - единичный вектор

нормали к границе области, направленный во внешность этой области, если не указано иное направление; к0 =ш/£0Ю - волновое число. Значение поля (например, Е) в точке обозначается через Е(г), Е( х) или без указания аргумента.

Множитель о^ в уравнении (5) определяет электрическую проводимость графена. Это может быть постоянный множитель или функция пространственных координат; Og может зависеть и от электрического поля (см.

статью [3] и библиографию в ней). В данной работе вид о^ не конкретизируется.

2. Тензор Грина

Пусть G (x, y) = -

eik0|x- y|

- фундаментальное решение уравнения Гель-

4п| х - у\

мгольца (будем также использовать обозначения: С(г, г') = 0(г — г') = С^)). Тензор Грина С(г, г') определяется [6] формулой

G(r, r') =

I +

V®V

i 2 k0

Л

G(r, r'),

(6)

где ® - тензорное произведение. Компоненты тензора Грина имеют вид

G j =

5j + 7^

G(r, r'), i, j, = 1,2,3.

ко дх Эх, ;

Тензор Грина удовлетворяет условиям симметричности С(г, г') = С(г', г) = СТ (г, г') и является решением (в смысле распределений) уравнения

УхУх <С(Я) — ко2<С(Я) = 18(К). Кроме того, для выполнены условия на бесконечности [7]:

6^) = 0(Д_1), гх(Ух6^)) + /к0= 0(Д_1), Я = .

3. Интегро-дифференциальное уравнение

(7)

(8) (9)

(10)

Вывод уравнения основан на применении тензорного аналога второй формулы Грина:

J dy [(VxVxa) -A-a -(VxVxA)

Q

J dsy (nxa) - (Vx A) + [n x(Vxa)] - A

(11)

9Q

Замечание. Здесь и далее используются некоторые операции над векторами и тензорами. Например, нам понадобятся формулы

а • (Ь х с) = —Ь • (а х с) = (а х Ь) • с, а • 6Т = 6 • а. (12)

Для удобства проверим эти равенства, разложив векторы и тензоры по ортонормированному базису (например, а = агег- и << = ® е ^ =: Gijeiej) и опуская знак суммировании по повторяющемуся индексу. Итак, получим а •(ь х с) = ае • Ь}-ех Скек = аЬАСкЦк , ь • (а х с) = aiЬjckеу • (eiх ек) = aiЬjckеАк.

Теперь первое равенство вытекает из свойства £^ = -£ук символа Ле-ви-Чевиты. Проверим второе соотношение:

л т

а • С = акек • Оугегеу = акОу, (ек • е )еу = акОу,5йеу = а°у,еу,

( • а = Оу е7еу • акек = акОу е7 (еу • ек ) = акОу 5уке7 = а]°у е1, После переобозначения индексов в а^О^е^ получим требуемое равен-

ство.

Замечание. Так как тензор Грина (С является симметрическим, то второе равенство из (12) перепишется в виде а • (С = (С • а.

Вернемся к выводу интегро-дифференциального уравнения. Пусть точка наблюдения хе Q . Применяя формулу (11) к а = Е и А = (С, получим

| ёу [(УхУхЕ) •((-Е •(УхУх(С) ] = | dsy [(п хЕ) •(Ух(С) + [п х(УхЕ)] •(( .

Q ^

Из системы (2) следует УхУхЕ(у) = ю2£(у)|10Е(у) =:к2(у)Е(у). Учитывая определение тензора Грина, выводим

|ёу[(к2(у)Е) • ( -Е• (ко2( + i8(R))] = | [...],

Q

д2

-Е( х) + |[(к2 (у)-ко2)Е • ( Q

ёу = | ё8у [...].

ЭQ

(13)

2 2

Введем вектор J := (к (у) - ко )Е и преобразуем интеграл в левой части (13), учитывая симметричность тензора У® У и единичного тензора I:

| J (у) • )ёу = | J (у) •

Q

Q

I +

У®У

ко2

Л

О(R )ёу =

= | J( y)О(R)dy + -21J (у) • (У ® У) О(R)dy =

| J (у )О (R )ёу =: АЕ.

Q "-0 Q

graddiv

= | J( у)О (R)dy

Q

Ло Q

Таким образом, получаем равенство

-Е(х) + АЕ(х) = | dsy [(п хЕ,) •(Ух(() + [п х(УхЕ7)] •(( ], х е Q. (14)

Здесь индекс 7 означает, что след вектор-функции Е(у) на поверхности дQ берется из области Q .

Пусть шар В с центром в начале координат достаточно большого радиуса содержит область неоднородности Q. Применяя тензорную формулу Грина, получим еще одно равенство при х е Q :

0 = J dy

B\Q

Ee • (k^G-VxVxG)] = J

k$Ee • G-Ee -(VxVxG)

B\Q

= J dy[(VxVxEe)G -Ee-(VxVxG)] = J dsy [(-nxEe)-(VxG) +

B\Q

dQ

+[-пх(УхЕе)] • 6] +1 [(пхЕе) • (Ух6) + [пх(УхЕе)] • 6]. (15)

дв

Здесь индекс е означает, что след вектор-функции Е(у) на поверхности дQ берется извне области Q . При этом в интеграле по дQ записан вектор нормали п, направленный во внешность области дQ, отсюда знак «минус».

Сложим равенства (14) и (15) и рассмотрим сначала случай, когда на поверхности тела нет графена:

(I - А)Е(х) = | [(пхЕе)• (Ух6) + [пх(УхЕе)] • 6]dsy +

дв

+ J dsy [(nx(Ej -Ee)) -(VxG) + [nx(Vx(E, -Ee)] G

dQ

(16)

Из непрерывности касательных компонент электрического и магнитного полей на дQ следует равенство нулю второго поверхностного интеграла. Из условий излучения выведем:

п х (Ух Е5) = - г х (Ух Е 5) = - (-к0 гЕ3 + о(1)) = -к0Е5 + о(г_1), г ^ ~ (17)

г г

(пхЕ5)• (Ух6) = -Ея (пх(Ух(6)) = -Ея • ^(гх(Ух(6)) =

= -Е5 1 (-к0 г6 + 0(г_1)) = /к0Е5 6 + Е5 • 0(г_1).

г

Теперь преобразуем интеграл по дВ, полагая Ее = Ео + Е5 : | [..№у = | dsy [(пх(Ео + Е5)) • (Ух66) + [пх(Ух(Ео + Е5))]

(18)

дв

дв

=/'

дв

Es • O(r-2) + G • o(r-1)

-Ь

+ J dy [(VxVx E0) • G - E0 • (VxVx G) ] =

B

= o(1) + J<

k^E0 • G -E0 • (VxVxG)

= o(1) - E0(x), r (19)

B

Итак, переходя в (16) и (19) к пределу при г выводим интегро-

дифференциальное уравнение по области неоднородности:

Е(х) - | О(х, у^(у)йу —| О(х, у^(у)оУ = Ео(х), х е е,

е ко е

или, вспоминая определение J,

( е( у) !

Е(х) - (к2 + grad div) Г О(х,у) ^ -1 Е(у)ёу = Ео (х), х е 0. (20)

е 1 £о )

Аналогично получается и представление электрического поля вне

Теперь рассмотрим случай, когда на поверхность тела 0 нанесен слой графена. Вывод уравнения может быть повторен; изменения касаются лишь второго интеграла в правой части (16) согласно граничным условиям (5). Из непрерывности касательных компонент электрического поля, как и ранее, получаем

Г (пх(Е,- -Ее))• (УхС)^у = 0.

эе

Преобразуем вторую часть интеграла:

Г [пх(Ух(Е, -Ее)]• 6жу = -7Ю|10 | [пх(Н,- -Не)]• 6жу =

эе эе

= -7Ю|1о Г о§Ет • Gdsy = -7Ю|о 1 + I Г о§ (у)Ет(у)О(х, у^у =

эе

-- п 2

ко ) эе

(кО + grad div) Г о (у)ЕТ (у)О(х, у)dsу.

юе° эе

Окончательно получим гибридное интегро-дифференциальное уравнение Е(х) - (ко2 + grad div) Г О(х, у) (^ -1! Е(у^у +

е ^ £о )

1

+—

(к° + grad div) Г о (у)Ет(у)О(х,y)dsy = Ео(х), хе е. (21)

юе° эе

Представление поля вне области неоднородности имеет вид Е(х) = Ео (х) + (ко2 + grad div) Г О(х, у) {^ -1! Е(у^у -

е ^ £о )

--— (ко2 + grad div) Г о (у)Ет (у)О(х, у^у, х е М3 \ (22)

юе° эе

4. О численном методе решения интегро-дифференциального уравнения

Для численного решения выведенного гибридного уравнения можно применить, например, метод коллокаций.

Пусть область неоднородности Q содержится в некотором параллелепипеде П ; выполним разбиение (например, равномерное) П на параллелепипеды П,. В качестве носителей финитных базисных функций определим такие множества п, = П, п Q, что

) > Уо, (23)

где параметр Уо - минимально допустимый объем носителей базисных функций - определяется вычислителем (некоторые из подобластей, которые могут не удовлетворять условию (23), выделены на рис. 1 светло-серым цветом). Перенумеруем носители п,, удовлетворяющие условию (23), так, чтобы индекс 7е {1,...,«о) .

Определим простейшие кусочно-постоянные векторные функции:

ф(1) (х) = (Хп7 (х), о, о)т, ф(2) (х) = (о,Хп7 (х), о)т, ф73) (х) = (о, о,Хп7 (х))Т,

то есть получим п = 3«о базисных функций, которые обозначим через ф, (х).

м3

Приближенное решение уравнения (21) ищется в виде линейной комбинации базисных функций:

п

Е(«)( х) = 2 С ф,(x),

,=1

а неизвестные коэффициенты находятся согласно методу коллокаций из системы уравнений

((I + AQ + А^)Е(«))) = Ео(^к), (24)

здесь I - единичный оператор; AQ, AQ - интегро-дифференциальные операторы уравнения (21) по области Q и поверхности дQ соответственно; ^к - узлы коллокации, принадлежащие носителям Пк .

5. Исследование задачи о собственных волнах методом интегральных уравнений

Рассмотрим задачу о собственных волнах, распространяющихся в неограниченном локально неоднородном пространстве, в которой требуется найти нетривиальные решения однородной системы уравнений Максвелла с условиями (3)-(5) (при Eq = Hq = 0), а спектральным параметром является круговая частота ю (этот параметр в общем случае можно считать комплексным). Исследование этой задачи сводится к решению однородного ( Eq = 0) интегро-дифференциального уравнения

(I + Aq + Agg )E = 0 . (25)

Заметим, что если проводимость Og не зависит от значений электрического поля, то гибридное уравнение (21) является линейным, а (24) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. В частности, при Og = 0 из (21) получим интегро-дифференциальное уравнение задачи дифракции на неоднородном теле [8, 9], а из (23) - соответствующую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения приближенного решения. В случае Og = 0 уравнение (25) имеет лишь тривиальные решения.

Для поиска нетривиальных решений линейной задачи о собственных волнах выполним ее дискретизацию, используя метод коллокаций и переходя от интегрального уравнения (25) к однородной системе линейных алгебраических уравнений:

[A((o)]c = o . (26)

Определив параметр ю, при котором det[A(ro)] = 0, найдем ненулевой столбец коэффициентов c и, следовательно, нетривиальное приближенное решение Еи задачи о собственных волнах.

Заключение

Выведено гибридное интегро-дифференциальное уравнение в задаче распространения монохроматической электромагнитной волны в локально неоднородной среде с бесконечно тонким слоем графена c проводимостью Og произвольного вида. Изложенный метод позволяет рассматривать неоднородные включения, диэлектрическая проницаемость которых является функцией пространственных координат, а также применять полученное уравнение к исследованию задачи в случае, когда проводимость Og зависит

от электрического поля.

Список литературы

1. Geim A. K. Graphene prehistory // Physica Scripta. 2012. P. 014003. doi: 10.1088/0031-8949/2012/T146/014003

2. Смирнов Ю. Г., Тихов С. В., Гусарова Е. В. О распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом графеном // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 3. С. 11-18. doi: 10.21685/2072-3040-2022-3-2

3. Smimov Y., Tikhov S. The Nonlinear Eigenvalue Problem of Electromagnetic Wave Propagation in a Dielectric Layer Covered with Graphene // Photonics. 2023. Vol. 10. P. 523. doi: 10.3390/photonics10050523

4. Смирнов Ю. Г., Кондырев О. В. О фредгольмовости и разрешимости системы интегральных уравнений в задаче сопряжения для уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. 2023. Т. 59, № 8. С. 1089-1097.

5. Цупак А. А. О разрешимости скалярной задачи дифракции монохроматической волны на неоднородном теле со специальными условиями сопряжения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 4. С. 38-48.

6. Mishchenko M. I. Electromagnetic Scattering by Particles and Particle Groups: An Introduction. Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2014.

7. Van Bladel J. G. Electromagnetic Fields. 2nd ed. Hoboken, NJ : Wiley, 2007.

8. Самохин A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М. : Радио и Связь, 1998. 160 с.

9. Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел. М. : КноРус, 2016.

References

1. Geim A.K. Graphene prehistory. Physica Scripta. 2012:014003. doi: 10.1088/0031-8949/2012/T146/014003

2. Smirnov Yu.G., Tikhov S.V., Gusarova E.V. On the propagation of electromagnetic wavesin a dialectric layer cotaed with graphene. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(3):11-18. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2022-3-2

3. Smirnov Y., Tikhov S. The Nonlinear Eigenvalue Problem of Electromagnetic Wave Propagation in a Dielectric Layer Covered with Graphene. Photonics. 2023;10:523. doi: 10.3390/photonics10050523

4. Smirnov Yu.G., Kondyrev O.V. On the Fredholm property and solvability of a system of integral equations in the conjugation problem for the Helmholtz equation. Different-sial'nye uravneniya = Differential equations. 2023;59(8):1089-1097. (In Russ.)

5. Tsupak A.A. On the solvability of the scalar problem of diffraction of a monochromatic wave on an inhomogeneous body with special coupling conditions. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(4):38-48. (In Russ.)

6. Mishchenko M.I. Electromagnetic Scattering by Particles and Particle Groups: An Introduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2014.

7. Van Bladel J.G. Electromagnetic Fields. 2nd ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2007.

8. Samokhin A.B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom ras-seyanii = Integral equations and iterative methods in electromagnetic scattering. Moscow: Radio i Svyaz', 1998:160. (In Russ.)

9. Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Matematicheskaya teoriya difraktsii akusticheskikh i el-ektromagnitnykh voln na sisteme ekranov i neodnorodnykh tel = Mathematical theory of diffraction of acoustic and electromagnetic waves on a system of screens and inhomogeneous bodies. Moscow: KnoRus, 2016. (In Russ.)

Информация об авторах /

Алексей Александрович Цупак

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: altsupak@yandex.ru

Information about the authors

Aleksey A. Tsupak

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.12.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 16.01.2024 Принята к публикации / Accepted 08.02.2024