CC BY
25
УДК 517.6
С. Н. Куприянова, Ю. Г. Смирнов
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОДА С НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ ПО ЗАКОНУ КЕРРА
Рассмотрен случай распространения электромагнитных волн в цилиндрическом диэлектрическом волноводе. Задача решается в цилиндрической системе координат, причем диэлектрическая проницаемость внутри волновода предполагается зависящей от радиальной компоненты электромагнитного поля по закону Керра.
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектри-
3
ческого волновода. Пусть все трехмерное пространство R заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £1 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод неоднородного заполнения с образующей, параллельной оси O%, и попереч-
2 2 21
ным сечением W := {х: х + х2 < R }. Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]:
Везде ниже множители cos rot, sin rot будем опускать.
Пусть диэлектрическая проницаемость £ внутри цилиндра определяется по закону Керра [2].
Среда предполагается изотропной и немагнитной, ц = Цо .
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла
условиям непрерывности касательных составляющих поля Нт и Ет при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания поля на бесконечности.
Перейдем к цилиндрической системе координат (р, ф, г). Тогда уравнения Максвелла примут следующий вид:
Е(х, y, z, t) = E + (х, y, z) cos rot + E (x, y, z) sin rot;
Н(x, y, z, t) = Н + (x, y, z) cos rot + Н (x, y, z) sin rot,
где ro - круговая частота; Е , Е+, Н , Н - вещественные искомые функции. Образуем комплексные амплитуды полей E(x, y, z), H (x, y, z):
Е = Е++ іЕ-; Н = Н++ іН- .
rot H = -ігоєЕ ;
rot E = iro^H ,
(1)
(2)
ЪЕр ЭЕ
дг Эр
1 Э 1 ЭЕр
э (рЕф) э
р Эр т р Эф
1 ЭН^ ЭНф
^ = т\Н ф; (4)
Т 47(рЕф) - Т ^ = г'юцН2 ; (5)
= -іюєЕр; (6)
^^0/7^ = -/юеЕф; (7)
р Эф Эг
ЭН ЭН
Эг Э р
( рНф) --^р = -тгЕ2 . (8)
1 Э 1 ЭНр
- — (рНф)-----------Э-р
р Эр т р Эф
В случае ТЕ-поляризации предположим, что Е = {0; Еф; 0},
Н ={Нр ; 0; Нг }. В результате уравнения (3)-(8) приведутся к виду
ЭЕф
ф= /гоцНр; (9)
Эг р
1 _Э
р эр
1 ЭН2
- (рЕф) = тцН2 ; (10)
р Эф
ЭНр ЭНг
= 0; (11)
= -7'юеЕф; (12)
Эг Эр
Г„
:0. (13)
р Эф
Из уравнений (11) и (13) следует, что Нг = Нг (р , г) и Нр = Нр (р, г) не зависят от ф. Из уравнений (9) и (10) находим
1 ЭЕф 1 1 Э
Нр = --------, Н2 = ----------— ( рЕф). (14)
к /гоц Эг /гоц р Эр т
Подстановка Нр и Нг в (12) дает
Э (1 Э 'ї Э2 Еф 2
— - — (рЕф) + 2фф + ю2ецЕф = 0. (15)
Э р^р Э р ^ ) Эг ^
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн Еф( р , У, г) = и(р , у)в^2, где у - вещественная постоянная распространения волны. Будем предполагать, что и ( р , у) - вещественная функция.
Таким образом, уравнение (15) может быть переписано в виде
(16)
где производная означает дифференцирование по р. Во внешней области, учитывая, что £ = е^, получаем уравнение Бесселя
ке R . Спектральным параметром задачи является у .
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения P, к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевую, ограниченную и непрерывно-дифференцируемую на полубесконечном полуинтервале р > 0 функцию и(р) и соответствующие собственные значения у такие, что ^р) удовлетворяют уравнениям (17) и (18), условиям сопряжения (19) и условиям экспоненциального убывания функции ^р) на бесконечности при р ^ ^.
Запишем решение уравнения Бесселя (17) в виде
функция Ханкеля. Принимая во внимание условия излучения, выберем решение уравнения в форме
(17)
Внутри волновода, где е = е20 +a(е21(р) + |E|2), получаем кубическое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка
11? 3 u +—u —2—+ k u + а(ы + ^21 (р^) = 0, 0<р<R, (18)
р р2и
2 2 2 2 где а = ю ац, k =ю е2М--у . Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуются к виду E^ ^ ^ = 0 и [ Hz ]р=д = 0, что дает
^ ]р=Я = 0, К]р=Я = 0,
(19)
где [u ]р=R = ^R - 0) - u(R + 0) - скачок предельных значений функции в точ-
u = ^Н^р), р> R ,
(20)
где Cl - произвольная действительная неисчезающая константа, а н|1)
где ^ - функция Макдональда.
Условия излучения выполняются, потому что ^(1 k|)р ^ 0 экспоненциально, при р ^ го .
Перепишем нелинейное уравнение (18) в виде
V р /
и рассмотрим линейное уравнение Бесселя
^ 1 >
(pu')'+ k2p-1 u +ap(u 3 +e2i(p)pu)
(22)
pu + u +
k p----u
p
= 0.
Перепишем последнее в операторной форме:
d2 d (
+------+
d р2 d р
(23)
(24)
Используя стандартный метод, построим функцию Грина для краевой задачи:
LG = -8(p-po);
Gp=0 = G 1p=R = 0 (0 <p0 < R)
(24)
в виде (см., например, [3]) G(р, Po) = П
Jl(kJp)(JRkp0) ^ (kR) - Ji (kp{) n (k p>) 0 ^ p, p0 ^ R ,
где
р( = min{р, Po } , P) = max^ Po } . (25)
Функция Грина существует при таких значениях параметров, что
JlkR Ф 0.
Запишем уравнение (18) в операторном виде:
(26)
Lu + aB(u) = 0, B(u) = рu + р£2l(р)u .
Используя вторую формулу Грина [4]
R R
J(uLu - uLu)dр = J(u(pu')'-u^u'^dp = R(u'(R)u(R)-u'(R)u(R)) (27)
0 0
и полагая u = G , получаем
R
J (GLu - uLG)dр = R(u'(R - 0)G(R, р0) - G'(R, р0 )u(R - 0) = Ru'(R - 0)G(R, р0).
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Используя уравнение (26), имеем
Я я
|(ОЬи -иЬО)йр = -а|ОБ(ы)йр + и(ро), (29)
о о
и получаем интегральное представление решения и(ро) уравнения (18):
Я
и (ро) = а | О(р, ро )р(и3 (р) + £21 (р)и (р))й р + Яи'(Я - о)в( Я, ро),
о
о <ро < Я . (3о)
Принимая во внимание условия сопряжения
и'( Я - о) = и'( Я + о),
перепишем уравнение (3о) в виде
Я
и(ро) = а|Є(р,ро)р(и3(р) + £2і(р)и(р))йр + /(ро), о<ро <Я, (31)
о
где
/ (ро) = Яи'(Я + о)О (Я, ро);
1 ^1(^ро)
О( Я, ро) =
кЯ Ґх(кЯ) '
При этом существенно, что /(р) не зависит от и . Из уравнения (31) и условий сопряжения и (Я — 0) = и (Я + 0) следует дисперсионное соотношение
я
и(Я + 0) = а|О(р,Я)р(и3(р) + £21(р)и(р))др + Яи'(Я + 0)G(Я,Я).
0
Положим N(р, р0) = аО(р, р0 )р и рассмотрим интегральное уравнение в С [0, Я] (см. также [5])
Я
и(р0) = |N(р,р0)и3(р) + £21 (р)и(р))др + /(р0) .
0
Предполагается, что / е С [0, Я] и /(кЯ) Ф 0. Нетрудно видеть, что ядро N(р, р0) является непрерывной функцией в квадрате 0 < р, р0 < Я . Таким образом, справедливы следующие утверждения:
Утверждение 1. Линейный интегральный оператор
Я
N ю= | N (р, р0)ю(р)д р
зо
ограничен, вполне непрерывен в C [0, R] и
R
HI = max f|N(р,Ро)|dр .
' ' Poe[0,R]0
Утверждение 2. Нелинейный оператор
R
F (u) = J N (р, Po)(u3 (р) + £21 (p)u(p))d р + f (ро)
0
является вполне непрерывным на каждом ограниченном в C[0, R] множестве.
Действительно, это следует из утверждения 1 и того, что нелинейный
оператор Bo(u) = и3(р) + £21(р)и(р) ограничен и непрерывен в C[0, R] .
Список литературы
1. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский. - М. : Наука, 1978.
2. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. - 2001. - V. 158. - P. 197-215.
3. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems. - New York : Wiley, 1998.
4. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1968.
5. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1993.
