Метод и алгоритм прогнозирования цен, основанный на минимизации апостериорного риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

рой. Это понятие интуитивно ясно, однако оно предполагает, что фигура заранее каким-либо образом отделена от фона, что не всегда просто сделать, учитывая, что реальные изображения, как правило, содержат помехи. Можно предположить, что временной процесс выдает единицу всякий раз, когда цвет изображения под сканирующей линией изменяется с черного на белый и наоборот. Таким образом, сканирующая линия ведет себя подобно счетному триггеру. Кроме того, перед вычислением показателя близости необходимо как-то добиться максимального совмещения фигуры и эталона в координатной сетке. В классической теории распознавания для этого используется прием, называемый нормализацией фигуры [2]. Фигура перемещается в растре таким образом, чтобы пикселы с минимальной x-координатой располагались в крайнем левом столбце растра, а пикселы с максимальной y-координатой - в его верхней строке. Затем фигура масштабируется так, чтобы она помещалась в стандартный растр mxn точек, где m и n - целые числа, выбираемые разработчиком системы. Эталоны, хранящиеся в памяти системы, также должны быть нормализованы.

Другая проблема возникает, когда фигура и эталон имеют разные углы поворота относительно координатных осей. Методы нормализации, применяемые в этом случае, могут быть различными, в зависимости от того, на какие классы фигур ориентирована система распознавания.

Также встает вопрос о том, что делать, если распознаваемая фигура вообще не соответствует ни одному из эталонов. В этом случае обычно выбирается предельное значение показателя близости, при котором фигуру еще можно отнести к какому-либо классу. Это значение подбирается экспериментально.

Распознавание плоских двухцветных фигур имеет не очень много практических приложений, главное из которых - системы распознавания текстовой информации. Намного больше реальных приложений имеет распознавание фигур, содержащих более двух цветов. На практике цвет обычно кодируется 16, 24 или 32 битами (это может быть изображение в одной из систем цветопредставления, например, RGB или CMYK, или изображение, выполненное в градациях серого). Адаптировать метод под многоцветные изображения можно двумя способами.

Во-первых, распознаваемую фигуру и эталон можно разложить на 16, 24 или 32 слоя, каждый из которых соответствует одному биту в кодировке

цвета, и затем работать отдельно с показателями близости, полученными для каждого слоя. Это приводит к достаточно громоздкой программной или аппаратной реализации, но зато позволяет сохранить автоматную идею, лежащую в основе метода, и соответствующий математический аппарат, облегчающий вычисление показателей близости.

Во-вторых, можно отказаться от двоичных процессов и выдавать не единицы в местах наличия фигуры (точнее, цветной точки, которая должна являться ее частью) и нули во всех остальных местах, а непосредственно индексы имеющихся цветов. При этом показатели близости можно вычислять с помощью того же исключающего или, но уже не над отдельными битами, а сразу над 16-, 24- или 32-битными словами. Здесь происходит переход от двоичной автоматной модели процесса распознавания к к-ичной (где к - число цветов) при сохранении самой идеи автоматного моделирования этого процесса. Если вдуматься, это просто более компактная реализация того же самого подхода. Единственный нюанс предлагаемой реализации состоит в следующем: надо сразу отфильтровать фон и везде, где встречается цвет фона, выдавать нули во всех разрядах.

Описанный метод распознавания фигур после определенной доработки может быть использован в реальных системах искусственного интеллекта. Его главным нюансом и, возможно, преимуществом является автоматная модель, которая ранее для распознавания образов практически не применялась [3]. Чтобы выяснить, какие перспективы открывает эта модель, требуется серьезное дополнительное исследование. Также следует иметь в виду, что, в сущности, предлагаемый метод является всего лишь способом перевода двухмерных изображений в форму, удобную для распознавания.

Кроме того, мы описали механизм получения показателей близости, но пока ничего не сказали об их интерпретации. Эта интерпретация представляет собой отдельную проблему, пока открытую.

Список литературы

1. Левин В.И. Автоматная модель и методы распознавания образов. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. -№3. - С. 5-7.

2. Распознавание оптических изображений. / Под общ. ред. Ю.С. Сагдуллаева, В.С. Титова. - Ташкент: ТЭИСЧ, 2000.

3. Искусственный интеллект.: Модели и методы. / Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Радио и связь. -Кн. 2. - 1990.

МЕТОД И АЛГОРИТМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЦЕН, ОСНОВАННЫЙ НА МИНИМИЗАЦИИ АПОСТЕРИОРНОГО РИСКА

А.Н. Сотников

Прогнозирование нестационарных случайных процессов является актуальной задачей в современной математической экономике [1]. Информация о будущих значениях цен на товары, котировках акций или курсе национальной денежной единицы во многом способствует выработке оптимальной модели поведения экономического субъекта на рынке. Существующие методы, реализованные в пакетах программ обработки статистической информации и описанные в литературе [2,3], ориентированы в основном на ряды, в которых присутствует случайная компонента, вызывающая колебания цены около своего тренда. В этом случае применение авторегрессионных методов или методов скользящего среднего бывает достаточно для получения достоверного прогноза, но при возникновении скачков цены, вызванных внешними факторами, необходимо применять методы, ориентированные на прогнозирование в условиях нестационарности. В статье приводится метод и алгоритм прогнозирования цены, основывающийся на минимизации апостериорного риска с заданной функцией потерь и на накопленной статистике изменения значений цены.

Метод минимизации апостериорного риска

Рассмотрим динамическую модель ценообразования, описываемую стохастическим дифференциальным уравнением

ар^)=г^рф)^+Е^р^аю (1)+1е(у)г(а1,ау), (1)

V

где Г(1,р(1)) и Е^р^)) - коэффициенты сноса и диффузии [4]; v(Лt,A) - случайная пуассоновская мера с параметром А,(1); V - случайная величина, вызывающая случайное скачкообразное приращение цены с^) согласно закону Р(е^)) в моменты времени ^ с экспоненциальным законом распределения. Будем далее исходить из закона Р(с^)) = - а), а > 0, полагая, что цена есть возрастающий процесс. В математическом плане такая модель подтверждается известным [5] утверждением, что всякий стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями можно представить суммой независимых пуассо-новских и винеровских процессов. Любая реализация цены есть решение уравнения (1) и имеет общий вид

Блок-схема алгоритма

1 1 р(1) = ро + / г(1,р(1))а1+/ Е(1,р(1))аю (1) +

1 XX (2)

+ II е(у)у (а^а V),

X

где интеграл от пуассоновской меры II е^)у (а^) = /I е^к)8 (1 -1к)а1

т т к

(3)

и 6(1 - 1к)

) = /о,

к ) =

1 # г

1 = 1

к,

Интеграл (3) представляет собой скачкообразное изменение цены в случайные моменты времени 11'..., 1к. Видно, что со случайным изменением амплитуд скачков е^к) решение (2) представимо в виде

р(1) = ро + / + / Ес^рс^аю (1) +

1 т т (4)

+ /Е е^к)6(1 - 1к)а1

т к

и составляет реализацию случайного процесса. Поэтому для вычисления прогнозных значений необходимо воспользоваться законом распределения этого процесса, либо его первыми моментами как числовыми характеристиками. Однако такой подход будет неполным, так как прогнозирование связано с ошибками, для учета которых целесообразно воспользоваться характеристикой риска принятия прогнозного решения. В качестве такого риска, как критерия качества прогнозирования, примем условный апостериорный риск, накопленный к текущему моменту времени. Его выражение запишем в виде

т

^(р^рт, т), т) = М[ I Ц^'р^р т ], (5)

т

где Ь^р^р^) - ограниченная функция потерь. Процесс р(1) определяется распределением вероятности w(pt't;pT'T) перехода в состояние (р^),^ из состояния (р(т),т), Т < 1. Это распределение находится из обратного уравнения Колмогорова, записываемого с учетом уравнения (1) в виде дw(p(t)'t;p(т)'т)

Эт

дw(p(t)'t;p(т)' т)

Эр

+

(6)

+1*»^))Э ^^р^ т) +

^ Эр2

+J[w(t'p(t)+е(v)' т,р(т)) - w(t'p(t)' т, р(т))]6^ - a)аv.

Очевидно, решение относительно прогнозного значения цены следует отыскивать путем минимизации критерия (5) на множестве допустимых решений Э S(w(Pт't;pт'Т)'Т'Pt))=

тт М[! Ь(1,рпр*(1))а1|рт ]. р*(1)еЭ о

(7)

В результате преобразований (7) с учетом (6) получим дифференциальное уравнение для S(w(pТ't;pТ'Т)'Т'P*(t)) и последующего вычисления прогнозного значения цены:

к

-= т1п{Г(1,р(1)) + ^Р2(1,р(1)) +

Зт ре О ор 2 Эр2

+1 [в(р(1) + е(у),1) - в(р(1),1)]6(у - а)с1у + (8) + Ь(1,р4,р4*)}

с граничным условием 8^,р(Т),Т)=0.

Для практической реализации метода необходимо восстановить функции Г(1,р(1)) и Е(1,р(1)). При этом ^рф) = Т'^р^), где Т&р^)) - тренд цены, полученный методом наименьших квадратов на основе статистики ptr(tk) при исключении из исходных данных значений скачков. Функция восстанавливается методом наименьших квадратов по значениям

)) =

Е((Ptr(ti) - T(tl,ptr(tl))2 М1 £ tk

N.

Пусть задан критериальный функционал (5) с квадратичной функцией потерь Ь(^р(^,р*(^) = (р-р*)2. Для получения аналитического выражения для р* произведем следующие действия. Разложим функции и в ряды Тейлора до ли-

нейного члена и обозначим

ЭГ |

А° = Г(1°,Р°) + 9^1'0'р0(1 - ^

А Эр1'0'р0 +ЭрЭ11'°'р°

(4 - to),

311

3 2е

(9)

в° = Р(1°,р°) + ^7 1°,р°(1 - 1о),

в = +_

в1 Эр1'°'р° + ЗрЭ11'°'ро

(! - 1о).

Продифференцируем правую часть (8) по р* и приравняем результат к 0:

38

3 2Э

— + (В°вх + В2(р* -р°)^-Т - 2(р - р*) = 0, Зр Зр2

получаем оптимальную цену р* как функцию переменных 8 и р.

л а д 28 2 д 28

2Р - А1 а--В°В1 ТТ + В1 ТТР°

р* = Эр др2 Эр2

2 + В

2 д Ъ 1 э^

(10)

Подставляем это выражение в (8) для получения дифференциального уравнения для 8(!,р(!)): -38 = Эт

А0 - А1р° +А:

2р - А1 | - В°В1128 + В2 |2|ро Эр Эр2 Эр2

1

+ 2 Эр2

В0 - В1р0 + В1

2+в1 д? 21 -А' I- в°в- 0

+в

10р°

2

2+В2 5

+! 8Р(1)+С(У),1) -ЗДад] 8(У- а)ау+

' 2р-А1 | - В0В1 §+В2 |2|ро др др2 др2

др2

(11)

2+В2

др2

Представляем 8(1,р(1)) в виде ряда по степеням р(!) с неизвестными коэффициентами Ь,^). Ограничимся тремя слагаемыми

в(р(1),1) = МЦ + Ьх(1)р(1) + Ь2(1)р2(1)) . (12) Подставляем (12) в (11) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р(1), составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для Ь,^).

- ьо = Ь1(Ао + А1р°) +

"0

■цАНк) - ^

+ Ь-

в0 - в1р0 ■

В°В!Ь2 | +

В1В0Ь2 2и

В|3р° Ь 2

2(1+В2Ь2) (1+В2Ь2) (1+В2Ь2)

+ Ь1е(у) + Ь2е(у) + ^^о

-2В!ВоЬ2 - А1Ь1)2

4(1 + В^)2

-Ь1 = 2Ь2(А° -Агро)

2А1В1В°и2^2Ь2А1В2р(

А2Ь1Ь2 (1+ в2Ь2) 0 .

(1+в2ь2) (1+в2ь2)

В1(1- Ь2) {

+2Ь

(1+В1Ь2)

В0 - В1р0

В0В2Ь2

+2Ь2е(у) +• 2 . 2 2

(1+в2Ь2) (1+в2Ь2) (1+В2Ь2) , (1-А1Ь2)(2В2Ь2ро -2В1В°Ь2 -А^)

2(1+В?Ь2) (1+ В2Ь2) (1+В2Ь2) ) В1Ь2 - 2В2роЬ2 +

(1+в2Ь2)2

- Ь2 = 1 +

2А1Ь2 [»2»

2Ь2А

■2а2

(1+В^) (1+в2Ь2) 2(1 - А^) + (1 - А^)2

+Ь

в2(1 - Ь2)2

41+В2Ь2)2

(13)

(1+В2Ь2)

(1+В2Ь2)2

с граничными

Ь2(Т)=0.

условиями Ь0(Т)=°, Ь1(Т)=0,

е(у) =

Здесь е(у) = | е(у)6(у - а^у;

|[е(у)]28(у - а)ау .

Решив систему уравнений (13), определяем вид функции (12). Задавшись допустимым уровнем потерь 8>0 в момент времени Т+1, решим уравнение (12) относительно прогнозного значения р(Т+1), обеспечивающего заданный уровень потерь в заданный момент времени.

Структура алгоритма прогнозирования цены

1. Восстанавливаются функции Г(1,р(1)), Е(1,р(1)). Устанавливается степень 8(р(1),1) в представлении (12).

2. Решить (численным методом) систему уравнений (13).

3. Задать для момента времени Т+1, на который строится прогноз значения цены, требуемый уровень минимума средних потерь 8(Т+1, р(Т+1)) > 0.

4. Решить уравнение (12) относительно значения цены рТ+1*, обеспечивающей в момент времени (Т+1) требуемое значение средних потерь.

Анализ алгоритма и выводы

Предложенные метод и алгоритм прогнозирования цены на основе минимизации апостериорного риска обладает рядом преимуществ по сравнению со стандартными авторегрессионными методами:

2

2

2

Э28

1) математическая модель учитывает характер и специфику прогнозируемого процесса;

2) метод ориентирован на прогнозирование нестационарных случайных процессов за счет добавления в правой части (1) третьего слагаемого;

3) прогнозируемые значения цены являются оптимальными в смысле минимизации функционала (5), формируемого лицом, принимающим решения.

При реализации метода следует учесть, что более высокий порядок полинома (12) увеличивает размерность системы (13). При этом ее решение относительно Ь^) и решение уравнения (12) относительно прогнозного значения цены становится нетривиальным и требует собственной алгоритмической реализации.

Проанализировав результаты, отметим, что изложенный метод является расширением набора инструментов для прогнозирования значений случайных временных рядов, в том числе и нестационарных.

Список литературы

1. Малыхин В.И. Финансовая математика. - М.: ЮНИТИ, 1999.

2. Клеменс М.П. Хендри Д.Ф. Прогнозирование в макроэкономике. // Обозрение прикладной и промышленной матема-тики.-1996. - Т. 3. - Вып. 6.

3. Тюрин Ю.Н. Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.: Финансы и статистика, 1995.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1961.

5. Гихман И.И. Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.-М.: Наука, 1965.

ИНЖЕНЕРНАЯ ПРОГРАММА ТРЕХМЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ LittleMag

Т.Ю. Коршунова, А.А. Подольский

Приборы радиоэлектроники, сепараторы, гальванометры, поляризованные реле, медицинские аппараты, осциллографы, магнето, электрические машины, дугогасительные аппараты и многие другие устройства имеют в своем составе магнитные системы с постоянными магнитами.

Проектирование устройств с постоянными магнитами является комплексной задачей, требующей знаний в области физики и математики, а также инженерной интуиции, основанной на профессиональном опыте. Специалист по проектированию таких устройств должен знать методы численного расчета магнитных полей, уметь правильно выбрать и применить метод, оценить погрешности решения.

Для автоматизации проектирования магнитных систем могут применяться САПР трех типов: универсальные, специализированные и узкоспециализированные.

В универсальных инженерных вычислительных системах собран большой комплекс расчетных и графических средств для решения широкого круга задач. Но при решении каждой конкретной задачи необходимо «настроить» универсальную систему: выбрать необходимые вычислительные модули, увязать их в определенной последовательности, обеспечить передачу данных между модулями, провести тестирование на пригодность выбранного алгоритма для решения поставленной задачи. Из-за большой трудоемкости универсальные системы в конструировании магнитных систем используются редко.

Для расчета и конструирования магнитных устройств разработан ряд специализированных САПР. Они, взамен традиционного подхода, основанного на эквивалентных электрических цепях и используемого уже в течение 100 лет, предлагают программы прямого моделирования магнитостатических полей. Как правило, они базируются на одном из трех вы-

числительных методов: метод конечных элементов (FEM - Finite Element Method) [1,2]; метод граничных элементов (BEM - Boundary Element Method) [3]; метод интегральных уравнений (IEM - Integral Equation Method) [4,5].

Однако, позволяя решать весьма широкий круг задач, такие системы требуют и высокой степени участия пользователя в организации получения решения. Это участие наиболее значительно при работе с FEM-системами. Здесь пользователь должен не только по своему усмотрению произвести разбиение элементов магнитной системы на треугольники (2-D представление) или тетраэдры (3-D представление), но и задать положение внешней границы с нулевым значением магнитного потенциала для магнитных систем, не имеющих естественной границы с известными граничными условиями. Результат расчета зависит от вида разбиения и числа элементов. Кроме того, для 3-D задач неудачное разбиение может привести к невозможности получения решения [6]. Поэтому пользователь специализированных САПР отвечает за качество получаемых решений.

Процесс проектирования магнитных систем с использованием известных специализированных САПР обычно заключается в итерационном повторении следующих этапов:

• подбираются вид и число разбиений, обеспечивающие, во-первых, неизменность получаемого решения в пределах требуемой точности и, во-вторых, приемлемое время вычислений;

• проверяется устойчивость решения при возможных вариациях исходных данных (изменения геометрических и магнитных параметров элементов магнитной системы);

• проводится физическое моделирование устройства, желательно, в нескольких вариантах.