CC BY
43
А. В. Толок, докт. техн. наук, профессор, МГТУ«СТАНКИН», г. Москва, a.tolok@stankin.ru М. А. Локтев, аспирант МГТУ «СТАНКИН», г. Москва, m.loktev@stankin.ru
Метод функциональной вокселизации полигональных объектов на основе математического аппарата ^-функций
В работе рассматриваются принципы построения воксельных геометрических объектов по замкнутому контуру на основе ^-функционального описания. Производится анализ графических образов, полученных разными способами описания замкнутого контура. Рассматриваются проблемы получения монотонности образовавшегося функционального пространства.
Ключевые слова: функциональная вокселизация, аналитическая модель, воксельное моделирование, R-функция, графический образ, М-образ.
Введение
Разработка алгоритмов вокселизации полигональных моделей, синтезируемых в современных системах САПР, является одной из насущных проблем, возникающих у специалистов в области воксель-ного моделирования. Наибольшее развитие получают методы растеризации, формирующие двоичную рецепторную модель [1; 2]. Аналогичные задачи возникают по мере развития систем послойного синтеза, где формируемый образ слоя представляет собой растровое изображение [3]. В конце 1990-х годов возникает направление функционально-воксельного моделирования (ФВМ), позволяющее рассматривать воксельный образ как некоторую характеристику функционального пространства (М-образ) [4; 5].
Появление ФВМ на фоне стремительного развития компьютерных технологий позволило ставить вопросы об активном применении воксельных технологий в системах САПР и АСУ [6]. В свою очередь, Харьковская школа академика В. Л. Рвачёва активно развивает ^-функциональное моделирование
(RFM) [7; 8], принципы которого ложатся в основу будущих аналитических САПР и АСУ-технологий, значительно расширяя класс решаемых задач и совершенствуя процесс компьютерного инженерного расчета.
При этом аналитические САПР-технологии предпочтительно базировать на вок-сельной платформе, поскольку только вок-сельное пространство способно адекватно представлять на компьютерной основе функционально описанную область. Таким образом, предшествующие задачи растеризации уже не отвечают современным требованиям построения воксельных моделей и имеют весьма ограниченное применение, что выводит на первый план рассмотрение средств функциональной вокселизации полигональных моделей, которая обеспечит принципы мультимодельности САПР-технологий.
Постановка задачи
Следует заметить, что уже сейчас применение ^-функций имеет широкий диапазон приложений: решение обратных задач аналитической геометрии [9], задач математического
[ 127 ]
а б
Рис. 1. Описание внутренней а и внешней б области выпуклого л-угольника
Fig. 1. Description of the interior (a) and the external (b) areas of a convex л-gon
программирования [4; 5], задач определения интегральных характеристик [10], распознавание образов, теория устойчивости, теплофизика [11]. Применение RFM позволяет без труда строить и комбинировать функционально-вок-сельные геометрические модели. Однако применение теории ^-функций возможно только при первоначальном решении обратной задачи аналитической геометрии, когда по заданной геометрии необходимо составить аналитическое уравнение. До сих пор остается актуальной проблема автоматизации построения ^-функций для геометрической модели, когда объект описан полигонально, и его невозможно представить через более простые аналитически описываемые геометрические объекты. Происходит усложнение границы поверхности, и следовательно, аналитические выражения становятся громоздкими и малопригодными для практических ручных расчетов.
Решение
Принципиально важно решить проблему автоматизированного построения аналитического описания областей сложной формы, которое входит в формулы математических моделей исследуемых проблем, связанных с геометрической информацией. В работе В. Л. Рвачёва [12] для аналитического описания плоской многоугольной области предложено уравнение нормально ориентированной прямой, проходящей через точки хг = (х11, х2)
и х'+1 = (X+1, Х2+1): [ 128 ]
ф'(х) _ Х1 (Х2 х2 ) + х2 (Х1 Х1 ) (1) _х' х'+1 + х'х'+1 = 0 -^2 1 ' 2 *
Таким образом, в случае, когда область й2 ограничена выпуклым «-угольником (рис. 1а), она может быть представлена как суперпозиция элементарных функций нормально ориентированных прямых и задана логической формулой О2 =Х12 п...п12. А для задания внешней области п-угольника (рис. 1б) логическая формула примет вид О2 =11 и... иЕ2 [12].
Используя свойство получения логической формулы для выпуклых областей, В. Л. Рвачёв предложил алгоритм рекурсивного построения формулы описания сложной невыпуклой области [12] (рис. 2). При этом область й2 расположена внутри ограниченного замкнутого многоугольника.
Рассмотрим простейший случай построения невыпуклой области выпуклыми состав-
Рис. 2. Рассматриваемый невыпуклый контур области W2
Fig. 2. The considered not convex contour of area W2
ляющими. Предположим, что любую сложную невыпуклую область можно разбить на п выпуклых подобластей. Тогда суперпозицию итогового контура можно описать как объединение выпуклых подконтуров О2,...,О2п, составляющих определяемую область. При этом каждый из подконтуров представляет собой логическое пересечение положительных зон полуплоскостей, образованных нормально ориентированными прямыми, как предложено в работе [12].
Таким образом, результирующая формула такой области примет вид
О2 = О2 иО32 иО4.
Следует отметить тот факт, что функциональная область, описывающая интересующий нас сложный контур объекта й2, представляет собой некоторую рельефную поверхность, добавляющую важную геометрическую информацию о формируемом объекте и окружающей его области. Суть корректности описания таких моделей можно свести к достижению максимальной гладкости и монотонности рельефа такой поверхности для области й2. Применив возможности системы аналитического моделирования РАНОК [12], получим образы локальных геометрических характеристик функциональной области й2 для их последующей оценки (рис. 3).
Как видно из рис. 3, полученные графические образы полностью соответствуют ис-
комому контуру й2. Однако в местах сопряжения внутренних областей четко прослеживается нарушение гладкости и монотонности рельефа поверхности функции. Внешняя область (отрицательная по значению функции), выделенная на рисунке, на первый взгляд не имеет ярко выраженных нарушений монотонности. Отсюда можно сделать вывод, что данный способ достаточно простой, его сложность ограничивается алгоритмом разбиения контура на выпуклые многоугольники, но с позиции получаемых нарушений монотонности поверхности внутри области й2 он не отвечает требованиям функционально-воксельного моделирования ^УМ).
В качестве альтернативного метода попытаемся описать невыпуклую область, удаляя из ее выпуклой области необходимые выпуклые подобласти (рис. 4а). Внутренние узлы, не вошедшие в выпуклый контур, необходимо разбить на выпуклые подобласти (рис. 4б). Вычитание внутренних выпуклых сегментов из изначального выпуклого контура может быть представлено как логическое объединение отрицательных областей. Таким образом, конечная логическая формула примет вид (О2 = О2 пО2 пО2 ПО4).
На полученных графических образах рис. 5 рельефные характеристики поверхности функции внутри области отличаются от полученных предыдущим способом. Однако отрицательные области имеют четко выра-
а б [
Рис. 3. Образы локальных геометрических характеристик области, полученной сложением положительных выпуклых подобластей
Fig. 3. Images of local geometrical characteristics of the area received by addition of positive convex subareas
а б
Рис. 4. Получение выпуклой области а и вычитания из нее выпуклых подобластей б
Fig. 4. Receiving convex area (a) and subtraction from it convex subareas (b)
женное нарушение гладкости и монотонности. Данный способ аналитического описания области несколько сложнее предыдущего, поскольку помимо разбиения областей на выпуклые многоугольники требует еще определения начального выпуклого контура.
Наконец рассмотрим кусочно-аналитический метод аналитического описания контура с применением математического аппарата ^-функций, предложенный в 1982 г. В. Л. Рвачёвым в работе [12]. Попробуем дать оценку результирующей поверхности получаемой при этом функции й2 и развить этот метод для выполнения поставленных условий.
Прежде чем приступать к аналитическому описанию контура, необходимо досконально проанализировать контур и определить, к какому уровню выпуклости отно-
сится тот или иной узел. Так, из рис. 6 видно, что изначально необходимо определить элементы первого уровня выпуклости с помощью одного из существующих алгоритмов поиска выпуклой оболочки. Затем оставшиеся сегменты и вновь созданные (пунктирная линия) проверяются по тому же алгоритму и выделяются узлы второго уровня рекурсии. Оставшиеся элементы переходят на следующий уровень выпуклости, и так до полного исчерпания выпуклых подобластей.
Усовершенствованный метод представляет собой чередование логических операций объединения для четных уровней выпуклости и пересечения для нечетных. Составление логической функции необходимо начать с последних уровней выпуклости. Так, для узлов третьего уровня можно выделить две подобласти: 02 = Х1 пХ2 ий2 =13 (рис. 7а).
а б в
Рис. 5. Образы локальных геометрических характеристик области, полученной вычитанием отрицательных выпуклых подобластей
Fig. 5. Images of local geometrical characteristics of the area received by subtraction
of negative convex subareas
Рис. 6. Определение уровней выпуклости для сегментов сложной области
Fig. 6. Determination of levels of convex for segments of complex area
Данные подобласти станут узлами второго уровня выпуклости, которые дополнит область, состоящая из объединения выпуклых узлов этого уровня Q2 = Х5 иХ6 (рис. 7б).
Следует отметить, что в отличие от метода, предложенного Рвачёвым в работе [12], искусственные узлы, которые не входят в пер-
воначальный контур, но необходимы для дополнения выпуклых оболочек, не участвуют в построении логической формулы. Таким образом, искомая конечная логическая формула будет представлять собой результат пересечения полуплоскостей, образованных узлами первого уровня выпуклости (рис. 7в) с областью, образованной предыдущими уровнями: О2 =О2 п(О32 пО2 пО2).
Полученные графические образы (рис. 8) отличаются гладкостью и монотонностью рельефа поверхности функции как в положительной области (внутри), так и в отрицательной (снаружи).
Анализ полученных результатов
Для определения наиболее рационального способа получения аналитической модели замкнутого контура необходимо произвести подробный анализ поведения функ-
б I
Рис. 7. Последовательное формирование логического уравнения
Fig. 7. Consecutive formation of the logical equation
а б в
Рис. 8. Образы локальных геометрических характеристик области, полученной усовершенствованным кусочно-аналитическим методом
Fig. 8. Images of local geometrical characteristics of the area received by an advanced piecewise-analytical method
аб Рис. 9. Сравнение на монотонность отрицательной области
Fig. 9. Comparison on monotony of negative area
ции путем сравнения графических образов, полученых перечисленными методами (рис. 9; 10).
Проанализируем отрицательную область на одинаковых графических образах, полученных методом разбиения сложной области на выпуклые многоугольники (рис. 9а) и кусочно-аналитическим методом (рис. 9б). В первую очередь на М-образе (рис. 9б) четко прослеживается плавное поведение функции внутри второго уровня выпуклости. Кроме того, объединение выпуклых подобластей приводит к нарушению общей отрицатель-
ной области, что характерно представлено шумами на рис. 9а.
Анализ положительных областей на графических образах метода вычитания отрицательных выпуклых подобластей (рис. 10б) и кусочно-аналитического метода (рис. 10а) показывает, что целостность функции может соблюдаться только при постепенном формировании логического уравнения путем распределения узлов на уровни выпуклости. Включение новых узлов в уравнение приводит к нарушению поведения функции внутри графического образа.
аб Рис. 10. Сравнение на монотонность положительной области
Fig. 10. Comparison on monotony of positive area
Заключение
Проведенный анализ позволяет выделить способ получения аналитического описания контура объекта с учетом требований гладкости и монотонности образуемого при этом рельефа функциональной поверхности. Эти требования и полученная функциональная поверхность позволяют значительно расширить применение таких моделей в функцио-нально-воксельном моделировании при автоматизации широкого класса задач для технологий САПР и АСУ.
Список литературы
1. Nilo Stolte and Arie Kaufman. Novel Techniques for Robust Voxelization and Visualization of Implicit Surfaces. Graphical Models. 63 (6):387-412, Academic-Press, 2001.
2. Nilo Stolte. Robust Voxelization of Surfaces. Technical Report TR. 97.06.23. Center for Visual Computing. StateUniversity of New York at Stony Brook, 1997.
3. Лоторевич Е. А, Пушкарёв С. А, Силантьев Д. А, Толок А. В., Феофанов А. Н. Анализ конструктивных схем, применимых к проектированию устройств фотосинтеза // Технология машиностроения. 2013. № 12. С. 31-36.
4. Толок А. В. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования // Автоматика и телемеханика. 2009. № 6. С. 167-180.
5. Толок А. В. Графические образы-модели в информационных технологиях // Прикладная информатика. 2009. № 4 (22). С. 31-40.
6. Васильев С. Н, Ковалёв С. П., Толок А. В. Подходы и научные основы создания отечественной системы управления полным жизненным циклом сложных технических изделий // Сборник докладов I конференции «Методы и технологии управления жизненным циклом сложных изделий и инженерных объектов 2014». СПб.: ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2014. С. 58.
7. Максименко-Шейко К. В., Шейко Т. И, Толок А. В. R-функции как аппарат в приложениях фрактальной геометрии // Прикладная информатика. 2010. № 6 (30). С. 21-27.
8. Максименко-Шейко К. В, Шейко Т. И, Толок А. В. R-функции в аналитическом проектировании с применением системы «РАНОК» // Вестник МГТУ «СТАНКИН». 2010. № 4 (12). С. 139-151.
9. Максименко-Шейко К. В., Мацевитый А. М., Толок А. В., Шейко Т. И. R-функции и обратная за-
дача аналитической геометрии в трехмерном пространстве // Информационные технологии. 2007. № 10. C. 23-32.
10. Силантьев Д. А, Лоторевич Е. А, Пушкарёв С. А, Толок А. В. Воксельно-математическое моделирование при решении задач определения площади для поверхностей деталей // Информационные технологии в проектировании и производстве. 2013. N° 3. С. 29-33.
11. Максименко-Шейко Л. В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей. Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. — 306 с.
12. РвачёвВ. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с.
References
1. Nilo Stolte and Arie Kaufman. Novel Techniques for Robust Voxelization and Visualization of Implicit Surfaces. Graphical Models, 63 (6):387-412, Academic-Press, 2001.
2. Nilo Stolte. Robust Voxelization of Surfaces. Technical Report TR. 97.06.23, Center for Visual Computing, StateUniversity ofNew York at Stony Brook, 1997.
3. Lotorevich E. A., Pushkaryov S. A., Silantyev D. A., Tolok A. V., Feofanov A. N. Analiz konstruktivnykh skhem, primenimykh k proektirovaniyu ustroistv fo-tosinteza [Analysis of the constructive schemes applicable to design of devices of photosynthesis]. Tekhnologiya mashinostroyeniya, 2013, no. 12, pp. 31-36.
4. Tolok A. V. Using voxel models in automation of mathematical modeling. Avtomatika i Telemekhanika, 2009, no. 6, pp. 167-180 (in Russian).
5. Tolok A. V. Graphic image-models in information technologies. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied Informatics, 2009, vol. 9, no. 4, pp. 31-40 (in Russian).
6. Vasil'ev S. N., Kovalev S. P., Tolok A. V. Podkhody i nauchnye osnovy sozdaniya otechestvennoi sistemy up-ravleniya polnym zhiznennym tsiklom slozhnykh tekh-nicheskikh izdelii [Approaches and scientific bases of creation of a domestic control system of full life cycle of difficult technical products]. Sbornik dokla-dov I konferentsii «Metody i tekhnologii upravleniya zhiznennym tsiklom slozhnykh izdelii i inzhenernykh ob»ektov 2014» — Collection of reports of the I conference «Methods and technologies of management of life cycle of difficult products and engineering objects 2014», 2014, p. 58.
7. Maksymenko-Sheyko K. V., Sheyko T. I., Tolok A. V. R-functions as the means in fractal geometry applications. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied Informatics, 2010, vol. 6, no. 6, pp. 21-27 (in Russian).
8. Maksymenko-Sheyko K. V., Sheyko T. I., Tolok A. V. R-funktsii v analiticheskom proektirovanii s primen-eniem sistemy «RANOK» [R-functions in analytical design using a system of «RANOK»]. Vestnik MSTU «STANKIN», 2010, no 4, pp. 139-151.
9. Maksymenko-Sheyko K. V., Matsevity A. M., Tolok A. V., Sheyko T. I. R-Functions and Inverse Problem of Analytic Geometry in Three-Dimensional Space. Informacionnye Tehnologii — Information technologies, 2007, no. 10, pp. 23-32 (in Russian).
10. Silantyev D. A., Lotorevich E. A. Pushkaryov S. A., Tolok A. V. Voxel-mathematical modelling at the solution of problems of definition of working surfaces
of details. Informacionnye Tehnologii v Proektirovanii i Proizvodstve — Information technology of CAD/ CAM/CAE, 2013, vol. 4, no. 3, pp. 29-33 (in Russian).
11. Maksymenko-Sheyko L. V. R-funktsii v matematiches-kom modelirovanii geometricheskikh ob»ektov i fizi-cheskikh polei [R-functions in Mathematical Modelling of Geometrical Objects and Physical Fields]. Kharkov, Institue for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine Publ., 2009. 306 p.
12. Rvachev V. L. Theory of R-functions and Some Applications. Kiev, Naukova Dumka. Publ., 1982. 552 p. (in Russian).
A. Tolok, MSTU STANKIN, Moscow, Russia, a.tolok@stankin.ru M. Loktev, MSTU STANKIN, Moscow, Russia, m.loktev@stankin.ru
Method of a functional voxelization of polygonal objects on the basis of mathematical apparatus of ^-functions
One of the pressing problems arising at experts in the field of voxel modeling is development of algorithms of a voxelization of the polygonal models, synthesized in modern CAD systems. Similar tasks arise in process of development of systems of layer-by-layer synthesis where the formed image represents layer-by-layer obtaining raster images. In the late nineties the beginning receives the direction of the functional voxel modeling (FVM) allowing to consider a voxel image as some characteristic of functional space (M-image). The paper considers the principles of construction functional voxel geometrical objects on the closed contour on the basis of the R-functional description. The analysis of the graphic images received by different ways of the description of the closed contour is provided. Problems of obtaining monotony of the received functional space are considered. The provided analysis confirms that the advanced piecewise-analytical method of obtaining the description of a contour of object most conforms to requirements of smoothness and monotony. These requirements and the received analytical description of a functional surface allow to expand considerably application of such models in functional voxel modeling at automation of a wide class of problems for CAD and automation technologies.
Keywords: functional voxelization, analytical model, voxel model, R-function, graphic image, M-image. About authors:
A. Tolok, Dr of Technique, Professor M. Loktev, Postgraduate For citation:
Tolok A., Loktev M. Method of a functional voxelization of polygonal objects on the basis of mathematical apparatus of R-functions. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied Informatics, 2016, vol. 11, no. 1 (61), pp. 127 - 134 (in Russian).
