Метод формирования бент-последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

_Доклады БГУИР_

2003 июль-сентябрь Том 1, № 3

УДК 621.391.26

МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ БЕНТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ

В. Д. ДВОРНИКОВ

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 26 сентября 2003

В статье рассматривается метод формирования бент-последовательностей, использующий свойство инвариантности преобразования Уолша-Адамара и двумерный алгоритм вычисления спектра Уолша-Адамара. Количество различных последовательностей, которые позволяет получить предложенный метод, почти в два раза больше количества, определяемого известной нижней границей. Описано устройство формирования бент-последовательностей, реализующее рассмотренный метод.

Ключевые слова: бент-последовательности, матрицы Уолша-Адамара, спектр Уолша-Адамара, границы числа последовательностей.

Двоичные бент-последовательности (БП), задаваемые при помощи бент-функций (булевых максимально-нелинейных функций), являются смежными классами кодов Рида-Маллера высоких порядков по коду Рида-Маллера первого порядка. Бент-последовательности интенсивно исследуются в теории кодирования [1], связи [2, 3] и криптографии [4-6]. Одной из важнейших теоретических задач является перечисление всех существующих БП длин, превышающих 64. Для этих случаев известны приближенные нижние и верхние границы [5], а решение этой задачи прямым перебором осложняется чрезмерно большим требуемым объемом вычислений. Ниже описывается метод синтеза БП, число которых почти в два раза превышает известную нижнюю границу.

Для описания метода используется представление БП, основанное на свойстве равномерности ее спектра Уолша-Адамара. Пусть имеется последовательность {Ь= (Ъ0,Ъ1,...,Ъп-1), п = 22т, а =±1, 1 = 0,...,п —1, и представляется двоичным числом длины 2т . Тогда (Ьг-} является БП, если

Ь(з) = 2 Ь(-1/; = 2т, (1)

1=0

где ] = 0,...,п — 1 — двоичное число длины 2т , а скалярное произведение ] вычисляется как сумма по модулю два вида ¡0]0 +1+... + 12т—1]2т—1 .

В [4] для синтеза БП используется матрица преобразования Уолша-Адамара размерности 2т х 2т — Н , задаваемая следующей формулой:

Н2т = [(—1)' Ч , (2)

где 1 = 0,...,2т , ] = 0,...,2т — соответственно номера столбца и строки, в которых находится элемент матрицы.

Последовательность {Ъ±} получается конкатенацией в любом порядке взятых с любыми знаками всех строк матрицы Н2т . Нетрудно убедиться, что для любой полученной таким образом последовательности выполняется свойство (1), а общее их число равно

т 2т

М = (2 )! 2 . Данное число и является нижней границей количества различных БП дли-

22т .

Получим из матрицы (2) БП, описываемую выражением

ны

{Ъ0} = (-1)""2, где i = ¡, + 2т1?

(3)

2 т

I, = (i)mod2m, 12 = (I -1,)2-т.

Все возможные последовательности получаются преобразованиями выражения (3).

{Ц} = (Ъ00,Ъ01 ,...,Ъ0п_1)[ I ® РС], (4)

где у = 0,...,М — 1, I — единичная, Р — перестановочная и С — диагональная матрицы

символ кронекеровского произведения,

® —

2т _ г\т

X 2 ,

а С = ±1+1,±1,...+1).

т 2т

Всего существует (2т )! различных матриц Р и 22 различных матриц С . Произведение этих чисел и дает нижнюю границу М [5]. Для т = 2 ниже приведены матрицы I, Р и

С :

10 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

10 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

С =

±1

0 0 0

0 ±1

0 0

0 0 ±1 0

0 0 0 ±1

Произведение матриц вычисляется последовательно:

I ® Р С = I ®

±1

0 0 0

0 0 ±1 0

0 ±1

0 0

0 0 0 ±1

± I

0 0 0

0 0

± I

0

0

± I

0 0

0 0 0

± I

Вычисления одномерного спектра (1) целесообразно выполнять при помощи двумерного преобразования и воспользоваться свойством инвариантности преобразования Уолша-Адамара. Результатом этих действий будет еще одно выражение для формирования БП:

{Ъ!} = (Ъ°о,Ъ0,..,Ъоп_1)[ р С ® I ].

(5)

Формула (5) тоже позволяет получить М различных БП, так как количество разных матриц Р и С не изменилось. Для демонстрации метода при т = 2 используем матрицу Р, рассмотренную выше, С = diag( 1,1,1,-1), а {Ъ¡} = (1,1,1,1,1,-1,1,-1,1,1 —1,-1,1,-1,-1,1) . Тогда получаем

1

Р С ® I =

РС 0 0 0

0 РС 0 0

0 0 РС 0

0 00 РС

, {Ъ!} = (1,1,1,-1,1,1,-1,1,1-1,1,1,1-1-1-1).

Нетрудно убедиться, что полученная последовательность является БП, так как обладает свойством (1). Кроме того, ее нельзя получить из выражения (4). Совокупное использование формул (4) и (5) позволяет увеличить количество БП, получаемых из Н2„ . Однако следует

учитывать, что этим методом не удается удвоить общее число формируемых последовательностей, поскольку некоторые из них повторяются. Число совпадающих БП легко определить из сравнительного анализа выражений (4) и (5). Оно равно

т-1

Мс = 2 2т+1 П (2 т - 2г) .

г=0

Следовательно, общее число не повторяющихся последовательностей, которые можно получить, определяется выражением

т т-1

м1 = 2М -мс = (2т )! 22 +1 - 22т+1 П (2т - 2г).

г=0

На рисунке приведено устройство для формирования бент-последовательностей, общее число которых равно (2 т)! 2 2 +1.

ТИ

К1 К2

Кз

К4

МР

А

СТ2

«I—►

МР

СТ2

КП ЛБ

1 г

МР №

Выход

Структурная схема устройства формирования бент-последовательностей

Устройство содержит два т -разрядных двоичных счетчика, объединенных при помощи мультиплексоров, кодопреобразователь (КП), логический блок (ЛБ), сумматор по модулю два и мультиплексор. Совокупность управляющих сигналов Кь К2, К3 и К4 обеспечивает получение (2т)! 22 +1 различных БП. При этом К1 позволяет формировать группу последовательностей, описываемых выражениями (4) или (5), а К4 управляет их инверсией. Кодопреобразователь использует выходные сигналы счетчика и сигналы К2 для реализации перестановочных матриц Р , а К3 и мультиплексор — матриц С .

Предложенный метод позволяет не только увеличить мощность ансамбля генерируемых БП, но и уточнить нижнюю границу их количества.

METHOD OF FORMING BENT-SEQUENCES

V.D. DVORNIKOV Abstract

The paper considers a method of forming bent-sequences using the invariance feature of Walsh-Hadamard transform and two-dimensional algorithm of calculation of Walsh-Hadamard spectrums. The number of different sequences that allows us to obtain the proposed method is twice more the number defined by the known low bound. The device of bent-sequences forming realizing the method is described.

Литература

1. Rothaus O.S. On Bent Functions // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1979. Vol. 20, P. 300-305.

2. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М., 1979.

3. Лосев В.В., Бродская Е.Б., Коржик В.И. Поиск и декодирование сложных дискретных сигналов. М., 1988.

4. Adams CM, Tavares S.E. // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. Vol. IT-36, № 5. P. 1170-1173.

5. Prenel B., VanLeekwijck W., VanLinden L., Govaerts R., Vandewalle J. Propagation characteristics of Boolean functions // Advances in Cryptology. Proc. Eurocrypt '90. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 473. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1991.

6. Olsen J.D., Scholtz R.A., Welch L.R. // IEEE Trans. Inform. Theory. 1982. Vol. IT-28, №6. P. 858-864.