Метод физического расщепления для решения задачи распространения вредных веществ в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.312

Н. Равшанов

д-р тех. наук, заведующий лабораторией «Моделирование сложных систем», Центр по разработке программных продуктов и аппаратно-программных комплексов, Ташкентский университет информационных технологий, Узбекистан

Д.К. Шарипов мл. науч. сотрудник, лаборатория «Моделирование сложных систем», Центр по разработке программных продуктов и аппаратно-программных комплексов, Ташкентский университет информационных технологий, Узбекистан

Н. Тоштемирова ассистент,

Ташкентский химико-технологический институт, Узбекистан

МЕТОД ФИЗИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДНЫХ ВЕЩЕСТВ В АТМОСФЕРЕ

Аннотация. В статье рассмотрено прогнозирование и мониторинг воздушной массы атмосферы промышленных регионов, разработана математическая модель, эффективный численный алгоритм и анализ проведенных численных расчетов, основанный на методе расщепления по физическим процессам.

Ключевые слова: вредные вещества, объект, модель, экология, санитарные нормы, расщепление, численные расчеты.

N. Ravshanov, Tashkent University of Information Technologies D.K. Sharipov, Tashkent University of Information Technologies N. Toshtemirova, Tashkent Chemical-Technological Institute

Abstract. In clause the mathematical model of non-stationary process of distribution of harmful substances in an atmosphere and their numerical decision is resulted, as well as the mathematical model for the control of sanitary standards in the region and the optimal location of new industrial facilities.

Keywords: the atmosphere, environment, hazardous substances, the process of distribution, static processing, weather and climatic factors.

Актуальность. Несмотря на мировой экономический кризис, общий объем валового продукта медленно увеличивается. Возводятся новые промышленные объекты производства, которые заметно воздействуют на окружающую природу. Так, увеличился объем отработавших веществ, имеющих вредные примеси и большую температуру. Образуя термики, эти вещи распространяются в атмосфере на различные расстояния и создают вредные соединения. Попадая в грунт и водоемы, эти вредные вещества наносят урон живой природе: ухудшается урожайность сельхозугодий, теряется качество продуктов, создаются антисанитарийные условия для населения и т.д. Всё это заставляет всерьёз задуматься о решении данной острой проблемы в мировом масштабе.

В связи с этим, используя 1Т-технологии, методы моделирования и вычислительный эксперимент, необходимо разрабатывать современные системы для мониторинга, прогнозирования и принятия управленческого решения данной проблемы.

Материалы и методы. Математическая модель процесса переноса и диффузии вредных веществ, выбрасываемых из промышленных объектов в окружающую среду, описывается с помощью полного уравнения гидромеханики - на основе законов сохранения массы и количества движений, с соответствующими начальными и граничными условиями [1-4]:

дв (х,у,г, t) дв (х,у , г, t) дв(x,у , г, t)

д t д X д y

дв(x,y,z, t) д z

+ ( w - w g ) '4 + ав( X , y, z, t ) =

(1)

= . д 2в ( X , y, z, t ) + д 2в ( X , y, z, t ) ^ 1 д X2 д y2 1

д дв ( X, y, z, t)

+ — (у (z)---) + Q (X, y, z, t),

д z д z

в(х, y, z,0) = в0( x, y, z), при t=0 (2)

в(x, y, z,t) | x=o,x=a = в(x, y, z,t) | y=0,y=b = 0 , (3)

Щ x, y, z, t)

On

- = -&g sin ав(x, y, z, t) + pe(x, y, z, t) - f0(x, y, z, t) на Gpz, (4)

Щ x, y, z, t)

У ' = 0 на GH , (5)

oz

которые решаются в области D = (0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < H, t > 0).

Здесь в(x, y, z, t) - количество распространяющегося вещества, t - время, x,y, z - координаты, u,v,w - составляющие скорости ветра по направлениям x,y,z соответственно, wg - скорость осаждения частицы, yz - коэффициент турбулентного перемешивания, ц - коэффициент диффузии, о - коэффициент поглощения, а - угол наклона поверхности, р - коэффициент взаимодействия с подстилающей поверхностью, Q(x,y,z,t) - мощность источников, fo(x,y,z,t) - количество аэрозольных частиц, отрывающихся от шороховатой земной поверхности, Gpz, GH - соответственно - граница поверхности Земли, где

происходит осаждение или поглощение вредных веществ, и граница верхнего слоя атмосферы, где не происходит переноса или диффузии частиц по вертикали.

Математическая модель объекта исследования опысывается двумя физическими процессами: первый - процесс переноса субстанции в окружающую среду по направлению движения ваздушной массы атмосферы; второй - процесс молекулярной диффузии субстанции в атмосфере.

Из постановки задачи видно, что получить решение аналитическими методами затруднительно. Для численого решения задачи будем считать, что гладкая функция во всех пространствах - искомое решение. Используя аддетивности этих двух принципиально различных физических процессов, диффузии и переноса масс в атмосфере в малом интервале времени tn < t < tn+1 можно рассмотреть как отдельные

задачи [5]. Процесс переноса субстанции с ее сохранением вдоль траектории будем рассмотривать как задачу 1:

8в1 8в1 8в1 . ,8в1 1 л 1,

—1 + u—1 + v—1 + (w - wn)—1 = — ой, + — f; (6)

8t 8x 8y 8z 2 1 2

в( x,y, z,0) = в2П (x, y, z), при t = tn (7)

% (*,У,г,t)|х=0,х=в = %(х,у,z,t)|у=0,у=4 = 0 , (8)

У %ХдУу ^) =-пв з1п«%х,у, z,t) + %х,у,г, t) - их,у, г) на (9)

У% х,у,^) = 0 на GH. (10)

дг

И задача 2 - диффузии субстанции с учетом поглощения их в воздушной массе атмосферы:

дв2 8% 8% 8, дв2, 1 . 1.

иг - <"^2 - ^^т -Т-(у^-) = (11)

8t 8х 8у 8г 8г 2 2

% х, у, z,t¡ )| = %+1( х, у, (12)

%21 , = = 0; %21 = 0. (13)

21х=0,^ 21у=0Х2 ' 2=0,Н у '

Для решения задач (6)-(10) используем конечно-разностный метод, аппроксимируя дифференциальные операторы на разностные, получим [6-7]:

%+>3 -%у %+Уз -%у+Уз % -%у

ии,¡,к ии,¡,к + и V+1,1,к и-1,1,к + ^ 1', 1+1,к 1,', 1 -1,к +

Ж 2А,

/3 1 2 (14)

+(w - Wp) ^ в"^к-1 = -1 овП+Ц +1 f" ;

V g! 2h3 3 b,',k 3 ',J,k

в+% „+в+^ „+^ в+% _ в и1,1, j,k ии, j,k + и 1.'+1,У,к 1,' _1,У,к + ^ 1,', У+1,к V, У _1,к +

Ы/

2h1

2П,

в"+/з _вп+/з 1 у 1 V

т^к 2h 1', У,^ ', У,к

(15)

вп+1 _вп+2 в ии, У,к и1,1, У,к ^1,1+1,У,к

вп+23

М/

- + и-

С

1,У,к

2Л1

+ V

в" +73 _ в"+73 1,'', У+1,к ии, У _1,к

2^

в"+1 _в"+1

) + 1 вЩ,к_ = ^ вЛ + " С к

+(w _ w - Лств"+1 Л/"+%

Вместо (14)-(16) можно записать:

в"+>3 _в" вп+>3 _вп+^ 1 1

вцУ,к вщ," + и ^^ = {12 + ¿Л) _1 в к +1 Г, У;

2h1 ^ 3 3 1,',У,к 3 ',У,к'

А//

в"+73 _в

^1,1, У,к ^1,1, у,к

А//

13 в"+/3 _вп+/3

+ у [71,/,У+1,к %'

2Ь

=(¿1+^+¿3+_ +1 У3;

(16)

(17)

(18)

в"+1 _ в"+/3 ^1,1, у,к 1,'', у,к

А//

в"+1 _в"+1

I Л.» Ш> \ в1,'', У,к+1 в1,'', У,к _1 ,,"+% , ,"■ л"+1 , '.г + (W _ % )-^- = + ¿2 3) ств1,/,У,к + 3 У

1 -"+1 , 1 , "+%

2^

3

(19)

Группируя члены уравнения (17), получим:

а вместо (18) получим:

А//

_/3 в"+1 ________

2h +1,У,к 1 V ' 1 " 1^1,1,У,к

в::/ 3,+(1+-^ ствг

2Л1

> в/3 _ F

и1,1 _1,У,к _ ' 1,'',У,к

или + ЬД?1 _ ев$ „ _ б.

1,''+1,У,к

1,'', У,к

где

а _-

73.

1,'' _1,У,к

А//

2Л1

Ь _ 1+^3 ст; ' 3

|А/

2Л1

А//

Яи,У,к _ + ¿3)в1,'',У,к +в1,'',У,к + 3 1",У,к,

А//

в1''У+1к + ('+ 3 СТ)в1',Ук 2Л.

в"+73

1,'', У _1,к

или

где

а/в";23 ,к+ь,ву,Ук _ свУ ,к _ б,

_ V

а, _

А^

2Л,

- А/

Ь, _ 1+^3 ст;

3

2, , У,к

С' _ -

2Л,

б _ F■,'¡

У,к

б! _ F/

2,1, У,к

Аt/

F2'iJЛ _ (¿1+^3 + ¿3+^^)в"У13+в^ ^^^ /2";'', у ,к,

3 ^"

вместо (19) получим:

^ _ wa)Аt

__8 / 3 д"+1 , / 3 +1

-в1,'',У,к+1 +(1 ст )в1,',У,к -

" /3,"+1 , д"+1 ^ _ ^) А/3п"+1

2Л,

2Л,

п"+1 _ р ии, У,к '3,''

3,'', У,к

Так как

Т „"+2/ -

или

где

б, _ Я,

а в ~3 + Ь в "3 _ С в

а'Ц,'-,У,кь'У,к С'

¡, У,к _1

б

а = (w _ wg) а/3

2Л,

А//

т

Ь'' _ ст;

= (w _ wQ

С

А//

3.

2Л,

3 ^"

3,'', У,к'

+

С

% „, = % ~, = % 1 х=0,L1 1 у=0,12

= 0

«0 =

А = 0.

Для уравнения переноса частиц по направлению координат х,у, г получим:

аСй* + ь дЦЦ -с А = б

од иА . „ Аt

Здесь а, =-; Ь, = 1 +—ст;

' 6Л/ ' 9

иА*;

6Л/

б/ = (|2 + ¿3Щ, ¡,к + %/, ¡,к +"9^1у, ¡,к;

Iу = ^ 1% -%у 1; ¡у = - % )А % -%у 1;

^ - 6^ 1_ 1/,!+1,к 1,/,У-1,к _]> "-3 _ 6Ь I- 1/,¡,к+1 1,',¡,к-1 J'

6Л,

- _у+2/ -

а,% /3 + Ь% /3 - с/3 =

а'^1,/,¡+1,к+Ь|^1,/,¡,к С/и1Л-1,к - и'

о, - V А. - . Аt - уА.

Здесь а. =-; Ь/ = 1+—ст; С/ =-;

6 V 9 6Л,

4 = (¿у;+я+¡3+13)

Аt

9 Л + ду+/3 + ;

Ч/,¡,к т ^1,/,¡,к т 9 '2,/,¡,к >

,у+13 = иД* 4 6Л1

%,+)3 у+^ 1, 1, ¡,к 1,

1, ¡,к

6Л,

%у+/3 - %у+/3

1, , ¡,к 1 1, , ¡,к-1

а %у+% +Ь%у+^ - С %у+^

а|С71,/, ¡,к+1^"1и1,/, ¡,к Ь1и1,/, ¡,к-1

= (№ - )Аt Здесь а/ - 9' ■

-б*

6Л,

= , Аt

Ь / =1 +—ст; 9

= (№ - )Аt

6Л,

б/ = FЗJ

3, , ¡,к

F,

3, , ¡,к

= (¿¡1+^3 +¿2

3%у+% +%у+ % + ^у ;

Л-Ч/,¡,к т ^1,/,¡,к т п '3,/,¡,к'

у+23 = иА.

4 6Л1

33 J1,/+1,¡,k ^/^¡к

С.

у+Уз = V Аt

6Л,

01723

¡ 1,к

%у+/ 1, , ¡

Так как х=0,| = у=0| = % г

= 0

а0, Д, по х - су по у - ку и по г - ту равно 0;

«0 (х, у, г) = 0; Д,( х, у, г) = 0.

Начальные условия % (х, у, г,0)= %2 (х, у, г); при t = 0.

Задача 2. Рассмотрим уравнения диффузии. Аппроксимируя производные, получим:

ау+/Ь _ду ду+/3 _ 2ду++ ду+/Ь % _ оду + %

и2Л,к и2Л,к - ^ и2,/+Ц,к 2,/,¡,к т 2,/-1,!,к - ^ и2,/,¡+1,к ":-|72,/,¡,к т 2,/,¡-1,к +

А./

Л

Л:

(Ук-0,5Д2,/,¡,к-1 -(Ук+0,5 +Ук-0,5 )%',¡,к +Ук + 0,5Д2,/,¡,к+1) _ 1 ду+13 1 „ ;

= Т" стДп ; 3 + Т" >11 и;

2,/,¡,к + 2 '/,¡,к;

(20)

ду+-ду+17 ду+^ - 2ду+^ +ду+^ 2,/,¡,к 2,/,¡,к - ^ ду+13 - к 2,/,2,/,¡-1,к

А^

у+ >Ъ 1 лу+^ 1 , у+ >Ъ

/3 2 СТД2,/,¡,к + 2 ! ;

Л

(21)

ду+1 -ду+/3 ^2,/, ¡,к ^2,/, ¡,к

А./

- ца

+У3 - ^ +

+(Ук-0%у+],к-1 - (Ук-0,5 +Ук + 0,5 )%2у+1,к +Ук+0%"+1к+1)/Л2

_ 1стДу+1 +1 >у+^

2,/, ¡,к

2 1

¡,к

(22)

С

Л

2

3

+

2

где

V в"+^ _ 2в"++в"+ +13 _ 2,1+1,У,к 2,'',у,к т 2,''-1,у,к .

h12

Р'

( п"+Уз ( \а"+13 а"+Уз \

+13 _ (ук-0,5в2,/, у,к _1 _ (ук -0,5 + У к+0,5 )в2,'', у,к + ук+0,5в2,/, у,к+1 ) ; _ "2 ;

в"+23 _ 2в"+% +в"+23

+23 _ в2,|,у+1,к 2в2,|,у,к +в2,/,у-1,к .

л

в"+% _ 2д"+23 +в"+23

23 _ в2,''+1,у,к 2в2,/,у,к +в2'-1,у,к

Вместо (20) получим:

Здесь

Л2

А//.Рв"+Уз + (2А//.Р_А//ст + 1)в"+% _А//.Рв"+>3

/3 ^2 2'/+1.У.k (2 /3 "2 /6 ^ 2,'\У,к /3 h2U2,/-1,У

Л2

-1,У ,к

в"

А/

2,',У,к + ^«1" _ Р" + у Г

А/р;

,2А/р АСТ ~6

Ь_ (^р -_ +1);

' зл2 ~

С _

А/ р ;

зКр

А/

б'_ вУш + Р«" - Р" + у .

V в /з _ 2в /3 +в /3

+13 _ 2,''+1,у,к ^■"2,1,у,к т 2,''-1,у,к .

Р"

(Ук -0,5в2,

/3 _ '/к_0,^^2,'',у,к-1 _ (Ук-0,5 + У к + 0,5 )в2,'',У,к + У к+0,5в2,'',у,к+1)

Вместо (21) получим:

Вместо (22):

-А//._Рв"+2/з + (2А//.Р-А//ст + 1)в"+23 _А//.Рв"+23 /3 У+1^ (2 /3 "2 /6 ^2,',у,к /з 2/,У-1,1

<13 + р«"+*

-Р"+я +—у 6 у

а)^; Ь'У_ (^ - — +1);

у зл22 у зл2 «

,2А/р Аст

~6~

.. _ А/р

Су _ эл|;

Р"+я +^ 6 у '

А//. Ук+0,5 в+1 _((У + У )_А//ст + 1)вn+1 _А//. Ук_0,5 вn+1 _

/3 2,'',у,к+1 и/к+0,5^"/к-0,5^01,2 /в ' 2',У,к /3 1,2 2,/,у,к+1 _

'', У,к+1

"3

= вУ+р«"+23 - рг+73 I" +73

3Л.

А/,

У

_ а//. Ук+0,5; а _ /3 "2 ; "з

к _2,'',У к +Р«

ьк _ ((Ук+0,5 + у к-0,5 -А% ст+1); ^ 6 ' '

Граничные условия для уравниения диффузии:

д2в2 ~дг

-Рв2

дв2

_ 0;

- А//. Ук_0,5 ■ ■ /з "2 '

_в2 2 + 4в2 1 _ 3в2 2Л

■ = Рв2,1;

а

а

а

2

Л

2

2

Л

3

б

3

С

и

г=0

г=Н

-02,2 + 46>21 - 3020 - = 2hpev; -02,2+(4 -2hp)02A -3вго = 0;

02,2 = (4 -2hp)02A -302,0. Из метода прогонки:

(с. - 3а.) d,

0 = --LJ-V—0О +-dL

(4а. - b. - 2h^a.) 0 (4а. - b. - 2h^a.)'

(с. - 3а.) d„ ^ ^ ■ Д, = 7-d-^ при z=0;

(4а. - b. - 2h^a. )' (4а. - b. - 2h^a.)

dz

дв2

-0K + 40K- 30K-2

= 0; => "K ' KK-2 = 0 2h

или

0 = (4 - 3^K-2)Bk-.+3BK-2 При z = H.

(.- (4 - 3Дк-2)Ak-.)

И так, для расщепленных задач по физическим процессам получен консервативный численный алгоритм, реализуя который можно исследовать и прогнозировать процесс распространения вредных веществ в атмосфере.

Для проведения вычислительного эксперимента на ЭВМ составлено программное средство на языке Delphi Borland.

Обсуждение результатов и выводы. По проведенным вычислительным экспериментам установлено, что, при уменьшении шага интегрирования по времени, решение полученных отдельных задач (задача (6)-(Ю) и задача (И)-(.3)) стремится к решению основной задачи 0)-(5).

Численные расчеты, проведенные на ЭВМ, при различных скоростях ветра по горизонтали и вертикали показали, что когда u,v,w,wg,/,у - постоянные и не изменяются со временем, решение задачи,

полученной методом расщепления по физическим процессам, дает хорошие результаты. Неточности решения расщепленных задач возникнут за счет изменения выше указанных параметров - как по времени, так и по пространственным переменным.

При проведении численных расчетов на ЭВМ, определение параметров /,у в пограничном слое атмосферы является одной из трудных и весьма важных задач динамической метеорологии.

Исследовано вертикальное распределение у при устойчивой и безразличной стратификации атмосферы. При проведении вычислительных экспериментов используются характерные значения у , полученные при решении системы уравнений, описывающей процессы, происходящие в пограничном слое атмосферы и по экспериментальным данным. Известно, что, при неустойчивой стратификации, у растет до 200-400 м и потом убывает с ростом высоты, при безразличной стратификации у растет до Ю0-.300 м, а при устойчивой стратификации - до 50-70 м, и потом резко убывает с высотой.

Список литературы:

1 Равшанов Н., Шарипов Д.К., Тоштемирова Н.Н. Математическая модель для контролирования санитарной нормы региона и оптимального размещения новых промышленных объектов // Отраслевые аспекты технических наук. - Москва: Изд-во ИНГН, 20.2. - № 6 (.8). - С. 5-9.

2. Равшанов Н., Шарипов Д.К. Сопряженная модель нестационарного процесса переноса и диффузии аэрозольных выбросов в атмосфере // В мире научных открытий. - Красноярск, 20.0. - № 6. -С. 67-70

3. Ravshanov N., Sharipov D. Model of optimum control of technological process of filtering of mixtures // International Journal of Academic Research. - Paris, 20Ю. - № 1 - P. .50-. 53.

4. Равшанов Н., Абдурахманов Б, Шарипов Д.К. Конструктивная системная методология математического моделирования для анализа и исследования процесса фильтрования ионизированных растворов // В мире научных открытий. - Красноярск, 20Ю. - № 4. - С. 20-23.

5. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, .982. - 3.9 с.

6. Равшанов Н., Шарипов Д.К., Модель и численный алгоритм для прогнозирования процесса распространения вредных веществ в атмосфере // Проблемы информатики и энергетики. - 20И - № 4. - С. .8-25.

7. Sharipov D.K. Development of mathematical software aerosol transport adn diffusion of the atmospheric emissions // European Applied Sciences. - Stuttgart: ORT Publishing, 20.3. - Vol. . № 1 - P. 233-240.