Математическая модель области F2 высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

1. Электродуговой металлизацией на установке ЭДУ-500С получены покрытия из ПП промышленного изготовления (HI III «Веха») и проволок разработки ИФТПС.

2. Химический состав покрытий из ПП показывает, что наибольшее содержание углерода наблюдается у САВ 21 и САВ 51. Наибольшее содержание хрома у покрытия ИФТПС приводит к повышению их поверхностной твердости и износостойкости.

3. Металлографические исследования показали, что покрытия из ПП разработки ИФТПС обладают более однородной слоистой микроструктурой. В переходной зоне (по направлению к основе) выявлены выступы протуберанцев, возникшие в результате термической деформации поверхности.

4. Сравнительные исследования микротвердости показали, что наибольшую микротвердость имеют образцы

САВ 51 и ИФТПС. Средние статистические значения микротвердости, обработанные в программной среде MathCad, показали, что покрытия из ПП САВ 51 и разработки ИФТПС обладают меньшим разбросом микротвердости.

Литература

1. Болотина Н.П., Ларионов В.П., Милохин С.Е., Шевченко В.Г. Влияние составов порошковых проволок на основе железа на структуру и износостойкость плазменно-напыленных покрытий // Физика и химия обработки материалов. 1990. № 2. С. 6569.

2. Клубникин B.C. О достижениях в термическом напылении покрытий // Пленки и покрытия 2001 (Труды 6-й Межд. конф.). СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. С. 15-22.

3. Хасуи А., Моригаки О. Наплавка и напыление. М.: Машиностроение, 1985. 238 с.

G.G. Vinokurov, I.I. Suzdalov, M.I. Vasilieva, N.F Struchkov

The investigation of structure and properties of gas-thermal coatings from powder wires

The coatings from powder wires by industrial manufacturing (HUil «Bexa») and wire made in IPTPN, received at different technological parameters have been investigated. The comparative researches of chemistry structure, structure and microhardness coatings have been led.

УДК 621.373.3

НА. Голиков, А.Г. Колесник, В.И. Чернышев, В.И. Попов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЛАСТИ *2 ВЫСОКОШИРОТНОЙ ИОНОСФЕРЫ

С УЧЕТОМ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА

Статья посвящена разработке и численной реализации математической модели высокоширотной ионосферы на основе системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера, в географической системе координат с учетом несовпадения геомагнитного географического полюсов и теплового режима высокоширотной ионосферы. Предлагается алгоритм для численного решения системы моделирующих уравнений на основе метода суммарной аппроксимации в сочетании с методом прогонки путем последовательного решения системы уравнений с итерациями. Полученная численная модель позволяет описывать крупномасштабную структуру высокоширотной ионосферы при различных гелиогеофизических условиях с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы.

Теоретическое исследование высокоширотной ионосферной плазмы предполагает построение математической модели, адекватно описывающей крупномасштабную структуру области Б ионосферы. В области высоких широт формируются и существуют множество ионосферных аномалий, не получившие еще полного теоретического объяснения. Если на средних широтах для параметров заряженной компоненты ионосферного газа одномерное приближение дает удовлетворительное описание, то при

переходе к высоким широтам, где важную роль в формировании структуры ионосферы играет перенос плазмы в горизонтальном направлении, это приближение не применимо. Поэтому в данном случае необходимо решить систему трехмерных моделирующих уравнений, учитывающих как вертикальный, так и горизонтальный перенос ионосферной плазмы.

В данной работе предлагается математическая модель области Б2 высокоширотной ионосферы с учетом тепло-

вого режима, построенная на основе системы уравнении гидродинамики в переменных Эйлера. Ионосферная плазма в области высот 120-500 км может быть описана в гид -родинамическом приближении следующими характеристиками: концентрацией ионов 0+, электронов, нейтральных составляющих и их температурами.

Для определения концентрации ионов 0+ необходимо решить уравнение неразрывности. В сферической геогра-фической системе координат оно имеет следующий вид [1]:

дп, ,д 1 [5 . _ д

—-= q. - І----(n.u. )------------{---\n.u.asmu\ H----in.u. і

dt dr i Rsin0 [50 dp i

где п. - концентрация ионов 0+; и., и. , и компоненты скорости ионов 0+; q, I . - скорости возникновения и исчезновения ионов 0+ соответственно; q - коширота; ] -долгота; Я - радиус Земли.

Компоненты скорости ионов ик, и., и.^определены из уравнения движения, в котором согласно [2, 3], опущены второстепенные члены, связанные с инерционным ускорением, ускорением Кориолиса и межионными соударениями. В интервале высот ионосферного слоя Б2 согласно [4] они не эффективны и не оказывают существенной роли на скорости ионов 0+. Учитывая данное упрощение и разлагая уравнение движения относительно компонент скорости ионов 0+ в сферической системе координат, получим следующие выражения для определения компонент скорости:

1 дп, 1 dTp 1

n dr T dr H

H—— cos I + u . sin I cos I,

H nn

u, д = — D„

1 дп, n dr

.1.

T l dr

Hl

. 2 r 1 г 1 8n, 1 8Ttl r . .

sin I Л-----[-------LH-----Lkos I sin I У +

R n 8в T дв 1

sin I cos I +—[— ^U cos21 -R n дв T дв

(2)

SP ' T . 2 t

---- sin I + u„й cos I,

H

Е r u =—^cosecI ’

,v H

где T = T+T.°K, Ее и Еф - меридиональная и зональные компоненты электрического поля соответственно, Da -коэффициент амбиполярной диффузии, СМ2С -1.

Вертикальная компонента электрического поля E исключается в соответствии с [2]. Подставляя уравнения для скоростей (2) в уравнения неразрывности (1) и опуская члены, играющие несущественную роль в переносе ионов, получим трехмерное уравнение для определения концентрации ионов 0+:

дп, д2 n, д2 n, дп, дп, дп,

— — A.-----—+A2-----— + B,---b B2---h B3----h Cn(O+) + f , (3)

dt dr2 2 дв2 1 dr 2 дв 3 dV

где:

kT AAA Е

A = Da sin21; A = —— cos21' Ві = —1H—1 - Ыпв cos21----cos I;

^ a Rv ’ 1 dr H"e H ’

і (sa, A 2 r Er

,=------1 ---- H------— - u о cos I-------- cos I I;

2 Rr I 88 h„ "e H

1 eb

---------------1 cos ecI; c=c +c ;

R sinS H r *

_ 1 8A 4 5 Hr. ~ -1 1 dTp mG g.r = _L 34 _ A 8 H s •

C у - ; -H r ^ ; д ~ Л /1

r Hr 8r Hr 8r Tp dr —Tp HЄ 86 H. 8в

~-1 1 ST

He= ; f = q -l ,

T дв j j

• = XV<, sUy

(1)

Компоненты электрического поля Ее, Еф в уравнении непрерывности (3) определены в геомагнитной системе координат. Перерасчет компонент электрического поля магнитосферного происхождения из геомагнитной системы координат в географическую производится согласно [5]. При этом, меридиональная компонента вектора в географической системе координат имеет вид:

W = F[ + Ff = F^ • cos q + Zn • F^ • sin q , (4)

X

X

причем zn= -1, при ZM<180° и zn=1, при ZM>180°, где LM-магнитная долгота.

Зональная же компонента определяется в виде:

U = < + = z„ • Ff ■ sinq + Fy • cosq ,

где zn=1, при LM<180° и zn= -1, при LM>180°.

Такой перерасчет также необходим при определении скорости ионизации нейтральных составляющих ввиду того, что зоны высыпаний высокоэнергичных частиц обычно приводятся в геомагнитной системе координат.

Так как магнитный полюс вращается вокруг географического, в модели электрического поля вводится следующее простое выражение для магнитного времени:

V = lM + 90°. (5)

Электрическое поле магнитосферного происхождения является внешним параметром и вводится с помощью аналитической аппроксимации экспериментальных данных [6] - модели Хепнера.

Температуры частиц ионосферной плазмы можно определить из уравнения теплопроводности, которое может быть представлено в следующем виде [2]:

dTL 1 dn

— = —Г fv - v SradT + (Г- 1)T—3- , (6)

at nCv n dt

где g - CJCjCv- теплоемкость при постоянном объеме; Cp - теплоемкость при постоянном давлении; L - число Лош-мидта; f - теплообмен в см3 в секунду, который определяется в видеf=Q — L, где Q - нагрев; L - охлаждение ионосферного газа.

Нагрев ионосферного газа происходит по следующим основным причинам: поглощения фотоэнергии солнечного излучения; на высоких широтах - вследствие корпускулярного нагрева вторгающимися частицами. Охлаждение ионосферного газа происходит в основном вследствие излучения, передачи энергии при теплообмене между ча-

стицами при различных температурах. Потери Р вследствие рассеяния при выделении тепла выражено в [2] в следующем виде

А член/е представляет собой:

/ = 0-Ь = 1,6*1012 (а -I -1 -І-1 ),

и е ^ее ' хе еп УЄ О ЄІ 7

(10)

Р =-Лу¥„ ,

с Н

где FH - выделение теплоты, которое определяется как

ЕН = —Л gradT

где X - коэффициент теплопроводности.

Расписывая уравнение (6) в сферической системе координат для электронов, уравнение теплового баланса может быть записано в виде:

8Т „ 8% „ 8% „ д2Т „ 8Т „ 8Т „ 8Т „ .

— — А, —— + А —— + А —— + В,--------н В.--н Вз-н С + ^ (7)

81 8т 8в 8ф 8т 8в 8ф ’

где введены следующие обозначения:

2

, . , „ 2 21 й! . 2 Яе

А =^—к в =-------------^^ - и а2 =-------------2

1 3кп г дг е 3кп г2

В =-

3кп,

2

А,. .21 ЗА. иіЯ . 2 Хг

-СО80 +---------- —L —- А =

Вз =

3кп. т2 зіп0 Зкп. г2 дв г 3 3кпе г2зіп2 в

і і е

2 1 дЛе ие„

Т,-------2 ■ ^ ^------------^ С = С.+ с + с3

3кпе г sin в дф гзт0 п 123

с1 =|2и +д-^,+1 и дп Iг(г-1);

1 ег ег е '-I '

г ог п ог

с = -

1 диы

1

г дв г єіп б

,1 иев дпе

п г дв

С = |-^_д-^+т(у-1); г дф пг дф

С4 = \--^ \Г(г-1); 7 = Ср/Сг = 5/ 3.

п СІ

(8)

Коэффициент теплопроводности для электронов имеет вид:

П-6-Т5/2 ■ 2 ,

1.23-10 6 Г/ зіп2 I 1 + 3.22 -104 £ £ пО

Ме 1=5

(9)

где согласно [2]

0,5 = 0,О2) = 2.2 • 10-16 + 7.9 • 10-18т:п;

0,6 = 0,(N2) = 2.8 -10-17Т!п - 3.4 • 10-21 Те3/2; 0,7 = 0, (О 2) = 3.4 -10-16.

где 1— = 1т+1Ш2.1Ш2 - скорость нагревания электронов за счет тушения колебательно возбужденного ^ 10 - скорость охлаждения электронов за счет возбуждения тонкой структуры 0(3Р); 1е1 - скорость потери энергии электронами за счет упругих соударений с ионами.

Компоненты скорости для электронов можно записать согласно [2, 3].

Решение полной системы моделирующих уравнений представляет исключительно трудную задачу, поэтому в рамках данной работы вводятся следующие упрощения, позволяющие сократить количество моделирующих уравнений. Температуру и концентрации нейтральных составляющих будем задавать по модели М818-83 [7]. Будем считать, что Т. ~Т. Из условия квазинейтральности плазмы следует, что концентрация ионов п. приблизительно равна концентрации электронов п . Это позволяет опустить уравнение непрерывности для электронов. При записи уравнения теплопроводности для электронов считаем, что вертикальные масштабы изменения температуры Т и теплопроводности X электронов значительно меньше горизонтальных, т.е. справедливы следующие соотношения [3]:

дЯ К ЛЯ дТ Я дТ

»

дг ЯЕ дг дг ЯЕ дг

Л дТ 1 дЛ дТ 1 дТ дЛ

е е >> е е ; е е

дг ЯЕ дв дг ЯЕ дв дг

1);

1 д\ дТе 1 дТе дк.

ЯЕ др дг Яе др дг

(11)

В результате уравнение для определения электронной температуры можно записать как:

ате ате

— = иег — дї дг

дТ„

и0п дТ0

Я дв Яэт0 дф

2 Нг д ( л дТе 3кпе Н2 дг [ е дг

д I НЙНг

Л,

Н

ди„„

Те ег ^

дг

АдТ

вт0 1—*-

) дг

Яэт0 дв 2

(0 - Ь),

Яэт0 дф

(12)

где к - 1,38*10-16 эрг/град - постоянная Больцмана.

Как показано в [1], конвективный перенос тепла и теплопроводность в тепловом режиме ионного газа играют второстепенную роль вплоть до высот ~500-600 км. Поэтому тепловой режим ионного газа определяется теплообменом между электронами и нейтральными частицами, а также нагревом ионного газа за счет джоулевой диссипации энергии электрических полей. В этом случае уравнение теплового баланса для ионов принимает следующий вид:

Ягп + Яге + Яю - 0 •

Ягю - скорость нагревания ионного газа за счет диссипации энергии электрических полей [8, 9]:

2 ^У-

Е 2 гп

Яю = т Е , (13)

н

1+1 (Уп / Ъ )2

где Уіп - частоты соударений ионов с нейтральными частицами.

С учетом выражений [3] для іп температуру

ионов можно определить следующим простым выражением:

Т =

дю + 5 лог1 пе [пег;1П + з-щ-9 пТ1 2]

5-10-1 п [пег;зп + з-10-9ПпТ;1/2]

(14)

Для замыкания полученной системы уравнений воспользуемся условием квазиэлектронейтральности плазмы:

п = п + п , (15)

е г ту к '

где п - концентрация молекулярных ИОНОВ.

Полученную систему уравнений модели необходимо дополнить краевыми условиями.

На нижней границе (г=120 км):

Т = Т. = Т •

е г п >

На верхней границе (г= 500 км): по концентрации п задается в виде потока

Ф(?, г,в,ф) -яіп21

8п I 1 8ТР 1 I (■ г г Ег г

L + п\-------------— Н------+ п I и Д81ПI СОВ I Н----------- СОВ I

дт ' \ Т дт НР І і I пв Н

п (г ,в,у, г) = п (г ,6,у + 2п, г ) ,

Те (г, в, (р, г) = Те (г,в,ф+2л, г) .

Задание начальных условий имеет произвольный характер.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом суммарной аппроксимации [10] в сочетании с расщеплением по физическим факторам [11]. При этом основными физическими факторами будем считать фотохимические процессы, локальный теплообмен в диффундирующей теплопроводной среде и перенос вещества, импульса и энергии в результате действия электрических полей и термосферного ветра.

В результате получим следующий общий метод решения для трехмерных уравнений неразрывности и теплопроводности.

На первом этапе будем решать следующую систему уравнений:

% = А. Ц. + А ^ + В;г % + Ввг Ъ + у (с. + $ ) + /' г , (16)

81 дг дв2 дг 9 дв Л г в>

Здесь

У ={п< ,Т.} для і=1>2.

где Ф(г, г , в, (р) - значение потока ионов 0+ на верхней

границе, которое определяется на основе экспериментальных данных. По температуре электронов задается поток тепла за счет теплопроводности:

у(г, г,е,я>) = -к, (УТе) п , где у/(г, г,0,ф) определяется по экспериментальным данным.

Уравнения относительно п,Т на полюсе имеют особенности, поэтому полюсные точки должны быть исключены из рассмотрения, а в них необходимо сформулировать краевые условия. Для этого воспользуемся стягиванием приполюсной области в точку, т.е. на полюсе п. , Т определяются как:

1 2^

щ(т,г) = Нт— [ пЛт,в,ф,г)йц>, е->0 2я 0

1 2ж

Те(г, г) = Иттг- 1 Те 0<#-

в^о2л 0

Для задания краевых условий по ^ используется условие периодичности

Л’1 = °а яіп2 I, А = ^СОВ21, в} -- А А1 +^,

’ т дт Н/

ве = А- ( 'А_+ Ле11 /11 = ь-Ь, °а = кТр

Яе \ дв Не], тЛп

с'У- 1 дЛт Лт д Н -1 -, Нт = — дТр —— + т0 Я

дт ~2 дт ТР дт кТр

Нт Нт Р

■ 1 1 дА Лд1 Э Не ~ 1 1 дТ, - „

с —-^-, не= =

Не

н е

.'2 _ 2Аг НГ

2_ 2 \H_2_Нт.. нвнгсов0

3кп, н2 т 3кп, ІН2 ат Я ав Н2 кяіпЄ Н2

%2 = 0, /2 = т^(Ь - 1е),

3кп,

с/ = о, С/ = 0.

Коэффициенты системы уравнений (16) находятся из соответствующих уравнений в результате учета только процессов ионизации, рекомбинации, локального теплообмена, нагревания и возбуждения, диффузии и теплопроводности.

На втором этапе этого же временного интервала решается оставшаяся часть системы уравнений, описывающая только процессы переноса:

= В'г'У. , о"г дУг , п"гдУг , ^'г , „"г , „"гч, (17)

дг г дг

ЧУ і _ п і ЧXі , п і ЧXі , п і ЧXі , і,^ і.^. і\’

~ _ вт — + Вв — + В<р + уі (сг + Св + с(р )

П

ЛІ = о

гда У = {пг,Те}для1

= 1,2,

В,} = -игв совIв1пI-----—совI,

г Н

>"1_ 1

□ сов I н—— в1п I

4 Н

__ 1 Ев

К в1пб Н

сов ecI,

С,

с!В,

Лг

В' 2 = -и„

С'в =-1--Л-(в'в1*те),

81П0 аО

_ав;

2 _ иев

В/ = -

В,

с2-I^ сг -зкc^s»u„), с -2 ■ ■4е

3 К эте ае

где

1=1,2 Уг = {пг ,Те }

Ё = Ёг + Ёв

/1 = / г; /в = 0;

Ёгг =-

А1 г _____, в' г с' г

2 ^ Вг я ^ Сг дг2 дг

+ Вв Св

дв2 дв

1 % - Ёу- - р 2 & “ ЁгУг “ /г ;

1 Ф'г' _ гг Л, _ /г.

(а)

(б)

где

Ё = Иг + Ё0 + Ёф;

?У _ В г ^ I с 'г ^г _ Пг л г ’

дг

" Л " ■

г* _ в I , с г

Р^ ^ ,

Ёе_ Ве се ■

Отсюда мы можем для (17) написать систему одномерных уравнений:

1 ^=Гу = 0

3 дг г 1 ’

1 ^=Ёт = 0 3 а у г ’

1 М = Ё^У; = 0

3 дг V г ’

(22)

(а)

(б)

(в)

где г=1,2; Уг ={пг,Те}.

В качестве начальных условий при решении системы уравнений (17) на временном слое г берется решение системы уравнений (16), полученное на временном слое г 1.

Далее систему уравнений (16), применяя метод расщепления по координатам, представляем в операторном виде

М. = Ё Уг = / , (18)

дг 1

(19)

Видно, что условия суммарной аппроксимации выполнены [10]. Поэтому (18) при условии (19) можно представить в виде системы одномерных уравнений следующего вида:

То есть, используя метод расщепления по физическим факторам в сочетании с методом суммарной аппроксимации, решение трехмерных нестационарных уравнений модели (16), (17) удалось свести к последовательному решению одномерных уравнений в виде (20), (22).

Решение каждой из систем уравнений (20) и (22) находится на одном и том же временном слое (г, г ). При этом в качестве начального условия при решении последующей системы уравнений используется решение предыдущей системы.

При решении уравнений (20) при г-1 (у. = п) исполь-зуется конечноразностная аппроксимация с последующим сведением к трехточечным уравнениям, которые достаточно эффективно решаются стандартным методом прогонки.

Введем равномерную сетку а =(!— ,,=0,1, ...,0) с шагом г. Переход от слоя, на слои у+41 осуществляется при помощи последовательности двухслойных схем. Аппроксимируя (20) неявной схемой с шагом т/2, получим уравнения вида:

1 У, Г'

'у{\/

(20)

В

т/2

+1/2 -гу{+1',/

■ +1/2

У{\/

2Аг

У,+1/2 _ 2У,+1/2 + У,+1/2 /1у{'-1, / Ау{\/ +у{'+1,/

г Аг2

+с;у{:12+//+1/2=0,

(23)

1 у{у у{у12 , а г у{"-Ц 2у{",1 + у,+и

2 т/2 А Д02

У) +1 _ У1 +1

в1 {"+1,/+1 ",/-1 ^ сг У,+1 + +1 = I

-гп. = Ёйу1 = /-Д.

2 дг 01 в

Таким же образом поступим с уравнением (17).

Итак, имеем:

^ + Ё у. = 0 , (21)

дг

2А0

■ + с0 у{ V + /в = 0

Данная система является локально одномерной разностной схемой, аппроксимирующей исходную с точностью О (г +1 Ьк |2) (где АИ - пространственный шаг интегрирования).

Далее (23) представим в виде стандартной трехточечной схемы следующего вида

Ау{ - скУ{ Т + ВЖу =- 4/ • <24>

В

и

К

2

МУ-, - с,уі'2-р'.;,1'2, (25)

где Ак = ^ ^ , Ск = 1 + 2 -4^ _ Сд ,

к Дг2 2Дг Д02 г

В"1 т

и а1

2 Да

Ск = 1/3 + гС ''

а = г,0 .

В т

Вк =

к 2Аа

_ = А_ В^ ; к Дг2 2 Дг ’

! • I •

А = 4,Г _ _ = 1 + 2 4* _^

' дв2 2Д0 ' де2 е

]т Вд Т

1 Г уі +1 У' ] А ’ Г У/+11 - - 2 уу+1 + у/;4,1 ^

2 1 т ) а V Да2 ,

ґу/:: -

- В у і+1 - /]+1 = 0

аУі •>

АкУІ-1 ~СкУІ*'+*ку£і1 -р(

где Аі = Щ - Кі к ■ „2

А а2 2Аа

А‘ т В' т

■ Ск = 1/2 + т—Щг-С„т,

Да2 2 Да

Ла

■ ' уі+/«г-

2

Здесь а = г ,0.

С уравнениями (22) поступим следующим образом. Уравнения (22 а), (22 б) аппроксимируем конечными разностями по неявной схеме аналогично (23). В результате чего получим систему трехточечных уравнений, аналогичных (24), (25).

Для (22 а) (22 б) при /=2 (у =Те) получим следующие уравнения

1 ( у3+1 _ Л ( Л ,1+1 _ ,3+1 ^

У - Уі

-В”

Уі+1 - Уі-1 ч 2Да2

С ” у'+1 = 0-

а у і

Откуда

АІ уІ-і, - СІ-УІ+1+Вк уі+!=- рі ,

Уравнение (22 в), учитывающее дрейфовый и зональный перенос плазмы, имеет особенности, а именно коэффициент В имеет очень сильную неравномерность по долготе для данного уравнения. Поэтому можно воспользоваться конечноразностной аппроксимацией по неявной симметричной схеме вида [12]

' 1,1+1 , ,3+1

уі, - уі . АІ уУ - у£-1 пРи В,<01 С ,+1 = 0 г ЛИуС+1 -уЦУ пРиВ<Р>0} с у

Д02 2Д0

Р' _ у'/2 , / т р'+1/2 _ -1/2 , / т

РкI ~ УкI + /гт ■ рк",, - у6к, + /т

Для (20) при /=2 (у.=Те), разлагая его конечными разностями, получим

которую можно затем представить в виде следующего трехточечного уравнения

(^ш ^ \Игп |)ук,1 у-\ 2(1 І^у I С^ )Ук,,,у ^

.1+1

+ ( | | + ) Ук,! 1+1 2 Ук, I, т, (26)

где ^т = ——т ; к, I, т - индексы узлов по г, 0^ ф.

Итак, мы получили систему трехдиагональных алгебраических уравнений, которые могут быть решены затем стандартными численными методами. К сожалению, решение полученной системы методом матричной прогонки в сочетании с итерациями по методу Ньютона встречает много трудностей ввиду крайней неравномерности коэффициентов матрицы. В связи с этим в данной работе был применен следующий абсолютно устойчивый и простой метод решения, суть которого заключается в следующем: на первом шаге решается уравнение неразрывности стандартным методом прогонки, причем температура Те задается в виде следующего простого соотношения, Те =Тп (1 + 8т(^ / 2)), т.е. в полдень Те = Т = 2Тп , а в полночь Те = Т = Тп [12]. Далее, на втором шаге ищется решение уравнения теплопроводности с использованием полученных на первом шаге значений концентрации частиц. После чего снова решается уравнение неразрывности с использованием полученных на втором шаге значений температуры (рис. 1).

Рис. 1. Упрощенная блок-схема метода решения системы уравнений модели

Повторение первого и второго шагов происходит ДО тех пор, пока процесс не станет стационарным.

Естественно, решение каждого из уравнений имеет свои особенности. Поэтому рассмотрим алгоритм решения расщепленных уравнений по отдельности.

Уравнение вида (20 а) неоднократно решалось другими авторами, поэтому решение его методом прогонки не встречает особых трудностей. Решение уравнения (20 б) ввиду того, что оно содержит член вида в ,

с16

затруднено, т.к. при больших абсолютных значениях В нарушается условие монотонности прогонки. Поэтому для его решения используется метод характеристик как в [12].

Теперь рассмотрим по отдельности ход решения системы уравнений (22).

Уравнение (22 а), описывающее изменение концентрации за счет вертикальных дрейфовых движений дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях и увлечение ионов термосферным ветром (при а=1), изменение темпратуры плазмы за счет ее перемещения и изменения концентрации (при а=2), по своей структуре оно аналогично уравнению (20 б) и решается так же.

Решение уравнения (22 б), учитывающего дрейфовый меридиональный перенос плазмы, не имеет особенностей и решается стандартным методом прогонки при соответствующем подборе шага по времени.

Поскольку граничные условия по ф заданы в виде условия периодичности, то для решения системы разностных трехточечных уравнений (22 в) используется метод циклической прогонки [10]. Численные расчеты в рамках полученной модели показали хорошее согласие с экспериментальными данными. Для примера на рис. 2 приведено в экваториальной плоскости пространственно-временное распределение электронной концентрации в максимуме области Б2 (птБ2 в ед. 104см-3), построенное соответственно по модельным расчетам (рис. 2 а) и экспериментальным данным (рис. 2 б) для условий зимнего солнцестояния (декабрь) для периода максимума солнечной активности. Сопоставление рис. 2 а и рис. 2 б показывает хорошее качественное и определенное количественное согласие. Далее на рис. 3 а показаны полученные на модели линии равной концентрации ионов в полярной системе координат (в ед. 104 см-3) по результатам расчетов на модели для зимних условий в период низкой солнечной активности при ЦТ 12.00 часов (мировое время). Звездочкой показано положение Солнца, а на внешнем круге указана долгота.

12 (0°)

18

(90°)

Л0«\

Д Й. \

[^0/

\ \ 30 , : зоу ••• •" /у / л0

06

(270°)

0 (180°)

Рис. 2. Пространственно-временное распределение электрон -ной концентрации в максимуме области Е2 (п Б2 в ед. 104см-3), построенное соответственно по модельным расчетам (а) и экспериментальным данным (б) для условий зимнего солнцестояния (декабрь) в период максимума солнечной активности

б

Рис. 3. Линии равной концентрации ионов в полярной системе координат (в ед. 104 см-3) по результатам расчетов на модели (а) и распределения электронной концентрации (в ед. 104 см-3) в максимуме области Б2, по данным Якутской меридиональной цепочки станций для зимних условий в период низкой солнечной активности при ОТ 12.00 часов

12 (0°) 12 иТ

а

12 (0°) 12 иТ

б

12(0)

В

Рис. 4. Результаты расчетов пространственно-временного распределения концентрации ионов 0+ (п,) в максимуме слоя Б2 для равноденственных условий (март) с учетом Г, полученной по выражению Те = Тп (1 + зт(&>? /2)) (а), после решения полной системы уравнений (б) и медианные значения, полученные на якутской цепочке станций ВЗ (в)

Видно, что общий вид расположения изолиний качественно правильно отражает экспериментально наблюдаемую картину распределения электронной концентрации (в ед. 104 см-3) в максимуме области Е2, по данным Якутской меридиональной цепочки станций вертикального зондирования (ВЗ) (рис. 3 б) [12].

На рис. 4 представлены результаты расчетов пространственно-временного распределения концентрации ионов 0+ в максимуме слоя Б2 для равноденственных условий (март). На рис. 4 а приведены результаты расчетов при задании температуры электронов по формуле [12]:

Те = Тп (1 + зт(^ /2)) .

Далее, на рис. 4 б показано распределение п,, рассчитанное на разработанной модели с учетом теплового режима ионосферы. Из сопоставления рисунков видно, что полученные картины отличаются в утреннем секторе. Изолинии на рис. 4 б несколько смещены от утренней стороны, т.е. концентрация там несколько ниже, чем на рис. 4 а. Такое различие получается за счет того, что температура нейтральных частиц и электронов в утреннем секторе сильно отличается. Если теперь сравнивать рис. 4 б с рис. 4 в, на котором приведены медианные изолинии для марта месяца, по данным якутской сети ВЗ [12] (при тех же условиях, что и при расчете), видно, что рис. 4 б более точно описывает распределение ионосферной концентра -ции в максимуме области Б2.

Таким образом, сравнение результатов расчета с экспериментальными данными и данными, полученными на эмпирической модели, и их анализ показали, что построенная модель высокоширотной ионосферы адекватна реальной среде при спокойных геофизических условиях.

Литература

1. Колесник А.Г., Голиков И.А. Трехмерная модель высокоширотной области F с учетом несовпадения географических и геомагнитных координат // Геомагнетизм и аэрономия. 1982. Т. 22. № 5. С. 725-731.

2. Stubbe P. Semultaneous solution of the time dependent coupled conti nuity equations, heat conduction equations, and equations of motion for a system consisting of a neural gas, an electron gas, and a four component ion gas // J. Atmos. Terr. Phys. 1970. Vol.32. N5. P.865-903

3. Колесник А.Г., Голиков А.Г., Чернышев В.И. Математические модели ионосферы. Томск: МГП Раско, 1993. 240 с.

4. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы. М.: Наука, 1974. 256 с.

5. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И. Использование выражений сферической астрономии в моделировании высоко-

широтной ионосферы // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2004. Вып. 122. С. 50-52.

6. Heppner J.P. Empirical model of high latitude electric field // J. Geophys.Res.1977. Vol.82.#7.P.1115-112.

7. Hedin A. E. A Revised Thermospheric Model Based on Mass Spectrometer and Incoherent Scatter Data: MSIS-83// J. Geophys. Res. -1983.- Vol.88, -7P.10170-10188

8. Мизун Ю.Г. Полярная ионосфера. Л.: Наука, 1980. 216 с.

9. Stubbe P. Varnum W.S. Electron energy transfer rates inthe ionosphere. - Planet. Space Sci., 1972, V.20 p.1121-1126.

10. Самарский A.A. Теория разносных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

11. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 353 с.

12. Голиков И.А. Математическое моделирование крупномасштабной структуры высокоширотной области F ионосферы: Дис ...канд. физ.-мат. наук. Якутск, 1981. 141 с.

I.A. Golikov, A. G. Kolesnik, VI. Chernyshev, VI.Popov

Mathematical model of high-latitude ionosphere’s F2 layer with allow for heat mode

The paper is dedicated to development and the numerical realization of high-latitude ionosphere mathematical model on the basis of three-dimensional system of magnetic hydrodynamics parabolic equations in Eyler variables, in geographical coordinate system subject to non-coincidence of geomagnetic and geographical poles and heat mode of the high-latitude ionosphere. The algorithm is offered for the numerical decision of the system prototyping equations on the basis of the method of the total approximation in combination with method of successive approximations by way of the consequent decision of the equations system with iterations. Obtained numerical model allows to describe the large-scale structure of the high-latitude ionosphere under different gelio- geophysical conditions subject to of heat mode of the high-latitude ionosphere.