CC BY
6
Матвеев А.Д. Метод фиктивных дискретных моделей в расчетах композитных тел // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2022. - № 1. - С. 45-57. DOI: 10.15593/регт.тесЫ2022.1.05
Matveev A.D. The method of fictitious discrete models in calculations of composite bodies. PNRPU Mechanics Bulletin, 2022, no. 1, pp. 45-57. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.1.05
пермскии политех
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 1,2022 PNRPU MECHANICS BULLETIN
https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/index
Научная статья
Б01: 10.15593/регш.тесЬ/2022.1.05 УДК 539.3
МЕТОД ФИКТИВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ В РАСЧЕТАХ КОМПОЗИТНЫХ ТЕЛ А.Д. Матвеев
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия
О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ
Как известно, расчет на статическую прочность упругих композитных тел (КТ) сводится к нахождению максимальных эквивалентных напряжений для этих тел. Для анализа напряженного состояния КТ широко используется метод конечных элементов (МКЭ). Базовые дискретные модели (БМ), которые учитывают в рамках микроподхода неоднородную структуру тел, имеют высокую размерность. Для понижения размерности дискретных моделей эффективно применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ). Однако существуют БМ КТ (например, БМ тел с микронеоднородной структурой), которые имеют такую высокую размерность, что реализация МКЭ для таких БМ с применением МнКЭ, в силу ограниченности ресурсов ЭВМ, затруднительна. Для решения данной проблемы здесь предлагается использовать фиктивные дискретные модели, размерности которых меньше размерности БМ КТ.
В данной работе предлагается метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для расчета на прочность упругих тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой. Предлагаемый метод реализуется с помощью МКЭ с применением МнКЭ и скорректированных условий прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. В основе метода лежит положение, что решения, отвечающие БМ КТ, мало отличаются от точных.
Расчет КТ по МФДМ сводится к построению и расчету на прочность фиктивных дискретных моделей (ФМ), которые обладают следующими свойствами. ФМ отражают: форму, характерные размеры, крепление, нагружение и вид неоднородной структуры КТ, и распределение модулей упругости, отвечающее БМ КТ. Размерности ФМ меньше размерности БМ КТ. Последовательность, состоящая из ФМ, сходится к БМ, т.е. предельная ФМ совпадает с БМ. Сходимость такой последовательности обеспечивает равномерную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ к максимальному эквивалентному напряжению БМ.
Рассматриваются два типа ФМ, первый тип - масштабированные ФМ, второй - ФМ с переменными характерными размерами. Расчеты показывают, что реализация МКЭ для ФМ с применением МнКЭ приводит к большой экономии ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать МФДМ для тел с микронеоднородной регулярной структурой. Расчет на прочность КТ по МФДМ требует в 103 ^ 106 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с использованием БМ КТ, и не содержит процедуру измельчения БМ. Применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах КТ на прочность приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ. Приведенный пример расчета на прочность балки с неоднородной регулярной волокнистой структурой по МФДМ показывает его высокую эффективность.
© ПНИПУ
© Матвеев Александр Данилович - к.ф.-м.н., доц., с.н.с., e-mail: mtv@icm.krasn.ru.
Alexsandr D. Matveev - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher, e-mail: mtv@icm.krasn.ru.
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
Получена: 29 мая 2021 г. Одобрена: 15 марта 2022 г. Принята к публикации: 01 апреля 2022 г.
Ключевые слова:
упругость, композиты, скорректированные условия прочности, фиктивные дискретные модели, многосеточные конечные элементы.
THE METHOD OF FICTITIOUS DISCRETE MODELS IN CALCULATIONS OF COMPOSITE BODIES
A.D. Matveev
Institute of Computational Modeling SB RAS, Krasnoyarsk, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
As is known, the calculation of the static strength of elastic composite bodies (CB) is reduced to finding the maximum equivalent stresses for these bodies. The finite element method (FEM) is widely used for the analysis of the stress state of CB. The basic discrete models (BM), which take into account the inhomogeneous structure of bodies in the framework of a micro-approach, have a high dimension. To reduce the dimension of discrete models, multigrid finite elements (MgFE) are effectively used. However, there are BM CB (for example, BM bodies with a micro-homogeneous structure), which have such a high dimension that the implementation of FEM for such BM using MgFE, due to limited computer resources, is difficult. To solve this problem, it is proposed to use fictitious discrete models whose dimensions are less than the dimension of the BM Cb.
In this paper, we propose a method of fictitious discrete models (MFDM) for calculating the strength of elastic bodies with an inhomogeneous, micro-homogeneous regular structure. The proposed method is implemented using FEM with the use of MgFE and adjusted strength conditions that take into account the error of approximate solutions. The method is based on the position that the solutions that meet the BM CB differ little from the exact ones.
The calculation of CB according to MFDM is reduced to the construction and calculation of the strength of fictitious discrete models (FM), which have the following properties. The FM reflects: the shape, characteristic dimensions, attachment, loading and type of the inhomogeneous structure of the CB, and the distribution of elastic modulus corresponding to the BM CB. The FM dimension is less than the BM dimension of the CB. The sequence consisting of FM converges to BM, i.e. the limiting FM coincides with BM. The convergence of such a sequence ensures uniform convergence of the maximum equivalent voltages of the FM to the maximum equivalent voltage of the BM.
Two types of FM are considered. The first type of FM consists of scaled discrete models, the second type consists of FM with variable characteristic dimensions. Calculations show that the implementation of FEM for FM using MgFE leads to a large saving of computer resources, which allows the use of MFDM for bodies with a micro-homogeneous regular structure. The calculation of the strength of CB according to MFDM requires 103 +106 times less computer memory than a similar calculation using BM CB, and does not contain a procedure for grinding BM. The use of adjusted strength conditions allows us to use approximate solutions with a large error in the calculations of CB for strength, which leads to an increase in the efficiency of MFDM. The given example of calculating the strength of a beam with an inhomogeneous regular fibrous structure according to MFDM shows its high efficiency.
© PNRPU
Введение
Статический расчет на прочность упругих конструкций (тел), который проводится по запасам прочности [1-3], сводится к определению максимальных эквивалентных напряжений конструкций. В этом случае для тела У0 заданные условия прочности имеют вид П < п0 < п2 , где п , п2 заданы, п0 - коэффициент запаса тела V,-!, п0 =о1. / о0, о1. - предел текучести (предельное напряжение) [1], о0 - максимальное эквивалентное напряжение тела, отвечающее точному решению задачи упругости (построенному для тела V,). Для максимальных эквивалентных напряжений конструкций, которые определяются приближенно, используются скорректированные условия прочности [4], учитывающие погрешность напряжений. При анализе напряженного деформированного состояния (НДС) упругих композитных тел (КТ) широко используется метод конечных элементов (МКЭ) [5-11]. Базовые дискретные модели
Received: 29 May 2021 Approved: 15 March 2022 Accepted for publication: 01 April 2022
Keywords:
elasticity, composites, adjusted strength conditions, fictitious discrete models, multigrid finite elements.
(БМ), которые учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру тел в рамках микроподхода [12], имеют очень высокую размерность. Для решения задач теории упругости [13-16] эффективно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [17-23], в котором используются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) [24-29]. Отметим, что ММКЭ является обобщением МКЭ, в котором применяются односеточные конечные элементы (КЭ), так как если в МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае по сути реализуется ММКЭ. МнКЭ учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру тел в рамках микроподхода и порождают дискретные модели малой размерности. Однако существуют такие БМ КТ, например, БМ тел с микронеоднородной структурой имеют такую высокую размерность, что реализация МКЭ для таких БМ с применением МнКЭ, в силу ограниченности ресурсов ЭВМ, затруднительна. Для решения данной проблемы предлагается использовать фиктивные дискретные модели. Существующие приближенные подходы и методы расчета КТ имеют сложные формулировки, в основе
которых лежат гипотезы, и к тому же они труднореализуемы [30-38].
В данной работе предлагается метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для статического расчета на прочность тел с неоднородной регулярной структурой. Предлагаемый метод реализуется с помощью МКЭ с применением МнКЭ и скорректированных условий прочности [4]. Введем определение фиктивных дискретных моделей, которые используются в МФДМ.
Определение 1. Дискретные модели КТ V с регулярной структурой будем называть фиктивными моделями (ФМ), если эти ФМ обладают следующими свойствами.
1. Неоднородные структуры ФМ отличаются (или не отличаются) от неоднородной структуры БМ КТ V.
2. ФМ отражают: форму, характерные размеры, крепление, нагружение и вид неоднородной структуры КТ V, и распределение модулей упругости, отвечающее БМ КТ V.
3. Последовательность, состоящая из ФМ, сходится к БМ КТ V, т.е. предельная ФМ последовательности совпадает с БМ КТ V.
4. Размерности ФМ меньше размерности БМ КТ V, кроме предельной ФМ, размерность которой равна размерности БМ КТ V.
В данной работе предлагается рассматривать ФМ двух типов.
Первый тип - масштабированные ФМ, которые образованы с помощью масштабированных регулярных ячеек КТ, имеют такие же характерные размеры, форму, крепления и нагружения как БМ КТ, но неоднородные структуры ФМ отличаются от неоднородной структуры БМ. Масштабированные ФМ отражают вид неоднородной структуры БМ и распределение модулей упругости, отвечающее БМ. В расчетах используется последовательность ФМ, которая сходится к БМ КТ, т.е. предельная ФМ этой последовательности совпадает с БМ. Расчеты показывают, что сходимость такой последовательности обеспечивает равномерную монотонную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ к максимальному эквивалентному напряжению БМ. Реализация МКЭ для ФМ с применением МнКЭ приводит к большой экономии ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать МФДМ для расчетов на прочность тел с микронеоднородной регулярной структурой. В этом случае реализация МФДМ требует в 103 ^106 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с использованием БМ КТ, и не требует измельчения БМ КТ. Приведенный пример расчета композитной балки по МФДМ с применением масштабированных ФМ показывает его высокую эффективность.
Второй тип - это ФМ с переменными характерными размерами, которые имеют такую же неоднородную структуру, как БМ КТ, но отличаются от БМ характерными размерами. В отличие от работы [39], здесь сформулированы условия, которые обеспечивают построение для КТ ФМ первого типа, и рассмотрены процедуры построения ФМ второго типа для балок и оболочек
с постоянным поперечным сечением сложной формы, армированных непрерывными параллельными (оси балки, оболочки) волокнами, и для трехмерных тел с неоднородной регулярной структурой, которые состоят из конечного числа регулярных ячеек. Показано, что применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ.
1. Основные положения метода фиктивных дискретных моделей
В МФДМ применяются КТ, которые удовлетворяют следующим положениям.
Положение 1. КТ состоят из разномодульных изотропных однородных упругих тел, связи между которыми идеальны, т.е. на общих границах разномодуль-ных изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений являются непрерывными.
Положение 2. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных изотропных однородных тел отвечают соотношениям линейной теории упругости [40].
Положение 3. Приближенные решения (построенные по МКЭ), которые отвечают БМ КТ, мало отличаются от точных решений. Такие приближенные решения будем считать точными.
В основе МФДМ лежит теорема, формулирующая скорректированные условия прочности, которые учитывают погрешность максимальных эквивалентных напряжений.
Теорема 1. Пусть для коэффициента запаса п0 упругого тела V, заданы условия прочности
П < п, < п2, (1)
где п1, п2 - заданы, п1 > 1, п0 =аТ / о0, ат - предельное напряжение тела V,, о0 - максимальное эквивалентное напряжение тела V,, которое отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела V,.
Пусть коэффициент запаса пь тела V,, отвечающий приближенному решению задачи теории упругости, удовлетворяет скорректированным условиям прочности
Тогда коэффициент запаса п0 тела V,, отвечающий точному решению задачи теории упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (1), где пь =ат / аь, сь - максимальное эквивалентное напряжение тела V,, отвечающее приближенному решению задачи теории упругости, построенному для тела V,, и найденное с
такой погрешностью 5ь, что
bb | <5<Сa =
П2 - П1 n + n
(3)
где 8а - верхняя оценка относительной погрешности 8Ь, 8а - задано, погрешность 8Ь для напряжения оь определяется по формуле 8Ь = (о0 -сь) / о0.
Доказательство теоремы 1 изложено в работе [4]. В МФДМ при расчете КТ V можно использовать два типа ФМ - масштабированные ФМ или ФМ с переменными характерными размерами. Для практики важно построить для КТ V такую последовательность ФМ, которая сходится к БМ КТ V и обеспечивает равномерную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ последовательности к максимальному эквивалентному напряжению БМ КТ V. Согласно МФДМ приближенное решение, отвечающее БМ КТ V, является точным.
2. Масштабированные фиктивные дискретные модели
Рассмотрим ФМ первого типа, т.е. масштабированные ФМ. Не теряя общности суждений, для простоты изложения рассмотрим применение в МФДМ масштабированных ФМ на примере тела У0 формы прямоугольного параллелепипеда с неоднородной регулярной структурой размерами Н1X Н2 X Н3,
где H1 = 6hN1, H2 = 6hN2, H3 = 6hN3,
(4)
где Ы1, Ы2, Ы3 - целые, Ы1 < Ы2 < Ы3, Ы1,Ы2,Ы3 >> 1, И - задано и мало.
Тело У0 расположено в декартовой прямоугольной системе координат Охуг , рис. 1.
Рис. 1. Тело V0 Fig. 1. Body V0
При y = 0 тело V0 жестко закреплено, т.е. при y = 0 имеем u, v, w = 0. Тело V0 армировано ортогональными непрерывными волокнами. Пусть для тела V0 на поверхности z = H3 задано статическое нагружение вида qx = q1, qz = q2, где q1(x,y) , q2(x,y) - гладкие функции, и заданы условия прочности (1), т.е. в соотношении (1) заданы значения n1, n2. Базовая модель R0
КТ V , которая состоит из КЭ VJh 1-го порядка формы
куба со стороной И (в которых реализуется трехмерное НДС), учитывает неоднородную структуру тела У0 и порождает равномерную (базовую) трехмерную сетку с шагом И размерности (6 Ы1 +1) X (6Ы2 +1) X (6Ы3 +1).
Считаем, что так как И мало и Ы1, Ы2, Ы3 >> 1, то положение 3 МФДМ (см. п. 1) для КТ V0 выполняется.
Регулярная ячейка 00 (рис. 2) тела У0 имеет форму куба со стороной 6И . Таким образом, в силу (4) тело У0 состоит из конечного числа ячеек 00 . На рис. 2 показана базовая сетка ячейки 00, волокна сечением И X И расположены по ребрам ячейки 00, границы волокон отмечены жирными линиями, регулярная ячейка 00 расположена в локальной декартовой системе координат Oxyz, /, ], к = 1,7. Модули упругости волокон одинаковы. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во всей области КТ У0.
Рис. 2. Регулярная ячейка G0 Fig. 2. Regular cell G0
Введем следующие определения.
Определение 2. Будем говорить, что трехмерное упругое тело G образовано путем масштабирования упругого трехмерного тела G0 с коэффициентом масштабности p > 0 , если любой точке A е G0 отвечает такая единственная точка B е G, что xB = pxA, yB = pyA , zB = pzA , где xA, yA, zA (xB, yB, zB) - координаты точки A (точки B ), отвечающие декартовой прямоугольной системе координат Oxyz . И, наоборот, если любой точке
B е G отвечает такая единственная точка A е G0, что xA = xB / p , yA = yB / p , zA = zB / p . Модули упругости в
точках A е G0, B е G одинаковы.
Определение 3. Трехмерное упругое тело G, полученное путем масштабирования заданного (базового) упругого трехмерного тела G0 с заданным коэффициентом масштабности p, будем называть масштабированным. Связь между масштабированным телом G и базовым телом G0 представляется в виде G = p G0, G = p G0 где p - коэффициент масштабности.
Согласно МФДМ масштабированная композитная дискретная модель Rn имеет такие же характерные размеры, форму, крепление и нагружение, как БМ R0, и
состоит из конечного числа регулярных ячеек Оп размерами 6Ип X 6кп X 6кп, т.е. модель Яп имеет равномерную сетку с шагом кп . Для определения шага кп используем минимальный характерный размер КТ V,, т.е. Н1. Так как модель Яп состоит из конечного числа ячеек Оп размерами 6кп X 6кп X 6кп, то выполняется равенство 6кпп = Н1, где п - целое. Учитывая в последнем равенстве, что Н 1 = 6кЫ1 и принимая N = Ы1, имеем
где n = 1,..., N. Из (5) следует
hn = hN
К = enh,
(5)
(6)
где вп = N / п, вп - коэффициент масштабности, при п ^ N : кп ^ к , кы = к, при п < N : вп > 1-
Регулярная ячейка Оп образуется путем масштабирования регулярной ячейки G0 КТ V, с коэффициентом масштабности (см. определение 2), т.е. тело Оп является масштабированной регулярной ячейкой (см. определение 3). Это означает, что тело Оп имеет такое же число волокон (сечением кп X кп) и такое же их взаимное расположение, как регулярная ячейка G0 (см. рис. 2). На рис. 3 тело Оп расположено в локальной декартовой системе координат Охуг , показана его равномерная сетка с шагом кп , границы волокон отмечены жирными линиями, /,у,к = 1,...,7 . Волокна и матрицы КТ Оп и О0 имеют одинаковые модули упругости.
Рис. 3. Регулярная ячейка Gn Fig. 3. Regular cell Gn
Формы и неоднородные структуры тел Gn и G0 геометрически подобны, т.е. отличаются только масштабностью (см. рис. 2, 3). Тогда, учитывая (6) и что волокна и связующий материал КТ Gn и G0 имеют одинаковые модули упругости, связь между телами Gn, G0 представляется в виде (см. определение 3)
Gn =ßnGo,
(7)
Пусть
N2 = кN3 = к2N , (8)
где к1, к2 - целые числа.
Модель Яп состоит из КЭ V" 1-го порядка формы куба со стороной кп (в 1 с КЭ V" реализуется трехмерное НДС), которые порождают равномерную сетку с шагом кп размерности п1(п) X п2п) X п(3п), где п<(п) = (6кN1 / кп +1), п2п) = (6kN2/ кп +1), п3(п) = (6кЩ/ кп +1). Учитывая (6), (8) в последних трех равенствах и что N = ^ , получаем
n(n) = 6n +1, n(n) = k 6n + 1
n3n) = k26n +1, n = 1,...,N.
(9)
где ßn = N/n , n = 1,...,N, при n ^ N имеем ßn ^ 1,
ßn =1, т. е. Gn = Go.
Поскольку в регулярной ячейке G0 учитывается неоднородная структура, то в силу (7) и в КТ Оп также учитывается неоднородная структура с помощью КЭ V" формы куба со стороной кп . Модель Яп, которая в силу (6), (7) образуется с помощью масштабированной регулярной ячейки Оп, будем называть масштабированной. Отметим, что КТ Оп по сути является регулярной ячейкой модели Яп. Так как в регулярной ячейке Оп учитывается неоднородная структура, то, следовательно, и в модели Яп учитывается неоднородная структура. Отметим, что в силу (7) при п < N : в„ > 1, т.е. неоднородные структуры модели Яп и БМ R0 КТ V, различны.
Для модели Яп отметим следующие свойства, которые показывают достоинства МФДМ.
1. Размерность сетки модели Яп при п < N в силу (8), (9) и что N = N1 меньше размерности (6N1 +1) X (6N2 +1) X (6N3 +1) сетки БМ R0. Поэтому реализация МКЭ для модели Яп (при п < N) требует меньше объема памяти ЭВМ, чем для БМ R0.
2. При построении масштабированных композитных дискретных моделей Яп не используется процедура измельчения БМ КТ.
Согласно (6), (7) при п = N (км = к, ^ = 1, GN = G0) дискретные модели Ям и R0 совпадают, т. е. Ям = Я0. Так как модель Ям , т.е. БМ Я0, порождает решение, которое мало отличается от точного (см. положение 3 МФДМ), то считаем, что максимальное эквивалентное напряжение модели Ям мало отличается от точного максимального эквивалентного напряжения о0 КТ V,. Тогда полагаем о0 = , так как положение 3 МФДМ для БМ Я, выполняется. В силу (6), (7) при п ^ N (при вп ^ 1) имеем Gn ^ G0. Отсюда, учитывая, что тела Gn, G0 есть регулярные ячейки соответственно моделей Яп, R0, и что эти модели имеют одинаковую форму и характерные размеры, получаем
Я ^ Км = Я0 при и ^ N .
(10)
Согласно (10) при и ^ N имеем оп ^ сЫ или, учитывая, что о0 = оN, получаем
ои ^ о0 при и ^ N,
где оп - максимальное эквивалентное напряжение фиктивной дискретной модели Яи.
Выше по сути доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть тело V« с неоднородной регулярной структурой имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами аXЬ X с, где Ь / а , с / а - целые. Пусть БМ Я0 КТ V состоит из конечного числа регулярных ячеек. Тогда для КТ V« можно построить такую последовательность масштабированных дискретных фиктивных моделей {Яи }'N=l, которая порождает последовательность напряжений {ои }Ы=1, равномерно сходящуюся к напряжению о0, т. е. ои ^ о0 при и ^ N, где о„ (о0) - максимальное эквивалентное напряжение ФМ Яи (БМ R0, т.е. КТ V«). Размерность ФМ Яи (при и < N) меньше размерности БМ R0.
Пусть 5о = | ои - ои-11 /ои малая величина и | 5И | < 5а , где 5И - относительная погрешность для напряжения ои, т. е. 5И = (о0 -ои)/о0, пусть 5а < Са , см. формулу (3), и = 2,3,.... Тогда принимаем оЬ =ои. Подставляя 8а, и1, и2 в соотношение (2), определяем скорректированные условия прочности для КТ V«.
Пусть коэффициент запаса иЬ (где иЬ =оТ / оЬ, с учетом, что оЬ =ои, имеем иЬ =оТ / ои) КТ У0, отвечающий приближенному решению задачи упругости, удовлетворяет построенным для тела V« скорректированным условиям прочности (2). Тогда коэффициент запаса и0 КТ V«, отвечающий точному решению задачи упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (1), см. теорему 1. Для понижения размерности ФМ используются МнКЭ.
3. Фиктивные дискретные модели с переменными характерными размерами
Рассмотрим ФМ второго типа, которые имеют такую же неоднородную структуру, как БМ R КТ V, но отличаются от БМ R характерными размерами. Вначале рассмотрим ФМ с одним переменным характерным размером на примере композитных балок и круговых цилиндрических оболочек с постоянным поперечным сечением сложной формы, армированных непрерывными волокнами постоянной толщины. Волокна параллельны оси балки (оболочки) и в общем случае имеют различные толщины и модули упругости.
Не теряя общности суждений, суть построения ФМ с одним переменным характерным размером для компо-
зитных балок и оболочек кратко рассмотрим на примере балки, форма поперечного сечения которой есть симметричный двутавр, состоящий из прямоугольников [1], и оболочки постоянной толщины. Рассмотрим ФМ Я^ (с одним переменным характерным размером) и БМ Я0(а) КТ У«(а), здесь и далее а = 1,2 , которые расположены в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz и в плоскости Oxz жестко закреплены, т.е.
при у = 0 для перемещений БМ Я0 ; и ФМ Яи ' имеем и = V = V = 0 .
Характерные размеры а, Ь , Ь0 БМ Я01) балки (КТ) V«1-1-1, рис. 4, отличаются от характерных размеров а, Ь , Ьп ФМ Яи'-1 КТ У«(1) (рис. 5), одним переменным характерным размером Ьп, где а, Ь - характерные размеры поперечного сечения БМ и ФМ Я®, Ь0 ( Ьп) -длина БМ Я™ (ФМ Я®), Ь„ < Ь0. Ось Оу на рис. 4 (и на рис. 5) параллельна оси БМ Я01-1 балки V® (ФМ Я^ балки V®). Характерные размеры Я , ЯЬ, Ь0 БМ Я02) цилиндрической оболочки (КТ) У0(2) постоянной толщины Н (рис. 6) отличаются от характерных размеров Я, ЯЬ, Ьп ФМ Я{2) КТ ^(2) (рис. 7) одним переменным характерным размером Ьи, где Я - внешний и ЯЬ -внутренний радиусы ФМ Я(2) и БМ Я02), Н = Я - ЯЬ, Ьа (Ьп) - длина БМ Я02) (ФМ Я(п2)), Ьп < V На рис. 6
(и на рис. 7) ось Оу совпадает с осью БМ Я0(; оболочки ^(2) (ФМ Я(2) оболочки ^(2)).
Пусть КТ У0(а) армировано непрерывными волокнами сечением И X И, которые параллельны оси Оу и имеют одинаковые модули упругости. Для простоты изложения пусть
И = V N, (11)
где Ь0, N - заданы, N - целое, N >> 1, И - мало, т.е. КТ У«(а) армировано тонкими волокнами.
БМ Я0(а), состоящая из КЭ Уе 1-го порядка формы
куба со стороной И (в которых реализуется трехмерное НДС [40]), учитывает неоднородную структуру и сложную форму КТ У«(а). Пусть БМ Я(а) (в силу малости И) порождает решение, которое мало отличается от точного. Такое приближенное решение будем считать точным (см. положение 3 МФДМ, п. 1). ФМ Яимеет такую
?(а)
же неоднородную структуру, как БМ Я0 ;, т.е. ФМ Я армирована непрерывными параллельными оси Оу волокнами сечением И X И и имеет такой же вид распределения волокон в поперечном сечении, как БМ Я0<а). Волокна и связующий материал БМ Я0а) и ФМ Яиа имеют одинаковые модули упругости. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во
Рис. 4. БМ ^0 балки (КТ) V0 Fig. 4 BM R01) of beam (CB)
(1)
Рис. 5. ФМ R(1) балки V0(1)
n 0
V0(1) Fig. 5. FM R<1 of beam V0(1)
Рис. 6. БМ R02) оболочки (КТ) V0(2) Fig. 6. BM R02) of shell (CB) V0(2)
Рис. 7. ФМ R(2) оболочки V0(2)
n 0
Fig. 7. FM R((l) of shell V0(2)
всей области БМ Я,а) и ФМ Я^). Неоднородные струк- ния этих моделей одинаковы и имеют одинаковые раз-туры в ФМ Япа) и БМ Я,а) учитываются с помощью КЭ биения' то сечения ФМ ^ и БМ Я0а) содержат одина-
(а)
Ve 1-го порядка формы куба со стороной к . ФМ Я1 имеет такое же крепление и такой же характер статического нагружения, как БМ Я,(а). Например, если БМ Я,(2) имеет равномерное нагружение д2 на границе г = Я, х = 0, Ц0 / 2 < у < Ц на границе г = Я , х = 0, Ьп /2 < у < Ьп (рис. 6, 7). Ис пользуя (11), размер Ьп ФМ Яп(а) находим по формуле
то ФМ Rn2) имеет нагружение qz
L = L0n / N = hn
(12)
где п - целое, п = п0,...,N , п0 - задано, имеем Цп < Ц0 при п = N : Цп = Ц0.
Учитывая, что ФМ Я,(а)
отличается от БМ R,
(а)
только размером Ьп и что в силу (12) при п ^ N: Цп ^ Ц0, получаем
R(a) ^ R0a) при n ^ N, а= 1,2.
В силу (12), (13) при п = N имеем ЯN) = Я((а)
10
(13) Тогда
из выполнения (13) следует
о(") ^ а0а)
при n ^ N,
где о(па) (о,а)) - максимальное эквивалентное напряжение ФМ Я(па) (БМ Я0а)).
Поскольку ФМ Я'па) и БМ Я,а) состоят из КЭ Ve 1-го порядка формы куба со стороной к и поперечные сече-
ковое число узлов, которое обозначим через Ы0. Число узлов сетки БМ Я,") в силу (11) вдоль оси Оу равно N +1. Тогда общее число узлов М0 БМ Я,") равно М0 = И0(N +1), общее число узлов Мп ФМ в силу (12) равно Мп = И0(п +1), отсюда следует, что Мп <М0 при п0 < п < N . Следовательно, при п < N размерность ФМ Я^) меньше размерности БМ Я(0а> (с учетом выполнения кинематических граничных условий БМ и ФМ тела V0(a)). При п = N имеем MN = М0, т.е. размерности ФМ Я(па) и БМ Я,а) совпадают. Выше по сути доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть КТ ), где а = 1,2 , V® - балка и V0(2) - круговая цилиндрическая оболочка с постоянным поперечным сечением, имеющие длину Ц0, армировано непрерывными волокнами (постоянной толщины), параллельными оси КТ V! а) (оси балки, оболочки). Модули упругости волокон и матрицы постоянны во всей области
КТ V; . Тогда для КТ V, можно построить такую последовательность ФМ {Япау}мп=1, которая порождает последовательность напряжений {оп™-1}^ , сходящуюся к напряжению о0а), т.е. о^) ^ о0а) при Ьп ^ Ь0 или при п ^ N, где Цп - переменный характерный размер (переменная длина) ФМ Я(па>; о^ (о,")) - максимальное эквивалентное напряжение ФМ Я(па) (БМ Я,"», т.е. КТ
V0(а)). При и < N (т.е. при Ьп < Ь0) размерность ФМ Я а) меньше размерности БМ Я0а).
Итак, показано, что использование ФМ Я,а) с переменным характерным размером Ьп при расчете на прочность по МФДМ КТ а) приводит к экономии ресурсов ЭВМ. Не теряя общности суждений, суть построения ФМ с тремя переменными характерными размерами для КТ кратко рассмотрим на примере тела Р"0(3) с неоднородной регулярной структурой формы прямоугольного параллелепипеда размерами ао X Ьо X со, расположенного в декартовой системе координат Oxyz , на рис. 8 показаны размеры БМ Я03) КТ V® . Пусть
а0 = 6И^ , Ь0 = 6И^, с0 = 6И^ ,
(14)
где N , N2, N - целые, заданы, N2, N >> 1, И -задано, мало.
Пусть БМ Я03) КТ V<i>, состоящее из КЭ размерами И X И X И , учитывает неоднородную структуру КТ ^(3) и порождает решение, которое мало отличается от точного, т.е. положение 3 МФДМ для КТ ^(3) выполняется. Пусть тело ^(3) армировано ортогональной решеткой непрерывных волокон. Регулярная ячейка G0, имеющая размеры 6И X 6И X 6И, КТ Р"0(3) показана на рис. 2. Тогда в силу (14) КТ Р"0(3) состоит из конечного числа регулярных ячеек G0.
(3)
Сетка БМ Я03) КТ имеет ^ узлов, где
N0 = (6N +1) X (6N2 +1) X (6N3 +1).
(3)
(15)
ФМ яП3) КТ ^(3) имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами аи X Ьп X сп, где
аи = 6Ии1, Ьп = 6Ии2, сп = 6Ии3, (16)
где аи / Ьи ~ ао / Ьо , аи / си ~ ао / со , U1, и2, и3 - ЧвЛЫ^ на
рис. 9 даны размеры ФМ Я,3-1 .
Сетка ФМ Яи(3) , которая состоит из конечного числа регулярных ячеек G0 (размерами 6И X 6И X 6И , см. рис. 2), имеет N узлов, где
N = (6п1 +1) X (6п2 +1) X (6п3 +1). (17)
Волокна и связующий материал БМ Я03) и ФМ Яи(3) имеют одинаковые модули упругости. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во всей области БМ Я03) и ФМ Я(3). Пусть при z = 0 БМ Я03) и ФМ Я,33 жестко закреплены. В силу (14), (16) при п1 ^ N, п2 ^ N2, и3 ^ N3 имеем
аи ^ ао , Ьи ^ Ьо , си ^ со .
Откуда следует, что при п1 ^ N1, п2 ^ N2, п3 ^ N3
Я(3) ^ Я(3). (18)
Из выполнения (18) следует
0„ ^О0 при аи ^ ао , Ьп ^ Ьо , си ^ со ,
где 0(3 (о03)) - максимальное эквивалентное напряжение ФМ яП3) (БМ Я03) КТ V0(3)).
Если п1 < N1, п2 < N2, п3 < N (т.е. при ап < ао,
Ьи < Ьо , сп < со , где аи / Ьи ~ ао / Ьо , ап / сп ~ ао / со ), то в
силу (15), (17) имеем N < N . Это означает, что размерность ФМ Яп3) меньше размерности БМ Я(3) КТ У«(3) (с учетом выполнения кинематических граничных условий). При п1 = N1, п2 = N2, п3 = N имеем N = N0. Выше по сути доказано следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть КТ Р"0(3) формы прямоугольного параллелепипеда размерами ао X Ьо X со имеет неодно-
родную регулярную структуру. Пусть БМ Я03) КТ У0 состоит из конечного числа регулярных ячеек. Тогда для КТ V0(3) можно построить такую последовательность ФМ {Япз) , которая порождает последовательность напря-
(3)
жений {оП=)1}п=1 , сходящуюся к напряжению о0 , т. е.
°п3) ^ 003) при К ^ V0, где К = аиЬиси , V0 = а0Ь0с0 , аи , Ьи , си - переменные характерные размеры ФМ Яи(3) формы прямоугольного параллелепипеда, удовлетворяющие условиям аи / Ьи ~ ао / Ьо, аи / си ~ ао / со, 0(3) (о03)) - максимальное эквивалентное напряжение ФМ
яиз) (БМ Я», т.е. КТ ). При ап < ао, Ьп < Ь0, с, < со
(3)
(3)
размерность ФМ Я,3-1 меньше размерности БМ Я(3).
(3)
Рис. 8. БМ Я03) КТ V«1 Fig. 8. БМ Я03) СБ ^
Рис. 9. ФМ Я,(3) КТ У0(1 Fig. 9. FM Я,3 СВ V0(3:
Итак, показано, что использование ФМ Я3 с переменными характерными размерами ап, Ьп, сп в расчетах на прочность по МФДМ КТ V0(3> приводит к экономии ресурсов ЭВМ.
4. Результаты численных экспериментов
Рассмотрим модельную задачу расчета на прочность балки V с неоднородной регулярной волокнистой структурой размерами Н X 21X Н, расположенной в декартовой системе координат Охуг , где Н = 96к, Ь = 1152к, к - задано. Торцы балки Vжестко закреплены. Балка V армирована ортогональной решеткой волокон. Регулярная ячейка G0 балки V имеет форму куба со стороной
6к (см. рис. 2) ячейка G0 подробно описана в п. 2.
В расчетах используем половину балки V, т.е. балку V0 размерами НXЬXН (96кx1152kX96к , рис. 10), так как нагружение балки V симметрично относительно плоскости у = Ь . Для балки V0 имеем следующие кинематические граничные условия: при у = 0: и,ум = 0, при у = Ь : у = 0.
1 fz
J ^H
ч,
V
L=1152h * H=96h
=96 h
Рис. 10. Балка (тело) V (модель Tn) Fig. 10. Beam (body) V0 (model Tn)
БМ T0 КТ V0 состоит из односеточных конечных элементов (1сКЭ) V* 1-го порядка формы куба со стороной h (в которых реализуется трехмерное НДС [40]), которые учитывают неоднородную структуру тела V0 и порождают равномерную сетку с шагом h размерности 97 х1153 х97. Общее число неизвестных БМ T0 равно N0 = 32508095 , ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна b0 = 28524. Считаем, что положение 3 МФДМ для БМ T0 выполняется.
Для расчета балки V0 (см. рис. 10) на прочность с помощью МФДМ используем масштабированные дискретные модели Tn размерами H хL хH , т.е. 96hx1152hх96h , n = 1,2,3,.... Масштабированная композитная регулярная ячейка Gn (см. рис. 3; п. 2) размерами 6hn х 6hn х 6hn порождает масштабированную модель Tn, т.е. КТ Gn по сути является регулярной ячейкой модели Tn. Для определения hn используем формулы (5), (6). В данном случае 6hnn = H, где H = 96h , т. е. hnn = 16h , где n = 1,...,16 . Откуда следует
К =в„к, (19)
где вп = 16 / п , вп - коэффициент масштабности, п = 1,16, при п < 16 : вп > 1, кп > к , к16 = к.
Отметим, что КТ (регулярная ячейка) G„ (см. рис. 3) образуется путем масштабирования регулярной ячейки G0 (см. рис. 2) БМ Т0 КТ V0 с коэффициентом масштабности вп = 16 /п , п = 1,16, см. определение 2 п. 2. Модель Тп, состоящая из 1сКЭ Ve„ 1-го порядка формы куба со стороной кп (в 1сКЭ Ve„ реализуется трехмерное НДС), имеет равномерную сетку с шагом кп размерности п) X п™ X n3„>, где п^ = (96к / кп +1), п2п) = (1152к / кп +1), п^ = (96к / кп +1). Учитывая (19) в последних трех равенствах, получаем
п^ = 6п +1, п?0 = 12 X 6п +1,
«3") = 6n +1, n = 1,...,16 .
(20)
В расчетах на прочность КТ V по МФДМ используем последовательность масштабированных дискретных моделей, т.е. масштабированных ФМ, {Tn }П=1, которая в пределе сходится к БМ T0, см. п. 2. Для коэффициента запаса n0 балки V0 заданы условия прочности вида
1,8 <n0 < 3,4. (21)
Для КТ V0 имеем следующие исходные данные: h = 0,2083 ; ат = 4 ; Ec = 1,
Ev = 8, v c = Vv =0,3, (22)
где Ec, Ev (vc, vv) - модули Юнга (коэффициенты Пуассона), соответственно связующего материала и волокна, ст - предел текучести волокна, на поверхности z = H , 0,5L < y < L действуют нагрузки qz = 0,00062 , qx = 0,00037 (см. рис. 10).
Для БМ T0 КТ V0 используем двухсеточный КЭ (2сКЭ) Vd(2) размерами 6hх6hх 6h . На рис. 11 2сКЭ Vd(2) расположен в локальной декартовой системе координат Oxyz. 2сКЭ Vd(2) имеет две вложенные сетки: равномерную мелкую сетку hd с шагом h размерности 7 х 7 х 7 и крупную - Hd размерности 2 х 3 х 2. По осям Ox, Oz сетка Hd имеет шаг 6h, по оси Oy - шаг 3h . На рис. 11 узлы крупной сетки Hd отмечены точками, 12 узлов. Процедура построения матрицы жесткости и вектора узловых сил 2сКЭ Vd(2) подробно изложена в работе [39]. На базе модели Tn строим двухсеточную модель ТО, которая состоит из 2сКЭ типа Vd(2) размерами 6hn х 6hn х 6hn, n = 5,...,12. Для модели TО определяем (по 4-й теории прочности [1]) максимальное эквивалентное напряжение o°n, n = 5,12 .
Рис. 11. Мелкая и крупная сетки 2сКЭ Vj2)
Fig. 11. Small and large grids 2gFE Vj2) Результаты расчетов представлены в таблице, где
—О
Сп - максимальное эквивалентное напряжение модели ТО; N и Ъ°п - размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели ТПО, п = 5,...,12, погрешность 5п (%) определяется по формуле
8 = 100%х| сО-CJ/c", п = 6,...,12 . (23)
п I п n-1 I п ' ' ' V '
Анализ результатов показывает равномерную монотонную сходимость напряжений с°, п = 5,12 , и погрешностей 8п (%), п = 6,12, что подтверждает теорему 2, см. п. 2. Отметим, что БМ T0 порождает максимальное эквивалентное напряжение О0 КТ V0, которое мало отличается от точного. Напряжение О0 считаем точным (положение 3 МФДМ, п. 1).
Результаты расчетов для моделей T" - TJ2
Calculation results for models T" - T°2
п 'Т'О п сО п 8п (%) К ъо п п 'Т'О п сО п 8п (%) К ъо п
5 'Т'О T 5 1,246 - 12924 240 9 'Т'О T 9 1,523 3,95 64100 636
6 'Т'О т6 1,326 6,04 21119 321 10 'Т'О T10 1,519 3,55 86999 165
7 'Т'О т1 1,398 5,12 32192 414 11 'Т'О т11 1,632 3,23 113904 906
8 'Т'О T8 1,462 4,45 46515 519 12 'Т'О T12 1,682 2,96 145841 1059
Согласно расчетам, с°6 = 1,798, где с16 - максимальное эквивалентное напряжение модели 716 • Имеем Т16 = Т0, см. п. 2. Так как размеры 1сКЭ БМ Т0 малы, то и размеры 2сКЭ модели Т°6 также малы, поэтому пусть с0 =С6 = 1,798, т.е. точное напряжение с0 равно с0 = 1,798. Расчеты показывают, что если 5п (%) < 3% (см. формулу (23)), то погрешность максимального эквивалентного напряжения сП модели 7П не более 10%. Так как напряжения с12 = 1,682 и с1°1 = 1,632 отличаются на 512(%) = 2,96% (см. таблицу), то погрешность напряжения с12 не более 10%, т.е. имеем 5а < 0,1. Отметим, что напряжение с12 = 1,682 отличается от точ-
ного напряжения о0 = 1,798 на 6,43%. Принимаем 8а = 0,1, оЪ =с"2 = 1,682 . Условие (3) для 8а = 0,1 выполняется, т. е. 8а = 0,1 < Са = 0,31. Подставляя 8а = 0,1, п = 1,8 , п2 = 3,4 в (2), получаем скорректированные условия прочности для КТ V0
(24)
2 < пъ < 3
где пъ - коэффициент запаса КТ V0, отвечающий приближенному решению задачи упругости,
пъ =ст / съ .
(25)
Используя в (25) исходные данные (22), т. е. СТ = 4 , и найденное напряжение сь = 1,682, определяем коэффициент запаса пь для КТ V0
пь =сТ /сь =4/1,682 = 2,38.
Итак, коэффициент запаса пь = 2,38 КТ V0 (отвечающий приближенному решению задачи упругости) удовлетворяет скорректированным условиям прочности (24). Тогда коэффициент запаса п0 КТ V0 (отвечающий точному решению задачи упругости) удовлетворяет заданным условиям прочности (21), см. теорему 1, п. 1.
Проверим выполнение теоремы 1 в данном случае, а именно то, что из выполнения скорректированных условий прочности (24) следует выполнение заданных условий прочности (21). Используя сТ = 4, с0 = 1,798
в формуле п0 =сТ / с0 (где п0 - коэффициента запаса и с0 - максимальное эквивалентное напряжение КТ V0, которые отвечают точному решению), получаем п0 = 4/1,798 = 2,22, т.е. коэффициент запаса п0 = 2,22
КТ V0 удовлетворяет заданным условиям прочности (21), что подтверждает теорему 1.
Отметим, что БМ Т0 КТ V0 имеет свыше 32 млн узловых неизвестных МКЭ, что затрудняет реализовать МКЭ с применением 1сКЭ 1-го порядка формы куба со стороной к для построения решения для БМ Т0, которое считаем точным решением (см. положение 3, п. 1). В расчете на прочность по МФДМ КТ V0 используем модель Т°2, которая имеет Л^°2 = 145847 узловых неизвестных, и ширина ленты СУ МКЭ которой равна Ь;2 = 1059 (см. таблицу). Модель Т°2 требует в 32508095•28524
k =.N0 • Ъ0
N" • Ъ" 12 12
= 6003,555 раза меньше
145847 1059
объема памяти ЭВМ, т.е. почти в 6 103 раз меньше, чем БМ Т0, что показывает высокую эффективность МФДМ.
5. Применение в МФДМ приближенных решений с большой погрешностью
Рассмотрим случай расчета КТ на прочность по МФДМ, когда возможно применение упругих приближенных решений с большой погрешностью на примере
расчета КТ V0 (см. п. 4). Расчеты показывают, что если Ъп (%) < 5 % (см. формулу (23)), то погрешность максимального эквивалентного напряжения < модели ТО не более 25 %. Так как напряжения <0 = 1,462 и <9 = 1,523 отличаются на 89 (%) = 3,95% (см. таблицу), то погрешность напряжения <9 не более 25%, т.е. 8а < 0,25. Отметим, что напряжение < = 1,523 отличается от точного напряжения о0 = 1,798 на 15,27%, см. п. 4. Принимаем 5а = 0,25, <Ь =о°9 = 1,523 . Условие (3) для оценки 8а = 0,25 выполняется, т.е. имеем 8а = 0,25 < Са = 0,31. Подставляя 8а = 0,25, п = 1,8, п2 = 3,4 в (2), получаем следующие скорректированные условия прочности для КТ V0
2,4 < пь < 2,7. (26)
Используя в (25) <Т = 4 , <Ь = 1,523 , находим коэффициент запаса пь для КТ V0
nb =aT /ab =4/1,523 = 2,63 .
Коэффициент запаса пь = 2,63 КТ V0 (отвечающий приближенному решению задачи упругости) удовлетворяет скорректированным условиям прочности (26). Тогда коэффициент запаса п0 КТ V0 (отвечающий точному решению задачи упругости) удовлетворяет заданным условиям прочности (21), см. теорему 1, п. 1. При расчете на прочность КТ V0 по МФДМ используем модель Т99, которая имеет N99 = 64700 неизвестных МКЭ, и ширина ленты СУ МКЭ которой равна Ь; = 636 (см. таблицу). Модель Т99 требует в
N.. X Ь0 32508095 X 28524 к2 = 0 Л =-—————= 22534,12 раз меньше
N0 х b;
64700 х 636
объема памяти ЭВМ, т.е. почти в 22 -103 раз меньше, чем БМ Т0.
Итак, показано, что при расчете КТ V0 возможно применение упругих приближенных решений с большой погрешностью. Применение в расчетах модели Т99, по-
грешность е9 = 15,27% напряжения <9 которой почти в 2,4 раза больше погрешности е12 = 6,43% напряжения о92 , отвечающего модели Т°2, приводит к повышению эффективности МФДМ. Коэффициент к2 в 3,67 раза больше коэффициента кь см. п. 4. Это связано с тем, что размерность N9 и ширина ленты Ь99 СУ МКЭ модели Т99 меньше размерности N9 и ширины ленты ЬС2 СУ МКЭ модели Т12 (см. таблицу).
На основании полученных результатов можно сделать следующий вывод. Применение в расчетах скорректированных условий прочности позволяет использовать дискретные модели КТ, напряжения которых имеют большую погрешность, что приводит к повышению эффективности МФДМ.
Заключение
Предложен метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для расчета на статическую прочность упругих тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой, который сводится к построению и расчету на прочность фиктивных дискретных моделей (ФМ), размерности которых меньше размерностей базовых дискретных моделей (БМ) композитных тел (КТ). Предлагаемый метод реализуется с помощью МКЭ с применением многосеточных конечных элементов и скорректированных условий прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. Реализация МФДМ обеспечивает большую экономию ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать предлагаемый метод для расчета тел с микронеоднородной регулярной структурой. Рассматриваются два типа ФМ - масштабированные ФМ и ФМ с переменными характерными размерами. При построении ФМ не используется процедура измельчения БМ КТ. Применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ. Приведенные расчеты на прочность балки с неоднородной регулярной волокнистой структурой по МФДМ показывают высокую его эффективность.
Библиографический список
1. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1975. - 704 с.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1993. -640 с.
3. Москвичев В.В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений. - Новосибирск: Наука, 2002. - 106 с.
4. Матвеев А.Д. Расчет упругих конструкций с применением скорректированных условий прочности // Известия Алт-ГУ. - 2017. - № 4: Математика и механика. - С. 116-119. DOI:
10.14258/^а£и(2017)4-21.
5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. - Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. - 715 p.
6. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.
7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.
8. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.
9. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.
10. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. - 542 с.
12. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.
13. Работнов Ю.Н. Механика деформированного твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 711 с.
14. Демидов С.П. Теория упругости. - М., Высшая школа, 1979. - 432 с.
15. Тимошенко С.П., Дж. Гудьер. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.
16. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М., Высшая школа, 1968. - 512 с.
17. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки. -
2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 530-543.
18. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
19. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - Vol. 158, № 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
20. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок сложной формы // Вестник КрасГАУ. - 2017. - № 11. - С. 131-140.
21. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 2. - С. 90-103.
22. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных оболочек вращения и двоякой кривизны // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 3.- С. 126-137.
23. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в решении физических краевых задач // Информационные технологии и математическое моделирование. - Красноярск, 2017. - С. 27-60.
24. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. - 2000. - 30 с.
25. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы // Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. Политехн. ун-та. 2013. - № 1. - С. 182-195.
References
1. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. Spravochnik po soprotivleniyu materialov [Hand book of resistance materials']. Kiev, Nauk. dumka, 1975. 704 p.
2. Birger I.A., Shorr B.F., Iosilevich G.B. Raschet na prochnost' detalej mashin [Calculation of the strength of machine parts]. Moscow, Mashinostroenie, 1993. 640 p.
3. Moskvichev V.V. Osnovy konstrukcionnoj prochnosti tekhnicheskih sistem i inzhenernyh sooruzhenij [Fundamentals of structural strength of technical systems and engineering structures]. Novosibirsk, Nauka, 2002. 106 p.
4. Matveev A.D. Raschet uprugih konstrukcij s primeneniem skorrektirovannyh uslovij prochnosti [Calculation of elastic structures using the adjusted terms of strength]. Izvestiya AltGU,
2017, no. 4, matematika i mekhanika. pp. 116-119. DOI: 10.14258/izvasu (2017) 4-21.
5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier ButterworthHeinemann, 2013, 715 p.
26. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. -2004. - № 3. - С. 161-171.
27. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. Серия: Математика и механика. -2014. - № 1/1. - С. 80-83. Ш1: 10.14258/izvasu(2014)1.1-18.
28. Матвеев А.Д. Метод образующих конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 6. - С. 141-154.
29. Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов для расчета оболочек, пластин и балок на основе образующих конечных элементов // Вестник ПНИПУ. Механика. -2019. - № 3. - С. 48-57. DOI: 10/15593/регт.тесЫ2019.3.05.
30. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 432 с.
31. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1984. - 164 с.
32. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. - М.: Наука, 1985. - 201 с.
33. Алфутов Н.А., Зиновьев А.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.
34. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: МГУ, 1984. - 336 с.
35. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.
36. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. - Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.
37. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 269 с.
38. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 3. Прикладные исследования / А.Н. Гузь, И.В. Игнатов, А.Г. Гирченко [и др.]. - Киев: Наукова думка, 1983. - 262 с.
39. Матвеев А.Д. Метод фиктивных дискретных моделей в расчетах тел с неоднородной регулярной структурой // Сибирский аэрокосмический журнал. - 2021. - Т. 22, № 2. -С. 244-260. DOI: 10.31772/2712-8970-2021-22-2-244-260.
40. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.
6. Golovanov A.I., Tiuleneva O.I., Shigabutdinov A.F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh kon-straktsii [Finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, FIZMATLIT, 2006, 392 p.
7. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov [Numerical analysis methods and finite element method]. Moscow, Stroiizdat, 1982, 448 p.
8. Obraztsov I.F., Savel'ev L.M., Khazanov Kh.S. Metod konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noi mekhaniki le-tatel'nykh apparatov [Finite element method in problems of aircraft structural mechanics]. Moscow, Vysshaia shkola, 1985, 392 p.
9. Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite element method]. Moscow, Stroiizdat, 1993, 664 p.
10. Norri D., de Friz Zh. Vvedenie v metod konechnykh elementov [Introduction to the finite element method]. Moscow: Mir, 1981. 304 p.
11. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir, 1975. 544 p.
12. Fudzii T., Dzako M. Mekhanika razrusheniya kom-pozicionnyh materialov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow: Mir, 1982. 232 p.
13. Rabotnov YU.N. Mekhanika deformirovannogo tverdogo tela [Mechanics of a deformed solid]. Moscow, Nauka, 1988. 711 p.
14. Demidov S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moskva, Vysshaya shkola, 1979. 432 p.
15. Timoshenko S.P., Dzh. Gud'er. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1979. 560 p.
16. Bezuhov N.I. Osnovy teorii uprugosti, plastichnosti i pol-zuchesti [Fundamentals of the theory of elasticity, plasticity and creep]. Moscow, Vysshaya shkola, 1968. 512 p.
17. Matveev A.D. Metod mnogosetochnykh konechnykh elemen-tov v raschetakh trekhmernykh odnorodnykh i kompozitnykh tel [The method of multigrid finite elements in the calculations of threedimen-sional homogeneous and composite bodies]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Seriia: Fiz.-matem. Nauki, 2016, vol. 158, iss. 4, pp. 530-543.
18. Matveev A.D. Metod mnogosetochnykh konechnykh ele-mentov v raschetakh kompozitnykh plastin i balok [Multigrid method for finite elements in the analysis of composite plates and beams]. Vestnik KrasGAU, 2016, no. 12, P. 93-100.
19. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. IOP Conf, Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016, vol. 158, no. 1, Art. 012067, pp. 1-9.
20. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh ele-mentov v raschetah kompozitnyh plastin I balok slozhnoj formy [Multigrid finite element Method in the calculations of composite plates and beams of irregular shape]. The Bulletin of KrasGAU, 2017, no. 11, pp. 131-140.
21. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh ele-mentov [Multigrid finite element Method]. The Bulletin of Kras-GAU, 2018, no. 2, pp. 90-103.
22. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh ele-mentov v raschetah kompozitnyh obolochek vrashcheniya i dvoyakoj krivizny [The method of. multigrid finite elements of the composite rotational and bi-curved shell calculations]. The Bulletin of KrasGAU, 2018. no. 3, pp. 126-137.
23. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh ele-mentov v reshenii fizicheskih kraevykh zadach [Method of. multi-grid finite elements to solve physical boundary value problems]. Krasnoyarsk, Information technologies and mathematical modeling. 2017. pp. 27-60.
24. Matveev A.D. Nekotorye podhody proektirovaniya uprugih mnogosetochnyh konechnyh elementov [Some approaches of designing elastic multigrid finite elements]. VINITI Proceedings, № 2990-B00. Krasnoyarsk. 2000, pp. 30 (In Russ.).
25. Matveev A.D. Mixed discrete models in the analysis of elastic three-dimensional inhomogeneous bodies of complex shape. PNRPU Mechanics Bulletin, 2013, no. 1, pp. 182-195.
26. Matveev A.D. Mnogosetochnoe modelirovanie kompozitov neregulyarnoj struktury s malym koefficientom napolneniya [Multi-grid modeling of composites of irregular structure with a small filling ratio]. J. Appl. Mech. Tech. Phys., no. 3, 2004, pp. 161-171 (In Russ.).
27. Matveev A.D. Postroenie slozhnyh mnogosetochnyh konechnyh elementov s neodnorodnoj i mikroneodnorodnoj struk-turoj [The construction of complex multigrid finite element heterogeneous and micro-inhomogeneities in structure]. Izvestiya AltGU. 2014. № 1/1, Seriya: Matematika i mekhanika. P. 80-83. DOI: 10.14258/izvasu (2014) 1.1-18.
28. Matveev A.D. Metod obrazuyushchih konechnyh elemen-tov [Method of generating finite elements]. The Bulletin of Kras-GAU, 2018, no. 6, pp. 141-154.
29. Matveev A.D. Construction of multigrid finite elements to calculate shells, plates and beams based on generating finite elements. PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, no. 3, pp. 48-57. DOI: 10/15593/perm.mech/2019.3.05
30. Golushko S.K., Nemirovskij YU.V. Pryamye i obratnye zad-achi mekhaniki uprugih kompozitnyh plastin i obolochek vrashcheniya [Direct and inverse problems of mechanics of elastic composite plates and shells of rotation]. Moscow, FIZMATLIT. 2008. 432 p.
31. Nemirovskij YU.V., Reznikov B.S. Prochnost' elementov konstrukcij iz kompozitnyh materiallov [Strength of structural elements made of composite materials]. Novosibirsk, Nauka, Si-birskoe otdelenie. 1984. 164 p.
32. Kravchuk A.S., Majboroda V.P., Urzhumcev YU.S. Mek-hanika polimernyh i kompozicionnyh
materialov [Mechanics of polymer and composite materials]. Moscow, Nauka. 1985. 201 p.
33. Alfutov N.A., Zinov'ev A.A., Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov [Calculation of multilayer plates and shells made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie, 1984. 264 p.
34. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, MGU. 1984. 336 p.
35. Andreev A.N., Nemirovskij YU.V. Mnogoslojnye anizotropnye obolochki i plastiny. Izgib, ustojchivost', kolebaniya [Multilayer anisotropic shells and plates. Bending, stability, vibration]. Novosibirsk, Nauka, 2001. 288 p.
36. Vanin G.A. Mikromekhanika kompozicionnyh materialov [Micromechanics of composite materials]. Kiev, Naukova dumka. 1985. 302 p.
37. Vasil'ev V.V. Mekhanika konstrukcij iz kompozicionnyh materialov [Mechanics of structures made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie, 1988. 269 p.
38. Mekhanika kompozitnyh materialov i elementov kon-strukcij [Mechanics of composite materials and structural elements]. T. 3. Prikladnye issledovaniya. A.N. Guz', I.V. Ignatov, A.G. Girchenko i dr. Kiev, Naukova dumka. 1983. 262 p.
39. Matveev A.D. The method of fictitious discrete models in calculations bodies with in inhomogeneous regular structure. Si-berion Aerospace Journal. 2021, vol. 22, no. 2. pp. 244-260. DOI: 10.31772/2712-8970-2021-22-2-244-260.
40. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Vysshaia shkola, 1982. 264 p.
Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки. Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Financing. The study was not sponsored.
Conflict of interest. The authors declare no conflict of interest.
