CC BY
7
УДК 539.3
Doi: 10.31772/2712-8970-2021-22-3-432-451
Для цитирования: Матвеев А. Д. Обобщенные эквивалентные условия прочности в расчетах композитных тел // Сибирский аэрокосмический журнал. 2021. Т. 22, № 3. С. 432-451. Doi: 10.31772/2712-8970-2021-22-3432-451.
For citation: Matveev A. D. Generalized equivalent strength conditions in the calculations of composite bodies. Siberian Aerospace Journal. 2021, Vol. 22, No. 3, P. 432-451. Doi: 10.31772/2712-8970-2021-22-3-432-451.
Обобщенные эквивалентные условия прочности в расчетах композитных тел
А. Д. Матвеев
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 630036, г. Красноярск, Академгородок, стр. 50/44 E-mail: mtv241@mail.ru
Конструкции с неоднородной регулярной структурой (пластины, балки, оболочки) широко применяются в технике, особенно, в авиационной и ракетно-космической. В расчетах на прочность упругих композитных конструкций с помощью метода конечных элементов (МКЭ) важно знать погрешность решения. Для анализа погрешности решения необходимо использовать последовательность приближенных решений, построенных по МКЭ с применением процедуры измельчения для базовых дискретных моделей, которые учитывают в рамках микроподхода неоднородную, микронеоднородную структуру конструкций (тел). Реализация процедуры измельчения для базовых моделей требует больших ресурсов ЭВМ.
В данной работе кратко изложен метод эквивалентных условий прочности (МЭУП) для расчета на статическую прочность упругих тел с неоднородной регулярной структурой, для которых заданы множества различных нагружений. Согласно МЭУП, расчет на прочность композитного тела, для которого задано нагружение, сводится к расчету на прочность изотропного однородного тела (имеющего такое же нагружение, как композитное тело) с применением эквивалентных условий прочности. При численной реализации МЭУП используются скорректированные эквивалентные условия прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. Здесь МЭУП реализуется на основе МКЭ. Если для композитного тела задано множество различных нагружений, то в этом случае применяются обобщенные эквивалентные условия прочности. Показана процедура построения обобщенных эквивалентных условий прочности. Расчет на прочность композитных тел по МЭУП с использованием многосеточных конечных элементов требует в
103 ^ 106 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с применением измельченных базовых моделей композитных тел. Приведенный пример расчета на прочность композитной балки, для которой задано множество нагружений, с помощью МЭУП с применением обобщенных эквивалентных условий прочности показывает его высокую эффективность.
Ключевые слова: упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, скорректированные и обобщенные эквивалентные условия прочности.
Generalized equivalent strength conditions in the calculations of composite bodies
A. D. Matveev
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 630036, Russian Federation E-mail: mtv241@mail.ru
Structures with an inhomogeneous regular structure (plates, beams, shells) are widely used in engineering, especially in aviation and rocket and space. In calculations for the strength of elastic composite structures using the finite element method (FEM), it is important to know the error of the solution. To analyze the error of the solution, it is necessary to use a sequence of approximate solutions constructed according to the FEM using the grinding procedure for basic discrete models that take into account the non-homogeneous, micro-homogeneous structure of structures (bodies) within the micro-approach. The implementation of the grinding procedure for basic models requires large computer resources.
In this paper, the method of equivalent strength conditions (MESC) for testing the static strength of elastic bodies with an inhomogeneous regular structure, for which sets of different loads are given, is briefly described. According to the MESC, the calculation of the strength of a composite body for which the loading is set is reduced to the calculation of the strength of an isotropic homogeneous body (having the same loading as a composite body) using equivalent strength conditions. In the numerical implementation of the MESC, adjusted equivalent strength conditions are used, which take into account the error of approximate solutions. Here, the MESC is implemented on the basis of the FEM. If a set of different loads is specified for a composite body, then generalized equivalent strength conditions are applied in this case. The procedure for constructing generalized equivalent strength conditions is shown. The calculation of the
strength of composite bodies according to the MESC using multigrid finite elements requires 103 ^106 times less computer memory than a similar calculation using crushed basic models of composite bodies. The given example of calculating the strength of a composite beam, for which a set of loads is set, using the MESC using generalized equivalent strength conditions shows its high efficiency.
Keywords: elasticity, composites, multigrid finite elements, corrected and generalized equivalent strength conditions.
Введение
Как правило, расчет на прочность упругой конструкции проводится по запасам прочности и сводится к определению максимального эквивалентного напряжения конструкции (тела) [1-3]. Для упругого тела V0 заданные условия прочности имеют вид n1 < n0 < n2, где n1, n2 - заданы, коэффициент запаса n0 тела V0 отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела V0 . Считают, что тело не разрушается при эксплуатации, если его коэффициент запаса удовлетворяет заданным условиям прочности. Определение коэффициента запаса n0 для композитного тела (КТ), где n0 =aT / ст0, aT - предельное напряжение [1], т. е. определение максимального эквивалентного напряжения с0 [1] КТ, отвечающего точному решению задачи упругости, затруднительно. Если напряжения в телах определяются приближенно, то в этом случае используют скорректированные условия прочности [4], которые учитывают погрешность решений. При анализе напряженного деформированного состояния (НДС) упругих тел широко используется метод конечных элементов (МКЭ) [5; 6]. Конечноэлементные
(дискретные) базовые модели (БМ), которые учитывают неоднородную структуру тел в рамках микроподхода [7], имеют высокую размерность. Кроме того, для анализа сходимости и погрешности решения необходимо использовать последовательность решений, построенных с помощью процедуры измельчения конечных элементов (КЭ) БМ КТ, которая приводит к резкому увеличению размерностей дискретных моделей. Для анализа НДС КТ эффективно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [8-14], в котором применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) и который является обобщением МКЭ, так как, если в МКЭ используются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ. В областях МнКЭ [8-19] учитывается неоднородная структура и описывается трехмерное НДС. Важно отметить, что МнКЭ порождают дискретные модели, размерности которых меньше размерностей БМ КТ. Для ряда КТ (как, например, для тел с микронеоднородной структурой) БМ имеют такую высокую размерность, что реализация МКЭ с применением МнКЭ также затруднительна. Существующие методы расчета КТ [20-27] базируются на гипотезах, имеют сложные постановки и труднореализуемы.
В данной работе для расчета на прочность упругих тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой предлагается метод эквивалентных условий прочности (МЭУП), который сводится к расчету на прочность по МКЭ упругих изотропных однородных тел с применением эквивалентных условий прочности. В отличие от работ [28; 29] здесь подробно представлена теорема, которая лежит в основе МЭУП. При численной реализации МЭУП используют скорректированные эквивалентные условия прочности, которые учитывают погрешность решений. Для КТ, для которого задано множество различных нагружений, в расчетах используются обобщенные эквивалентные условия прочности. Реализация МЭУП на основе МКЭ с применением МнКЭ требует 103 + 10б раз меньше ресурсов ЭВМ, чем расчет по МКЭ на основе измельчения БМ КТ. Пример расчета КТ по МЭУП показывает его высокую эффективность.
1. Основные положения метода эквивалентных условий прочности
МЭУП применяется для КТ, которые удовлетворяют следующим положениям.
Положение 1. КТ состоят из разномодульных изотропных однородных тел, связи между которыми идеальны, т. е. на общих границах изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений являются непрерывными.
Положение 2. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных изотропных однородных тел отвечают соотношениям линейной теории упругости [30].
Положение 3. Приближенные решения БМ КТ, построенные по МКЭ, мало отличаются от точных решений. Такие приближенные решения будем считать точными.
2. Эквивалентные условия прочности
Пусть упругие тела V, У2 имеют одинаковые характерные размеры, форму, крепления и статические нагружения, но отличаются модулями упругости. Пусть для коэффициентов запаса п1, п2 соответственно тел V , У2 заданы условия прочности
п\ < п < п1ь, (1)
п1 < П2 < п1 (2)
где п\,п2 > 1; п\, п2, п£, п2 - заданы; коэффициент запаса п1 (п2) отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела Ух (тела У2).
Для тел У1, У2 введем следующее определение.
Определение. Если из выполнения условий (2) для коэффициента п2 следует выполнение условий (1) для коэффициента пх и наоборот, если из выполнения условий (1) для коэффициента пх следует выполнение условий (2) для коэффициента п2, тогда условия прочности (1), (2) будем называть эквивалентными условиями прочности соответственно для тел У2, Ух.
3. Основная теорема метода эквивалентных условий прочности
Не теряя общности суждений, рассматриваем тела с волокнистой структурой, которые широко применяются на практике и в которых максимальные эквивалентные напряжения возникают в волокнах. В основе МЭУП лежит следующая теорема.
Теорема 1. Пусть для коэффициента запаса п0 упругого КТ У0 (волокнистой структуры) заданы нагружение Е и условия прочности вида
П < по < п^, (3)
где величины п1, п2 заданы, п1 > 1, п0 = аТ / с0 , ат - предельное напряжение КТ (предел текучести волокна), с0 - максимальное эквивалентное напряжение КТ У0, напряжение с0 соответствует точному решению задачи теории упругости, построенному для нагружения Е КТ У0, волокна тела У0 имеют одинаковые модули упругости.
Пусть однородное изотропное тело Уь и КТ У0 имеют одинаковые форму, характерные
размеры, крепления и нагружение Е . Пусть модули упругости тела Уь и волокна КТ одинаковы. Тогда существует такое число р > 0 (коэффициент эквивалентности), что если коэффициент запаса пь тела У удовлетворяет скорректированным эквивалентным условиям прочности
^ < пъ (4)
1 -8а Ь 1 + 5а' "
то коэффициент запаса п0 КТ У0 отвечает заданным условиям прочности (3), где пь =ат / аь, <5ь - максимальное эквивалентное напряжение тела Уь, отвечающее численному решению, построенному для нагружения Е тела Уь с погрешностью 5ь, 15ь | <5а, где 5а - верхняя оценка погрешности 5ь, удовлетворяющая условию
5а< Са= (п2 - п1)/(п2 + п1) . (5)
Доказательство.
Коэффициенты запаса п0 , п° соответственно тел У0 , Уь находим по формулам
п0 =®Т /а0, (6)
0 / 0 /-7Х
пь =^т /сть, (7)
где с° - максимальное эквивалентное напряжение тела Уь, отвечающее точному решению задачи теории упругости, построенному для нагружения Е тела Уь .
Пусть коэффициент п0 удовлетворяет условиям (3). Используя (6) в (3), имеем
п1 < — < п2 . (8)
0
Существует такое число р > 0 (коэффициент эквивалентности), что
Учитывая (9) в (8), получаем
Используя (7) в (10), имеем
Р = -§-. (9)
рп1 <-0 < рп2. (10)
рп1 < п° < рп2. (11)
Пусть коэффициент запаса п° тела Уь удовлетворяет условиям прочности (11). Тогда, под-
р—т
ставляя (7) в (11) с учетом (9), имеем рп1 <-< рп2 . Откуда с учетом (б) следует выполне-
—0
ние для коэффициента запаса п0 КТ У0 условий прочности (3). Рассмотрим предельные случаи.
Пусть п° = рп1 . Используя соотношения (7), (9) в последнем равенстве, получаем р —^ = рп1.
—0
Откуда с учетом (б) следует п0 = п1. Аналогично показываем, что если п° = пр2, то п0 = п2.
—т
Пусть п0 = п1. Используя (б), (9) в последнем равенстве, получаем —— = рп1. Откуда с учетом
—0
(7) вытекает п° = рп1. Аналогично показываем, что если п0 = п2, то п° = рп2 . Итак показано, что (11) есть эквивалентные условия прочности для КТ У0 (см. определение п. 2). Пусть для тела Уь найдено максимальное эквивалентное напряжение —ь такое, что
|56|<5а< Са = {п2 -иъ)/(иъ + п2), (12)
где Ъь - относительная погрешность для — ь, т. е.
5ь = (—ь -— Ь)/ —0. (13)
Из (13) следует — ь = (1 + 5ь) —0 . Отсюда, учитывая (7) и что пь = —т / — ь , получаем
п0 = (1 + 5ь)пь. (14)
Отметим, что в (12) Са < 1. Пусть 50 = | Ъь |. Тогда в силу (12)
0<50 = |5ь| <5а<1. (15)
Принимая в (14) последовательно 5ь = -50 , 5ь =50, введем коэффициенты
п{ = (1 -50)пь, п2 = (1 + 50)пь . (16)
Тогда в силу (14), (16) получаем
0 г 0 г /л п\
пь = п1 или пь = п2 . (17)
Введем коэффициенты п(, п2 по формулам
< = (1 -5а ) пь , 4 = (1 + 5а ) пь . (18)
В силу, что 0 <5а < 1, пь > 0, из (18) следует
п2 <п2 . (19)
Скорректированные эквивалентные условия прочности имеют вид (4) или
рпх(1 + 5а) < пь (1 -5а) < рп2а -8а), (20)
где Пь = оТ / Оь , оТ - предельное напряжение КТ (предел текучести волокна).
Пусть для Пь выполняются условия прочности (20), т. е. пусть рп1 < (1 — 5а)щ и (1 + 5а)пь < рп2. Тогда отсюда следует, что для коэффициентов п(, п^ с учетом (18), (19)
выполняются неравенства
рпх < < п21 < рп2. (21)
Сравнивая (16), (18) с учетом (15), следуют неравенства < п[ , пг2 < п^ .
Отсюда, учитывая, что согласно (16) п[ < п'2 , получаем
4 < п[ < п2 < 4 . (22)
Тогда в силу (21), (22) выполняются неравенства
рпх < п[ < п2 < рп2 . (23)
Из выполнения (23) с учетом (17) следует выполнение условий прочности (11) для коэффициента запаса п° , следовательно, и выполнение заданных условий прочности (3). Ограничения на параметр 5а находим из условия существования условий прочности (4), т. е. пусть рпх (1 + 5а) < рп2 (1 — 5а). Откуда следует
5а < Са= п — п1)/(п1 + п2). (24)
Поскольку п2 > пх > 1, то из (24) следует 0 < Са < 1. Если 5а = Са, то из (4) следует пь = р(пх + п2)/2, что трудно выполнить на практике. Поэтому следует 5а задать такое, что 5а < Са . В этом случае условия (11) для коэффициента запаса п° тела Уь можно выполнить с помощью скорректированных эквивалентных условий прочности (4) и численных решений, порождающих для напряжений Оь тела Уь такие погрешности 5ь, что | 5ь | < 5а . Было показано, что из выполнения условий (11) следует выполнение условий прочности (3). Теорема доказана.
Согласно теореме 1 реализация МЭУП сводится к определению коэффициента р и коэффициента запаса пь тела Уь, т. е. к определению максимального эквивалентного напряжения Оь тела Уь с погрешностью 15ь | < 5а, пь =оТ / оь.
4. Реализация метода эквивалентных условий прочности
Не теряя общности суждений, для простоты изложения, процедуру реализации МЭУП рассмотрим на примере тела У0 с неоднородной регулярной структурой размерами Н х Н х Н , где Н = 6ЫИ, N - целое, N >> 1, И мало. КТ У0, расположенное в декартовой системе координат 0ху2 , при у = 0 жестко закреплено, т. е. при у = 0 : и,V, w = 0 . Регулярная ячейка 00 КТ У0 , имеющая форму куба со стороной 6И , расположена в локальной декартовой системе координат 0ху2 , /,у,к = 1,...,7 (рис. 1), волокна сечением И х И направлены вдоль оси 0у , сечения волокон закрашены. Итак, тело У0 армировано параллельными оси 0у непрерывными волокнами. Для КТ У0 заданы условия прочности (3). БМ Я0 КТ У0, состоящая из конечных элементов
(КЭ) У;- 1-го порядка формы куба со стороной И (в которых реализуется трехмерное НДС), учитывает неоднородную структуру тела У0 и порождает равномерную сетку с шагом И . Считаем, что полож. 3 МЭУП для КТ У0 выполняется.
Рис. 1. Регулярная ячейка G0 Fig. 1. Regular cell G0
Отметим, что реализация МЭУП сводится к определению коэффициента эквивалентности p, коэффициента запаса nb тела Vb и к построению скорректированных эквивалентных условий прочности (4).
Нахождение коэффициента эквивалентности р
Согласно МЭУП введем изотропное однородное тело Уь и КТ В0 такие, что тела Уь, В0 и У0 имеют одинаковые форму, характерные размеры, заданные крепления и нагружения, но отличаются модулями упругости. Модули упругости тела Уь равны модулям упругости волокна КТ У0 . Для тела Уь (для КТ В0) определяем дискретные модели У^ (модели В^), которые об-
разуют последовательности {Упь , {Я^ ^^. Модель УЦ является БМ тела Уь. Модель У^ (модель В0 ) состоит из КЭ У( п) 1 -го порядка формы куба со стороной Ип , в которых реализуется трехмерное напряженное состояние и которые порождают равномерную сетку с шагом Ип
(п) (п) (п)
размерности п\ ' х п2 ' х п3 ', где
Пn) = 6n +1, n2n) = 6n +1, П(п) = 6n +1, n = 1,...,N.
(25)
Согласно (25) модель Уп (модель В°) состоит из конечного числа одинаковых по форме и
размерам изотропных однородных тел ОПЬ (КТ G°) размерами 6hn х 6hn х 6hn , где
hn = H/(6n) = ßnh ,
(26)
где Н = бЫИ, Рп = N / п , п = 1, N, при п < N: Рп > 1, Ип > И, при п ^ N имеем Ип ^ И , Ин = И .
КТ имеет такое же число узлов сетки (343 узла), число волокон (сечением Ип х Ип) и такое же их взаимное расположение, как регулярная ячейка G0 (рис. 1). Волокна и матрицы КТ О*0 и G0 имеют одинаковые модули упругости, п = 1, N (рис. 2), где Ип > И при п < N, /,],к = 1,...,7 .
КТ Оп , G0 (их неоднородные структуры) геометрически отличаются только масштабностью. Для удобства рассуждений, формально для КТ ОЩ , G0 запишем соотношение
О0 =впО0, (27)
где РП - коэффициент масштабности, РП = N / п , п = 1,N , при п ^ N : РП ^ 1, = 1, ОN = О0 .
Рис. 2. КТ G0 (регулярная ячейка модели R0 ) Fig. 2. CB G0 (regular cell body R0 )
Отметим, что поскольку в регулярной ячейке G0 учитывается неоднородная структура, то в силу (27) и в КТ G° (n = 1, N) также учитывается неоднородная структура с помощью КЭ Vjn) 1-го порядка формы куба со стороной hn , т. е. в модели R0 учитывается неоднородная структура. Отметим, что КТ G^ , по сути, является регулярной ячейкой модели R° . Итак, модели V^, R-П имеют одинаковую форму, размерность, одинаковые характерные размеры, равномерные сетки с шагом hn , крепления и нагружения, как КТ V0 , т. е. модели VП, R° отличаются друг от друга только модулями упругости. Отметим следующие достоинства моделей VП, RП .
1. Размерности моделей VП , R° при n < N в силу (25), (26) меньше размерности БМ R0 .
2. При построении моделей {R®}^ не применяется измельчение БМ R0 .
Для уменьшения размерностей моделей VП, R° используются многосеточные КЭ.
В силу (26), (27) при n = N (hN = h , ßN = 1, т. е. G°N = G0) модели VN, RN и БМ R0 КТ V0 имеют одинаковую размерность, а модели R° и R0 в силу (27) совпадают, т. е. R° = R0 . Так как, согласно (27), при n ^ N имеем ^ G0 , тогда получаем
R0 ^ rN = R0 при n ^ N . (28)
Поскольку модели RN , Vn имеют такую же размерность как БМ R0, для которой выполняется полож. 3 МЭУП, то считаем, что максимальное эквивалентное напряжение o°N (напряжение obN) модели R° (модели VN) мало отличается от точного с0 (ст°). Поэтому полагаем
0 0 b /тпч
O0 = ON, O = ON , (29)
0b где Ob - максимальное эквивалентное напряжение тела V отвечает точному решению трех-
TT-b
мерной задачи теории упругости, построенному для тела V .
Коэффициент эквивалентности р находим по формуле (9), т. е. р = с0 / с° или с учетом (29)
р = 4 / < . (30)
Приближенное значение коэффициента эквивалентности рп находим по формуле
Рп =сП / сП, (31)
где сП (сП ) - максимальное эквивалентное напряжение модели (модели У^). В силу (26) при п ^ N следует У^ ^ У^Ъ . Отсюда, учитывая (28), имеем
сП ^, сП ^сN при п ^N . (32)
Учитывая (32), (29), (30) в (31), получаем
рп ^ р при п ^ N . (33)
Пусть 5п =| рп -рП-11 /рп мало, где п = 2,3,.... Тогда принимаем
р = рп . (34)
Расчеты показывают равномерную (монотонную) сходимость напряжений сП , сП и пара-
0 ь
метра рП соответственно к напряжениям сN, сN и параметру р.
Построение скорректированных эквивалентных условий прочности
Подставляя найденный коэффициент эквивалентности р и заданные значения 5а, п1, п2 в (4), определяем скорректированные эквивалентные условия прочности для КТ У0 .
Нахождение коэффициента запаса прочности Пь для однородного изотропного тела Уь
Пусть 5с =| сП - сП-11 /сП мало и | 5с | < 5а, где 5а < Са, п = 2,3,.... Тогда полагаем
сь =сП. (35)
Используя (35) в формуле пь =ст / сь, определяем коэффициент запаса пь для тела Уь
пь =ст / сь . (36)
Проверка заданных условий прочности
Пусть коэффициент запаса пь изотропного однородного тела Уь , найденный по формуле (36), т. е. отвечающий численному решению задачи упругости, удовлетворяет скорректированным эквивалентным условиям прочности (4), построенным для КТ У0 . Тогда, согласно теореме 1 (см. п. 3), коэффициент запаса п0 КТ У0, отвечающий точному решению задачи упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (3).
5. Процедура построения обобщенных эквивалентных условий прочности
Процедуру построения обобщенных эквивалентных условий прочности для КТ, для которого задано множество различных нагружений, не теряя общности суждений, рассмотрим на примере КТ У0. Пусть на поверхности £ КТ У0 действует нагружение вида дх, ду, д2, где
дх, ду, д2 - поверхностные нагружения, действующие соответственно в направлении коорди-
натных осей Ох , Оу , Ог ; дх, ду, д2 е Q:yz, - множество различных нагружений, заданное для КТ У0,
^ = {Ях, Чу, Яг : Ях, Чу, ^ - гладкие функции, заданные на 5} . (37)
Для нахождения (верхней, нижней) границ для множества P коэффициентов эквивалентности, отвечающих множеству нагружения (37), проводим расчеты для ряда характерных нагру-
жений КТ У0: дх = д™, ду = д^, д2 = я\П (ЯП , яХп), я1П - гладкие функции), п = 1, М0 , М0-задано. Введем коэффициенты
р1 = тт(р(п)), р2 = тах(р(п)), п = 1,, т. е. Ур е P : р1 < р < р2. (38)
Пусть для КТ У0 выполняется условие
р2С1 < рА, (39)
где С = п /(1-8а), С2 = П2/(1 + 5а).
Для коэффициента эквивалентности рд е [рх, р2], который найден по МКЭ для нагружения
дх, ду, д2 е Qxyz тела Уь, условия прочности (4) принимают вид
рС < Пь < рчС2 , (40)
где пь - коэффициент запаса изотропного однородного тела Уь .
Согласно (38) имеем рдСх < р2Сх, рС2 < рдС2 . Используя эти неравенства и (39), получаем
рдС1 < р2С1 < р1С2 < рЯС2 . Пусть нагружение Ях, Яу, Яг е ^ тела УЬ так0е, что
рдС1 < р2С1 < ПЬ < р\С2 < PяC2, (41)
т. е. для коэффициента запаса пь тела Уь выполняются следующие условия прочности
р2Сх < пь < р£2. (42)
Пусть для нагружения дх, ду, д2 е Qyz тела Уь коэффициент пь удовлетворяет условиям
прочности (42). Тогда для коэффициента пь выполняются условия (41), т. е. условия прочности (40). Согласно теореме 1 (см. п. 3), из выполнения условий прочности (41) следует выполнение заданных условий прочности (3) для нагружения дх, ду, дг е Q;yz КТ У0 . Отметим, что согласно
МЭУП тело Уь и КТ У0 имеют одинаковые нагружения (см. п. 4). Итак, показано, что из выполнения условий прочности (42) для тела Уь, имеющего нагружение дх, ду, д2 е Qxyz, следует выполнение условий прочности (3) для нагружения дх, ду, дг е Qxyz КТ У0 . Условия (42) будем
называть обобщенными эквивалентными условиями прочности. По сути, выше доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть для множества Q различных нагружений, заданных для КТ У0, согласно МЭУП, построены обобщенные эквивалентные условия прочности (42). Пусть для коэффициента запаса пь изотропного однородного тела Уь, имеющего нагружение Е е Q, условия прочности (42) выполняются. Тогда выполняются заданные условия прочности (3) для нагружения Е КТ У0 .
6. Результаты численных экспериментов
Рассмотрим модельную задачу расчета на прочность консольной композитной балки У0, размерами Н хЬ хН , где Н = 96И, Ь = 1152И , И - задано (рис. 3). Регулярная ячейка G0 КТ У0 имеет форму куба со стороной 6И, волокна сечением И х И параллельны оси Оу (рис. 4), сечения волокон в плоскости Охг закрашены. Итак, тело У0 армировано параллельными оси Оу непрерывными волокнами, расстояние между волокнами равно 2И . При у = 0 КТ У0 жестко закреплено и при г = Н имеет нагружение вида дх, дг, где дх (дг) - усилие, действующее на балку в направлении оси Ох (оси Ог).
1
У
£
Чх
L=1152h
.11- 96 h
Л=96 h
Рис. 3. Размеры тела V0 (тела Vb, моделей Vb, R°) Fig. 3. Dimensions of the body V0 (body Vb, models Vb, R°)
Базовая дискретная модель R0 КТ V0, состоящая из односеточных конечных элементов (1 сКЭ) Vj1 1-го порядка формы куба со стороной h [5; 6] (в которых реализуется трехмерное НДС [30]), учитывает неоднородную структуру тела V0 и порождает равномерную (базовую) сетку с шагом h размерности 97 х 1153 х 97 . На рис. 4 показана базовая сетка регулярной ячейки G0 . Так как БМ R0 имеет 32517504 (свыше 32 млн) неизвестных МКЭ и поскольку h / H << 1 (h / H = h /(96h) = 0,0104), то будем считать, что максимальное эквивалентное напряжение БМ R 0 мало отличается от точного решения, т. е. полож. 3 МЭУП для КТ V0 выполняется (см. п. 1).
Рис. 4. Регулярная ячейка G0 Fig. 4. Regular cell G0
Для коэффициента запаса п0 КТ У0 заданы условия прочности вида
1,3 <п0 < 3,5. (43)
Исходные данные для КТ У0 : И = 0,2083 ; ат = 5; vc =vv = 0,3 Ес = 1, Еу = 10, где Ес, Еу (vc, vv) - модули Юнга (коэффициенты Пуассона) соответственно связующего материала и
волокна, на поверхности 5 = {0,5Ь < у < Ь, г = Н} КТ У0 действует равномерное нагружение Яг = Ях = 0,000285 , аТ - предел текучести волокна.
Согласно МЭУП введем изотропное однородное тело Уь и КТ В такие, что тела Уь, В0 и У0 имеют одинаковые форму, характерные размеры, заданные крепления и нагружения, но отличаются модулями упругости. Модули упругости тела Уь равны модулям упругости волокна КТ У0 . Для тела Уь (для КТ В0) определяем дискретные модели У^ (модели В°), которые образуют последовательности {Упь ^^ {Я^}^. Модель У^ (модель В°) состоит из 1сКЭ У;(и) 1-го порядка формы куба со стороной Кп, в которых реализуется трехмерное НДС и которые порождают равномерную сетку с шагом Кп размерности п{п) х п2п) х п3п), где
п{п) = 6п +1, п2п) = 12 х 6п +1, п3п) = 6п +1, п = 1,2,3,.... (44)
Шаги Лхп), ^уп), сетки модели У^ (модели В°) соответственно по осям Ох, Оу, Ог равны И(хп) = Н / (6п), И(уп) = Ь / (72п), И(2п) = Н / (6п). Так как Ь = 12Н , то Ип = И(хп) = И(уп) = п). Отсюда, учитывая, что Н = 96К , получаем
К =впЬ, (45)
где вп = 16/ п , п = 1,2,3,... при п < 15 вп > 1, Кп > К .
Согласно (44), модель У^ (модель В°) (рис. 3) состоит из конечного числа одинаковых по форме и размерам изотропных однородных тел Оь (КТ О^) размерами 6Кп х 6Кп х 6Кп (рис. 5).
Рис. 5. Регулярная ячейка О]
Fig. 5. Regular cell G0
о
КТ О^ имеет такое же число волокон (сечением Кп х Кп) и такое же их взаимное расположение, как регулярная ячейка О0 (рис. 4), волокна и связующий материал КТ О° и О0 имеют
одинаковые модули упругости, п = 1,16. Итак, КТ , О0 (их неоднородные структуры) геометрически отличаются только масштабностью. Тогда, учитывая (45), для удобства рассуждений, формально для КТ , О0 запишем соотношение
=Р„О0, (46)
где вп - коэффициент масштабности, при п ^ 16 имеем вп ^ 1, Р16 = 1, т. е. О°6 = О0 .
Отметим, что поскольку в регулярной ячейке G0 учитывается неоднородная структура, то в силу (46) и в КТ 0° (п = 1,2,3,...) также учитывается неоднородная структура с помощью 1сКЭ У(п) 1-го порядка формы куба со стороной Ип , т. е. в модели Я учитывается неоднородная структура. Отметим, что КТ ОП, по сути, является регулярной ячейкой модели Я, п = 1,2,3,.... Итак, модели Упь, Я имеют одинаковую форму и размерность, одинаковые характерные размеры, равномерные сетки с шагом Ип , крепления и нагружения как КТ У0 .
В расчетах используем двухсеточные КЭ (2сКЭ). При построении 2сКЭ У(2) размерами 6И х 6И х 6И [15-19] используем две вложенные сетки: мелкую равномерную сетку И(} с шагом И размерности 7 х 7 х 7 и крупную сетку На размерности 2 х 3 х 2 , На с Иа . По осям Ох , Ог сетка Нd имеет шаг 6И, по оси Оу - шаг 3И. На рис. 6 узлы сетки отмечены точками, 12 узлов. Сетка hd порождена базовым разбиением Rd 2сКЭ У^2), которое состоит из 1сКЭ УИ 1-го порядка формы куба со стороной И (в которых реализуется трехмерное НДС, j = 1,...,М, М - общее число 1сКЭ УИ, М = 216) и учитывает неоднородную структуру 2сКЭ У^2).
Рис. 6. Мелкая и крупная сетки 2сКЭ Vj2) Fig. 6. Small and large grids 2gFE Vj2)
На разбиении Rd строим суперэлемент VS с помощью метода конденсации [5]. Полную потенциальную энергию ns суперэлемента VS представим в форме
П = 2 qS K ]qs - qSFs , (47)
где T — транспонирование; [KS ] - матрица жесткости (размерности 654 х 654); FS, qS - векторы узловых сил и перемещений (размерности 654) суперэлемента VS . Базисную функцию Njjk (х, y, z) для узла i, j, k крупной сетки Hd с помощью полиномов Лагранжа запишем в форме Nijk = L (х)Lj (y)Lk (z), где
L (х) = П . Lj (y) = П , Lk (z) = П '
a=1,Xi Xa a=1,a* jyj ya a=1,a^k Zk Za
где х{, yj, zk - координаты узла i, j, k сетки Hd в системе координат Oxyz ; ijk - целочисленная система координат, введенная для узлов сетки Hd , i, k = 1,2 ; j = 1,2,3 (см. рис. 6).
Обозначим: Ne = Njk , Ue = Uijk , Ve = Vyk , We = W,jk , где U,jk, V,jk , W,jk - значения перемещений u, v, w в узле i, j,k сетки Hd , i,k = 1,2, j = 1,2,3, e = 1,...,12. Тогда аппроксимирующие функции перемещений u(2), v(2), w(2) 2сКЭ Vd(2) представим
12 12 12 U(2) =YNeUe , V(2) =YNeVe , W(2) . (48)
e=1 e=1 e=1
Обозначим: qd - вектор узловых перемещений крупной сетки Hd (размерности 36), т. е. вектор узловых неизвестных 2сКЭ Vd2). Используя (48), вектор qS узловых перемещений суперэлемента VS выражаем через вектор qd , т. е.
qs = [ Ad ] qd , (49)
где [ Ad ] - прямоугольная матрица (размерности 654 х 36).
Подставляя (49) в (47) получаем ПS = ПS (qd). Из выполнения 5ПS / dqd = 0 получаем равенство [Kd ] qd = Fd, где [Kd ] = [Ad ]T [Ks ][Ad ], Fd = [Ad ]T Fs , где K ], Fd - матрица жесткости (размерности 36 х 36) и вектор узловых сил (размерности 36) 2сКЭ Vd2).
Решение, построенное для сетки Hd 2сКЭ Vd2), с помощью формулы (49) проецируется на сетку суперэлемента VS , затем с помощью соотношений метода конденсаций - на мелкую сетку hd 2сКЭ Vd2). что позволяет найти напряжения в 1сКЭ Vj1 базового разбиения Rd 2сКЭ Vd2).
На модели VП (R°) строим двухсеточную дискретную модель, которая состоит из 2сКЭ типа Vd2) размерами 6hn х 6hn х 6hn , где hn = 16h / n , n = 1, 11, и которую обозначим V^ (Rn ). Отметим, что модели Vn0, Rn имеют одинаковую размерность. Для моделей Vn0, Rn находим (по 4-й теории прочности [1]) соответственно максимальные эквивалентные напряжения abn, <5° , n = 3,5,...,11. Результаты расчетов представлены в табл. 1, где
SP (%) = 100%х | p° - p°-2 I /Pn , (50)
где n = 5,7, 9, 11; pn =a°n / 5bn; N0, b^ - размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели V°, n = 3,5,...11.
Анализ результатов расчетов показывает равномерную монотонную сходимость напряжений 5bn , 5° , параметра pn и погрешности Sp . Рассмотрим расчет КТ V0 на основе БМ R0 . Отметим, что в расчетах КТ, как правило, используют три (и более) дискретных модели для анализа сходимости и погрешности численных решений. В данном случае используем три модели: Rj = R0, модели R2 и R3 получены путем измельчения БМ R0 . На дискретной модели Rn,
используя 2сКЭ типа Vd(2) размерами 6h n х 6h n х 6h n , определяем двухсеточную дискретную модель Rn, где hn - шаг равномерной сетки модели Rn, hn = h / n , n = 1,2,3 .
Результаты расчетов для моделей Rn, Rn даны в табл. 2, где Nn , bn - размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели Rn ; № и bn - размерность и ширина ленты модели Rn ; n = 1,2,3 . Коэффициент kn находим по формуле kn = (№ хbn)/(Щг хb101), где № хbn - объем памяти ЭВМ, необходимый для модели Rn ; n = 1,2,3 ; N^ х b101 - объем памяти ЭВМ, необходимый
для модели У101, где N0 = 114048, Ь^ = 906 , которая используется в расчетах КТ У0 по МЭУП (см. табл. 1). Итак, реализация МЭУП при расчете КТ У0 требует в 1,169 х103 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем реализация расчета КТ У0 на основе измельчения БМ Я0 (см. табл. 2). Находим напряжение Сь для тела УЬ и коэффициент эквивалентности р . Так как напряжения а9 = 0,477 и с^ = 0,515 отличаются на малую величину 5 = (0,515 -0,477) / 0,515 = 0,07379 (см. табл. 1), то пусть Сь = с^, т. е. Сь = 0,515 . Тестовые расчеты показывют, что напряжение с^ найдено с ошибкой не более 15 %. Тогда полагаем 5а = 0,15 . Отметим, что условие (24) выполняется, т. е. имеем 5а = 0,15 < Са = 0,458. Так как 5Ц = 0,221 (%) малая величина (см. табл. 1), то принимаем р = рп = 4,54183 .
Таблица 1
Результаты расчета КТ У0
п У0 к Ь°„ СЬп К С0п Рп 5Р (%)
3 У30 3456 114 0,319 Я3 0,169 0,52907 -
5 У50 12960 240 0,383 Я5 1,741 4,54020 88,35
7 У70 32256 414 0,434 К 1,979 4,55590 0,345
9 У90 94800 636 0,477 К 2,173 4,55185 0,089
11 У1 114048 906 0,515 Я11 2,339 4,54183 0,221
Таблица 2
Результаты расчетов для моделей Яп ,
п Ь п Я п ^п Ьп яп ^п ьп к п
1 И 1*1 32517504 28524 332928 1791 5,77
2 И/2 Я2 257465088 112332 Я22 2509056 6639 161,21
3 И/3 865945728 251436 ЯО 8297856 14559 1169,18
Подставляя в представление (4) р = 4,54183 , п1 = 1,3 , п2 = 3,5 , 5а = 0,15 , получаем для КТ У0 скорректированные эквивалентные условия прочности
6,95 < пЬ < 13,82. (51)
Для тела УЬ коэффициент запаса пЬ определяем по формуле пЬ =ст / сь , с учетом, что ст = 5, сь = 0,515, получаем пЬ = 5/0,515 = 9,71. Коэффициент запаса пЬ = 9,71 тела УЬ удовлетворяет условиям прочности (51). Тогда коэффициент запаса п0 КТ У0 удовлетворяет условиям прочности (43) (см. теорему 1 п. 3).
7. Применение обобщенных эквивалентных условий прочности
Рассмотрим построение обобщенных эквивалентных условий прочности для КТ У0 (рис. 3), для которого на границе ^ = {0,5Ь < у < Ь, г = Н} КТ У0 задано множество различных нагру-жений Qxz вида
= [дх, д2: дх = а, д2 =р, 0 <а,р<<ю}. (52)
Для нахождения (верхней, нижней) границ для множества P коэффициентов эквивалентности, отвечающих множеству нагружения (52), проводятся расчеты для ряда характерных на-гружений КТ У0 : дх = д(х"), д2 = д(2п) (д(х"), д(2п) = со^), п = 1,4 . Результаты расчетов даны в табл. 3, где коэффициент эквивалентности р(п) найден для нагружения дХп), д(2п) с помощью моделей У-Ц, Яп , см. п. 6, п = 1,4 .
Таблица 3
Результаты расчетов для нагружений ¿я), q*n)
n q? х10-3 qzn) х10-3 (n) p )
1 q® = 0 q(1 = 0,225 4,53868
2 д? = 0,180 д(? = 0,325 4,54185
3 д(3 = 0,275 qf = 0 4,55305
4 д(4 = 0,750 д(4 = 0,750 4,54129
В силу линейности задачи теории упругости и соотношения (30) коэффициент эквивалент-
ад (n)
ности p, который определяется для нагружения дх = а0дх , qz = а0q\ , не зависит от а0 , где а0 = const, 0 <а0 <(ю, n = 1,4 . Тогда при любом а0 > 0 для нагружений дх = а0дх , qz = 0 и
дх = ^ qz =а0д^ (дх = а0 дX2), qz =а0 д(2) и дх =а0 дX4), qz ^д^ где д((4) = qZ4)) соответственно получаем p = p(3) и p = p(1) (p = p(2) и p = p(4)) (см. табл. 3). Отсюда следует, что если
дх ^ qz, то p ^ p(4); если qz =а0, дх ^0, то p ^ p(1); если дх = а0, qz ^0, то p ^ p(3), если дх Ф qz, дх, qz Ф 0 , то p(1) < p < p(3), что подтверждают расчеты. Итак, для любых нагружений дх, qz в (52) имеем Vp е P : p(1) < p < p(3). Введем коэффициенты
p1 = min(p(n)), p2 = max(p(n)), n = 1,4, т. е. Vp е P : p1 < p < p2. (53)
Для КТ V0 условие (39) выполняется, т. е. имеем
p2C, < piC2, (54)
где Ci = И1/(1-5а ), C2 = n2 /(1 + 5а ).
В самом деле, следуя исходным данным для КТ V0 и результатам табл. 3, имеем C1 = 1,5294, C2 = 3,0435, p1 = p(1) = 4,53868, p2 = p(3) = 4,55305. Получаем p2C1 = 6,963, p1C2 = 13,81, т. е. условие (54) для КТ V0 выполняется. Для коэффициента запаса nb тела Vb обобщенные эквивалентные условия прочности имеют вид (42), т. е.
p2C1 < nb < p1C2 . (55)
Итак, расчет на прочность по МЭУП КТ V0 , для которого задано множество различных на-гружений (52), сводится к построению обобщенных эквивалентных условий прочности (55). Согласно теореме 2, если коэффициент запаса nb тела Vb, имеющего нагружение дх ,qz е Qxz,
удовлетворяет обобщенным эквивалентным условиям прочности (55), то коэффициент запаса n0 КТ V0 отвечает заданным условиям прочности (43) для нагружения qx,qz е Qxz.
Для КТ V0 обобщенные эквивалентные условия прочности (55) имеют вид
6,96< nb < 13,81. (56)
В данном примере p1 = 4,53868, p2 = 4,55305 , и так как Ap = p2 -p1 = 0,01437 мало, то условия прочности (51) и (56) почти совпадают (см. п. 6).
Достоинство обобщенных эквивалентных условий прочности (55) состоит в том, что они применяются для всех различных нагружений множества Qxz КТ V0 . Следовательно, нет необходимости определять эквивалентные условия прочности (40), т. е. коэффициент эквивалентности pq, для каждого заданного нагружения qx ,qz е Qxz, что приводит к уменьшению временных затрат реализации МЭУП при использовании различных нагружений qx ,qz е Qxz в расчетах на прочность КТ V0 .
Заключение
Кратко изложен метод эквивалентных условий прочности для расчета на прочность тела с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой, для которого задано множество различных статических нагружений. Предлагаемый метод реализуется на основе МКЭ с использованием многосеточных конечных элементов и сводится к расчету на прочность изотропных однородных тел с применением обобщенных эквивалентных условий прочности. Реализация метода требует малых временных затрат и ресурсов ЭВМ.
Библиографические ссылки
1. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев : Наук. думка, 1975. 704 с.
2. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин. М. : Машиностроение, 1993. 640 с.
3. Москвичев В. В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений. Новосибирск : Наука, 2002. 106 с.
4. Матвеев А. Д. Расчет упругих конструкций с применением скорректированных условий прочности // Известия АлтГУ. Математика и механика. 2017. № 4. С. 116-119. Doi: 10.1425 8/izvasu(2017)4-21.
5. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М. : Мир, 1981. 304 с.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 542 с.
7. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М. : Мир, 1982. 232 с.
8. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158, кн. 4. С. 530-543.
9. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. 2016. № 12. С. 93-100.
10. Matveev A. D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158, No. 1. Art. 012067, P. 1-9.
11. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок сложной формы // Вестник КрасГАУ. 2017. № 11. С. 131-140.
12. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. 2018. № 2. С. 90-103.
13. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных оболочек вращения и двоякой кривизны // Вестник КрасГАУ. 2018. № 3. С. 126-137.
14. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в решении физических краевых задач // Информационные технологии и математическое моделирование. Красноярск, 2017. С. 27-60.
15. Матвеев А. Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ. 2000. № 2990-В00. 30 с.
16. Матвеев А. Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. 2004. № 3. С. 161-171.
17. Матвеев А. Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. Серия: Математика и механика. 2014. № 1/1. С. 80-83. Бок 10.14258Лгуа5и(2014)1.1-18.
18. Матвеев А. Д. Метод образующих конечных элементов // Вестник КрасГАУ. 2018. № 6. С.141-154.
19. Матвеев А. Д. Построение многосеточных конечных элементов для расчета оболочек, пластин и балок на основе образующих конечных элементов. // Вестник Пермского нац. исслед. политех. ун-та. Механика. 2019. № 3. С. 48-57. Бок 10/15593/регш.шееЬ/2019.3.05.
20. Голушко С. К., Немировский Ю. В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. М. : Физматлит, 2008. 432 с.
21. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск : Наука, Сибирское отделение. 1984. 164 с.
22. Кравчук А. С., Майборода В. П., Уржумцев Ю. С. Механика полимерных и композиционных материалов. М. : Наука. 1985. 201 с.
23. Алфутов Н. А., Зиновьев А. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1984. 264 с.
24. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М. : МГУ. 1984. 336 с.
25. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск : Наука, 2001. 288 с.
26. Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. Киев : Наукова думка. 1985. 302 с.
27. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988. 269 с.
28 Матвеев А. Д. Расчет на прочность композитных конструкций с применением эквивалентных условий прочности // Вестник КрасГАУ. 2014. № 11. С. 68-79.
29. Матвеев А. Д. Метод эквивалентных условий прочности в расчетах композитных конструкций регулярной структуры с применением многосеточных конечных элементов // Сибирский журнал науки и технологий. 2019. Т. 20, № 4. С. 423-435. Бок 10.31772/2587-6066-201920-4-423-435.
30. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. М. : Высшая школа, 1982. 264 с.
References
1. Pisarenko G. S., Yakovlev A. P., Matveev V. V. Spravochnik po soprotivleniyu materialov [Handbook of resistance materials']. Kiev, Nauk. Dumka Publ., 1975, 704 p.
2. Birger I. A., Shorr B. F., Iosilevich G. B. Raschet na prochnost' detalej mashin [Calculation of the strength of machine parts]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1993, 640 p.
3. Moskvichev V. V. Osnovy konstrukcionnoj prochnosti tekhnicheskih sistem i inzhenernyh so-oruzhenij [Fundamentals of structural strength of technical systems and engineering structures]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2002, 106 p.
4. Matveev A. D. [Calculation of elastic structures using the adjusted terms of strength]. Izvestiya AltGU. 2017, No. 4, P. 116-119. Doi: 10.14258/izvasu(2017)4-21.
5. Norri D., de Friz Zh. Vvedenie v metod konechnykh elementov [Introduction to the finite element method]. Moscow, Mir Publ., 1981, 304 p.
6. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir Publ., 1975, 544 p.
7. Fudzii T., Dzako M. Mekhanika razrusheniya kompozicionnyh materialov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow, Mir Publ., 1982, 232 р.
8. Matveev A. D. [The method of multigrid finite elements in the calculations of three-dimensional homogeneous and composite bodies]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Seriia: Fiz.-matem. Nauki. 2016, Vol. 158, No. 4, P. 530-543 (In Russ.).
9. Matveev A. D. [Multigrid method for finite elements in the analysis of composite plates and beams]. VestnikKrasGAU. 2016, No. 12, P. 93-100 (In Russ.).
10. Matveev A. D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. IOP Conf Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016, Vol. 158, No. 1, Art. 012067, P. 1-9.
11. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh elementov v raschetah kompozitnyh plastin i balok slozhnoj formy [Multigrid finite element Method in the calculations of composite plates and beams of irregular shape]. // The Bulletin of KrasGAU, 2017, No. 11, P. 131-140.
12. Matveev A. D. [Multigrid finite element Method]. The Bulletin of KrasGAU. 2018, No. 2, P. 90-103 (In Russ.).
13. Matveev A. D. [The method of. multigrid finite elements of the composite rotational and bi-curved shell calculations]. The Bulletin of KrasGAU. 2018, No. 3, P. 126-137 (In Russ.).
14. Matveev A. D. [Method of. multigrid finite elements to solve physical boundary value problems]. Ministry of information technologies and mathematical modeling. Krasnoyarsk, 2017, P.27-60.
15. Matveev A. D. [Some approaches of designing elastic multigrid finite elements]. VINITI Proceedings. 2000, No. 2990-B00, P. 30.
16. Matveev A. D. [Multigrid modeling of composites of irregular structure with a small filling ratio]. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2004, No. 3, P. 161-171 (In Russ.).
17. Matveev A. D. [The construction of complex multigrid finite element heterogeneous and micro-inhomogeneities in structure]. Izvestiya AltGU. 2014, No. 1/1, P. 80-83 (In Russ.). Doi: 10.1425 8/izvasu(2014)1.1-18.
18. Matveev A. D. [Method of generating finite elements]. The Bulletin of KrasGAU. 2018, No. 6, P. 141-154 (In Russ.).
19. Matveev A. D. [Construction of multigrid finite elements to calculate shells, plates and beams based on generating finite elements]. PNRPUMechanics Bulletin. 2019, No. 3, P. 48-57 (In Russ.). Doi: 10/15593/perm.mech/2019.3.05.
20. Golushko S. K., Nemirovskij Y. V. Pryamye i obratnye zadachi mekhaniki uprugih kompozit-nyh plastin i obolochek vrashcheniya [Direct and inverse problems of mechanics of elastic composite plates and shells of rotation]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 432 p.
21. Nemirovskij Y. V., Reznikov B. S. Prochnost' elementov konstrukcij iz kompozitnyh materi-allov [Strength of structural elements made of composite materials]. Novosibirsk, Nauka Publ., Sibir-skoe ot-delenie. 1984, 164 p.
22. Kravchuk A. S., Majboroda V. P., Urzhumcev Y. S. Mekhanika polimernyh i kompozicionnyh materialov [Mechanics of polymer and composite materials]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 201 p.
23. Alfutov N. A., Zinov'ev A. A., Popov B. G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov [Calculation of multilayer plates and shells made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1984, 264 p.
24. Pobedrya B. E. Mekhanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, MGU Publ., 1984, 336 p.
25. Andreev A. N., Nemirovskij Y. V. Mnogoslojnye anizotropnye obolochki i plastiny. Izgib, us-tojchivost', kolebaniya [Multilayer anisotropic shells and plates. Bending, stability, vibration]. Novosibirsk : Nauka Publ., 2001, 288 p.
26. Vanin G.A. Mikromekhanika kompozicionnyh materialov [Micromechanics of composite materials]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985, 302 p.
27. Vasil'ev V. V. Mekhanika konstrukcij iz kompozicionnyh materialov [Mechanics of structures made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988, 269 p.
28. Matveev A. D. [Calculation of the strength of composite structures using equivalent strength conditions]. The Bulletin of KrasGAU. 2014, No. 11, P. 68-79 (In Russ.).
29. Matveev A. D. [The method of equivalent strength conditions in calculating composite structures regular structure using multigrid finite elements]. Siberian Journal of Science and Technology. 2019. Vol. 20, No. 4, P. 423-435. Doi: 10.31772/2587-6066-2019-20-4-423-435.
30. Samul' V. I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1982, 264 p.
Я Матвеев А. Д., 2021
Матвеев Александр Данилович - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник; Институт вычислительного моделирования СО РАН. E-mail: mtv241@mail.ru.
Matveev Alexander Danilovich - Cand. Sc., associate Professor, senior researcher; Institute of computational modeling SB RAS. E-mail: mtv241@mail.ru.
