Метод дискретной оптимизации на основе параметризации грассманиана в многомерном структурировании дихотомических данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ГРАССМАНИАНА В МНОГОМЕРНОМ СТРУКТУРИРОВАНИИ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ

П. В. Грачева

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, polina.gracheva@gmail.com

Введение. Одной из актуальных задач математической статистики является агрегирование в структуры меньшей размерности информации, содержащейся в большом количестве категориальных признаков с одинаковым числом градаций [1]. Например, большое количество категориальных признаков возникает при кодировании нуклеотидных остатков при помощи двух битов [2]. Одним из методов, предназначенных для обработки такого рода данных, является симптомный анализ [1], основанный на представлении данных в виде конечных проективных пространств. Задача агрегирования информации в структуры меньшей размерности сводится к поиску k-мерных подпространств с заданными свойствами. Обычный перебор приводит к колоссальным затратам времени, ограничивающим возможность привлечения достаточного количества признаков.

В этой работе для решения этой проблемы предлагается подход, состоящий из двух этапов. Первый этап связан с использованием алгебраических свойств конечных геометрий, где уменьшение вычислительного времени достигается за счет быстрого перечисления точек грассманиана Сг2(k,n) над полем из двух элементов. Второй этап предполагает программную реализацию параллельных вычислений на GPU (Graphics Processing Unit), как наиболее перспективный и используемый подход к сокращению временных затрат [3].

В настоящей статье подробно рассматривается первый этап решения проблемы большого вычислительного времени в задаче агрегирования информации. Для этого предлагается векторная параметризация грассманиана Gr2 (k, n), позволяющая минимизировать объем используемой памяти и сократить количество операций. Выбранная параметризация в некотором смысле обобщает хорошо известное специалистам клеточное разбиение грассманиана [4, 5]. Далее строится алгоритм, основанный на этой параметризации и кодировании Грея, который позволит в будущем привлечь параллельные вычисления для более существенного сокращения вычислительного времени. В заключение оценивается эффективность алгоритма в сравнении с обычным перебором.

В основном задача дискретной оптимизации, возникающая в различных статистических методах для дихотомических данных, сводится к поиску приближенного экстремума функции определенного вида, заданной на {0,1}", а не на всевозможных подпространствах [6]. Проблема оптимизации также возникает при перечислении входных векторов, принадлежащих некоторому линейному пространству, для тестирования различных чипов [7]. Предлагается свести полный перебор 2" дихотомических векторов к перебору лишь некоторых подпространств, которые хранятся в виде их базисов. Выбор подходящих подпространств носит эвристический характер, в то время как в данной

© П. В. Грачева, 2011

статье предлагается алгоритм построения базисов всевозможных подпространств фиксированной размерности.

1. Основные определения и теорема

о векторной параметризации грассманиана Сг2(к, п)

Рассмотрим п различных линейно независимых векторов Хі,... ,Хп над полем Е2 и всевозможные конечные линейные комбинации вида

Хт = «іХі + ... + «пХп(шоё 2),

где индекс т С {1,2,...,п} выбирается таким образом, что а^ = 1, если і Є т, и а^ = 0 иначе. Очевидно, что множество всех таких конечных линейных комбинаций вместе с вырожденным вектором Х0 = (0,..., 0)т образуют векторное пространство Уп размерности п, содержащее 2п точек, над полем из двух элементов. Ясно, что этому пространству принадлежат все такие конечные линейные комбинации:

Х„ = аіХт! + ... + аиХтк (шоё 2),

где V = тіД ... Дти таких т*, что а* = 1. Знак Д означает симметрическую разность, то есть т*Дт^ = (т* и т^) \ (т* П т^). Напомним, что операция симметрической разности ассоциативна, то есть неважно, как расставлять скобки, разбивая множества на пары, поэтому мы, следуя общепринятой традиции, вовсе не будем их ставить.

Набор линейно независимых векторов (Хт1, Хт2,..., ХТк) можно рассматривать как базис, который порождает к-мерное подпространство Уи = {Хт1 ,Хт2 ,...,Хтк) пространства Уп. Все к-мерные подпространства образуют грассманиан Сг2(к,п), точкой которого является одно к-мерное подпространство, которое естественным образом может быть задано различными базисами [9].

Далее мы зададим такую векторную параметризацию грассманиана Сг2(к, п), с помощью которой будет удобно перечислять всевозможные его точки. Другими словами, мы единообразно выделим в каждом к-мерном подпространстве единственный базис (Хті ,Хт2 ,...,Хтк ).

Зафиксируем полный флаг Т на пространстве Уп = (F2)n:

Уо = {0} С Уі = {Хі) С У2 = {Хі,Х2) С ... С Уп = {Хі, ...,Хп).

Будем говорить, что отношение линейного порядка V -< V на Уп согласовано с флагом Т, если для любого і из V Є У*, V Є Уп \ У* следует V -< V.

Теорема 1.1. Для пространства Уп, полного флага Т и согласованного с ним отношения линейного порядка отображение

(Хті ,Хт2 , ...Хт" ) — (Хті ,Хт2 , . . .,Хтк )

устанавливает биекцию между к-мерными подпространствами Уп и упорядоченными наборами векторов (Хт1, Хт2,..., Хтк) Є Уп такими, что

1) Хті -< Хт] при і < і,

2) Хті Є У у \ У-і ^ для всех к > і выполнено і Є ти ■

Для доказательства этой теоремы нам понадобится некоторое дополнительное техническое утверждение.

Определение 1.1. Будем говорить, что уровень XTi равен j, и писать lev(XTi) = j, если XTi € Vj W'-i-

Последнее условие, как не трудно видеть, равносильно тому, что в Ti максимальный элемент j. Заметим также, что согласованность отношения линейного порядка -< с флагом означает в точности, что если XTi -< XTj, то lev(XTi) < lev(XTj).

Лемма 1.1. В обозначениях теоремы 1

( к \

lev ( ''=> aiXTi 1 = ma:xlev(XTi). (1)

Доказательство Леммы 1.1- Пусть j = max i, тогда

a,ai

lev aiXt^ = lev a.iXTi + X^j .

Согласно условию 1.1 теоремы 1.1 XTi -< XTj при i < j, откуда по условию 1.1 и из согласованности отношения порядка с флагом lev(XTi) < lev(XTj). Следовательно, по

определению уровня lev aiXT^j = lev (XTj). □

Доказательство Теоремы 1.1 - Доказательство состоит из трех частей: проверки того, что при таком отображении фактически получаются k-мерные подпространства, проверки сюръективности и инъективности такого отображения. Корректность заключается в том, что при отображении получаются именно fc-мерные подпространства.

• Проверим, что XT1, XT2,..., XTk с указанными свойствами являются линейно

независимыми. Действительно, пусть XTj = aiXTi, тогда согласно (1)

ia j

lev(XTj) = lev aiXTi^ = max lev(XTi) = lev(X^.,),

что противоречит второму условию.

• Докажем, что такое отображение является сюрьекцией, то есть в любом ^-мерном подпространстве W можно выбрать базис, для которого выполняются оба свойства в условии. Рассмотрим фильтрацию F П W, индуцируемую на W флагом F,

W П V0 = {0} С W П V С ... С W П Vn (2)

и, используя свойство

dim(W П Vi+i) - 1 < dim(W П Vi) < dim(W П Vi+i), (3)

построим искомый базис W.

Неравенство (3) хорошо известно, но мы тем не менее приведем несложное доказательство для полноты изложения. По теореме о размерности суммы и пересечения для W и Vi и для W и V+1 соответственно имеем

<Иш(Ш П У+1) - <Иш(Ш П У;) =

= (ё1ш(Ут) - &ш(У)) - (ёт(Ш + У+1) - ёт(Ш + У,)). (4)

По определению У;, ё1ш(У+1) — ёш(У) = 1, а так как (У + Ш) С (У+1 + Ш), то ё1ш(У,+ 1 + Ш) — ёш(У + Ш) > 0, следовательно неравенство (3) действительно выполняется.

Вернемся к построению искомого базиса Ш. Рассмотрим минимальное к1, для которого Ш П Ук1 = {0}, что влечет, по свойству (3), ёш(Ш П Ук1) = 1. В качестве ХТ1 выберем единственный ненулевой вектор из Ш П У;.

Следующим шагом найдем минимальное &2, для которого ё1ш(Ш П У;2) > 1, это означает ё1ш(Ш П Ук2) = 2, следовательно, Ш П Ук2 = {0,ХТ]_,№,№ + ХТ1}. В качестве ХТ2 из V и V + ХТ1 выберем тот из векторов, у которого в индексе нет 2 = шах(г1), чтобы было выполнено второе условие. Первое условие выполняется: ХТ2 > ХТ1, так как ХТ2 £ УТ1.

На т-ом шаге найдем такое минимальное кт, что ё1ш(Ш П У;т) > т — 1, следовательно, ёш(Ш П Укт) = т. Из Ш П Укт = {тт + (Ш П Ут_1)} и{Ш П Ут_1} выберем в качестве ХТт такой, что выполняется второе условие, а ХТт > ХТт-1,

так как ХТт £ Укт-1 .

• Наконец, нужно проверить, что отображение является инъекцией. Другими словами, если два набора (ХТ1,..., ХТк) и (ХМ1,..., Х^к) удовлетворяют сформулированным в теореме условиям и являются базисами одного и того же пространства {ХТ1,..., ХТк) = Ш = {Х^1,..., Х^к), то эти базисы совпадают, то есть ХТ€ = Х^ для Уг = 1 ...к.

Так как наборы являются базисами одного пространства, то ХТ^ ^к=1 а;Х^.

Рассмотрим уровни для левой и правой части и воспользуемся соотношением (1)

тогда для некоторого г : 1еу(ХТз.) = 1еу(Х^). В силу исходного условия все уровни 1еу(ХТз-) различны, следовательно, наборы уровней для двух базисов совпадают. Более того, первое условие, упорядочивающее набор, говорит о том, что 1еу(ХТз-) =

Проведем доказательство по индукции того факта, что ХТ1 = Х^1. Снова перейдем к рассмотрению уровней и воспользуемся леммой

Следовательно, при всех г > 1 имеем коэффициенты а; = 0, это и означает, что

Пусть совпадают не все векторы базисов, тогда рассмотрим минимальное 2 : ХТ6 =

к

Х^6. Представим ХТ 6 = 5^ а;Х^; можно заметить, что из соотношения (1) ХТ6 =

;=1

1еУ(ХМ; ).

Хт1 = ХМ1 .

j

^2 . Выберем m = minai=i i, тогда

i=1

j-1

Xt, = Xm + Y. aix»i + Xj ■

i=m+1

Согласно второму условию все цi при i > m не содержат lev(XMm), следовательно, lev(XMm) € Tj. Однако это, вместе с условием 1.1, противоречит Xjm = XTm.

□

Следующее замечание определяет, сколько есть различных отношений линейного порядка, согласованных с флагом. Заметим, что на упорядочивания можно смотреть как на перестановки, так как любому отношению линейного порядка на множестве из m элементов однозначно соответствует биекция этого множества и множества {1, 2,..m}, отправляющая самый маленький элемент в 1, второй в 2 и т. д. При конкретных вычислениях оказывается удобным работать именно с перестановками.

П

Замечание 1.1. Существует Y\ 2(i-1)! перестановок, сохраняющих флаг.

i=1

Доказательство. Количество перестановок—это произведение всевозможных перестановок внутри каждого уровня. Всего есть n уровней, на i-ом уровне 2(i-1) элементов, 2(i-1)! способов их переставить, таким образом, общее количество перестановок

П

П 2(i-1)!.

i=1

2. Алгоритм быстрого перечисления точек грассманиана Gr2(k,n)

Определение 2.1. Рефлексным двоичным кодом Грея называют такое упорядочивание 2п чисел в двоичной системе счисления, для которого представление двух соседних чисел различается только в одном разряде.

Построение кода Грея m-го числа можно определить через представление этого числа в двоичном виде. Если aj обозначить j-й бит бинарного кода, тогда j-й бит gj кода Грея m-го числа является суммой в поле F2 соответствующего j-го и j + 1 битов бинарного кода gj = aj + aj+1.

Теорема 2.1. Упорядочивание множества векторов пространства Vn над полем F2 в порядке кода Грея реализует перестановку, согласованную с флагом, минимизирующую количество используемой памяти и гарантирующую одинаковое количество операций для формирования любого нового вектора.

Доказательство. Рассмотрим двоичную кодировку последовательности векторов

XT = Xm, где m = a120 + a221 + ■■■ + an2n-1,

причем ai = 0, если i € t = {i1,i2, ■ ■ ■ik}, a m — номер вектора XT в последовательности. Очевидно, что lev(XT) = lev(Xm) = max i = j, что равносильно XT € Vj W-.

ai=0

Нужно проверить, что новый вектор, соответствующий m-й позиции в коде Грея, XT1 € Vj\Vj-1. По построению j-й бит gj кода Грея m-го числа представляется как

сумма в поле F2 соответствующего j-го и j + І битов бинарного кода gj = aj + aj+1. Так как для V k > j ak = О, a aj = І, следовательно g(j) = І и g(k) = О. Это означает, что lev(XTі) = max {i : gi = О}, следовательно код Грея переставляет векторы только внутри уровней, то есть сохраняет флаг.

Элементы кода Грея находятся в биективном соответствии с двоичными представлениями. Так как два соседних значения кода Грея различаются ровно на один бит, это гарантирует, что построение нового, еще не встречающегося вектора происходит всегда ровно за одну операцию сложения в поле F2 текущего вектора и одного из исходных векторов X1,..., Xn. Это позволяет для перечисления всех векторов пространства Vn хранить только исходные вектора и один текущий вектор на каждом шаге.

Для того, чтобы перечислить все точки грассманиана Gr2(k, n) необходимо перебрать всевозможные списки векторов X = (XTl ,XT2 ,...,XTk). Согласно теореме 1.1, если для любого i перебирать такие XTi, что ті не содержит jl,... ,ji-1, где jk является максимальным элементом в Tk для любого k < i, то ровно один раз будут перечислены все точки грассманиана. Это означает, что все перечисленные вектора задают все k-мерные подпространства, и ни одно k-мерное подпространство не будет перечислено больше одного раза. Каждый вектор является базисом одного k-мерного подпространства. Обозначим через Vn_і+1 — какое-то векторное пространство размерности n — i +І

над полем F2, в котором не лежат Xj1,..., Xji-1. Тогда согласно теореме 2.1 наиболее эффективное построение подходящих XTi заключается в последовательном формировании векторов пространства Vn-i+l в порядке кода Грея.

Такой алгоритм перечисления точек грассманиана может быть использован в задаче поиска k-мерного подпространства, наилучшим образом приближающего исходное n-мерное пространство.

Определение 2.2. Монотонной характеристикой ц, заданной на множестве всех подпространств данного пространства V, назовем такую числовую функцию, что для V С W имеет место )j,(V) < л(W).

Тогда задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть определена монотонная числовая характеристика p(Vk) k-мерного подпространства Vk = {XTl ,XT2 ,...,XTk), мы хотим найти такое из подпространств размерности k, чтобы ИК) — M(Vk)\ было минимальным.

Возможны два способа поиска оптимального k-мерного подпространства с точки зрения характеристики ц: полный перебор, перебирающий всевозможные k-мерные подпространства, и последовательный перебор, который по одному выбирает вектора XTi, на каждом шаге максимизируя л найденного подпространства Vi = {XTl, XT2,..., XTi), где i < k. В каждом случае перебор XTi осуществляется согласно описанному выше алгоритму. Сравним трудоемкости обоих способов с точки зрения количества операций, необходимых на поиск оптимального k-мерного подпространства с точки зрения характеристики ц.

Замечание 2.1. Трудоемкость полного перебора (то есть количество вычислений характеристики ц) составляет O(2kn), а время последовательного перебора — O(2n).

Доказательство. Трудоемкость полного перебора — это произведение количества всевозможных вариантов XTi на i-м шаге, а трудоемкость последовательного — сумма этих вариантов. Согласно теореме 1.1, существует 2(n_i+1) всевозможных вариантов XTi. То-

гда соответствующие трудоемкости для полного и последовательного перебора будут к к

П 2п-г+1 и ^ 2п-г+1.

г=1 1=1

Согласно сделанному замечанию наиболее приемлемым с точки зрения вычислительного времени является последовательный перебор. Предположим, что вычисление характеристики ц занимает только 1 такт процессора, средняя частота современных процессоров составляет 2 ГГц, то есть 2 х 109 тактов в секунду. Тогда поиск одного только трехмерного подпространства 20-мерного мерного пространства способом полного перебора займет « 830 суток, в то время как последовательный перебор завершит свою работу меньше чем через секунду.

Безусловно, вопрос о предпочтении полного или последовательного перебора связан с тем, насколько сильно будет отличаться характеристики ц у найденных к-мерных подпространств обоими способами. В зависимости от конкретного определения характеристики ц этот вопрос требует отдельного исследования.

3. Использование алгоритма перечисления точек грассманиана в задаче агрегирования данных

Одним из способов работы с большим количеством дихотомических признаков является симптомный анализ [1]. Основная идея заключается в представлении п исходных признаков случайным дихотомическим вектором X = (Х1,...,Хп)т. Тогда его компоненты Хг, г = 1,...,п, можно рассматривать как элементы конечной проективной геометрии РО(п — 1; 2) двойственной евклидовой геометрии ЕО(п; 2) [10]. Проективная геометрия РО(п — 1;2) содержит 2п — 1 точек, а не п, так что остальные 2п — 1 — п элементов со статистической точки зрения представляют собой скрытые признаки. Эти неявные признаки в совокупности с исходными п были названы симптомами. Синдромом Дк-1 порядка к — 1 называют к-мерное подпространство пространства симптомов:

Дк-1 = Хп ,...хТк) ,

где симптомы ХТ1, ХТ2,..., ХТк называют базовыми.

Таким образом, симптомы образуют векторное пространство Уп над полем Е2, а множество всевозможных синдромов порядка к — 1 образуют грассманиан Сг2(к, п).

Агрегирование информации, содержащейся в исходных признаках Х1,...,Хп, в структуры меньшей размерности (к < п), в рамках симптомного анализа представляет собой поиск к базовых симптомов некоторого наиболее информативного синдрома к — 1-го порядка среди всех синдромов этого порядка. Информативность синдрома в зависимости от исходной постановки задачи можно измерять по-разному.

3.1. Метрики для измерения количества информации

Если нас интересует ответ на вопрос, какими к скрытыми признаками можно наилучшим образом описать п исходных с минимальной потерей информации, то предлагается использовать энтропию синдрома как меру этой информации. Тогда искомым синдромом будет синдром с наибольшей энтропией.

Определение 3.1. Энтропией Н(Дк) синдрома Дк, состоящего из невырожденных симптомов, называется энтропия его распределения. Распределением синдрома считают совместное распределение на базовых симптомах.

Энтропия совместного распределения ро,... ,рм, М = 2п — 1, случайного вектора

м

X = (XI, . . . ,Хп)Т определяется как Нх = Н(Х1,...,Хп) = — 2 Рг 1°Й2 Рг.

г=1

С другой стороны, задачу можно поставить как поиск к признаков, связанных наибольшим образом с некотором фиксированным признаком У или с целым набором признаков У1,...Ут. В этом случае для измерения взаимосвязи между признаками используется односторонний коэффициент неопределенности.

Определение 3.2. Односторонним коэффициентом неопределенности называется отношение

Jx

xY

Нх + Ну — Нху Яг :

равное доле информации о векторе У = (У1, .. . ,Ут)Т, объясняемой при помощи X = (ХЬ...,Х”)Т.

Таким образом, поиск наиболее информативного синдрома к — 1-го порядка представляет собой поиск оптимальной точки грассманиана Сг2(к,п), где в качестве ее характеристики ц выступают энтропия или коэффициент неопределенности.

3.2. Оценка эффективности алгоритма и применение

Совершенно естественный подход, который подразумевает симптомный анализ, заключается в составлении всевозможных синдромов к — 1-го порядка с перебиром всех 2п вариантов для каждого базового симптома ХТ€. Оценим эффективность предложенного алгоритма на основе быстрого перечисления точек грассманиана по сравнению с данным естественным подходом в случае последовательного и полного перебора, описанных в разделе 2.

Предложение 3.1. В случае последовательного перебора алгоритм на основе быстрого перечисления точек грассманиана эффективнее естественного подхода в более чем к/2 раз, а в случае полного перебора более чем в 2к /2 раз.

Доказательство. Трудоемкость естественного подхода в случае полного перебора

к

составляет = П (2п — г + 1), а в случае последовательного перебора $^ер =

г=1

к

^2(2п — г + 1), в то время, как трудоемкость нового алгоритма согласно замечанию

г=1

к , к и

2.1 составляет 5(ц11 = П 2” І+1 и = ^ 2” І+1 соответственно. Таким образом,

І=1 І=1

для последовательного перебора при больших п

S

step

k ■ 2n - k(k + І)/2 k ■ 2к

k(k + І)

S'

step

2n—к (і + 2 + .. + 2к) к к

v 2i 2n-к+l ■ 2i

i=0 i=0

° ( 2 ) -0(n)-

Для полного перебора верно следующее отношение:

/ \

Sf

full

S

O

2

кn

П 2n-i+1 \i=1

, fc(fc+l) = О 2 5

= О 2~

2

Заметим, что предложенный алгоритм на основе быстрого перечисления точек грассманиана в случае работы с дихотомическими признаками был успешно применен при выявлении факторов, влияющих на дожитие больных глиомой, перенесших операцию по удалению опухоли [11].

Заключение. Основным преимуществом предложенного алгоритма является его подготовленность к использованию параллельных вычислений. Он требует использования минимального количества памяти, согласно теореме 2.1. Это является приоритетным требованием для использования параллельных вычислений на GPU (Graphics Processing Unit), которые подразумевают серьезное ограничение на объем памяти с быстрым доступом. В то же время, общая идея алгоритма в случае последовательного перебора подразумевает рекурсивный поиск пространства меньшей размерности, по теореме

1.1. Это означает, что достаточно организовать логику параллельных вычислений для поиска одного оптимального в смысле некоторой характеристики ц вектора п-мерного пространства. Остальные вектора, составляющие базис искомого fc-мерного подпространства получаются рекурсивным поиском оптимальных векторов в пространстве, не содержащем уже найденные вектора. Следующим шагом планируется реализация предложенного алгоритма на GPU, которая станет самым существенным шагом в сокращении вычислительного времени. С ростом возможностей современных GPU это позволит обрабатывать все большее количество исходных признаков.

Литература

1. Алексеева Н. П. Комбинаторный анализ двух форм скрытой периодичности категориальных последовательностей // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Вып. 3. 2007. C. 55-64.

2. Alexeyeva N., Alexeyev A., Gracheva P., Podkhalyuzina E., Usevich K. Symptom and syndrom analysis of categorial series, logical principles and forms of logic // The 3nd International Conference on BioMedical Engineering and Informatics (BMEI’10). Oct. 2010. China, 2010.

3. Bouillaguet C., Chen H.-C., Cheng C.-M., Chou T., Niederhagen R., Shamir A., Yang B.-Y. Fast exhaustive search for polynomial systems in F2 // Cryptographic Hardware and Embedded Systems. Lecture Notes in Computer Science. August 2010.

4. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 215 с.

5. Hansen J., Johnsen T., Ranestad K. Schubert unions in Grassmann varieties // Finite Fields and Their Applications. Vol. 13. Iss. 4. November 2007. P. 738-750.

6. Boros E., Menkov V. Exact and approximate discrete optimization algorithms for finding useful disjunctions of categorical predicates in data analysis // Discrete Applied Mathematics. Vol. 144. 2004. P. 43-58.

7. Das R., Markov I., Hayes J. On-Chip Test Generation Using Linear Subspaces // IEEE European Test Symposium. May 2006. P. 111-116.

8. Boros E., Horiyama T., Ibaraki T., Makino K., Yagiura M. Finding essential attributes from binary data // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. Vol. 39. May 2006. P. 223-257.

9. Кострикин А. И., Маним Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.

10. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 424 с.

11. Alexeyeva N., Smirnov I., Gracheva P., Martynov B. The finitely geometric symptom analysis in the glioma survival study // The 2nd International Conference on BioMedical Engineering and Informatics (BMEI’09). Okt. 2009. China, 2009. 10.1109/BMEI. 2009. 5305560.

Статья поступила в редакцию 30 ноября 2010 г.