Метод численного анализа нелинейных колебаний пластин и пологих оболочек с помощью неявных разностных схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Т о м XI

УДК 624.07

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ПОМОЩЬЮ НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В. И. Ашпомони

Рассматривается задача о нелинейных колебаниях пластин а пологих оболочек прямоугольной формы в плане. Учитывается нелинейность соотношений, связывающих деформации и перемещения. Для решения данной задачи предлагается неявная конечно-разностная схема, построенная с помощью метода регуляризации. Решен ряд задач, и представлен сравнительный анализ некоторых результатов с решениями аналогичных задач, полученных другими методами.

1. Задачи, связанные с быстропротекающими процессами деформации пластин и оболочек вследствие воздействия волны давления, в ряде случаев необходимо исследовать, учитывая нелинейность соотношений, которые связывают деформации и перемещения.

Наиболее мощным средством решения динамических задач является метод конечных разностей, который широко применяется при решении линейных задач теории пластин и оболочек, а в последнее время все чаще применяется и для решения нелинейных задач [1, 2). Однако в большинстве выполненных работ используются явные схемы метода конечных разностей. Необходимые условия устойчивости явной разностной схемы получают, используя критерий Неймана {3], или же устанавливают эмпирически, изменяя соотношение шагов но пространственной и временной координате. Однако условная устойчивость явных разностных схем в случае решения нелинейных задач часто требует столь малого шага по времени, что получение решения подобным методом, несмотря на его простоту, становится малоэффективным. В частности, авторы работы [4] утверждают, что *... экспериментирование с несколькими явными методами интегрирования для решения задач данного типа показало их непрактичность".

В связи с этим возникает вопрос о выборе конечно-разностной схемы, пригодной для решения задач нелинейной динамики. Цель

198 0

М 6

данной статьи — представить общий метод решения задач статики и динамики пластин и пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности.

2. Нелинейные колебания пологой прямоугольной в плане оболочки толщиной А и размерами в плане а, Ь описывается следующей системой дифференциальных уравнений [5]:

д1 и’ _ 0 д*ги д*у> , ~£ дю I д2 и’

дх* ' дх3 ду3 _Г ду* ~ д( д1-

, д-Ф /. . д3Ф /, д3и> \ п д3 Ф д3 т /1Ч

-?+тИ‘' + ^) + ^Г! (1>

д‘ф + 2 д1 Ф д* Ф

дх* дх3 ду3 ду*

Г/ д3ъ д3 а1 д2 №

дх ду ) дх3 ду3 1 ду3 * дх3 ]

(2)

Здесь введены следующие безразмерные величины и параметры:

___ х*_ ___ ___ /* -|/~ Р

а ’ У а ' а* г рЛ *

Ф = ф* А * = аз ]/_?*_

’ О * У £> ’

а»'

«• = -г п

1 1 л • 2 л 7 4 эн

о 3 1 . .

где и = —~--------------г =----------------; я,, я,— главные кривизны

12(1 - V») ’ ° 12(1 - V») 1

срединной поверхности; ^—безразмерный параметр нормальной поверхностной нагрузки; г — безразмерный параметр линейного демпфирования; Е, V, р —модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки соответственно.

Граничные условия для функций тс» и Ф:

йгг’ дФ г. п , /оч

гг> = —— = Ф =-----=0 при х = 0, 1; (3)

дх дх

то — = Ф =-^- = 0 при у = 0, Ь а. (4)

ду ду

Начальные условия

ха (х, у, 0) = у), |

ди>(х. V. 0) , . ч (5>

---- = М*. у). | \°г

3. Систему (1) —(2) с граничными условиями (3), (4) и начальными условиями (5) будем решать методом конечных разностей. Для построения устойчивой и экономичной разностной схемы воспользуемся методом регуляризации [6], который позволяет, оставаясь в классе устойчивых схем, получить экономичную схему заданного порядка точности.

7—.Ученые записки 11АГИ* М 6. 97

В прямоугольнике 0=б + Г, где С={0 ^а=1,2}, Г —гра-

ница б, рассмотрим уравнения

Ьъо = Е,

д* и' , п ди’

-----------Ь 2е-----------

д/г ді

х^в, / = (О, Г),

д* но | д‘ ® <? дс ^ <?лг2 дхІ '

Ак,

Р = Г(ы, Ф, X, *),

ди'

О,

дп

= 0, />0,

(6)

да(х, 0) = <М*),

Введем в области б разностную сетку шА. = «>АХШ-»

«Л == !(^1 Лц ^.’)> == 0, 1, 2, . . ., /V», Л* = /«/Л^а> * == ^ 2],

«,= {^=уЧ,у=0, 1, 2, . ... ДГ, - = Г/Л0,

= “л + Та — множество внутренних узлов, ?Л — множество граничных узлов сетки. Оператор Ь аппроксимируем разностным оператором

Лда = да- ,,х, + 2да- - ,а + да- ^ . (7)

В качестве исходной схемы поставим в соответствие задаче (6) схему с весами, которая в обозначениях, принятых в [6], имеет следующий вид:

Л V

2гда° + да^ + А |б! да + (1 — з, — з,) да + а, да] = /%

где оператор А отличается от оператора Л тем,что в нем учтены краевые условия; з,, <з2 — числовые параметры; да0, да' заданы. Записывая ее в канонической форме

Яда? + (Е + + А да = Т7, (8)

Д = 2е£ + х(о1-а2)Л,

= 0,5 (3| -{- в,) А.

Устойчивость разностной схемы зависит только от выбора

оператора /?-регуляризатора. Предположим, что [6] 0, /?> — А,

4

т. е. схема (7) устойчива.

Основной принцип регуляризации исходной схемы заключается в выборе в качестве регуляризаторов энергетически эквивалентных операторов, удовлетворяющих требованию экономичности, т. е. минимума арифметических действий для нахождения решения разностной задачи, и сохраняющих требуемый порядок аппроксимации.

На множестве функций, заданных на ч»;, и обращающихся в нуль

2

на ?л, положительные операторы А = ^ А[0) и А являются энер-

«=1

находим, что

гетическн эквивалентными операторами, т. е. для них справедливы неравенства [7]:

(Л(0)да, а1) 2 (Л 01 ю, и>),

2

где Л(П) — оператор, получаемый из оператора А(0> аи — У* л!0' и\ л! ^ при учете краевых условий. Учитывая соотношения Вх >Д>0, /?!>/?> — А, б, = 2$£ + 2т(з, - а,)Л<°\ /?, =

4

= (а1 + з2)Л(°), перепишем (8) в виде

(£ + гй'4(0))®/+,=7?’

7 = — Лда/) +г^7;(£ + тГ-Цх)т»' —

-(I

Достаточные условия устойчивости (61 полученной трехслойной схемы определяются следующими выражениями:

31 ^ °2> 31 + я2^0,5.

2<5 *2

Заменяя £^ Л(0) факторизованным оператором, получим

экономичную факторизованную схему

(е + 1^И^(£ + П^?)««-' = Л

Определение Ъ1)1-гх при заданных та’ и сводится к последовательному обращению операторов Е + 2а| с помощью сле-

1 +■ 1Т

дующего алгоритма:

(£ + ГГ7:^{0,)да/+,2 = £;

IЕ + Аф) щЖг= »Ж/«.

1 1 + ЕХ '

(9)

Систему уравнений (9) можно записать в следующем виде (фиксированный индекс опущен):

(7 + А?) — 4щ + й* = £/1);

— 4^-1 + ( 6 + А?) “'Л — 4®Л+1 +

*, = 2, 3........Л/,-2;

й'лг.-з— 4®У-2 + (7 + ^ л«) ®лг,-1 = ^ = 0, 11 — 0,№1.

(Ю)

(7 + А?) ^+1 - 4^-1 + ^3+1 = Г?\

- 4т{1\ + (б+^А5) «/+' - 4*0?, + «£& - £,?;

/, = 2, 3.......-V. — 2;

к^Г-з — 41с*/у,-г -}- ( 7 Н—2Д] -г ^= >

г£>/*1 = 0, 12 = О, .V,,

где

^’-У^А^; (12)

Г<2,=ъг?л^- <13)

4. Уравнению (2) поставим на сетке юд в соответствие систему разностных уравнений

ЛФ = Ф- - 4-2Ф- - 4- Ф- - = 4* (14)

Х\ Х\ Хх Х{ “ X, XI Хл ДГ, ЛГ; ДГд дг3 ’

где

ЧГ = С [0,0625 (юх> * + го- л -Г ™Х1 -* - а.- - )* -

- х,х, - к1 ,, ]. (15)

а краевым условиям — разностные краевые условия

Ф|7„ = 0, Ф,,|7А = 0. (16)

Разностная задача (14) — (16) может быть представлена в виде операторного уравнения

ДФ = Ц\ (17)

Оператор В для /, = 0, Л^,, 12 = 0, ЛГ2 учитывает краевые условия (16), а в остальных узлах сетки шн совпадает с оператором Л.

Для решения системы (17) используем трехслойную итерационную схему метода минимальных поправок:

„+1 4тхФЛ -)- (1 — 2~.х) Ф*-1 + 2тф*

Ф — I -г 2т*

где ?* — поправка, являющаяся решением /?»*«= г*; г* = Ч' — 5Ф*—

невязка; *, *— итерационные параметры, вычисляемые по форму-

лам

______________1______,

* ~~ КтГгГ(Г=^*)‘ ’

х — пС -?)-г-7г(1 ~Я);

4

здесь q — параметр, который выбирается из условия минимума вычислительной работы.

Система линейных алгебраических уравнений = 11 =

= /?, —/?3 решается экономичным итерационным методом переменных направлений с оптимальным набором параметров

? т- - -S-.il - = гк-

.4 * тХхХхХхХх * * X. X. х. х. »

•1

? = 0, =0, =0, /V,;

XI

„л-г-1 _ _ _

-—-—1 + ?- - +в“*1- —гк;

~2 лг.дг.дг.х, ‘л,*. х:х.

?я + 1 = 0> ?л-Ч „ 0^ I _ о, ДГ,;

X,

здесь я = 1, 2..............М: М — количество внутренних итераций,

1 о к'

представляющее сооой ближайшее к -зт1п“1п-^- целое число.

Выбор параметров, ускоряющих итерационный процесс, производится по формулам, предложенным Жорданом (8]:

_ ? ~ -п _ Р ~ •?'"« .

1 А'-'-Шл 2

1.1_ (&з — _

8, + 8,

*г_ 2 -г £ (Д1 — Аг)

У “ А1+А,

о- — •>_________(А| Ч- Ао) — (о, -г 8а)________.

(о1+ 83)<Д, - Д2) + б'ДД, - д2)(82 - 21) ’ 1

к’ =

1 — т + У т (т + 2)

_____о (А. — ь.хДд—га) .

(8, + 82) (А, ^ дг) ’

ю _ 2(?,);/г[1 + (9')1~;) . ' (1 + 2<?')[1 -(яУ) ’

_ к' .

-И 4-1—/ *

2/— 1

м

Границы спектра операторов А?,, /?,, т. е. наименьшие о,, 8, и наибольшие Дц Дг собственные значения этих операторов, а также параметры 7, и ?2 подсчитывались по следующим формулам [71:

V ■— 1 V - — Су

И Ь Г- —

5- = -^ 81п4(-йг)’

г2 = -^"4(-2*т)’

А,=="^_с054 ('ж) ~ ~й[’ Л,в4гС08<(ж\* _ “лГ-

А? , «2

5. Система разностных уравнений (9) —(13) нелинейна, поэтому решать ее необходимо с помощью итераций

(5) (5)/ (5). .\

Р = Р 1<рп, ж ), 5 = 0, 1, 2, . . .

(5+1),,,

В этом случае относительно да разностная схема линейна. При счете по итерационной схеме необходимо задать число итераций или же потребовать выполнения условия

“А

Начальное приближение для итерационного процесса (9)—(13) можно получить путем экстраполяции, исходя из решений, найденных на предыдущих шагах по времени.

Определение функции напряжений затруднений не вызывает, так как уравнение, определяющее данную функцию, является линейным.

Для аппроксимации начальных условий (5) необходимо использовать следующие соотношения:

да° = >0, = 00 + (1 — ет) -•>, + 0,5 т*

6. Данный метод применялся для анализа вынужденных колебаний шарнирно опертой прямоугольной пластины и защемленной по контуру квадратной пластины. Внешняя нагрузка задавалась в виде прямоугольного в плане импульса, расположенного симметрично относительно краев пластин. Отношение площади импульса Э, = (а, <[аг, к площади пластины 5 в обо-

их случаях равно 0,16. Время действия импульса Т = 0,300. На рис. 1 и 2 представлены прогибы и деформации прямоугольной пластины в характерных точках. Безразмерное время T=t:Т. На рис. 3 и 4 аналогичные кривые построены для квадратной пластины.

Рассмотрим решение задачи о нелинейных колебаниях цилиндрической панели (параметр кривизны 62 = 0,002) методом Бубнова Галеркина. Представляя панель как систему с одной степенью

Рис. 1

ум

свободы и используя стандартную процедуру этого метода (1), получим нелинейное дифференциальное уравнение

d? W Л О , О

-------- aw — iw + 7W* =

dtз

= Л- (cos -<Z, — COS raj) ^COS -y1 — COS ~ I p (t), (18)

Где

).* 27-* (3/.* + 2л- + 3)

_ - 1)? _ 8192 (1 — yg) (Hil + ,

_ 64(1 ->*)(*, +>.»*3). _ 6k«(1 -*> . _ b_

З/.4 + 2>* -і- 3 ’ 3/.‘-f-2>.*+3 ’ A e ’

Интегрирование уравнения (18) выполнялось с помощью метода Рунге — Кутта. Эта же задача исследовалась методом конечных разностей. Результаты расчетов представлены на рис. 5.

Изучалась также сходимость решения динамической задачи к известному статическому решению. В уже цитированной работе [4] отмечается: „Сходимость динамических решений (если добавлено затухание) к известным статическим решениям после многих шагов по времени является, ио-видимому, практическим критерием отсутствия каких-либо затруднений, связанных с устойчивостью'. В монографии [9] дано значение максимального (в центре)прогиба ы = 3,45Л квадратной шарнирно опертой пластины, на которую

£Л4

действует давление р = 216,2-^—, равномерно распределенное по всей поверхности пластины.

Давление, приложенное к поверхности пластины, определяется выражением

где Н(/) — единичная функция,

( 0, t<О,

Из приведенного на рис. 6 решения видно, что независимо от коэффициента демпфирования статический прогиб, получаемый асимптотически в результате решения динамической задачи, близко совпадает с решением работы [9].

ЛИТЕРАТУРА

1. Во ль.мир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., .Наука", 1972.

2. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., .Наука*, 1964.

3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., .Мир”, 1972.

4. Арчер Р. Р., Ленг U. Г. Нелинейное динамическое пове-

дение пологих сферических оболочек. .Ракетная техника и космонавтика*. т. 3, № 12, 1965.

5. О г и б а л о в П. М. Динамика и прочность оболочек. Изд-во

МГУ. 1963

6. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., .Наука*. 1974.

7. Ж е ж е р я А. И., 3 а м у л а Г. Н., Молчанов И. Н., Ш е-

валдин В. Н. К определению температурных напряжений в под-

крепленных пластинах методом конечных разностей. .Ученые записки ЦАГИ*, т. З, Л* 4. 1972.

8. WachpressE. L. Extended application of alternating direction implicit iteration model problem theory. ,J. of the Society for Ind. and Appl. mathematics*, vol. II, N 4, 1963.

9. Корни in и и М. С.. И с а н б a e в а Ф. С. Гибкие пластинки и панели. М., .Наука*, 1968.

Рукопись поступимі 12 V 1980 г.