МЕТОД ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПРОДОЛЬНОЙ ПЕРЕГОРОДКЕ В БЕСКОНЕЧНОМ ВОЛНОВОДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.958

doi:10.21685/2072-3040-2022-4-1

Метод частичных областей в задаче дифракции электромагнитной волны на продольной перегородке в бесконечном волноводе

Г. В. Абгарян1, А. Н. Хайбуллин2, А. Э. Шипило3

1,2,3Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия 1 g.v.abgaryan@gmail. com, 2almaz.khaybullin@mail.ru, 3shadowfire-1 @mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Исследована двумерная задача дифракции TE-поляризованной электромагнитной волны в бесконечном волноводе с продольной перегородкой. Математическая формулировка данной физической задачи эквивалентна краевой задаче для уравнения Гельмгольца с граничными условиями типа Дирихле и условиями сшивания. Для решения этой задачи используется метод частичных областей. В соответствии с этим методом решение задачи в каждой подобласти ищется в виде ряда с неизвестными коэффициентами, которые находятся из условий сшивания на границе раздела сред. С помощью метода интегрально-сумматорных тождеств данная краевая задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов. Результаты. Выведена БСЛАУ, соответствующая двумерной задаче дифракции в бесконечном волноводе с продольной перегородкой. Проведены вычислительные эксперименты. Обнаружены резонансные эффекты, которые получаются в случаях, когда частота набегающей волны близка к собственным частотам подобластей, соответствующих разветвленной части волновода. Построены диаграммы электромагнитных полей на резонансных частотах. Вычислены значения энергии электромагнитного поля для различных волновых чисел. Выводы. Из результатов вычислительных экспериментов можно заключить, что точность выполнения граничных условий сшивания зависит от параметра усечения БСЛАУ. Для проверки точности выполнения граничных условий введено понятие невязки сшивания. Показано, что при частотах набегающей волны, близких к собственным числам подобластей, соответствующих разветвленной части волновода, наблюдаются резонансные явления.

Ключевые слова: задача дифракции, метод частичных областей, резонансная частота Для цитирования: Абгарян Г. В., Хайбуллин А. Н., Шипило А. Э. Метод частичных областей в задаче дифракции электромагнитной волны на продольной перегородке в бесконечном волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 4. С. 3-16. doi:10.21685/2072-3040-2022-4-1

A method for partial estimation of electromagnetic wave diffraction by a longitudinal baffle in an endless waveguide

G.V. Abgaryan1, A.N. Khaybullin2, A.E. Shipilo3

123Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, Russia 1 g.v.abgaryan@gmail. com, 2almaz.khaybullin@mail.ru, 3shadowfire-1 @mail.ru

© Абгарян Г. В., Хайбуллин А. Н., Шипило А. Э., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Abstract. Background. A 2D problem of diffraction of a TE-polarized electromagnetic wave in an infinite waveguide with a longitudinal baffle is studied. The mathematical formulation of this physical problem is equivalent to a boundary value problem for the Helm-holtz equation with Dirichlet-type boundary conditions and matching conditions. To solve this problem, the method of partial regions is used. In accordance with this method, the solution of the problem in each subdomain is sought in the form of a series with unknown coefficients, which are found from the matching conditions at the media interface. Using the method of integral-summation identities, this boundary value problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations (SLAE) with respect to unknown coefficients. Results. An SLAE corresponding to the 2D problem of diffraction in an infinite waveguide with a longitudinal baffle is derived. Computational experiments have been carried out. Resonance effects are found, which are obtained in cases where the frequency of the incident wave is close to the natural frequencies of the subregions corresponding to the branched part of the waveguide. Diagrams of electromagnetic fields at resonant frequencies are constructed. The energy values of the electromagnetic field are calculated for various wave numbers. Conclusions. From the results of computational experiments, we can conclude that the accuracy of fulfillment of the boundary conditions of matching depends on the SLAE truncation parameter. To check the accuracy of fulfillment of the boundary conditions, the concept of the matching residual is introduced. It is shown that resonance phenomena are observed at frequencies of the incident wave close to the eigenvalues of the subregions corresponding to the branched part of the waveguide.

Keywords: diffraction problem, partial domain method, resonant frequency

For citation: Abgaryan G.V., Khaybullin A.N., Shipilo A.E. A method for partial estimation of electromagnetic wave diffraction by a longitudinal baffle in an endless waveguide.

Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(4):3-16. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-4-1

Введение

В наиболее общей постановке задача дифракции состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям.

Предположим, что искомое поле не зависит от одной из координат. В этом случае система уравнений Максвелла распадается на две независимые подсистемы, которые дают два типа частных решений. Эти решения удовлетворяют первой и второй краевым задачам для двумерного уравнения Гельм-гольца. Таким образом, граничные задачи и задачи сопряжения для системы уравнений Максвелла сводятся к граничным задачам и задачам сопряжения для уравнения Гельмгольца.

Для точного и численного решения краевых задач электродинамики используются различные методы, например метод частичных областей (МЧО) [1, 2], метод интегральных уравнений [3] и др. МЧО можно отнести к классу численно-аналитических методов. Согласно МЧО рассматриваемая область задачи разбивается на частичные подобласти, решение в выделенных подобластях ищется, как правило, в виде рядов или интегралов от функций с разделяющимися переменными, почленно удовлетворяющими волновому уравнению. В дальнейшем процедура построения решения сводится к наложению на искомое решение граничных условий или условий непрерывности на общих границах соприкасающихся подобластей. Получающиеся в результате функциональные уравнения сводятся тем или иным способом к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных

коэффициентов разложений. В зависимости от способа сведения к СЛАУ происходит название метода, например: метод полуобращения матричного или интегрального оператора [4, 5], модифицированный метод вычетов [1] и т.д.

В докторских диссертациях [6, 7] МЧО применяется для расчета сверхвысокочастотных и крайневысокочастотных устройств. В работе [6] также доказана относительная сходимость решений СЛАУ при использовании метода редукции, разработаны новые варианты МЧО для двумерных задач с некоординатными областями. Отметим также работы [8-11].

Исследованию различных задач дифракции методом частичных областей в прямоугольных волноводных структурах посвящены работы [12-16]. Отметим, что в данных работах сведение парных функциональных уравнений к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) осуществляется с помощью метода интегрально-сумматорных тождеств [2]. В работе [16] на примере задачи дифракции в полубесконечной волноводной структуре с диафрагмой показана хорошая согласованность МЧО с методом конечных элементов. В настоящей работе с помощью МЧО исследуется задача дифракции в бесконечном волноводе с продольной перегородкой.

Двумерная задача дифракции

Рассмотрим двумерную задачу дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны в бесконечном волноводе с продольной перегородкой (рис. 1).

Рис. 1. Бесконечный волновод с продольной перегородкой

Как было отмечено выше, данная задача сводится к краевой задаче для уравнения Гельмгольца

(д + £2)и(х) = 0, х = (х1,Х2)е ^ = и^2 и^3 и

с граничными условиями Дирихле на металле

и(х) = 0, хе Э^, и условиями сшивания на границе раздела сред:

(1)

(2)

[«(X)] Х1 =0 = о, \и (х)] Х1 =а = О,

Эи Эх1

(х)

= О,

Эи Эх1

(х)

= 0.

(3)

(4)

Здесь квадратными скобками обозначены разность следов слева и справа. Для решения краевой задачи (1)-(4) используем метод частичных областей. В соответствии с этим решение краевой задачи будем искать в виде кусочно-заданной функции

<(х ) =

I1 (х), хе 2 (х), хе !3 (х), хе ^з, ;4 (х), хе ^4,

где

и1 (х) = Фп (х2 )е-*у"х1 + Ф/ (х2 уъх1, хе Ц,

п

и2 (х) = £ф2 (х2)(иП+е'^2х + иП~е~-^2х |, хе 02,

п

и3 (х)= ^фП (х2)(и3+е'^1 + иЗ-е-^ |, хе Яз

и4 (х)= 2иПфп (х2 К", хе Я4.

2 3

Здесь у, у, у- продольные волновые числа:

У]

2 / .\2 2 Л П ]

к2 > (Ц I м к2 - (Ц I ; к2 < IП] I : а ^ I - к2

Т 2 =

к2 >

( П ] V

1

к2 -

( П ] V

; к2 <

( П ] V

:'

П.] V

- к

*3 =

к2 >

П1 Ь - Ь0

1

к2 -

( П ] V

Ь - Ь0

; к2 <

( п ] v

Ь - Ь0

:'

( п ] i2

Ь - Ь0

- к

ип, ип , ип , ип , ип , ип - искомые коэффициенты; фп (х2), ф2 (х2),

1п' ип , и2 , ип , ип

Фп (2) - ортонормированные системы собственных функций:

п

п

/ ч 2 . п п 2 / \ 2 . п п Фп (2 )=ЛГ~ SlnT" х2, Фп (2 ) = * "Т" SlnT" х2,

V bo bo V bo bo

Фи (х2 ) = л -2-sin П П (х2 - Ь0 ).

™ 2у Р -Ь0 Ь - V 2

Везде, где не заданы границы суммирования, будем предполагать, что сумма бесконечная.

Теорема. Задача дифракции электромагнитной волны на продольной перегородке в бесконечном волноводе сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений:

+ ^иП+у2К22 + Ъ]ти\~ - ^"уИК22 +

п п

+^иИ3+уИ К23 (к,и) - ^иП"уП К23 = 24 , (5)

п п

£иИ+У2 К32 - £иИ"уИ К32 + +

+^н3+у3 K33 + 6^" - ^М3"у3 K33 = 2l1k,

(6)

-6kU2+eiY2a + ^иПгЧe'Yla K22 - Sknuf--

-Zu„2-y2eK22 + Ju^l^ K23 - Ju^eK23 = 0,

(7)

Е«^ K32 - Ju„2"y2e~'Ya K32 - e^ +

+Z"l+YleiYla K33 - 6nkul"- K33 = 0

(8)

относительно коэффициентов , ип^ , ип+, и^ , здесь

КУ (к,п) = £~^кк^^п^^, ^] = 2,3,

ш Тш

I2

'ют

пп [2 . пт

sin — sin

_ b _ \bo l bo J

7lm = i]l2 Sln

b0

пп

lb - bo

Sin

пт b - b0

- bo)

n

Доказательство. Запишем условия сопряжения (3) и (4) на границах раздела сред:

- для х1 = 0:

Ф/ ( х2 ) + 2^ Фп ( х2 ) = 2фп ( х2 ) (( + и2_ ), (9)

п п

Ф/ (х2 ) + 2^ (х2 ) = 2фп (х2 ) (ип+ + и3п\ (I0)

п п

У/Ф/ (х2 )-2ипУпФп (х2 ) = 2фп (х2 )2 (+ -ип~), (11)

п п

У/Ф/ (х2 )-2ипУпФп (х2 ) = 2фп (х2 )тгп (( - и1~ ) (12)

п п

- для х1 = а:

(х. )(и2+ Л2па + и2-е"'Т2а ^ = V,,4

2фп (х2 )[ип2+е'Чпа + и1-е-^па ^ = (х2 )е'^а, (13)

п п

2фп (х2 ип++ и^е"^ 1 = 2^4 (х2 , (14)

2ф2 (х2 )Уп I и^е1^ -и1-е-^а 1 = 2^4 (х2 , (15)

2Фп (х2 )У31 и3+е^а - ип3" е"^а 1 = 2^4 (х2 ) Уп«*па. (16)

п п

Пусть

К(х2,Г) = 2 — Фот (х2 )Фот () от У™

тогда имеет место тождество

I I 2ипУпФп (') К(x2,{= 2ипФп (х2).

МиМ V п 1 п

С учетом этого умножим уравнения (11), (12) на К1 (2, () и проинтегрируем по области М и М, получим

Фп (х2 ) -2ипФп (х2 ) = (( -ип-)2-^-Фот (х2 ^от +

п п от ^от

+ 2^2 (ип2+- и2")2^Фот (х2 )^пот . (17)

п от ^от

Сложим (17) и (9) на М :

2Ф/ (х2 ) = 2Ф2 (х2 )(ип2+ + ип2" )+ 2^ (ип3+ - ип-)2 — Фот (х2 )/п3от +

т Ym

+ 2^2 и2 )2Фот (х2 )1^от ,

п от ^от

2

умножим на Ф^ (х2 ) и проинтегрируем по области М , получим (5). Теперь сложим (17) и (10) на М :

2ф/ (х2) = 2ФП (х2 )(ип+ + и1~)+2^п (ип+ - и1~ )2 — *Фот (х2 +

п п от ^ от

+ (U"+-U" )~фт (x2 )Пт ,

У

п от от

3

умножим на Фк (х2) и проинтегрируем по области М , получим (6). Аналогично из уравнений (13)-(16) можно получить (7)-(8).

Таким образом, решив БСЛАУ (5)-(8), можно найти неизвестные коэффициенты и'2+, и, и3+, разложений потенциальных функций и2 (х)

и и3 (х) в подобластях Я2 и Я3 соответственно.

{11^ Г 41^ и1} и {ид-} отраженной волны и1 (х) и прошедшей волны и4 (х) соответственно спроектируем (9)-(10) и (13)-(14) на систему Фот (2), получим

ик = 2 (1кп ( - и2_ ) + 7Ш7 (ип+ - и1~ )) - 5к,/,к = I2, - • • ,

и4 = [u"+e^a - J +

n

+Yjk1e-^a f иП+ e'^" a - u"-a J, k = 1, 2,...

Таким образом, получены расчетные формулы для всех неизвестных коэффициентов.

Результаты вычислительных экспериментов

Для проведения вычислительных экспериментов используем метод усечения. В соответствии с этим методом БСЛАУ (5)-(8) будем аппроксимировать СЛАУ, которая получается усечением соответствующих бесконечных сумм.

n

п

Проверим выполнение условий сшивания (9)-(10) в зависимости от параметра усечения N. На рис. 2,а представлены изолинии для поверхности

|и(х)| при параметре усечения N = 5 . Продольная перегородка расположена

в плоскости Х2 = 0,5 . Из рис. 2,а видно, что на границе раздела сред изолинии прерываются. Аналогичный график представлен на рис. 2,б при параметре усечения N = 20 . Из рис. 2,б видно, по крайней мере визуально, что линии сошлись.

|*1(х 4

2-5 0.8

2 0.6

1.5 У

0.4 1

0.2 0.5

■ 0 0

а) б)

Рис. 2. Изолинии модуля потенциальной функции |и(х)|: а - при N = 5 ; б - при N = 20

Для количественной оценки выполнения граничных условий введем в рассмотрение величину

1

е = и — и =

( п

1=1

■\2

V

где и— ,и+ , / = 1,2,...,п, - значения следов функции и(х) в п равномерно-распределенных точках слева и справа от границы х1 = 0 .

Величину е = е^), зависящую от параметра усечения N, будем называть невязкой сшивания.

На рис. 3 представлена зависимость невязки сшивания от параметра усечения. Видно, что при возрастании N невязка сшивания уменьшается. Так, например, е(20) = 0,043 . Все дальнейшие вычисления будем проводить при N = 20.

Как показывает опыт, резонансные области ^2 и ^з можно рассматривать как прямоугольные резонаторы без боковых стенок с размерами а X ¿0 и аX (Ь — ¿0) соответственно. Как известно, для аналогичных закрытых резонаторов резонансные частоты вычисляются по формулам:

k2 =

п m

a

I2 п n

+ V b0 J

K3 =

^mn

п m

a

2 ( +

V

п n b-b0

Рис. 3. Зависимость невязки сшивания от параметра усечения вблизи при к = 7,024

На рис. 4 представлены резонансные кривые для областей ^2 и ^з соответственно. Продольная перегородка расположена в плоскости Х2 = 0,3.

а) б)

Рис. 4. Резонансные кривые для областей: ^ (а); ^3 (б)

Из рис. 4 можно заметить, что при приближении частоты набегающей

2 3

волны к резонансным частотам ктп и ктп областей ^2 и ^3 наблюдается резонансное увеличение коэффициентов разложения.

На рис. 5, 6 представлены диаграммы электромагнитного поля на резонансных частотах областей ^2 и ^3.

Энергия электромагнитного поля, сосредоточенная в области V, вычисляется по формуле

где векторы Е = (0, 0, и) и Н =

^ = 21 ( £Е2

Эи

V

г

1

1

Э" 0Л

/ЮД0Д Эх2 ' /ЮД0Д Эх1 '

- напряженности

V г~01----2 г-0----1 у

электрического и магнитного полей соответственно, выраженные через потенциальную функцию и(х).

14*) I

а) б)

Рис. 5. Изолинии модуля потенциальной функции |и(х)| на резонансных частотах области Я2: к-к^ - 10,93 (а); к-к^ - 12,21 (б)

I и<>0 \

а) б)

Рис. 6. Изолинии модуля потенциальной функции |и(х)) на резонансных частотах области Я3 : к-К -5,47 (а); к-К - 7,72 (б)

Преобразуем интеграл к повторному и получим явные формулы для вычисления энергии в области :

Wi, =

£0£

bo a (

H

oo

2 1

К

( du V

dxi

+

( du >

2 M

дх2

d%id%2.

/J

Ь W"2 = -Ь ?

1 n n

+ Yn--2

Y n Ynb0

u2+)2 f e2z'Y2

-(Un2")

2 ( -2iYП - ^ 1

f

. .2 S n

К

2 2 2 П n

Y n + —

b0

2+ 2-un un

(18)

Аналогично (18) можно вычислить энергию в области ^3. В табл. 1 приведена отражающая зависимость модуля энергии в данных резонансных областях от волнового числа, соответствующего резонансным частотам ^ , при = 0,3 и N = 20 .

Таблица 1

Энергия областей Q2 и ^3 на резонансных частотах кп

К21 К?2 к123 К21 к22 к23 к321 К32 К33

£o£ 2 14,5903 36,7075 75,8141 6,8175 9,6556 13,8438 3,7178 2,8421 9,3390

£o£ 3 1,8114 0,3152 0,4925 0,0875 0,8579 0,2109 0,1237 0,1614 0,1680

Из табл. 1 можно сделать вывод, что энергия в ^ превышают энергию

в ^з в пределах от 10 до 150 раз в зависимости от к. Таким образом, при ча-

2

стотах набегающей волны, близких к ктп , основная энергия поля сосредото-

3

чена в области ^ . А при частотах, близких к ктп , - в области ^3 .

Заключение

В настоящей работе методом частичных областей исследована двумерная задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны в бесконечном волноводе с продольной бесконечно тонкой металлической перегородкой.

Подробно исследован вопрос выполнения граничных условий. Введено понятие невязки сшивания, показывающее точность выполнения граничных условий.

Найдены резонансные частоты волновода с перегородкой. Построены диаграммы электромагнитного поля и вычислена энергия электромагнитного поля на резонансных частотах.

Список литературы

1. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974. 327 с.

2. Плещинский Н. Б. Модели и методы волновой электродинамики. Казань : Казанский государственный университе, 2008. 104 с.

3. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. 268 с.

4. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Полосково-щелевые структуры сверх-и крайневысоких частот. М. : Наука, Физматлит, 1996. 304 с.

5. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев : Наукова думка, 1984. 296 с.

6. Темнов В. М. Разработка и применение метода частичных областей для расчета структур СВЧ и КВЧ диапазонов : автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.12.21. Н. Новгород, 2000. 27 с.

7. Белов Ю. Г. Разработка и применение метода частичных областей для расчета функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазонов : автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.12.07. Н. Новгород, 2004. 31 с.

8. Макурин М. Н., Чубинский Н. П. Расчет характеристик биконической антенны методом частичных областей // Радиотехника и электроника. 2007. № 10. С. 1199-1208.

9. Малышев Г. С., Новоселова Н. А., Раевский С. Б. Спектральный метод и метод частичных областей для расчета круглых диэлектрических волноводов // Информационные системы и технологии : материалы докладов XXIII Международной науч.-техн. конф. Н. Новгород, 2017. С. 1318-1322.

10. Савин К. Г., Прокопенко Ю. В., Поплавко Ю. М. Расчет резонансных частот составного металло-диэлектрического резонатора методом частичных областей // Вестник Национального технического университета Украины. 2013. № 55. С. 24-33.

11. Лапин В. П., Мануилов М. Б., Синявский Г. П. О сходимости метода частичных областей при расчете ступенчатых неоднородностей в прямоугольных волноводах // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1984. № 2. С. 203-210.

12. Abgaryan G. V, Pleshchinskii N. B. On the Eigen Frequencies of Rectangular Resonator with a Hole in the Wall // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. Vol. 40, Iss. 10. P. 1631-1639. doi:10.1134/S1995080219100020

13. Abgaryan G. V., Pleshchinskii N. B. On Resonant Frequencies in the Diffraction Problems of Electromagnetic Waves by the Diaphragm in a Semi-Infinite Waveguide // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, № 7. P. 1325-1336. doi:10.1134/S1995080220070033

14. Abgaryan G. V. On the Resonant Passage of Electromagnetic Wave through Waveguide with Diaphragms // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, № 7. P. 1315-1319. doi:10.1134/S1995080220070021

15. Abgaryan G. V. Electromagnetic Wave Diffraction on a Metal Diaphragm of Finite Thickness // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42, № 6. P. 1327-1333. doi:10.1134/S1995080221060020

16. Abgaryan G. V. Finite Element Method and Partial Area Method in One Diffraction Problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. Vol. 43, № 5. P. 1228-1235. doi:10.1134/S1995080222080029

References

1. Mittra R., Li S. Analiticheskie metody teorii volnovodov = Analytical methods of the theory of waveguides. Moscow, 1974:327. (In Russ.)

2. Pleshchinskiy N.B. Modeli i metody volnovoy elektrodinamiki = Models and methods of wave electrodynamics. Kazan': Kazanskiy gosudarstvennyy universite, 2008:104. (In Russ.)

3. Smirnov Yu.G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki = Mathematical methods for studying problems of electrodynamics. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009:268. (In Russ.)

4. Neganov V.A., Nefedov E.I., Yarovoy G.P. Poloskovo-shchelevye struktury sverkh- i kraynevysokikh chastot = Strip-slit structures of ultra- and extremely high frequencies. Moscow: Nauka, Fizmatlit 1996:304. (In Russ.)

5. Shestopalov V.P., Kirilenko A.A., Masalov S.A. Matrichnye uravneniya tipa svertki v teorii difraktsii = Matrix equations of convolution type in diffraction theory. Kiev: Nau-kova dumka, 1984:296. (In Russ.)

6. Temnov V.M. Development and application of the method ofpartial areas for calculating the structures of the microwave and EHF ranges. PhD abstract. Nizhny Novgorod, 2000:27. (In Russ.)

7. Belov Yu.G. Development and application of the method ofpartial areas for the calculation of functional units of the microwave and EHF ranges. PhD abstract. Nizhny Novgorod, 2004:31. (In Russ.)

8. Makurin M.N., Chubinskiy N.P. Calculation of the characteristics of a biconical antenna by the method of partial areas. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2007;(10):1199-1208. (In Russ.)

9. Malyshev G.S., Novoselova N.A., Raevskiy S.B. Spectral and partial domain methods for the calculation of circular dielectric waveguides. Informatsionnye sistemy i tekhnologii: materialy dokladov XKhlll Mezhdunarodnoy nauch.-tekhn. konf. = Information systems and technologies: proceedings of the 23rd International scientific and engineering conference. Nizhny Novgorod, 2017:1318-1322. (In Russ.)

10. Savin K.G., Prokopenko Yu.V., Poplavko Yu.M. Calculation of resonant frequencies of resonant frequencies of a composite metal-dielectric resonator by the method of partial regions. Vestnik Natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta Ukrainy = Bulletin of the National Technical University of Ukraine. 2013;(55):24-33. (In Russ.)

11. Lapin V.P., Manuilov M.B., Sinyavskiy G.P. On the convergence of the partial domain method in calculating stepped irregularities in rectangular waveguides. Izvestiya vys-shikh uchebnykh zavedeniy. Radiofizika = University proceedings. Radiophysics. 1984;(2):203-210. (In Russ.)

12. Abgaryan G.V, Pleshchinskii N.B. On the Eigen Frequencies of Rectangular Resonator with a Hole in the Wall. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019;40(10):1631-1639. doi:10.1134/S1995080219100020

13. Abgaryan G.V., Pleshchinskii N.B. On Resonant Frequencies in the Diffraction Problems of Electromagnetic Waves by the Diaphragm in a Semi-Infinite Waveguide. Loba-chevskii Journal of Mathematics. 2020;41(7):1325-1336. doi:10.1134/ S1995080220070033

14. Abgaryan G.V. On the Resonant Passage of Electromagnetic Wave through Waveguide with Diaphragms. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020;41(7):1315-1319. doi:10.1134/S1995080220070021

15. Abgaryan G.V. Electromagnetic Wave Diffraction on a Metal Diaphragm of Finite Thickness. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021;42(6):1327-1333. doi:10.1134/ S1995080221060020

16. Abgaryan G.V. Finite Element Method and Partial Area Method in One Diffraction Problem. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022;43(5):1228-1235. doi:10.1134/ S1995080222080029

Информация об авторах / Information about the authors

Гарник Владимирович Абгарян ассистент кафедры прикладной математики и искусственного

Assistant of the sub-department applied mathematics and artificial intelligence, Kazan (Volga region) Federal University (35 Kremlevskaya street, Kazan, Russia)

Garnik V. Abgaryan

интеллекта, Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 35)

E-mail: g.v.abgaryan@gmail.com

Алмаз Наилевич Хайбуллин студент, Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 35)

E-mail: almaz.khaybullin@mail.ru

Almaz N. Khaybullin

Student, Kazan (Volga region) Federal University (35 Kremlevskaya street, Kazan, Russia)

Анна Эдуардовна Шипило

студентка, Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 35)

E-mail: shadowfire-1@mail.ru

Anna E. Shipilo

Student, Kazan (Volga region) Federal University (35 Kremlevskaya street, Kazan, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 18.10.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 22.11.2022 Принята к публикации / Accepted 03.12.2022