Метод анализа живучести систем оповещения населения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 355.583

Метод анализа живучести систем оповещения населения

ISSN 1996-8493

© Технологии гражданской безопасности, 2014

М.В.Носов

Аннотация

Рассмотрен метод анализа живучести систем оповещения населения, в основе которого находится теория марковских процессов.

Ключевые слова: система оповещения населения; живучесть; метод; модель; граф; система дифференциальных уравнений.

Method of Analysis of Survivability Systems Alerting the Public

ISSN 1996-8493

© Civil Security Technology, 2014

M. Nosov

Abstract

This article discusses a method of analysis survivability CPN which is based on the theory of markov processes. Key words: system of public notification; survivability; method; model; graph; the system of differential equations.

1. Состояние проблемы и постановка задачи

В результате воздействия поражающих факторов (ПФ) чрезвычайных ситуаций (ЧС) могут быть разрушены не только инфраструктура населенных пунктов (городов), но и их система оповещения населения (СОН). Поэтому задача оценивания степени разрушения СОН при воздействии ПФ ЧС является актуальной для МЧС России.

С учетом определений живучести различных объектов и систем, представленных в работах [1—5], живучесть СОН можно определить как свойство, характеризующее работоспособное состояние при получении повреждений или возможность восстанавливать работоспособное состояние в теченй заданного времени [6].

Под повреждением следует понимать событие, приводящее к нарушению работоспособности струк-

турных элементов СОН, появляющееся вследствие внешнего воздействия ПФ ЧС, к которым относятся: природные катаклизмы, боевые средства противника, неквалифицированные действия (ошибки) обслуживающего персонала, злоумышленные повреждения и др.

Поскольку СОН является неотъемлемой частью системы государственного управления безопасностью граждан в особый период, то вопросы, относящиеся к решению задач обеспечения живучести СОН, имеют общегосударственное значение и включают два проблемных направления: практический и научный.

Практический аспект проблемы обеспечения живучести СОН обусловливается такими объективно существующими причинами, как:

возрастающая тенденция возникновения техногенных и природных ЧС;

содержание военных доктрин вероятных против-

ников, предусматривающих, в первую очередь, разрушение системы управления и жизнеобеспечения населения, в том числе и СОН;

непосредственное влияние живучести СОН на минимизацию рисков при возникновении ЧС;

Кроме того, требования к живучести СОН подлежат уточнению и научно-практическому обоснованию с учетом особенностей организационно-технического их построения, функциональных возможностей современных инфокоммуникационных технологий и возможностей восстановления поврежденных элементов СОН в заданное время.

Научный аспект проблемы анализа живучести СОН состоит в том, что в общей теории живучести пока не сформировался единый подход к решению задач анализа и обеспечения живучести различных видов систем [5].

Такое состояние теории живучести обусловливается особенностями структурного построения и функционирования систем различного предназначения.

Применительно к СОН также отсутствует единый научный подход к анализу их живучести.

Нужны новые научные подходы к устранению указанных недостатков в теоретическом обеспечении анализа живучести СОН.

Предметом анализа живучести СОН является изучение закономерностей ее изменения под воздействием ПФ ЧС с учетом особенностей организационно-технического построения и возможности восстановления ее поврежденных элементов в заданное время.

2. Содержание метода анализа живучести СОН

2.1. Общие положения о методе

Научную основу предложенного метода составляет теория марковских дискретных процессов с непрерывным временем.

Адекватность применения марковских дискретных процессов с непрерывным временем для анализа живучести СОН обусловлена тем фактом, что в случае независимости ординарных и стационарных потоков повреждений, суммарный поток повреждений, согласно предельной теоремы для суммарного потока, сходится к пуассоновскому стационарному (простейшему) потоку, для которого число повреждений к, в интервале времени (0, г), распределен по закону Пуассона [7] :

Рк ((к = 0,1,2,...), (1)

где Хг = а — число повреждений, полученных в интервале времени (0, г);

Х — интенсивность потока повреждений в единицу времени (1/час).

Аналогично определяется и суммарный поток восстановлений для поврежденных СОН, характеризующийся интенсивностью восстановления / (1/час) и числом восстановлений в за время (0, г), равным Ь = /г. В [7] показано, что если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние — пауссоновские и независимые, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Предложенный метод анализа живучести СОН можно считать универсальным, поскольку позволяет описать процесс анализа всевозможных состояний живучести 3 СОН на основе применения системы обыкновенных дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова, в общем случае с переменными коэффициентами Хуг и Xу, которые имеют следующий вид [7]:

^ = ±Ру (гУ)-р (г)£^ (г)(( 1,2,...п),(2)

Ш у=1 у=1

где п — число состояний СОН.

При составлении дифференциальных уравнений используется следующее мнемоническое правило: «Производная вероятности любого ¡-го состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния» [7].

Под потоком вероятности понимается [7] :

для первой суммы равенства (2) — произведение вероятности ру(г) состояния 3 на интенсивность Ху(г) потока событий, переводящая систему из состояния 3 в состояние 3г, то естьру(г) Ху(г), (Ху(г) Ф 0);

для второй суммы равенства (2) — произведение вероятности р¡(г) состояния 3 на интенсивность Xу(г) потока событий, переводящая систему из состояния 3 в состояние ¿у, то естьр¡(г) Ху(г), (Ху(г) Ф 0).

Если непосредственный переход из состояния 3 в состояние 3 невозможен, то интенсивность пуассо-новского потока повреждений Ху(г) = 0. Это положение справедливо и для интенсивности потока восстановлений поврежденных СОН: /¡(г) = 0.

Ниже следует рассмотреть однородный марковский процесс, для которого интенсивность потоков повреждений Ху(г) и восстановлений /¡(г) не зависит от аргумента г, то есть Ху(г) = Ху = Х и /¡¡(г) = =/уг = /.

Из равенства (2) следует, что число дифференциальных уравнений системы соответствует числу состояний живучести анализируемой СОН, которое определяется множеством X = {=^1 направлений оповещения в СОН, где тх — мощность множества.

При анализе живучести функционирования СОН, следует считать, что каждое х^-ое направление оповещения находится в одном из двух состояний: работоспособном — х^ или поврежденном — х$. Тогда общее число состояний живучести СОН будет равно

5 = 2^ ( = 1, т,которое можно определить в виде суммы несовместных состояний:

5=1 ,

1=0

(3)

где С1 =

число всевозможных ком-

бинаций из тх по которое можно получить из общего числа тх направлений оповещения по % поврежденным.

Для упрощения методики составления дифференциальных уравнений (2) всевозможные состояния живучести анализируемой СОН следует представить в виде вектора состояний 5 ={51...52^5И} и соответствующей этому вектору матрицы состояний:

5 =

S¡

(4)

Очевидно, каждому состоянию 8 ( = 1, п) соответствует определенная строка матрицы, характеризующая состояние живучести направлений оповещения СОН : например, 51 ~ х^. .х2.. .хт и т. д.

Для упрощения алгоритма составления системы дифференциальных уравнении (2), вектор и матрицу состояний (4) с соответствующими интенсивностями пуассоновского потока повреждений (восстановлений), переводящих СОН из состояния 8 в состояние Бр (из Бр в 8), можно представить в виде размеченного графа состояний (см., например, рис. 2, 4 и 6). На этих рисунках показаны только те ребра (направленные переходы) между состояниями 8 и Бр, для которых соответственно интенсивности потоков повреждений и восстановлений не равны нулю (1р Ф 0 и /р1 Ф 0); около каждого ребра проставляются соответсвующие интенсивности потока повреждений 1 или восстановлений /.

Размеченный граф состояний при использовании мнемонического правила позволяет без особых затруднений получить систему дифференциальных уравнений, описывающих всевозможные состояния анализируемой СОН, поскольку на таком графе отражены входящие и исходящие потоки с соответствующими интенсивностями 1 и / перехода системы из состояния 8 в Бр и наоборот.

Систему дифференцированных уравнений (2)

принято решать для начальных условий (г = 0) следующего вида [7]:

р (0 ) = 1, Р1 (0 )> 0, г > 0 (¡ = 1, п). (5)

Можно принять, что в начальный момент времени (г = 0) анализируемая СОН находится в состоянии 51 (все направления оповещения находятся в работоспособном состоянии).

Следует рассмотреть практическое применение теории марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем, с учетом принятых определений и исходных условии (5), для анализа живучести следующих моделей организационно-технического построения СОН.

2. Модель СОН с одним направлением оповещения

Модель такой СОН, имеющая одно направление оповещения: тх = 1, представлена на рис. 1.

Рис 1. Модель СОН с одним НО

Обозначения: ЦО — центр оповещения; НП — населенный пункт, х1 — одно направление оповещения, тх = 1.

Вектор технических состояний такой СОН и соответствующую ему матрицу состояний живучести можно записать в следующем виде:

8 =

51

_ ^2 _ _ Х1 _

(6)

Размеченный граф состояний показан на рис. 2.

Рис. 2. Размеченный граф состояний для СОН с одним НО

В соответствии с этим графом и ранее сформулированным мнемоническим правилом, можно составить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

^ = Р2 (г)-А- р (г),

dp2 (г)

dг

= А- Рх (г Р2 (г).

т

х

Решая систему линейных дифференциальных уравнений (7) при начальных условиях р(0) = 1 и Р2(0) = 0, можно получить следующие выражения для вероятностей состояний :

В соответствии с этим графом и мнемоническим правилом можно составить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний рассматриваемой модели СОН:

р(г) = -л + -Л е- ^

Л + ¡л Л + л

Р2(г) = 1 - р(г) =

Л

(8)

Л + л

(1 - (Л+л).

Следует отметить, что при г ^ да в системе устанавливается стационарный режим, для которого ве-роятностир1, р2 уже не зависят от времени и равны:

Ф1 (г)

Аг

= ¡(2 (г) + Рз (г))-2 Л р1 (г);

Ф2 (г)

Аг

ФДО

Аг

= Я- Р1 (г ) + л- р4 (г )-л Р2 (г )-Л • Р2 (г); = Я- Р1 (г ) + л Р4 (г )-л. рз (г )-Л • Рз (г);

^ = Л.^Р2 (г) + рз (г))-2л. Р4 (г).

(11)

Р1 = Иш МО =

г^да

Р2 = Нш Р2(г) =

л

Л + л

Л Л + л

При решении системы дифференциальных уравнений (11) использованы следующие начальные ус-(9) ловия:

X р (г ) = 1; р (г = 0) = 1; Р24 (г = 0 ) = 0,

что можно истолковать как среднее относительное пребывание СОН в соответствующих состояниях

и 52.

3. Модель СОН с двумя

направлениями оповещения

Эта модель представлена на рис. 3 (тх = 2).

Рис. 3. Модель СОН с двумя НО

Вектор технических состояний и соответствующая ему матрица живучести СОН имеет вид:

5 =

' 5' Л! ,

52

5з

. 54. _ х1, х2 _

(10)

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.

а также преобразование Лапласа [7]. Используя основные свойства этого преобразования, систему дифференциальных уравнений (11) можно преобразовать в систему алгебраических уравнений следующего вида:

п1 (х) + п2 (х) + пз (х) + п4 (х) =1;

х •п2 (х) = Л •п1 (х) + л •п4 (х )-л п3 (х) - Л • п2 (х );(12) х • пз (х) = Л • п1 (х) + л • п4 (х)- л • пз (х)- Л • пз (х); х • пз (х) = Л • пз (х) + Л • п2 (х) - л • п4 (х) - л • п4 (х).

В результате решения системы уравнений (12) получим выражения для определения вероятности состояний анализируемой СОН следующего вида:

,, л2 2лЛ •е-(л+Л) Л2 •е<л+Л'>г

Р\ (г) = ——^ +-^ +-г-;

^ (л + Л)2 (л + Л)2 (л + Л)2

, , ,, ЛеЧл+Л)г -Ле~2(л+Л)г лЛ 2лЛеЧл"Л)г лЛеЛл*Л)' ,, „ч

Р2(г) = Рз(г) =--+ "„ , ,.,2. + ,„ , ; (13)

(л + Л) (л+Л)2 (л + Л)2 (л+Л)2

Р4(г ) =

(л + Л)2 (л + Л)2 (л + Л)2

Для стационарного режима эксплуатации анализируемой модели СОН при г ^ да правомерны следующие выражения для вероятностей состояний:

Р1

л

Р2 = Рз =

Р4 =

(л+Л) Лл

(л+Л)2' Л2

(л + Л)

Рис. 4. Размеченный граф состояний системы

м

Л2 Л2 • е~2(л+Л'г 2Л2 •е-(л+Л>

4. Модель СОН с тремя направлениями оповещения

Данная модель СОН структурно состоит из трех направлений оповещения (тХ = 3), рис. 5.

Рис. 5 . Модель СОН с тремя НО

Вектор технических состояний живучести СОН и соответствующая ему матрица состояний имеет вид:

5 =

х1 Х2 Хз

52 Х1 Х2 Хз

5з Х1 Х 2 Хз

54 Х1 Х2 Хз

55 Х1 Х 2 Хз

56 Х1 Х2 Хз

5т Х1 Х 2 Хз

58 Х1 Х 2 Хз

(15)

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 6.

Рис. 6.Размеченный граф состояний СОН с тремя НО

В соответствии с рис. 6, составляется система дифференциальных уравнений, описывающих состояния живучести СОН:

¿Рг (г)

¿г

= л( (г) + Рз (г) + Р4 (г))-за-р (г);

¿Р2 (г) ¿г

¿Рз (г)

¿р = А-Рг (г) + лр5 (г) + л-Рб (г)-( + 2А) (г);

¿р = А-Рг (г) + л-Рз (г) + л-Рт (г)-(л + 2А)Рз (г);

¿Р4 (г).

¿г ¿Рз (г)

--Х- Рг (г ) + л- Рб (г ) + л- Рт (г)-( + 2А) (г);

¿р = А- Р2 (г ) + А- Рз (г ) + л- р8 (г )-(л + А)рз (г);

(16)

¿Рб (г) = .

= А-Р2 (г) + А-Р4(г) + л-Р8(г)-(л + А)р6 (г);

¿Рт (г).

¿г

■■А-Рз (г) + А-Р4(г) + л-Р8 (г)-(л + А)рт (г);

= А - (Рз (г) + Рб (г) + Рт (г)) - зл - р8 (г).

При решении системы уравнений (16) можно воспользоваться следующими начальными условиями:

да

X Р1 (г ) = 1; Рг (г = 0 ) = 1; р^ (г = 0 ) = 0.

1=1

С учетом принятых условий и используя свойства преобразования Лапласа, систему дифференциальных уравнений (16) следует записать в виде системы алгебраических уравнений (см.17).

В результате решения этой системы алгебраических уравнений можно получить следующие выражения для определения вероятностей состояний живучести анализируемой модели СОН (см. 18).

Для стационарного режима эксплуатации СОН при г ^ да выражения для вероятностей состояний (18) примут вид:

Рг =

л

(И + А)

Р2 = Рз = Р4 =

Рз = Р6 = Рт =

А-л2 (л + А) А1 -л (л+а)

з '

(19)

Р8 =

А3

(л+а)

С увеличением числа состояний процесс составления и решения системы дифференциальных уравнений для определения вероятностей состояний СОН усложняется. Поэтому при значительном увеличении числа дифференциальных уравнений, описывающих достаточно большое количество состояний СОН, возникает необходимость перехода от аналитических методов их решения к численным, используя для этого имеющиеся программные продукты ЭВМ ( например, Ма^саё и МаШаЪ).

П (x) + п2 (x) + п3 (x) + п4 (x) + п5 (x) + п6 (x) + п7 (x) + п8 (x) = —;

x • п2 (x) = X • я— (x) + л • п5 (x) - л • п6 (x x • п3 (x) = X • я— (x) + ¡л • п5 (x) - ¡л • п7 (x x • п4 (x) = X • П (x) + ¡л • п6 (x) - ¡л • п7 (x x • п5 (x) = X • п2 (x) + л • п3 (x) - ¡л • п8 (x x • п6 (x) = X • п2 (x) + л • п4 (x) - л • п8 (x x • п7 (x) = X • п3 (x) + л • п4 (x) - л • п8 (x x • п8 (x) = X • (п5 (x) + п6 (x) - п7 (x

)- ( л + 2X)-n2 (x ); )- ( л + 2X)n2 (x ); -(л + 2X)n4 (x ); -(2л + X) п5 ( x ) ; -(2л + X)-n6 (x ); -(2л + X)n7 (x); )-3^n8 (x)•

P— (t ) =

X2 •л 3Х2л•e

-(¡+X)t

3X2л •в-2(л+1)) 1ъл •е-ъ(л+1])

\3 '

(л + X) (л + X) (л + X) (л + X)

(2 ^-2(л+Л)) + ¡2 0-2(л+Я)) X л „"(л+X)) ¡2 ^-3(л+X)t

P2 (t ) = P3 (t ) = P4 () ) =

X2 •л л2 jt + л2 jt Xл• e"' ' л •e

P5 (t)= P6 (t) = P7 (t):

(л+X)

X2 •л 2X2•e

(л + X)

-(¡+X)t

+ 2X •e

-(¡+X)t

Xл •e

(17)

3 '

P8 (t) =

(л + X)

X3

(л + X)

3X3 •e-2(^+X)) 3X3 •e"

(л + X) (л + X)

2^+X)t X¡2 e^) (18)

(л + X)

(¡+X)t x3 e~3^+X>

(л + X)

(л + X) (л + X) (л + X) (л + X)

Предложенный метод анализа живучести СОН реализован в численном эксперименте, представленном в работе [6].

Практическая значимость рассматриваемого метода состоит в том, что он позволяет определить живучесть СОН для каждого состояния с учетом исходных данных по интенсивностям повреждений и восстановлений направлений оповещения. Кроме того, практическая реализация предложенного метода обеспечивает возможность заблаговременного планирования мероприятий по восстановлению причиненных разрушений в СОН.

Литература

1. Анцелович Л.Л. Надежность, безопасность, живучесть самолета. М.: Машиностроение, 1985.

2. Дудник Б.Я. и др. Надежность и живучесть систем связи. М.: Радио и связь, 1984.

3. Носов М.В. Методологические аспекты развития систем оповещения населения // Электросвязь. 2004. № 4.

4. Рябинин И.А., Москатов Е.К. Надежность, живучесть и безопасность автоматизированных комплексов// Судостроительная промышленность. Серия: Системы автоматизации проектирования производства и управления.1987. Вып. 8.

5. Стекольников Ю.Н. Живучесть систем. СПб.: Политехника. 2003.

6. Носов М.В. Анализ эффективности эксплуатации и живучести систем оповещения населения. М.: АГЗ МЧС России, 2014

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000.

Сведения об авторе

Носов Михаил Васильевич: к. т. н., проф., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), с. н. с.

121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. Тел.: (919) 721-48-29.

Information about author

Nosov Mikhail V.: PhD (Technical Sc.), professor, Federal Government Budget Institution "All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies" (Federal Center of Science and high technology), senior researcher. 121352, Moscow, str. Davydkovskaya, 7. Tel.: (919) 721-48-29.