CC BY
7
Стаценко И.В.1, Ле Дай Зыонг2 ©
1Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский энергетический институт;
2Студент, Московский энергетический институт
МЕТОД АНАЛИЗА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В ЧИСЛОВЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ
МАТРИЦАХ
Аннотация
В статье приведен метод анализа закономерностей в произвольных числовых треугольных матрицах, основанный на использовании информации о линейных свойствах столбцов.
Ключевые слова: комбинаторика, числовые треугольники. Keywords: combinatorics, numerical triangles.
Известен метод [1] анализа закономерностей в последовательностях - метод получения замкнутой формулы для общего члена последовательности для известной рекуррентной формулы с использованием производящей функции. Метод довольно часто приводит к громоздким выкладкам. В данной статье приводится метод анализа последовательностей в треугольных матрицах, основанный на построении систем линейных уравнений. Идея метода - выделение линейных комбинаций некоторых функций в первых двух-трех столбцах матрицы. После чего с использованием нулей, расположенных выше главной диагонали матрицы получают системы линейных уравнений для определения коэффициентов линейных комбинаций.
1. Анализ линейных комбинаций в треугольнике Паскаля
Рассмотрим треугольник Паскаля в следующем виде см. таблицу 1.
__Таблица 1
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
Известно, что элементы апт треугольника вычисляются как апт = Ст. При этом
формула не работает для элементов, находящихся над главной диагональю. Полагаем далее, что данные элементы тождественно равны нулю. Можно заметить, что
12 1 1 з 1 2 1
ап0 = ^ ап1 = п , ап2 =~п ~~п , ап3 =~п ~~п +~п , •••
2 2 6 2 3
Данные формулы работают, в том числе, и для элементов, находящихся выше главной диагонали. Кроме того, понятно, что любой элемент треугольника есть линейная комбинация многочленов, следующего вида:
© Стаценко И.В., Ле Дай Зыонг, 2016 г.
anm = 2 , (11)
k=1
Коэффициенты ск можно найти из систем линейных уравнений следующего вида:
т
Е СкП" = апт , П = 1,2,3,...,т.
k
k=1
Распространим данный подход для анализа других закономерностей.
2. Анализ вероятностного распределения количества разных букв в случайных словах для алфавитов любой размерности
Пусть некоторое слово имеет l буквенных разрядов, которые формируются из n буквенного алфавита, при этом допустимы повторения букв. Необходимо вычислить количество слов - anm, где встречается ровно m разных букв.
Допустим в алфавите имеется четыре буквы: A, B, C, D. Слово состоит из трех разрядов. Тогда можно сформировать слова: AAA, AAB, AAC, AAD, ABA, ABB, ABC, ... , DDC, DDD. В данном случае можно сформировать всего 64 слова. При этом слов, в которых встречается одна какая-либо буква, будет - a41 =4; слов, где встречается две разных буквы, будет- a42 =36 ; слов, где встречается три разных буквы будет - a43 =24.
Для случая l = n имеем следующую треугольную структуру см. таблицу 2
Таблица 2
m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7
n=1 1*1
n=2 1*2 1*2
n=3 1*3 6*3 2*3
n=4 1*4 21*4 36*4 6*4
n=5 1*5 60*5 300*5 240*5 24*5
n=6 1*6 155*6 1800*6 3900*6 1800*6 120*6
n=7 1*7 378*7 9030*7 42000*7 50400*7 15120*7 720*7
Для получения величины формулу
a
можно использовать следующую рекуррентную
anm =П
an-1 m-1 + an-1 m '
m
(2.1)
п-т)
Данная формула неудобна к использованию при больших номерах I =п. Поэтому воспользуемся изложенным выше подходом для поиска закономерностей в замкнутой форме. Заметим, что первые три столбца треугольной структуры можно вычислять в виде:
ащ = п = п • С^-1, (2.2)
= п (п - 1)(2п-1 -1) = .(2п-1 -1), (2.3)
a
n2
a
n3
= n • (n -1) . (n - 2). 2 (зп-1 - 2n +1) = nC„2-i • (3n-1 - 2n +1).
(2.4)
Далее полагаем, что в последнем сомножителе имеет место линейная комбинация
т
показательных функций вида: Ь(п, т) = 2 Ьтк (т +1 - к)п-2+ . Коэффициенты Ътк данной
к=1
линейной комбинации найдем из систем линейных уравнений вида:
т
2Ьтк(т +1 -к)п-2+к = 0, с ° 1, п = 1,2,3,...,т -1. (2.5)
к=1
Тогда, в частности, для четвертого столбца получим:
ап4 == • (4п-1 - 3п + 3 • 2п+1 -1 ^. (2.6) Таким образом, получим формулу
т т
апт = пет-12 Ьтк (т +1 - к)п-2+к = пет-1 X Ятк^- , (2.7)
к=1 к=1 где Чт\ Ьтт' Чт2 Ьт т-1' '"' Ч.тт Ьт1 .
Сформируем треугольник коэффициентов Цтк. См. таблицу 3.
Таблица 3
к=1 к=2 к=3 к=4 к=5 к=6 к=7
т=1 1
т=2 1
т=3 1 -1 1
т=4 3/4 -1 1
т=5 1 -1/2 2/3 -1 1
т=6 5/16 -10/27 10/16 -1 1
Используя представленный выше подход, получим
Чтк = ('
Далее, подставив (2.8) в (2.7), получим
к-1
чтк = (- (2.8)
апт = пСЯ 2 (- 1)т+кет-_1кп-1. (2.9)
к=1
Формула 2.9 получена для случая, когда число I разрядов слова совпадает с числом п букв алфавита. Для общего случая I е22+ и пе2 по аналогии получим формулу:
т
апт1 = пет--12 (- 1)т+кет Цк1 -1. (2.10)
п -
к=1
Формула позволяет получить распределение вероятности случайного формирования I разрядного слова для алфавита в п букв, таким образом, чтобы в слове было ровно т разных букв. Данная вероятность вычисляется следующим образом:
т
с;-12 (- 1)т+кет -1
Рпт1 =—-—^-. (2.11)
п
Литература
1. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998, 704 с.
