Местная устойчивость трубы прямоугольного сечения при изгибе Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Местная устойчивость трубы прямоугольного сечения при изгибе

И.Д.Грудев

Рассмотрим поперечный изгиб трубы прямоугольного сечения при изгибе. Сечение трубы характеризуется четырьмя размерами иЬ,||Д (рис.1), которые удовлетворяют следующим неравенствам:

L>>b,h>>t. (1)

Согласно принятой терминологии боковые стенки трубы называются левой и правой стенками, стенка трубы при у=|/2 - верхней полкой, а при у = -|/2 - нижней по аналогии с двутавровым сечением.

Расчетная схема, показанная на рисунке 2, считается классической: нагрузка Q посередине при z=L/2 действует по линии и приложена только к стенкам, усилия на опорах приложены на торцах z=0 и z=L и определяются касательными напряжениями т ^.

Напряженное состояние определяется уравнениями равновесия теории упругости в обычной форме: Зет дх^ дх.

дх„г да„

ух

+ -

- + -

дх дх

ху

+ -

ду дг

= 0;

= 0

. Эт„ . дх

да.

= 0' (2)

дх ду дг дх ду дг

В нашем случае отсутствуют какие-либо нагрузки в направлении оси х, а также внешние нормальные нагрузки по

Рис. 1. Геометрические размеры трубы

!!

1

1

! "Т

Рис. 2. Схема приложения усилий при z=0, z=L/2 и z=L

оси у, поэтому в первом приближении можно записать вполне очевидные соотношения:

о, = 0; с, = 0; т ^ = 0 . (3)

Учитывая эти соотношения, система уравнений (2) сводится к уравнениям:

д^у да.

+ -

= 0

дг дг дх ду дг Из первых двух уравнений следует:

1а=*а(Х>У)>*щу=**у(Х>У)-В уравнении (4) перейдем к безразмерным переменным и получим:

(4)

(5)

~ 2х ~ 2у ~ 2г х = —: у = —;г = — Ъ А Ь

(6)

В результате уравнение примет вид:

1 дх^ 1дх

гх |

+

=о .

- (7)

Ь дх к ду Ь дг Теперь можно проанализировать напряженное состояние верхней (сжатой) полки левой половины балки, а напряженное состояние нижней (растянутой) полки и правой половины балки нетрудно записать симметрично.

На верхней и нижней поверхностях обеих полок напряжения хгу строго равны нулю, поэтому с учетом неравенств (1) в первом приближении можно считать, что во всех сечениях полок

«Х(х), х2у=0, о, = а, (х, г) . (8)

Уравнение (7) теперь сводится к следующему:

дх Ъ да „ -ё- -о---= 0 .

(9)

дх Ь дг

Это уравнение удовлетворяется, если оба слагаемых порознь равны константе. Тогда каждое слагаемое легко интегрируется и в результате получается:

¿0

(10)

где т-.1 О Т2-о - —--' стго - константы.

Для верхней полки с21 < 0.

При 7=0 напряжения ст2=0, поэтому стг0=0, а из соображений симметрии следует считать, что тгх(X) = -тгх(-X) , поэтому необходимо положить тгх0 =0. В результате окончательно получится: _ _

^ = ^ *. = ^ 2 . (11)

У

У

X

1

X

ь

У

I

гу

Из уравнения (9) можно вывести связь между двумя последними константами:

где Ж - момент сопротивления сечения в целом, который может быть записан следующим образом:

\2

= - — ,

(12)

одна из которых будет определена ниже. Теперь проанализируем напряжения в стенках с учетом того, что согласно симметрии обе стенки находятся в идентичных напряженных состояниях. Касательные напряжения Т2х на внутренних и наружных гранях каждой из стенок равны нулю, поэтому в первом приближении можно записать:

^ = 0; т „ = ; „ (у); сг = с2 0; , г) .

Ж = (Ь - К) ; (А - ;) /А + ^А2/3 или Ж = Ск 2) , 'Ъ

где

С =

1-1 к

1

+ -3

(20)

к к .

причем константа С имеет порядок единицы.

Учитывая равенства о^ = о,;) = 24 и соотношения (12), получаем:

При этом уравнение (7) примет вид:

к до2 .

-=)■ = О

-2- + -

(13)

(14)

(21)

с1у Ь дг

Для согласования решения этого уравнения с решением для полок логично принять:

*2 22 Ял У22 + ^ , (15)

где а - введенная выше постоянная.

Из граничного условия 0+ = 0 при z =0 следует:

а« = 0 , (16)

и окончательно для стенки получится:

°( = а+1 ++ . (17) Уравнение (14) теперь принимает вид:

4Ж 4Ж

По аналогии с гидродинамикой в углах сечения потоки касательных напряжений должны быть непрерывными, поэтому можно записать:

X - =—X -

гхпри=х 1 гуприу = 1

к

откуда следует + + = — х++ Н--с++ и, соответственно:

г к>

в

4Ж

Ь + -

V 2 у

(22)

Подставляя значения найденных констант в уравнение (19), получаем:

М„

Ж

(18)

Это уравнение легко интегрируется и позволяет вывести:

к ~ 2 , х ++У = - ^г С+,; У + X ^ . (19)

Ввиду того, что нормальное продольное напряжение изменяется линейно по обеим переменным - у и z, можно воспользоваться известной формулой:

М к ~

;+ =_ и, в частности, -2- )--(У V = 0 ,

2 Ж йу Ь АУ

О ХХ2

1 / 2 @ (+ 1 / 2

о

—► —► —► <— ч- <- -

-? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ~ £ -О.

1 к„

X1

5

Рис. 4. Центральная вырезанная полоса (вп) верхней (сжатой) полки шириной 5х

н Г

11 и Х и

и и

Рис. 3. Эпюры касательных и нормальных напряжений

5

х

X

z х 1

X

zх

21

X

2у

X

zх

О „ ¡1 ~2 ; -++- [Ь + - (1 - у )] . 4Ж 2

(23)

Запишем максимальное по модулю значение касательных напряжений при у = 0:

в (и ЬЛ

4ж{ 2)

=

ьяГ

Тогда для нагрузки получится выражение:

68^

2РГ

(25)

(26)

В силу симметрии на каждой половине длины стержня нагрузки имеют противоположные знаки (рис. 4).

Для определения устойчивости вырезанной полосы необходимо ввести следующие безразмерные переменные для моментов, усилий и нагрузок [1]:

М =

МЬ ~ Ж ~ аП

—=—ш,ч = -—

ЕЗ Ы Ш

где У =

5/ 12

Из предыдущих формул для безразмерной продольной нагрузки выводим:

" + 66 ^

Ск2Е

(27)

Следует особенно подчеркнуть, что выражение для безразмерной нагрузки не зависит от ширины вырезанной полосы 5х . Не зависит оно и от ее положения по ширине

полки, так как определяется лишь производной , которая здесь постоянна. дх

Для красоты и наглядности графиков в качестве примера возьмем тонкостенную трубу со следующими поперечными размерами: Ь=100 мм, h=120 мм, t=2 мм и L=1 м. Принятое расчетное сопротивление стали Я=24кн/см2. Радиус инерции

; _ 1 " 712 ~ 7з

вырезанной полосы I —

мм .

Гиб-

и значения касательных напряжений в правом верхнем углу:

&>

т =т =— .

21 ^ 4 цг

Графики касательных и нормальных напряжений показаны на рисунке 3.

Теперь рассмотрим полосу, вырезанную из верхней (сжатой) полки во всю длину трубы шириной 5 х, которая удовлетворяет неравенствам ; < 8Х < Ь. Вначале удобнее взять эту полосу посередине верхней полки, как показано на рисунке 4.

Продольная нагрузка ^определяется касательными напряжениями, действующими по боковым сторонам вырезанной полосы:

о = 2 к „ ; . (24)

На основании полученных выше результатов можно определить величины касательных напряжений, действующих на полосу: 2

кость вырезанной полосы X в ; = Ь^ =1732, что в расчетах устойчивости стержней представляется очень большим значением.

Несущая способность изгибаемого стержня при расчетах на прочность во всех нормативных документах определяется по формуле:

М„

с =

шах

Ж

• < Я у ,

— у I с

(28)

то есть в наиболее нагруженном элементе сечения допустимы напряжения, сравнимые с расчетным сопротивлением. Учитывая это, можно сделать вывод, что продольно сжатый стержень (в нашем случае вырезанная полоса) при столь высоких напряжениях и большой гибкости нуждается в подкреплении со стороны других элементов сечения трубы. Иными словами, вырезанная полоса должна иметь упругое основание, жесткость которого необходимо определять по

ш

******

у

0

У

А.

СО

Рис. 5. Расчетная схема для определения жесткости основания вырезанной полосы

дпп

10

8

6

4

2

0

024 68 10

Рис. 6. Зависимость дупп(ипп) по шагам деформирования

возможности точнее. В первом приближении для этого надо рассчитать зависимость прогиба середины сжатой полки от приложенных нормальных нагрузок по расчетной схеме, показанной на рисунке 5.

Таким образом, задача сводитсяj< определению безразмерной жесткости подкрепления kя вырезанной полосы (вп) со стороны остальных элементов сечения трубы. Для этого рассчитывается зависимость вертикальной распределенной нагрузки, действующей по оси вырезанной полосы Яувп от ее прогиба в середине верхней полки трубы.

Решение этой задачи производится по методу, описанному в [1] по программе Visual Basic для арки. Из трубы прямоугольного сечения вырезается поперечная полоса (пп) шириной 5Z и нагружается равномерно распределенной нагрузкой В результате рассчитывается вертикальный прогиб ипп посередине ригеля. Концы полосы считаются шарнирно опертыми (рис. 5). Поверочные расчеты показали, что результат слабо зависит от характера опирания концов.

Исходными данными служат геометрические размеры полосы и вычисленные по ним геометрические характеристики: b=100 мм; h=120 мм; t=2 мм;

Lnn = Ъ + 2h- i = iyOl2;X .. = Lnn/i; Jnn = ^ . (29)

Рис. 7. Кривая отпорности вырезанной полосы

0,0005

о

-0,0005 -0,001 -0,0015 -0,002 -0,0025

Рис. 8. Вид прогибов и у (z) для критического и двух за-критических состояний

В результате расчета при малых прогибах определяется практически линейная зависимость между безразмерными величинами нагрузки и прогиба, показанная на рисунке 6:

Ч.пп _ ^ n U

пп Мупп

~ Яупп ^пп У ^

где /7 v., =-; //пп =

у EJnn EJ

17

пп пп.

linn — "

(30)

При определении жесткости кпп = -о-Оо-О.-- =18 350 шаг дефор-

Ыупп

мирования был выбран: Аи- - = 0,0000 - .

Теперь для удобства примем равенство поперечных размеров вырезанных полос 8- = 8- = 5 и используем равенство размерных усилий Цу- 8-=О-.„.Д , откуда следует Уувп -З-—- . Если учесть, что размерные прогибы и моменты

.=ит и ^=^=-^у , то из этих соотношений

инерции ип

можно вывести равенство размерных жесткостей:

Кп ^Кп

а безразмерные величины жесткостей связаны между собой следующим образом:

.. .. Г т V

ken — k

=1,373*106.

(31)

yb + 2h,

Остается рассчитать размерное критическое значение нагрузки Q для определения несущей способности трубы прямоугольного сечения при изгибе. Воспользуемся компьютерной программой, разработанной для решения аналогичной задачи при изгибе балки двутаврового сечения [1]. В этой программе задача решается в геометрически и физически нелинейной постановке. Рассчитывается процесс деформирования вырезанной полосы под действием нагрузки //увп с учетом жесткости основания квп, изменения прогибов полосы при изгибе, а также пластических характеристик стали при помощи «унифицированной диаграммы строительных сталей» [2].

Рассчитывается кривая отпорности (рис. 7), то есть определяется зависимость нагрузки qz от укорочения вырезанной полосы, или от перемещения правого конца uz(1) (рис. 4).

Точка предела упругости и появления пластических деформаций в нижних волокнах вырезанной полосы соответствует значению u x (1) =0,0004, излом кривой - критическому состоянию при максимальной нагрузке qzcr =5644, затем деформации происходят в закритическом режиме при падающей нагрузке. По этой причине важным фактором является перемещение правого конца вырезанной полосы, а не нагрузка.

Критическое значение поперечной нагрузки Qcr записывается при помощи формулы (27):

> 2 ¥-1 / . \3

Qcr

= 17,85 КН.

z

Весьма интересным представляется вид местной потери устойчивости вырезанной полосы (рис. 8) для критического значения при u x (1) = 0,00045 и двух закритических значениях U x (1) = 0,000475 и U x (1) = 0,0005.

В средней точке закритические прогибы оказываются даже большими по абсолютной величине, чем начальная погибь.

Традиционная проверка прочности при тех же исходных

данных с использованием соотношения м = и фортах • 1 1

мул (20) и (28) показывает: 4 WRyc

Q =---—- = 29,07 КН при коэффициенте условий ра-

L

боты Yс = 0,95 .

Таким образом, традиционный расчет приводит к завышенному результату и в конечном итоге - к аварийной ситуации.

Литература

1. Грудев И.Д. Несущая способность сжатых элементов стержневых конструкций: монография. М.: МГСУ, 2012.

2. Одесский П.Д., Бельский Г.Е. О едином подходе к использованию диаграмм работы строительных сталей // Промышленное строительство. 1980. № 7. С. 4-6.

Literatura

1. GrudevI.D. Nesushchaya sposobnost szhatyh elementov sterzhnevyh konstrukcij: monografía. M.: MGSU, 2012.

2. Odessky P.D., BeSky G.Ye. O jedinom podhode k ispol-zovaniyu diagramm raboty stroitelnyh stalej // Promyshlennoe stroitelstvo. 1980. №7. S. 4-6.

elastic foundation. The action of elastic foundation results from secondary cross-bending of the tube walls and flanges. The median fibers of compressed flange in the most stressed cross-section have secondary buckling and form a short fold under the load of transverse forces imposed because of the plastic property of material. It is the secondary buckling which determines the load-carrying capacity of a beam in general. A post-critical deformation occurs during the decreasing load.

The method of calculating of the secondary buckling process and the post-critical deformation of a beam, which determines its load-carrying capacity, is presented in this article.

Ключевые слова: местная устойчивость, труба прямоугольного сечения, касательные напряжения, упругое основание, короткая складка, пластичность.

Key words: local stability, tube with rectangular cross-section, shear stresses, elastic foundation, short fold, plastic property.

Local Bending Stability of a Tube with Rectangular Cross

Section. By I.D.Grudev

Cross-bending stress state of the thin-shell tube with rectangular cross section is described in terms of elastic theory without using the flat cross-section hypothesis. But hereby we realize that sheer stresses play the basic role both in tube walls and in compressed and tensile flanges of the tube. Distribution of lateral stresses and the flat cross-section hypothesis ensue only from requirements of tube bending in the plane of mirror symmetry and the ratio of thin walls and flanges of the tube. From equations of elastic theory it follows that axis lateral stresses in the flanges of the tube are constant by width, but in the walls they are changed linearly along height. Those particular results provide the basis for the flat cross-section hypothesis. The sheer flows in tube flanges and walls near the corners of cross-section are coordinated.

Longitudinal fibers in the flanges are loaded with sheer stresses, which initiate axis lateral stresses in the direction of centre line of the bar. Axis lateral stresses are changed according to the external load imposed. Stress state of longitudinal fibers is determined by sheer stresses caused by the load and the