Меры оценок эффективности регулирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.07

МЕРЫ ОЦЕНОК ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕГУЛИРОВАНИЯ

©А.А. Коробов, Л.Г. Гамова, Е.И. Глинкин

Ключевые слова: меры оценки; эффективность регулирования; автоматизация микропроцессорных средств; симметричный и прецизионный критерии.

Проведен анализ мер оценок эффективности мультипликативно-симметричного, интегрального и прецизионных критериев оптимального регулирования динамических характеристик для автоматического контроля микропроцессорными измерительными средствами в адаптивном диапазоне.

Автоматизация микропроцессорных средств техно-сферной безопасности и компьютерных биомедицинских анализаторов требует максимальную оперативность с минимальной погрешностью в адаптивном диапазоне аналитического контроля, что ограничено стандартными законами ПИД-регулирования, требующими трудоемкое аппаратное управление оператором коэффициентов оптимизации законов в адаптивном диапазоне аналитического контроля [1-3]. Позиционный (П), интегральный (И) и дифференциальный (Д) законы регламентируют ширину диапазона, уровень точности и предельное быстродействие из-за аппаратно управляемых коэффициентов ПИД-регулирования, настраиваемых на середину диапазона с требуемыми оперативностью или точностью за счет структурной и параметрической оптимизации градуировочной характеристики. Структурную оптимизацию определяют алгоритмы законов регулирования посредством параметрической оптимизации коэффициентов динамических характеристик, которыми служат аппаратно управляемые коэффициенты ПИД-регулирования. Взаимоисключающие требования к точности, оперативности и диапазону приводят к среднестатистической градуировочной характеристике с итерационным алгоритмом последовательного приближения, предполагающим высококлассных специалистов автоматизированного управления и метрологических измерений, аналитического контроля и биомедицинской техники.

Это нивелирует гибкость архитектуры, универсальность математического обеспечения и эффективность метрологических средств интеллектуальных систем безопасности, ограничивая их до уровня жесткой структуры с фиксированной градуировкой примитивных тестеров [2-3] с регламентированной точностью стандартных измерений в узком диапазоне регулирования. Ручная настройка коэффициентов ПИД-регулирования требует множество итераций последовательным приближением к произвольным параметрам с ненормированными случайными мерами и в итоге характеризуется грубой воспроизводимостью и низкой достоверностью, исключающими автоматическое регулирование [2].

Цель: изучить эффективность прецизионного и МС-критериев П-регулирования со стандартным критерием интегрального регулирования.

Задачи:

1) проанализировать законы регулирования для структурной и параметрической оптимизации динамических характеристик;

2) выяснить влияние стандартного критерия на гибкость архитектуры микропроцессорных средств;

3) провести качественный и количественный анализ критериев;

4) провести анализ степенных критериев для выбора наиболее эффективного;

5) оценить метрологические характеристики стандартного критерия;

6) проанализировать эффективность симметричного критерия.

1. ПОЗИЦИОННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ

Относительная погрешность при стандартном критерии [1-3] находится по формуле:

Е - и

81 =-. (1)

81 Е

Отношение случайных измерений ХСГ к нормированному по симметрии эквиваленту ХСА:

СА ХСГ 8 2 " : ХСА

что соответствует для двух измерений сигналов Е и и выражению

/Еи

8 2 = 1 -■ (2)

1 (Е + и )

2

Алгоритм вычисления погрешности прецизионного критерия вычисляется как квадрат отношения [2-3] случайных измерений ХСГ к нормированному по симметрии эквиваленту ХСА:

е 3

-1 -

Г Л2 2 2

X СА ХСГ

ХСГ

V хса У

2

ХСА

и для двух измерений сигналов Е и и это соответствует выражению

е 3

= 1 --

Еи

-(Е + и )

(3)

Средние геометрическая и арифметическая оценки находят по формулам:

ХСГ - Щиу ^Еи

т. к. для двух переменных п = 2; п

X

(3а)

X СА'

1 П 1 / ч

1 - г(Е+и )■

п ]-1 J 2

(3б)

Раскрывая скобки в выражении

~2 (Е 2 - 2Еи + и 2)

е 3 '

~2 (Е +и )

после преобразований получаем:

е3 - (-2(Е + и ) + —-Еи)/ 2

1(2 2\ Еи ~2 (Е + и ) 2

{ 2 Л

I Е - 2Еи + и ) ( Е +и )

(Е + и)

алгоритмом оценки прецизионной погрешности служит квадрат отношения [2]:

^ Е-сЛ

е 3 '

(4)

V Е+и У

Следовательно, алгоритм вычисления погрешности прецизионного критерия представляет квадрат отношения разности измерений к нормированному по симметрии эквиваленту их суммы.

2. СРАВНЕНИЕ КРИТЕРИЕВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Интегральный критерий регулирования [2-3] находится как сумма разностей текущего и начального показателей величины регулирования Д и рассчитывается по формуле:

IИ - к И — А {

(5)

Разница Д = Е - и может быть как положительной, так и отрицательной согласно алгоритму И-регулирования

й /1

если 1п У0 то т / -|о

^ Т ■ 0 1п

ГП

тогда закон И-регулирования представляют выражением

I

1т - кпД е} , где е] - 1 -

е

]

(6)

Для двух значений среднее геометрическое и среднее арифметическое рассчитывают по формулам (3а) и (3б) соответственно, причем относительная погрешность етождественна прецизионному критерию (3).

Найдем наиболее подходящий коэффициент, при котором будет наблюдаться оптимальный процесс регулирования.

Исследование графиков приведено в табл. 1.

Рис. 1. И-регулирование при к в промежутке от 0,8 до 2

2

2

п

2

2

Таблица 1

Оптимизация к

к Погрешность при Г = 0,5 Время при погрешности: 0,5 СМК

1 0,25 0,123

0,03075

1,2 0,11 0,120 0,01320

1,4 0,03 0,114 0,00342

1,6 0,09 0,121 0,01089

1,8 0,10 0,124 0,01240

Качественный анализ амплитудно-временных характеристик (рис. 2) показывает, что наиболее оптимальным регулированием является прецизионный критерий. Для количественной оценки точности и оперативности построим графики (рис. 3) погрешностей.

Для проведения анализа по точности зафиксируем значение Г = 0,2 и оценим значение погрешности при фиксированном времени (табл. 2).

Эффективность по точности рассчитаем из отношения относительных погрешностей прецизионного, МСК и интегрального критериев [1-3], что позволяет узнать, во сколько один критерий эффективнее другого:

Из рис. 1 и табл. 1 следует, что наиболее оптимально И-регулятор работает при к = 1,4, т. к. его критерий оценки по СМК = 0,003 - минимальный.

Используем МСК и прецизионный критерий [3] для оценки эффективности оптимально отрегулированного критерия интегрального регулирования с подобранным вручную коэффициентом. На рис. 2 показаны графики амплитудно-временных характеристик (АВХ): 1 - прецизионный критерий; 2 - МСК; 3 - стандартный интегральный критерий.

Таблица 2

Значения погрешности при фиксированном времени

Регулирование (время = 0,2) Погрешность

Интегральное 0,8

МСК 0,6

Прецизионное 0,2

Рис.2. Амплитудно-временные характеристики

Рис. 3. Погрешность критериев: 1 - прецизионный; 2 - МСК; 3 - интегральный 922

Таблица 3

Анализ оперативности

Регулирование (погрешность = 0,1) Значение Г, с

Интегральное 1,25

МСК 0,4

Прецизионное 0,2

Таблица 4

Е1

е1

0,8

Е 2

е 2

е1

е 3

0,6

0,8 0,2

- 4 .

Количественный анализ табл. 2 показывает, что прецизионный критерий лучше интегрального по точности в 4 раза, а МСК лучше в 1,3 раза.

Для анализа оперативности зафиксируем уровень 0,1 погрешности и оценим текущее значение времени (табл. 3).

Количественный анализ табл. 3 погрешности показывает, что прецизионный критерий лучше интегрального по оперативности в 6,25 раза, а МСК лучше в 3,13 раза.

3. СТЕПЕННЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Построим амплитудно-временные характеристики для выбора оптимального критерия е1 с г-ми значениями (г = 1,10) степени [3]:

Г V

Е-и

V Е+и У

На рис. 4 показаны графики амплитудно-временных характеристик регулирования, где желтым показан

Погрешность

Регулирование (время = 0,2) Погрешность Е1

Степенное (г = 1) 0,32

Степенное (г = 2) 0,19

Степенное (г = 3) 0,18

Степенное (г = 4) 0,175

Степенное (г = 5) 0,171

Степенное (г = 6) 0,168

Степенное (г = 7) 0,164

Степенное (г = 8) 0,161

Степенное (г = 9) 0,157

Степенное (г = 10) 0,15

график квадратичного критерия при г = 2, а зеленым -для степенных критериев при г от 1 до 10.

Качественный анализ рис. 4 показывает повышение эффективности регулирования справа налево по увеличению степени АВХ. Как видно из графиков, чем выше значение степени, тем меньше время выхода на режим.

Построим график погрешности для количественной оценки критериев (рис. 5).

Для количественного анализа зафиксируем значение Г = 0,2 и оценим значение погрешности Ег при фиксированном времени (табл. 4).

Эффективность по точности рассчитаем из отношения относительных погрешностей прецизионного, МСК и интегрального [1-3] критериев (рис. 3, табл. 2), что позволяет узнать, во сколько один критерий эффективнее другого. Исходя из табл. 4, делаем вывод, что по погрешности степенное регулирование эффективнее в 2,1 раза при г = 10, и в 1,7 раза при г = 3.

Для анализа оперативности зафиксируем уровень 0,2 погрешности и оценим текущее значение времени (табл. 5).

Анализ оперативности показывает, что прецизионный критерий при г = 10 эффективнее критерия при г = 1 в 1,45 раза и эффективнее критерия при г = 3 в 1,36 раза.

е 1

Рис. 4. Сравнение прецизионных критериев с разными степенями

-- .... .. Чх.......

\

Рис. 5. Погрешности степенных и прецизионного критериев

Таблица 5

Оперативность

Регулирование (погрешность = 0,1) Значение ^ с

Степенное (г = 1) 0,33

Степенное (г = 2) 0,245

Степенное (г = 3) 0,241

Степенное (г = 4) 0,239

Степенное (г = 5) 0,237

Степенное (г = 6) 0,235

Степенное (г = 7) 0,233

Степенное (г = 8) 0,231

Степенное (г = 9) 0,229

Степенное (г = 10) 0,227

4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПО ТОЧНОСТИ И НЕЛИНЕЙНОСТИ

Эффективность по точности ] несложно опреде-

*

лить из сопоставления предельной погрешности ех

*

П-закона с оптимальной погрешностью е* симметричного регулирования, представленных системой уравнений [2]:

■■к, т -

(7)

т +1

Поделим первое уравнение системы на второе и выразим эффективность по точности

= е* = к (т +1) ,

'/£ * л

е* т -1

откуда находим зависимость погрешности * к (т +1) *

е = —--- е

е1 1 е2 т -1

(7а)

(7б)

Зависимость (7б) показывает, что погрешность

*

стандартного регулирования е* в к - раз выше по*

грешности е симметричного критерия, соответствующего нулевой мере при оптимальном регулировании, когда переменная в пределе стремится к единичной норме.

Эффективность по нелинейности Т] найдем из со* *

поставления выражения ] к эквиваленту ] [1] согласно системе уравнений

Т = Т* =

т -1 т 2

т +1

(8)

Из отношения уравнений системы вычислим эффективность ] по нелинейности регулирования

(т - 1)(т +1)

Т =\ = Т 2т

откуда находим зависимость нелинейностей

т2 -1 .

(8а)

Т =■

2т

Т.

(8б)

Из анализа зависимости (8б) следует для предельного значения переменной т = 1 и оптимального эквивалента = 1 приближение стандартной нелинейно*

сти т = 0 к нулю, что противоречит автоматическому регулированию в адаптивном диапазоне аналитического контроля.

Количественная оценка для предельной закономерности т ^ 1 сведена в табл. 6 и 7, отражающие по* * * *

грешности е* и е* , нелинейности и и эффективности по точности Т и нелинейности ] .

*

1

е

2

приближающихся к 1, эффективность по точности резко уменьшается.

На рис. 6 показан график эффективности по точности. -од

Из анализа рис. 6 следует, что наибольшей эффективности регулирование достигает при

значениях ш, близких к 0,9 и 1,1. При значениях ш, Рис. 7 Эффективность по нелинейности

Таблица 6

Стандартный критерий

ш 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

еь % 0,89 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

ш 1,1 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1

8!, % 1,099 1,089 1,079 1,069 1,059 1,049 1,039 1,029 1,019 1,009 0,99

Таблица 6.1

Эффективность по точности

ш 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

Ле -9,5 -10,6 -12 -13,8 -16,1 -19,5 -24,5 -32,83 -49,5 -99,5 0

ш 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1

Ле 0 100,5 50,5 33,83 25,5 20,5 17,16 14,79 13 11,61 10

Таблица 7

Симметричный критерий

ш 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

82, % 0,84 0,22 0,17 0,13 9,57-2 6,28-2 4,17-2 2,32-2 1,02-2 2,53-3 0

ш 1,1 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1

82, % 0,23 0,19 0,15 0,11 8,48-2 5,95-2 3,85-2 2,18-2 9,8-3 2,48-3 0

Таблица 7.1

Эффективность по нелинейности

ш 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

Л -0,08 -0,078 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,019 -0,01 0

ш 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1

Лл 0 0,01 0,02 0,03 0,042 0,053 0,07 0,08 0,09 0,1 0,12

Анализ табл. 6 и 7 численно доказывает низкую точность стандартного критерия из-за неопределенности нелинейности (табл. 6), требующего подстройки фиксированного коэффициента П-регулирования в диалоговом режиме оператора, исключающей автоматизацию адаптивного контроля, в отличие от симметричного критерия с гибким регулированием в адаптивном диапазоне автоматического контроля за счет оптимизации (табл. 7) относительной погрешности и нелинейности к нормируемым эквивалентам, соответствующим нулевой и единичной мере, согласно аналитическим закономерностям оптимизации.

ВЫВОДЫ

1. Структурную оптимизацию микропроцессорных средств и компьютерных анализаторов определяют законы регулирования посредством параметрической оптимизации коэффициентов динамических характеристик, которыми служат аппаратно управляемые коэффициенты ПИД-регулирования. Это нивелирует гибкость архитектуры, универсальность математического обеспечения и эффективность метрологических средств интеллектуальных систем безопасности, ограничивая их до уровня жесткой структуры с фиксированной градуировкой примитивных тестеров с регламентированной точностью стандартных измерений в узком диапазоне регулирования.

2. Алгоритм вычисления погрешности прецизионного критерия представляет квадрат отношения разности измерений к нормированному по симметрии эквиваленту их суммы.

3. Проведен сопоставительный анализ мер оценок эффективности по мультипликативно-симметричному, интегральному и прецизионным критериям для анализа эффективности каждой меры, из чего ясно, что прецизионный критерий лучше по погрешности интегрального в 4 раза, а МСК - в 1,3 раза, по оперативности лучше интегрального в 6,25 раза, МСК - в 3,13 раза.

4. Анализ степенных критериев показывает наибольшую эффективность по погрешности (в 2,3 раза) и времени выхода на режим (в 3 раза) соответственно с увеличением степени.

5. Показана низкая точность стандартного критерия из-за неопределенности нелинейности, требующего подстройки фиксированного коэффициента П-регули-рования в диалоговом режиме оператора, что исключает автоматизацию адаптивного контроля.

6. Доказана высокая эффективность симметричного критерия с гибким регулированием в адаптивном диапазоне автоматического контроля за счет оптимизации относительной погрешности и нелинейности к нормируемым эквивалентам, соответствующим нулевой и единичной мере, согласно аналитическим закономерностям оптимизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глинкин Е.И. Техника творчества: монография. Тамбов: ТГТУ, 2010. 168 с.

2. Коробов А.А., Глинкин Е.И. Меры оценки регулирования температуры // Комплексные проблемы техносферной безопасности: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Воронеж: ВГТУ, 2014. Ч. 1. 254 с.

3. Глинкин Е.И. Оптимальные меры оценки эффективности // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 6. С. 1863-1869.

Поступила в редакцию 3 апреля 2015 г.

Korobov A.A., Gamova L.G., Glinkin E.I. MEASURE EVALUATION OF EFFECTIVE REGULATION

The analysis of the measures of effectiveness of assessments multiplicative and symmetric, integral and precise criteria for the optimal control of dynamic characteristics for the automatic control of microprocessor of measuring means in the adaptive range.

Key words: measures of evaluation; the effectiveness of control; automation of microprocessor means; symmetrical and precise criteria.

Коробов Артем Андреевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра биомедицинской техники, e-mail: korobov91@gmail.com

Korobov Artem Andreevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Bio-medical Technics Department, e-mail: korobov91@gmail.com

Гамова Людмила Геннадиевна, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, Российская Федерация, кандидат биологических наук, доцент кафедры биомедицинской жизнедеятельности и основы медицинских знаний, e-mail: bmt@nnn.tstu.ru

Gamova Lyudmila Gennadievna, Yelets State University named after Ivan Bunin, Yelets, Russian Federation, Candidate of Biology, Associate Professor of Biomedical Life and Basis of Medical Knowledge Department, e-mail: bmt@nnn.tstu.ru

Глинкин Евгений Иванович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор кафедры биомедицинской техники, e-mail: bmt@nnn.tstu.ru

Glinkin Evgeniy Ivanovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor of Bio-medical Technics Department, e-mail: bmt@nnn.tstu.ru