Мера включения Хэмминга вероятностного распределения в нечеткий интервал Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. S.Kirkpatrick, C.Gelal and M.Vechy. Optimization by simulated annealing. Science, v.220, pp.671-680, 1983.

УДК 519.237.8

А.Г.Броневич, А.Н.Каркищенко I МЕРА ВКЛЮЧЕНИЯ ХЭММИНГА ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В НЕЧЕТКИЙ ИНТЕРВАЛ

Введен не

В „,сто»щ<* .рем. важное ».че»«е приобрел*. проблем. “’»«“*

-««до. обР.б^» .-mo*„ss;

неопределенное™, к которым можно от"^“ у мког11е „„т™, необходимость, нечеткость и т.д. Как призна „ Г11 к-птппой

основополагающей в этой области является работа^^ ефер , qto

излагается единая точка зрения на неопрадсленн неопоелеленности

распределение уверенности. Оказалось, что введенное огл ^..... может

обобщает и одновременно вклю iusi классическую вероя Последние

быть представлено с помощью так называема* с!1учакных множе^ть ^.По^едн^

Результаты позволили по-новому взглянуть на теорию н® положения Г31 в

возможностей, теоретически обосновать многие изв оанее в теории

частности, принцип обобщения, правило Демпстера, р

нечетких множеств были введены эвристически. П.'ПЛЯТНОСТНЫХ

Данная статья посвящена проблеме классификации в^ятн^ых

распределений, которая в той или иной форме воэника р и в заДачах связанных с необходимостью принятия Ре^ни аГ классификации лежит технического проектирования [4]. В основе мет н(,„ет*ий интеовал.

Построение меры включения вероятиостиых распрсде!!^ об батыв{уощиж как

которая оказывается необходимой для систем упр ■ ба.иоуется на

нечеткую так и статистическую информацию. Дакн^ мера ба ,,фуе^на

популярной в приложениях метрике Хэмминга. Введ оазмытых границ

отличается от предложенной в [3] и учитывающей тольк ф

нечетких множеств. _-_-UUT и НИЖНИХ

Предложенный подход основан на “сп°^ЬЗ°ис“Нязанных с ними семейств вероятностей в теоретико-возможностной додели чные условия

•«Ролтностных »«рР В р«бо1е найдены КСРТ.

Включения вероятностного распределен™i в нечетКой классификации

позволяют построить новую нетрадиционную У кие вероятностные и Распределений. Эта схема эффективно сочетает нечеткие методы.

Определения и постановка задачи

Пусть X - измеримое пространство, на котором задана а-алгебра событий

А • Произвольное нечеткое нормальное поя“"°*е^®^гкимС интервалом. С. этим принадлежности f4.x) мы также будем называт

интервалом будем связывать меру возможности ЯШ(Л)-зир М* и меру необходимости N№S( А)= inf (l - /X*))- Л е А.

х*А

Пусть на O'-алгебре А также определено некоторое множество вероятностных мер Р = {/^} - Учитывая, что меры возможности и необходимости и^ ■ смысл верхних и НИЖНИХ вероятностей, условие ВОЗМОЖНОСТНОГО ВКЛ1 .ения С произвольного вероятностного распределения Pj в F можно определить следующим образом:

<=> V /4 е A, NESS(A)< Pt(A)^ POSS(A). (I)

Задача нечеткой классификации вероятностных распределений заключается в построении меры включения С' F) e[0,l], с помощью которой можно оценить степень возможностного включения произвольного вероятностного распределения Pj €iP в нечеткий интервал F

Исследование отношения включения

Как показывает анализ, условие возможностного включения (1) вероятностных распределений может быть существенно упрощено. Для этого введем в рассмотрение вероятности ^-срезов А(р)= {х е Х\ /i( дг) > 1 - р} нечеткого

интервала F Тогда необходимое и достаточное условие возможностного включения может быть сформулировано следующим образом.

Теорема 1 .Для того чтобы Pt с F, необходимо и достаточно, чтобы для любого

р e[0,l] выполнялось.неравенство Р, {А(р)} £ р.

Таким образом, условие возможностного включения согласно утверждению теоремы 1 определяется только вероятностями событий А(р). Это позволяет

описывать произвольное вероятностное распределение Р\| при решении нашей

задачи, задавая лишь вероятности Р\ {А(р)}.

Пусть теперь для вероятностного распределения Р\ известны только

вероятности Р\ , тогда для любого события В е А можно получить оценки

верхних и нижних вероятностей следующим образом

sup inf [1 - Л,{Л(/>)}]. (2)

Р\КР) ей р\ОпЛ(р)=0

Легко видеть, что полученные оценки нижних и верхних вероятностей, как и следовало ожидать, являются по определению мерами необходимости и возможности. Следующая теорема позволяет выразить условие возможностного включения в традиционной аксиоматике нечетких множеств.

Теорема 2. Пусть F\ нечеткое подмножество пространства X определяющее распределение возможностей (2), тогда Ь\ с F в том и только том случае, если Pi с F

Последняя теорема позволяет говорить1, что мера включения У*{Р\ S /•’) должна показывать степень включения нечеткого подмножества /*| в F

Лемма. Пусть /J\(x) - функция принадлежности нечеткого подмножества /*j. тогда

М](*)~ Л {>' e Х\ ti(y)Zfj(x)}

Рассмотрим меру близости Хэмминга между произвольными вероятностными распределениями Р\ и Я», определенными на (7-алгебре А ,

J(PxJ>1) = 2s\iV\Px(A)-P1(A)\.

АеА

Отметим, что мера включения будет удрвлетворять всем необходимым евцйствам, когда ИЛс^)=* в том и только том случае, если Р\ с F Последнее позволяет определить меру включения как продолжение меры близости Хэмминга следующим образом

d(Px,P,)=l- inf sup\РХ(А)-Р,{А)\.

PlCF FtzFAeA

Как показывает следующая теорема, мера включения Хэмминга достаточно просто выражается через функции принадлежности нечетких множеств Fl и f'2-

Теорема3. y(F, cF)=l-sup[/i1(x)-/<(x)].

хсХ

Последняя теорема' дает решение поставленной задачи нечеткой классификации вероятностных распределений. Статистическую оценку меры включения Iff по обучающей выборке S = (*) ,Xj , ) вероятностного

распределения /j можно получить по следующей формуле

¥^Pi Qf)= 1-max [ы ,(х, ЬМ*/)] •

Можно показать, что данная статистическая оценка меры включения’сходится по вероятности клистирному значению.

ЛИ i ЕРАТУРЫ

1. Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton: Princeton Univ. Press, 1976. -297 p.

2. Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных Множеств. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. -М.: Радио и связь, 1986, с. 241*264.

3. Дюбуа Д. Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. -М.: Радио и связ^, 1990. -288.

4. Борисов А.Н.. Алексеев А.Б., Меркурьева 1 .В. и др. Обработка нечеткой информаций в системах принятия решений. -М.: Радио и связь, 1989. -304 с.

5. Прад А. Модальная семантика и теория нечетких множеств. Нечеткие Множества и теория возможностей. Последние достижения. -М.: Радио и связь, •986, с. 161-177.

УДК519.24

Вовк С.П. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОБРАБОКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ

Лингвистическая переменная "рейтинг" согласно /1/ описывается тройкой \Р> Т, X}, где Р - наименование лингвистической переменной, Т - множество ее рачений (термов), представляющих наименования расплывчатых переменных, областью определения каждой из которых является множество X. В качестве термов могут быть выбраны расплывчатые переменные "высокий", "средний", Малый".