Использование лингвистических переменных для обрабоки результатов обучения при рейтинговой системе оценки знаний Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отметим, что мера включения будет удовлетворять всем необходимым евцйствам, когда ИЛс^)=* в том и только том случае, если Р\ ç F Последнее позволяет определить меру включения как продолжение меры близости Хэмминга следующим образом

«* d(Px,P,)= 1- inf sup\РХ(А)-Р({А)\.

PleF FtzFAcA

Как показывает следующая теорема, мера включения Хэмминга достаточно просто выражается через функции принадлежности нечетких множеств Fl и f'2-

Теорема3. y(F, cF)=l-sup[/i1(x)-/i(x)].

хсХ

Последняя теорема' дает решение поставленной задачи нечеткой классификации вероятностных распределений. Статистическую оценку меры включения Iff по обучающей выборке S = (xj ,Xj , ) вероятностного

распределения /j можно получить по следующей формуле

¥^Pt QP)= 1-шах [«,(*/ ЬМ*/ )].

Можно показать, что данная статистическая оценка меры включения’сходится по вероятности клистирному значению.

ЛИ IЕРАТУРЫ

1. Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton: Princeton Univ. Press, 1976. -297 p.

2. Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных Множеств. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. -М.: Радио и связь, 1986, с. 241*264.

3. Дюбуа Д. Прад А. Теория, возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. -М.: Радио и связ^, 1990. -288.

4. Борисов A.H.. Алексеев А.Б., Меркурьева ! .В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. -М.: Радио и связь, 1989. -304 с.

5. Прад А. Модальная семантика и теория нечетких множеств. Нечеткие Множества и теория возможностей. Последние достижения. -М.: Радио и связь, •986, с. 161-177.

УДК519.24

Вовк С.П. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОБРАБОКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ

Лингвистическая переменная "рейтинг" согласно /1/ описывается тройкой \Р> Т, X}, где Р - наименование лингвистической переменной, Т - множество ее рачений (термов), представляющих наименования расплывчатых переменных, областью определения каждой из которых является множество X. В качестве ^®Рмов могут быть выбраны расплывчатые переменные "высокий", "средний", Малый".

»

Каждая из приведенных расплывчатых переменных представляет тройку (а,Х,С^, где а наименование расплывчатой переменной, X область ее

определения, С = |(/<с(х)/х^|, х X расплывчатое подмножество в X, описывающее ограничения на возможные значения расплывчатой переменной а Под субъективной мерой /¿с (х), как правило, понимается определяемая опросом экспертов степень соответствие элемента х понятию, формализуемому

расплывчатым множеством С.

Для построения* функции принадлежности расплывчатых множеств выбран косвенный метод, что позволяет снизить субъективное влияние эксперта на результаты построения функции принадлежности. При наличии большого объема статистических данных о контролируемом объекте для построения функции принадлежности расплывчатых переменных может быть использован метод построения функции принадлежности по статистическим данным. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается /1/ оценка частоты использования понятия, задаваемого расплывчатым множеством, для характеристики объекта.

Любая лингвистическая переменная, как и все ее значения, связана с конкретной количественной шкалой. Шкала разбивается на отрезки, по которым собирается статистикао том, насколько часто преподаватель-эксперт употреблял определенные нечегкие переменные для выражения своего представления о студенте.

Оценки частоты использования нечетких переменных "высокий", "средний", "малый" для лингвистической переменной "рейтинг" представлено в табл. I.

Для обработки статистических данных используется матрица подсказок /2/. Элементы матрицы подсказок вычисляются по формуле:

/ __________

* у 1*»А

/-1

где } - номер интервала;

/ количество нечетких переменных, используемых для описания лингвистической переменной;

Ьу - оценка частоты использования нечеткой переменной на интервале.

Матрица подсказок представлена в табл. 1.

Таблица 1_______________________________________________________________

Значение Инте рвалы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0-0,5 0,5-1 1-1,5 1,5-2 2-2,5 2,5-3 3-3,5 3,5-4 4-4,5 4,5-5

"высокий" 0 0 0 0 0 0 1,5 19,5 24,5 112,5

"средний" 0 0 0 0 0 0 14 36 55 15

"малый" 61,5 6,5 7,5 38 35 51 68 73,5 8 0

61,5 6,5 7,5 38 35 51 83,5 129 87,5 127,5

аУ "высокий" 0 0 0 0 0 0 2,3 19,5 36,1 113,8

"средний" 0 0 0 0 0 0 21,6 36 81,1 15,2

"малый" 129 129 129 129 129 129 105 73,5 11,8 0

"высокий" 0 0 0 0 0 0 0,02 0,17 0,32 1

"средний" 0 0 0 0 0 0 0,27 0,44 1 0,19

"малый" 1 1 1 1 1 1 0,81 0,57 0,09 0

В матрице подсказок (табл.1) определяется максимальный элемент ШхЛ Ьцк„

к = шах к,и все элементы табл. 1 преобразуются по формуле:

пнос )

Оу - —~------------. I = 1./.У “

]

Для столбцов с ^ = О применяется линейная аппроксимация:

_ <*/,/-1 +«/,/+1 .

Результат преобразований представлен в табл. 1.

Для построения функций принадлежнос^й термов находятся максимальные элементы по строкам табл. 1.

а«п»х = шаха,;, / = 17, у = 1,7.

Функция принадлежности вычисляется по формуле:

а9

Му --------------

шах

Результаты расчета сведены в табл. I.

На рис.1 показаны функции принадлежности нечетких значений лингвистической переменной "рейтинг" после обработки эмпирической таблицы.

Рис. 1 .функции принадлежности значений лингвистической переменной ’рейтинг"

Таким образом, лингвистическая переменная "рейтинг' описывается тройкой

^"рейтинг", Г,/»,

где Т*= {"высокий", "средний", "малый"),

-0={О;О,5; I; 1,5;2;2,5;3;3,5;4;4,5;5}.

Исходя из данных таблицы терм "малый" описывается нечеткой переменной

'‘'"малый", 0,С> с расплывчатым множеством С ={<1/0.5>, <1/1.0>, <1/1.5>, <1А2.0>, <1/2.5>, <1/3.0>, <1/3.5>, <1/4.0>, <1/4.5>, <1/5.0>). Термы "высокий",

средний" описываются аналогично.

Использование нечетких множеств с функциями принадлежности, построенными в результате обработки статистических данных, имеют существенней недостаток.изменение размера предметной шкалы требует корректировки нечетких множеств, описывающих значения лингвистических беременных. Во избежание повторного экспертного опроса воспользуемся

переходом к универсальным предметным шкалам измерения значений лингвистической переменной /3/.

Приведение лингвистической переменной в соответствие с изменяющимся размером предметной шкалы производится с помощью корректировочной функции отображения к при постоянном базовом терм-множестве.

Функция отображения определляется в результате экспертного опроса относительно соответствия понятий универсальной шкапы точкам предметной шкалы и наоборот. Из-за невозможности учесть в модели все условия, влияющие на выбор правильного решения V конкретной ситуации, при управлении сложноформализуемыми процессами используется множественная функция отображения я — \ ,л^ ,^т}-Для оценки степени уверенности в правильности

построения функции отображения вводятся шкалы я т, каждой из которых соответствует степень уверенности правильности отображения Е(ят). Множественная функция отображения я для лингвистической переменной "рейтинг" приведена на рис.2.

Воспользовавшись функцией ображения Л" (см. рис. 2), получаем следующую интерпретацию рейтинговому числу 4,7:

Представление лингвистической переменной в виде совокупности термов поэволя ее дальнейшее использование для оценки ситуации в которой находится о ;емый в каждый из моментов контроля.

1

0,9 0,8 ■ 0,7 ■ 0,6 • ц 0,8 ■ ■ 0,4 0,3 • 0,2 ■ 0,1 • ■ 0

раіімг

- "практически всегда" соответствует ¡г\(Е(/Г\) = |)

- "часто" соответствует л2 (¿(л1!) - ^7)

- "редко" соответствует я у (А'(л-3 ) = 0,3)

Рис.2. Переход от четкого значения "рейтинг" к расплывчатому

ЛИТЕРАТУРА

1. Заді Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к

принятию приближенных решений. М., "Мир", 1976.

2. Борисов А Н.. Крумберг O.A.. Федоров И.П. Принятие решений на основе

і'е'ччких моделей. Рига, "Зинатне", 1990.

Мелихов А Н. Берштейн Л.С.. Коровин С.Я. Расплывчатые ситуационные

модели принятия решений. Таганрог, ТРТИ. 19К6.

^ДК 658.512.2

А.З. Файзуллнн ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗНАНИЙ В АЛГОРИТМЕ РАЗМЕЩЕНИЯ

'^днои из процедур алгоритма размещения является установка объектов внутри ра;.іченной области. Установка объектов в алгоритмах размещения °сУшес..ляется различными способами. Например, в работе [I] установка объекта производи:^ в соответствии со знаниями о сопряжениях объектов, а в работе [2] "бъекты устанавливаются случайно. Применение знаний п алгоритме размещения “редогвращает появление пересекающихся объектов, и. иедовательно, сокращает

сРоки проектирования.

Для генерации и использования знаний о сопряжении объектов в алгоритме

Размещения необходимо решить проблему формализации этих знаний.

Допустим, что объекты представляются произвольными многоугольниками. ’ многоугольника, количество вершин которых равно N и М соответственно,