Механохимическая коррозия полого цилиндра из идеального упруго-пластического материалапод действием постоянного давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3

Ю. Г. Пронина

МЕХАНОХИМИЧЕСКАЯ КОРРОЗИЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА ИЗ ИДЕАЛЬНОГО УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ*

1. Введение

В данной работе рассмотрена равномерная поверхностная коррозия длинного толстостенного полого цилиндра из идеального упруго-пластического материала Прандт-ля. Начиная с 1967 г. [1] появилось много работ, посвященных изучению механохими-ческой коррозии элементов трубопровода. В книге [2] представлена система уравнений, описывающая равномерную коррозию толстостенной трубы из упруго-пластического материала с линейным и степенным упрочнением под действием внутреннего давления. Там выбрана экспоненциальная зависимость скорости коррозии от уровня среднего напряжения. Однако согласно [3-5], все опытные данные указывают скорее на линейную зависимость скорости равномерной коррозии от напряжений. Многочисленные исследования в этой области проведены учеными саратовской научной школы механиков под руководством И. Г. Овчинникова и В. В. Петрова. В работе [4] построена модель коррозионного износа толстостенного трубопровода с учетом физической нелинейности и неравномерного нагрева. Обзоры работ по указанной теме можно найти в [4], [6].

В настоящей статье дано точное решение поставленной задачи в рамках линейной теории. При этом учитывается возможность затухания коррозии во времени (при образовании плотной пленки продуктов коррозии) и изменение механических характеристик материала цилиндра.

2. Постановка задачи

Рассматривается плоская деформация длинного толстостенного полого цилиндра, находящегося под действием внутреннего рг и внешнего рд давления коррозионных сред. Его внутренний и внешний радиусы в начальный момент времени Ь = 0 обозначены соответственно через г о и До. Под действием среды материал цилиндра корродирует равномерно по внешней и внутренней поверхностям, т. е. его поперечное сечение меняет свои размеры, оставаясь при этом концентрическим кольцом. Через промежуток времени Ь его внутренний радиус увеличивается от го до г = го + дг, а внешний радиус уменьшается от До до Д = До — д д- Обозначим скорость коррозии материала цилиндра с внутренней стороны через , а с наружной — через «д. Согласно [3], [5] наилучшее совпадение с экспериментальными данными обеспечивается следующими выражениями для скоростей коррозии:

Уг = 4Г°1 6Г] = К + тг<71^ при |СТ1(г)| > |, (1)

ш = = [ад+тдСТ1(д)]еХр(_й) при |СТ1(Д)| ^ (2)

аЬ

Здесь Ь,аг,а д,тг,т д — константы, определяемые опытным путем, причем аг = «Г — тга1гн, ад = «Д — т даД^; а^1, аД —пороговые напряжения (различные для

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-01-00274, 06-01-00171). © Ю.Г.Пронина, 2006

сжимающих и растягивающих усилий); V—начальные скорости коррозии при 1°"1(г)1 < \агН \, < \ад\, а1 —максимальное нормальное напряжение.

3. Вывод основного разрешающего уравнения

Решение плоской задачи теории упругости о толстостенной трубе, находящейся под действием наружного и внутреннего давления, принадлежит Ламе. Из решения Ламе ясно видно, что в случаях, когда то = 0, рг = 0, рд = р или рг = рд = р в рассматриваемом теле реализуется однородное напряженное состояние аде = арр = -р, на которое скорости коррозии не оказывают никакого влияния вплоть до исчерпания несущей способности тела. Рассмотрим кинетику напряжений, учитывая, что рг = рд. Из решения задачи Ламе следует, что максимальным нормальным напряжением является окружное напряжение аее(р). Здесь р и в — соответственно полярные радиус и угол точек поперечного сечения цилиндра. Наибольшего по абсолютной величине значения напряжение достигает на внутренней поверхности трубы (р = т). Поэтому в качестве основной переменной, характеризующей напряженное состояние тела, выберем напряжение аее(т) = аг(т):

п2 + 1 п2 (г)=Рг~п-7-2рн^--, (3)

п2 — 1 п2 — 1

где

К Ко — Зд

Ц= — =-—Т-- (4)

т то + ог

Из выражения (3) следует обратная зависимость:

Д | 2{рг-рп) / сп (г)+рг ^

У сп(г) -Рг + 2рн У сп(г) -Рг + 2рн'

В начальный момент времени г = 0

см 0/ N Уо +1 о До

°Аг)к=о = °1{г)=Рг——7-2Ря——-, щ = —. 6

По — 1 Пб — 1 то

Исследуем сначала случай, когда напряжения аг(т), а\(К) в начальный момент времени больше заданных пороговых значений: а(т)\ > а^!, \а0(К)\ > \ад!■

Используя решение Ламе, напряжение а\(К) несложно выразить через ах(т):

2 п2 + 1

а1(Н)=рг—-- —рп—^-- = сп(г)-рг +рн- (7)

п2 — 1 п2 — 1

С учетом соотношения (7) зависимость (2) можно переписать в виде ¿[Ко — Зд]

¿г

— [Ад + шда1(т)]вхр(—Ы), Ад = ад — тд (рг — рд). (8)

Находя из формул (1) и (8) напряжение аг(т) и уравнивая полученные выражения, а затем интегрируя полученное уравнение по г от 0 до г с учетом (5) получаем

тд (г0 + [ехр(—- 1] ) + тог (Д0 - —у [ехр(-Ы) - 1]

го + Зг =-^-=*--=Ь-(9)

птг + тд

Дифференцируя выражение (3) по времени и проводя соответствующие преобразования с использованием соотношений (1), (4), (5), (8) и (9), приходим к следующему дифференциальному уравнению кинетики напряжений [7]:

da!(г) _ vViM +Pr][vi(r) ~Pr + 2pR]

dt

Pr - PR

[Ar + m до~1 (r)] у/a i (r) - pr + 2pñ + [ar+mra1 (г)] yjai(r)+pr ^

rriR | r0 - — ) + mr

я +ÁR

tí o H--г

—b

fl.+ \ I ar AR

exp(bt) + mR— ~ mr—^

x mr\Jai{r) +pr + mR\Jai{r) - pr + 2pR . (10)

x

a

4. Решение основного уравнения

Разделяя переменные и интегрируя уравнение (10) по Ь от 0 до Ь и по а\(т) от а0(г) до а! (г), имеем

í = -j- ln < mR^-mr—j- > --j- ln<j (mRr0 + mrR0) exp

) bF{<j\{r))

mR\r0- j - mr (ño + 4f ) Ь

где

<Л (r)

f(ai(r)) = (pr - pr) j

T°(r)

Vi<Jí(r) -Pr][vi(r) +Pr - 2Pr]

[Ar + rriRai (г) [л/ai (r) - 2рд + [аг + mro"i (г)] v^iW - pr

dai(r)

mryjai(r) -pr + mRy/<7i(r) - 2pñ

В качестве примера исследуем кинетику напряжений в длинной цилиндрической оболочке под действием только внутреннего давления агрессивной среды: pr = 0, aR = mR = 0. Из (8) вытекает, что Ar = 0. Значения ro, Ro, pr, ar, mr, а следовательно (см. (6)), и a'°(r), no считаются известными. В этом случае уравнение (10) после некоторых преобразований принимает вид

1

da i (r)

dt pr R0 exp(bt)

[mrai (r) + ar] [ai (r) + pr] y/cri(r)2 -p2r.

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение по Ь от 0 до Ь и по а\ (г) от а0 (г) до а 1 (г), получаем

¿ = --^1п{1 - №(>1(г))} при 6^0, (12)

b

t = F(а 1 (r)) при b = 0,

(13)

где

1

х

1

— при Рг >

Р Ыт))

Ко

1а1(т) - рг 1

--+

0,г - ШгРт \ V а1(т) + Рг ПО

+

Рг

2 2 / 2 рг — аг1тг аг

ах(т) + аг/тг тг агсвш ——---

Рг

рГ - а2г/™2

Рг

у/р2 — аЦт2

+

аг \

. а0(т) + аг/тг тг

агсэт —---

Рг

- и при Рг <

Р Мт)) =

Ко

1а1(т) - Рг 1

--+

+

Рг

Рг

^ а2/т2 —р1

1п

аг - тгРг \\1 а 1(т) + Рг По

р2г +а1(г)аг/тг - ^(а^/т2 - р2)([о~1 (г)]2 - р2) ах(т) + аг/тг

1п

Рг +<г1(г)аг/тг - у^а^/то2 - р2)([о~?(г)]2 -р2) а0 (т) + аг/тг

Здесь учитывается выбор возрастающей ветви функции агсвш и действительной ветви функции 1п.

а

г

т

г

г

а

г

т

г

5. Долговечность трубы при хрупком разрушении

Для определения долговечности Ь* цилиндра при хрупком разрушении необходимо в выражение (11) подставить в качестве а\ (т) его предельное значение а8. Поскольку с течением времени под влиянием агрессивных сред механические свойства материалов меняются [8], а8(Ь) есть функция времени. В этом случае уравнение (11) определяет долговечность оболочки в неявном виде.

При воздействии различных веществ (водорода, водородсодержащих газов, воды, спирта, ионизованных газов и др.) происходит адсорбционное снижение прочности металлов [9]. При ассимптотическом стремлении предельного напряжения от начального значения а0 (при Ь = 0) к значению а* (при Ь ^ ж) эмпирическую зависимость а8 от времени можно аппроксимировать, например, выражением

ав = а* [1 + 7ехр(-ЬЬ)], а0 = а*(1 + 7). (14)

Здесь а°,а*— экспериментально получаемые константы.

С другой стороны, при высоких температурах или большом гидростатическом давлении (с наружной и внутренней сторон) может происходить повышение предела прочности материала [10].

В сложных случаях получить явную формулу для оценки долговечности цилиндрической оболочки под давлением агрессивных сред достаточно трудно, однако ее можно

определить графически. А именно, теоретический момент разрушения определяется точкой пересечения кривых изменения предела прочности материала и изменения напряжений во времени.

6. Частный случай

Пусть скорости коррозии материала меняются во времени и не зависят от напряжений. Это справедливо для нейтральных и слабощелочных сред, а также в случаях, когда начальные напряжения меньше пороговых значений [3, 5]. Тогда

V0

уг = V®. ехр(—Ьг£), 5Г = -^-[1 — ехр(—Ьг£)],

ъв, = «д ехр(-М), 5п = -£[1 - ехр(-М)],

Ь я

(15)

где vR, vR — скорости коррозии в начальный момент времени £ = 0. Внося эти зависимости в соотношения (3), (4), получим

О"! (г) =рг-

До-^[1-ехр(-Ья*)] о

+

•го + ^Ч1-ехр(-М)]

До-Л-ехрС-Ьд*)]

о

V0

го + ~ ехр(—Ьг£)] Ь0

-2рк-

о

Д0-т^[1-ехр(-Ья4)]

о

V0

г0 + - ехр(-Ъгг)}

2 •

(16)

Пусть изменение предельного напряжения описывается зависимостью (14) и Ь0 = Ья = Ь. Тогда после некоторых преобразований уравнение (16) преобразуется к виду

со + с\х + С2Х2 + сзх3 = 0, (17)

где

х = ехр (-Ы),

ч0\2 ( ?;0

Vя\ I „ \ I „ ,о

с0 = (а* -рг+ 2рр) До--^ - (<т* +рг) г0 + -Ч ,

Ь

С1 = 2(<т*-Рг + 2РВ) До - + 2(<т* +рг) г0 +

ЬЬ

Vо0^ V0

ЬЬ

с2 = (а* -рг+2рк) (

-(v*+Pr)[f

+

+27а*

?>0 \ Vо

" П \ V т

ъ ъ

0

2

2

0

0

2

2

0

2

0

2

0

2

2

2

0

*

сз = ja

b J \b

Отсюда, долговечность цилиндрической оболочки определяется формулой

t* = —-— In х, 0 < ж < 1, (18)

—b

где x —действительный положительный (если не происходит мгновенного разрушения) корень уравнения (17).

При независимости предельного напряжения as от времени (y = 0), как видно из написанных формул, долговечность определяется как корень квадратного уравнения

(сз =0).

Например, если pr = 0, vr = 0, vr = const, as = const = a*, долговечность полого

,* = До . [EIEL _ m Пчрвнтп чтг» t* <- R° ~ Г°

цилиндра вычисляется по формуле I* = ^^рг^- — Очевидно, что I* < то есть долговечность меньше времени полного коррозионного растворен! Отсюда видно, что мгновенное разрушение происходит при ^

7. Долговечность трубы при переходе в пластическое состояние

Рассмотрим трубу из идеального упруго-пластического материала без упрочнения. Условие пластичности, по энергетической теории, имеет вид

1

(аРР - авв)2 + {?вв - О-гг)2 + (агг - арр)2 = СГу, (19)

где ау —предел текучести материала, а^ —интенсивность напряжений. Из решения Ламе непосредственно вытекает а^ (р) = а/3 \pR — рг \ ■ Отсюда с учетом фор-

мул (3), (4) находим аДг) = а/3 \pR — рг\ = |а].(г) +Рг\- Из сказанного следует, что интенсивность напряжений на внутренней поверхности трубы достигает предела текучести, когда

^3 \рк-рг\ - = |сг!(г) +рг\ = ау. (20)

г/2 — 1 2

Обозначим соответствующее этому моменту времени €у окружное напряжение через ау, а соответствующий внутренний радиус цилиндра через гу. Начиная с этого момента напряжение ах (г) перестает возрастать и остается постоянным: ах (г) = ау. Поэтому в общем случае скорость коррозии на внутренней стороне трубы становится равной

vr = vy exp(—bt), vy = ar + mray. (21)

С течением времени в следствие коррозионного растворения стенок трубы происходит дальнейший рост напряжений, и пластические деформации равномерно распространяются по толщине сечения от внутреней поверхности трубы к наружной. Радиус окружности, разделяющей упругую и пластическую зоны, обозначим через py : r ^ py ^ R. Определим, следуя [11], условия перехода всей трубы в пластическое состояние, при котором начинается неограниченное течение материала.

Приняв во внимание, что azz = (app + agg)/2, условие пластичности (19) можно записать в виде

\ае9 ~app\ = 2ay/V3. (22)

2

2

v0

R

Суперпозиция известного условия равновесия

Летрр орр — (Гее _ ^ ¿р р

длинного толстостенного цилиндра под действием давления и условия (22) приводит к дифференциальному уравнению

р

¿а рр

ар

Интеграл этого уравнения имеет вид [11]

2

ау.

\арр\ = — ау\пр + С. (23)

Обозначим давление пластической зоны на упругую через д. Тогда краевые условия для границ пластической зоны примут вид

арр(г) = —Рг, арр(Ру) = —д- (24)

Из уравнений (23), (24) несложно получить

= (25)

Перейдем к рассмотрению упругой зоны. Из условия (20) получаем

ау (.П/ру)2 - 1

(и/РуУ ■ (26)

Складывая уравнения (25) и (26), находим

Вся труба переходит в пластическое состояние при ру = Д:

2

VI

\рг-ря\ = — (ТуЫг]. (28)

Таким образом, для определения условий перехода всей трубы в пластическое состояние, необходимо решить систему уравнений (8), (21), (26), (27), (10). В общем случае она решается численно.

Если коррозионное растворение наружной поверхности трубы не зависит от напряжений или отсутствует, решение существенно упрощается. В этом случае согласно (15) имеем Д = До — /Ь[1 — ехр(— ЬЬ)]. Поэтому с учетом (21) получаем

_ ЬД0-4[1-ехр(-Й)] (29)

Ьгу + Vу [1 — ехр(—Ь(Ь — Ьу ))]•

Находя из (28) критическое значение п = пу и приравнивая его к (29), приходим к уравнению для определения момента Ьу перехода всей трубы в состояние неограниченного течения

1, (К+^)ехР(# к

ty = -- In--■=-. (30)

b v°R + vy ехр(ЪЦ) exp(^ \pr - pR|)

Здесь try вычисляется по формуле (11) (или, в частных случаях, по формулам (12), (13) или (18)) для ai (г) = ау = — рг, где берется со знаком «+» для растягиваю-

щих напряжений ai(r), и со знаком «—» для сжимающих; ry находится из (9) для п, соответствующего условию (20):

r

Пу =

(ту - л/3 Iрг - pr I

Последние формулы применимы, если ay = const. Однако следует учитывать, что предел текучести ay может меняться с течением времени [12]. Поэтому время достижения предела текучести на внутренней поверхности цилиндра определяется точкой пересечения кривых роста интенсивности напряжений и изменения предела текучести ay (t).

Для наглядного представления о долговечности рассматриваемого цилиндра введем две функции состояний:

ay ¿ay

где 0"i(r), ffi(r), ay —функции также зависящие от времени t,

(bry +vy[l- exp{-b(t - tp}]) exp( jg \pr-pR\) íh(t) = — =-Г5-Ion—„„„i L-tM-^ íyj. (31)

Функция ni(t) < 1 пока ai (r) < ay и ni(ty ) = 1, т.е. при ai(r) = ay. Функция n2(t) показывает время перехода всей трубы в пластическое состояние: n2(t) < 1 пока py < R и П2(ty) = 1, т.е. при py = R.

На графике сначала следует построить кривую ni(t) от t = 0 до момента ty, когда ni(t) достигает значения 1. Начиная с момента try строится кривая n2(t). Момент времени t = ty, когда П2 (ty ) = 1, соответствует переходу цилиндра в состояние неограниченного течения и характеризует в данном случае его долговечность. Если ay = const, то, очевидно, определяемый графически момент ty оказывается равным моменту, вычисленному по формуле (30).

На рис. 1 показаны примеры расчета долговечности трубы при переходе в пластическое состояние. Поскольку поведение кривых для различных начальных данных аналогично тому, что приведено на рисунке, численные значения не указаны. Сплошные линии соответствуют коррозии с относительно высокой скоростью, а линии из точек — коррозии с более высоким показателем b затухания. Кривые 1 и 3 соответствуют функциям ni(t), а кривые 2 и 4 — функциям n2(t). Моменты времени ti и ts показывают время try достижения предела текучести на внутренней поверхности цилиндра, а моменты t2 и t4 —время ty перехода цилиндра в состояние текучести по всей толщине. Если показатель b затухания коррозии достаточно высок, то кривая П2, а возможно

а

y

Рис. 1.

и Щ, выходит на горизонтальную асимптоту не достигнув своего критического значения, равного единице, т. е. коррозия прекращается до того, как достигнуто предельное состояние.

Summary

J. G. Pronina. Mechanochemical corrosion of an ideal elasto-plastic quill cylinder under the constant pressure.

The general uniform corrosion of an thick-wall tube under the pressure has been investigated with taken into account changes of corrosion rates and mechanical characteristics in time. An analitical solution of the problem has been derived in the term of the linear theory. Yield conditions of the cylinder under the pressure of aggressive environments have been found.

Литература

1. Долинский В. М. Расчет нагруженных труб, подверженных коррози // Химическое и нефтяное машиностроение. 1967. №2. С. 9-10.

2. Гутман Э. М., Зайнулин Р. С., Шаталов А. Т. и др. Прочность газопромысловых труб в условиях коррозионного износа. М.: Недра, 1984. 76 с.

3. Антикайн П. А. Металлы и расчет на прочность котлов и трубопроводов. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 368 с.

4. Наумова Г. А., Овчинников И. Г. Расчеты на прочность сложных стержневых систем и трубопроводных конструкций с учетом коррозионных повреждений. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2000. 222 с.

5. Павлов П. А., Кадырбеков Б. А., Колесников В. А. Прочность сталей в коррозионных средах. Алма-Ата: Наука, 1987. 272 с.

6. Овчинников И. Г., Хвалько Т. А. Работоспособность конструкций в условиях высокотемпературной водородной коррозии // Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2003. 174 с.

7. Пронина Ю. Г. Задача о толстостенной трубе, находящейся под давлением коррозионных сред // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПб., 2004. Вып. 8. С. 222-231.

8. Даль Ю. М. Разрушение твердых тел в агрессивных газах // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. Вып. 5. С. 827-829.

9. Берукштис Г. К., Кларк Г. Б. Коррозионная устойчивость металлов и металлических покрытий в атмосферных условиях. М.: Наука, 1971. 160 с.

10. Бетехтин В. И., Кадомцев А. Г., Кипяткова А. Ю. Пористость аморфных сплавов // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Вып. 3. СПб., 2000. С. 194-207.

11. Айбиндер А. Б. Расчет магистральных и промысловых трубопроводов на прочность и устойчивость. М.: Недра, 1991. 287 с.

12. Харионовский В. В. Диагностика и ресурс газопроводов: состояние и перспективы // Газовая промышленность. 1995. №11. С. 28-30.

Статья поступила в редакцию 10 ноября 2005 г.