Механизмы самофинансирования проектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.7.027

МЕХАНИЗМЫ САМОФИНАНСИРОВАНИЯ ПРОЕКТОВ

В.Н. Бурков, Ю.А. Карпов, В.А. Левочкин, Н.Ф. Мирзебалаев

Приведенные в этой работе механизмы самофинансирования позволяют проект-менеджеру наиболее полно использовать внутренние резервы проекта путем осуществления некоторых работ за счет прибыли, полученной от уже выполненных операций, сокращая при этом размеры собственных капиталовложений, но, разумеется, не увеличивая окончательную прибыль

Ключевые слова: менеджер, механизм, проект, финансирование

Введение

Одной из важнейших задач проект-менеджера (ПМ), занимающегося проблемой финансирования проекта, является минимизация суммарной величины вложенных средств, рисков, связанных с выполнением операций, а также, по воз*

можности, полного времени проекта .

Постановка задачи

Если до начала проекта сумма, имеющаяся в наличии у ПМ, превосходит суммарные затраты на весь проект, то имеющихся средств хватит на осуществление всех операций проекта в любой последовательности. В противном случае необходимо выработать оптимальную последовательность выполнения операций (времен их начала), позволяющую осуществить проект за счет имеющихся средств. Решить эту задачу и подобные ей позволяют методы, получившие название механизмов [1] самофинансирования.

Пусть Ь-я операция проекта описывается кортежем (4 а, т1, где а - затраты на 1-ю операцию, & -её доход, т1- её продолжительность. Следует заметить, что хотя обычно лишь выполнение целого комплекса мероприятий, в том числе всего проекта, приносит доход, но даже для некомерческих проектов выполнение конкретных операций может служить условием или мотивом дополнительного финансирования или стимулирования, что мы будем рассматривать как прибыль ё. В связи с этим выделим среди всех операций прибыльные, для которых ф-с > 0 или Ы >0, где Ь1 = 4 — с1 — прибыль, получаемая после окончания выполнения 1-ой операции, и убыточные, для которых Ь1<0. Задача ПМ состоит в частичном финансировании убыточных операций за счет прибыльных.

Рассмотрим идеальный случай, в котором не существует технологических зависимостей между

Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00

Карпов Юрий Александрович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Левочкин Владимир Александрович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Мирзебалаев Николай Федорович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

операциями, а, следовательно, время начала каждой операции не зависит от остальных, причем произвольное число операций может выполняться параллельно.

Пусть ^>0 - время начала 1-ой операции. Допустим, мы имеем дело с идеальным случаем, в котором отсутствует дисконтирование, и ПМ имеет возможность в любой момент времени получить беспроцентные кредиты в любом объеме, и пусть суммарная величина вложенных им в проект средств равна Я, тогда финансовый баланс центра в момент времени 1 имеет вид:

/ (/) = я - Е си (/ > ) + £ ё,1 (/ > г. +т),

1=1 1=1

(и > г,

где I (/ > /.) = < - функция-индикатор.

' [0./ <

Очевидно, что 1-ю операцию проекта, возможно, выполнить лишь в том случае, когда :Г (^) >

0. Поскольку время начала любой операции произвольно, то ОД >0, V1 е [0,Т], где Т - полное время осуществления проекта:

Т=тах {1 + т1}.

1=1,П

Простейшей оптимизационной задачей, стоящей перед ПМ, является проблема выбора последовательности осуществления операций, минимизирующей суммарную величину вложенных средств (то есть времен начала их выполнения), при этом ПМ не ограничен директивными сроками полной продолжительности проекта:

(Я ^ тш | к! (1) [ / (/) > 0, V/ > 0

Минимальная суммарная величина привлеченных средств достигается, очевидно, при последовательном [2] выполнении операций, то есть никакие две операции не выполняются одновременно; в этом случае полное время проекта не зависит от порядка их выполнения и равно:

п

т = Ет.

1=1

В этом случае задача (1) сводится к определению оптимальной последовательности операций, то есть такой последовательности, для которой величина вложенных средств будет минимальной.

Аналитический метод решения

Существует аналитический метод получения оптимального решения этой задачи.

Рассмотрим (п+1) вершинный граф, в котором нулевая вершина соответствует нулевой, фиктивной операции (со=0 и 4,=0), а остальные вершины 1,

2, ... ,п —реальным операциям проекта.

Реализация проекта каким-либо одним из возможных способов однозначно определяется некоторым гамильтоновым контуром д= (0, И, 12, ...,1п, 0). Оговоримся, что в дальнейшем для фиксированного гамильтонова контура ц. под 1-ой вершиной мы будем понимать вершину 11 и т.д.

Пусть под длиной дуги 1]] мы понимаем разность между затратами на выполнение >ой операции и доходом, полученным после завершения 1-ой операции: 1„= с^ ^. Таким образом, начало >ой операции, требующее затрат с], соответствует заходу некоторой дуги в вершину ], а окончание 1-ой операции, приносящее доход ^ соответствует исходу дуги из вершины 1. При отсутствии технологических зависимостей граф, очевидно, является полным и симметричным, и, в соответствии с введенным выше определением длины дуги, граф является псевдопо-тенциальным. По определению полный, (п + 1) -вершинный, симметричный граф называется псев-допотенциальным, если длина его любого гамильтонова контура равна одному и тому же числу. Действительно, вне зависимости от последовательности вершин (операций) гамильтонова контура суммарная длина дуг есть инвариантная (независящая от контура) величина

Е(с- ё).

1=1

]

Пусть Ы] (д) = Е (ск- &-1) - сумма длин

к=1

первых ] дуг гамильтонова контура д (номера операций для контура д -зафиксированы).

Тогда значение величины М] (д) есть нехватка собственных средств на выполнение ]-ой операции

]-1

при наличии прибыли ( Е Ь1) от ]-1 выполненной

1=1

операции. Это значит, что если М] > 0, то, чтобы покрыть затраты на выполнение ]-ой операции, эту сумму необходимо добавить из собственных резервов. Если же М] < 0, то уже вложенных раннее средств хватает на выполнение ]-ой операции. Таким образом, в терминах теории графов задача выглядит следующим образом: определить гамильтонов контур д, имеющий минимальное значение М(д) = тах М] (д).

]=1,п

Теорема

Существует оптимальное решение задачи М (д) —

> т1п, в котором сначала идут вершины с Ь1 > 0 в поряд-

ц

ке возрастания величин с1 , а затем вершины с Ъ1<0 в порядке убывания величин Ш. При этом:

к

т1п Ы (ц) = тах(с1,тах(ск+1 -Е Ь))

1<к<п ,=!

Доказательство.

Пусть д=(0,1,2,...,п,0)-оптимальный гамильтонов контур (решение задачи (1)). Обозначим М т1п = ттЫ(ц). В этом случае, поскольку

J-1

Mj (И) = Cj -t Ьі ,

i=1

M (и) = max Mj (и)

j=1,n

Mmin удовлетворяет системе неравенств:

(*)

Mmin - C1 Mmm + b1 - C2 Mmin + b1 + b2 - C3

Mmin + b1 + .... + bn+1 - Cn

Допустим, что в контуре д (оптимальном, то есть на нем достигается значение Мтш) найдутся две соседние вершины 8 и (8-1), для которых выполнено Ьв-1 < 0 и Ь8 > 0, тогда из (*) следует, что контур д1 = (0,1,2,... ,8,8-1,... ,п,0) - тем более будет оптимальным (это непосредственно следует из того, что контур д1 заведомо удовлетворяет системе неравенств (*)). А это означает, что всегда существует оптимальное решение (контур, на котором М(д) достигает минимума), в котором сначала обходятся все вершины і с положительными Ьі , а затем - с отрицательными (вершину і, для которой Ьі=0 можно отнести в любую группу).

Теперь допустим, что в контуре д найдутся две соседние вершины 8 и (8-1), для которых выполнено Ь8 >0 , Ь8-і > 0 и с8-1> с8, тогда гамильтонов контур д1=(0,1,2,... ,8,8-1,... ,п,0) -также является оптимальным, поскольку для него в этом случае тоже выполнена система неравенств (*).

Наконец, если Ь8-1 < 0, Ь8 <0 и 4^ < ^ ,то из (*) следует справедливость соответствующей системы неравенств для гамиль-тонова контура д1=(0,1,2,... ,8,8-1,... ,п,0).Это очевидно, так как Мтіп -Ь] + Ь2 + ...+ Ь8-1 > с8= 4 -Ь8, следовательно (Ь8 < 0)

Мтіп + ьі + Ь2 + ...+ Ь8-1 + Ь8> а8> ая.1.

Необходимо также заметить, что в случае, когда для нескольких прибыльных операций величины затрат совпадают, то в оптимальном варианте эта подпоследовательность операций выполняется в порядке уменьшения доходов. Аналогично для равнодоходных убыточных операций оптимальной является последовательность, в которой операции выполняются в порядке увеличения затрат.

Несложно построить экономическую интерпретацию системы неравенств (*): первое неравенство утверждает, что минимальная величина вложенных средств как минимум не меньше, чем затраты на операцию і1, выполняемую первой. Это естественно, так как никаких доходов от уже выполненных операций еще не поступало. После выполнения первой операции получена прибыль Ь1 и для осуществления второй операции требуется, чтобы минимальная величина вложенных средств и прибыль Ь1 были в сумме не меньше, чем затраты на

и

вторую операцию с2 (и т. д. для всех остальных операций).

Итак, в соответствии с результатом теоремы 1 оптимальное решение задачи (1) выглядит следующим образом:

— выделим прибыльные операции (для которых Ь1 > 0) и расположим их в порядке возрастания затрат (величин с1). В такой последовательности включим их в гамильтонов контур ц;

— добавим к полученной последовательности убыточные операции (для которых Ь1 < 0) в порядке убывания доходов (величин Ш).

Таким образом, в оптимальном варианте выполняются сначала все прибыльные операции (сначала наиболее дешевые и т. д.), потом все оставшиеся убыточные (сначала наиболее доходные и т.

д.).

Минимальная величина вложенных средств при таком алгоритме определения последовательности выполнения операций проекта составля-

к

ет: Ыт1п = тах[с1,тах(ск+1 -Е Ь)] ,что непосредст-

1<к<п ,.=!

венно вытекает из системы неравенств (*). Действительно, как минимум, придется оплачивать из собственных средств величину затрат на первую операцию (если при этом дохода от нее и других выполненных операций будет хватать на последовательную реализацию невыполненных), либо максимум по остальным операциям из нехватки собственных средств на их выполнение.

Возможна другая постановка задачи. Предположим, что ПМ, обладающему фиксированным значением начального капитала, необходимо минимизировать полное время выполнения проекта.

Тогда, в рамках сделанных выше предположений, задача (2) имеет вид:

T ^ min

I {T,}

(2)

[R = const, f (t) > 0, Vt > 0 Если ПМ обладает начальным капиталом R:

R > Е С , то задача (2) имеет тривиальное

i

решение (в котором все операции выполняются параллельно):

Т= max(xi}.

i

Если же R< Е ci, то в общем случае на се-

i

годняшний день не получено универсальных аналитических методов решения задачи (2). Даже при небольшом количестве операций число допустимых вариантов (последовательностей), полученных простым перебором, чрезвычайно велико. Поэтому, при решении задач сетевого планирования, используют методы целенаправленного перебора, ветвей и границ и др. Рассмотрим в качестве примера использование для решения задачи следующего эвристического алгоритма.

1. Определяем все комбинации операций, которые могут быть начаты (являются допустимыми с точки зрения бюджетного ограничения) в нулевой момент времени.

2. Для каждого из допустимых вариантов определяем в момент окончания одной из операций, какие из ещё не выполненных операций могут быть начаты. Если ни одна из операций не может быть начата, то для данного варианта ждём момента окончания следующей операции и т.д. до тех пор, пока все операции не закончатся и/или ни одна не сможет быть начата.

Применение шагов 1 и 2 даёт все допустимые с точки зрения балансового ограничения варианты (получаем дерево вариантов). Среди висячих вершин могут оказаться и те, которым соответствует выполнение не всех операций. Сравнивая продолжительности тех вариантов - висячих вершин, которые соответствуют выполнению всех операций проекта, определяем решение задачи - варианты минимальной продолжительности.

В общем случае описанный выше алгоритм является более эффективным, чем простой перебор, так как сразу отсеиваются неудовлетворительные варианты и не рассматриваются деревья, для которых они являются корневыми вариантами. Можно предложить другие эвристические алгоритмы численного решения задачи (2), быстродействие которых зависит от соотношения исходных параметров.

Пример. Рассмотрим теперь конкретную ситуацию применения методов самофинансирования в программах реформирования предприятий. Большинство российских предприятий в настоящее время нуждаются в проведении целых спектров мероприятий по реформированию в административной, технологической, маркетинговой и других сферах деятельности, однако, как правило, предприятия не имеют возможности самостоятельно [3] финансировать эти проекты по причине отсутствия оборотных средств.

В этих условиях администрация региона, безусловно заинтересованная в продуктивной работе максимально большого числа рентабельных предприятий, может сама финансировать проекты реформирования (каждый проект реформирования - это в рамках раннее введенной терминологии некоторая 1-ая операция, характеризующаяся затратами с1, доходом & и продолжительностью Т1), а может (что более реально в современных условиях) выступать в роли гаранта возврата кредита. В первом случае административный центр сам может воспользоваться уже полученными выше результатами, поэтому мы более подробно рассмотрим второй, мало изученный до сих пор случай. При этом мы считаем, что, гарантируя возврат кредита, центр имеет право определять планы выполнения работ. Рассмотрим следующую модель активной системы (АС), состоящей из центра (администрация региона) и п активных элементов (АЭ).

Пусть предприятия получают кредиты в банке, процентная ставка которого в единицу времени ао. Размером обеспечения кредита для простоты будем считать 100% его величины. Введем вели-

чину ai0= (drO/Q характеризующую рентабельность i-ой

операции и величину a!0 =( di-(l+ a0 ті) ci)/ci характеризующую ее приведенную рентабельность,

i є I={1,2,...,n} - множество активных элементов. Предположим, что по завершении каждой операции (в дальнейшем мы не будем различать проекты и операции, то есть составные части проектов, а это значит, что мы не рассматриваем никакие технологические ограничения, накладываемые на последовательность операций), центр получает от i-го АЭ налог на прибыль pi= fia ici, где (3 - единая ставка налога. В то же время обязанности центра заключаются в том, что он должен на период реализации i-ой операции зарезервировать средства в размере ci.

Мы будем рассматривать идеализированный случай, считая, что время поступления налоговых платежей не имеет для центра значения. Поскольку все проекты являются коммерческими (мы не рассматриваем сейчас принятие во внимание центром социально-экономического эффекта для региона), центру выгодно лишь обеспечение всех прибыльных (в смысле приведенной рентабельности) операций, то есть операций их множества Qo.

Q0 = {iє I: ai>0} Одновременное выполнение всех операций из множества Qo потребовало бы от центра «замораживания» средств в размере С0, что является основным неудобством для центра.

C°= t c, i

iєQo

Поэтому возникает семейство задач управления оптимизирующего те или иные важные для центра критерии.

Следует заметить, что по сравнению с вышерассмотренным общим случаем после успешного окончания i-ой операции необходимость «замораживания» резерва в размере сі отпадает, поэтому затраты центра не накапливаются. Финансовый баланс центра (во времени) выглядит при этом следующим образом:

f (t) = Р t aiciI (t > ti +ті) -1 ciI (t є [ti; ti + ті ])

iєQo iєQ0

Каждому плану выполнения операций соответствует некоторый график гарантийных обязательств («замороженных» средств) центра, которые в дальнейшем будем называть резервами центра, и график налоговых платежей.

Максимальная величина резерва центра Со определяется временами {t} как:

Со = min{C> 0 : f(t)> -С V t>0} Зависимость резерва центра от времени выглядит как:

c(t) = min{0,f(t)}, поэтому Со можно также определить как: Со = max c(t) Однако, в реальных условиях резервы центра зачастую жестко ограничены, поэтому возникает задача разработки плана операций (последовательности времен {ti}), при котором максимальный резерв центра не превышает его текущих возможностей. В то же время, в интересах центра (а также, разумеется, всех АЭ) обеспечить выполнение комплекса опе-

раций за минимальное время. Но две эти задачи всегда вступают в противоречие друг с другом. Поэтому для выявления множества рациональных вариантов (последовательностей времен {t;}) целесообразно исследовать возможные комбинации времен и резервов. Наиболее простой случай состоит в том, что центр определяет для себя приоритет задач минимизации полного времени и минимизации максимального резерва. При этом возникают:

Задача 1. Определить множество последовательностей выполнения операций, на которых достигает минимума величина максимального резерва центра, а затем из этого множества выбрать вариант, соответствующий минимальной продолжительности комплекса операций.

Задача 2. Определить множество вариантов, на которых достигает минимума продолжительность комплекса операций, а затем из этого множества выбрать вариант, соответствующий минимальной величине максимального резерва центра.

Для задачи 2 минимальная продолжительность комплекса операций очевидно равна Т2= тах{-п}. Таким образом, задача 2 сводится к определению оптимального порядка выполнения операций, то есть времен их начала, при котором минимизируется максимальный резерв центра при условии, что продолжительность комплекса операций равна Т2.

На первом этапе решение задачи 1 минимизируется максимальный резерв центра. Эта задача аналогична рассмотренной выше базовой задаче для механизмов самофинансирования, причем все операции в данном случае - прибыльные. В оптимальном варианте все операции выполняются последовательно (никакие две не выполняются параллельно), и минимуму максимального резерва соответствует осуществление операций в порядке возрастания затрат. Непосредственно подсчитав f(ti) для всех i = 1,2, ..., п, где {ti} - последовательность времен начала должным образом упорядоченных операций, и вычислив Со как:

Со= max min[f(ti),0], {ti}, получим значение C абсолютного минимума максимального резерва центра.

На втором этапе центр минимизирует суммарную продолжительность операций, не увеличивая величины резерва. Существенно при этом, что, сообщив АЭ алгоритм разработки плана выполнения операций на первом этапе и не детализируя правила принятия решений на втором этапе, центр исключает выгодность манипулирования информацией активными элементами в случае, если центр не обладает достоверной информацией о затратах {cj, a получает её от активных элементов. Поскольку i-ый АЭ заинтересован в скорейшем начале i-ой операции (кроме того, именно сам i-ый АЭ рассчитывается по взятому кредиту), то ему невыгодно завышать собственные затраты, поскольку это приведет к отдалению начала i-ой операции.

Если (Ci,Tj) и (С2,Т2) - решение соответственно задач 1 и 2 (значение максимальных резервов и продолжительностями комплекса операций), то две

эти оценки являются границами множества Парето

- оптимальных (по этим двум критериям) вариантов.

В реальных условиях возможные варианты Тк (полной продолжительности комплекса операций) принимают некоторые дискретные значения (например, несколько месяцев, недель, дней и т.д.). В идеале, для принятия наилучшего решения (с точки зрения Со и Т) центру необходимо обладать информацией обо всех вариантах (СК,ТК), где Т2 <Тк < Ть а Си - минимум максимального резерва центра при Т < Тк , то есть Тк -ограничение на Т сверху (естественно С1< Ск <С2). Это и есть Парето - оптимальные оценки продолжительности резерва (на самом деле не все эти пары определяют Парето -оптимальные решения, но множество этих пар содержит в себе все Парето - оптимальные варианты).

Примем, что продолжительности Т всех операций одинаковы (без ограничений общности примем их равными 1). Пусть пк -количество работ, выполняемых в каждом периоде к=1,2, ..., Т (очевидно, что 1< пк< N - Т + 1, где N - число программ реформирования предприятия). Аналогично случаю с последовательным выполнением операций в оптимальном варианте операции назначаются в порядке возрастания с1 (доказательство аналогично доказательству для последовательного выполнения). Таким образом, задача сводится к определению чисел пк.

Построим сеть на плоскости. По оси ординат отложим периоды к=1,2,3,...,Т. По оси абсцисс отложим числа N - число работ, выполненных за первые к периодов, к<№<К Точкам с координатами (к,^) соответствуют вершины сети. Из вершин (к-

1, N^0, к=1,2,3...,Т идут дуги ко всем вершинам (к, N^1, таким, что ^ХЫ^. Заметим, что каждой дуге (^к-^к) соответствует вполне определённое множество N1) работ, которые выполняются в к-ом периоде, а именно, это работы с номерами от N1^ +1 до N включительно. Обозначим

N-1

°(ык-1) = РЪачсч

в=1

средства, поступившие в Центр к периоду (к-1) включительно в результате выполнение первых Мк-1 работ,

N.

С( N-1, N) = £

ЛТк-1+1

средства, которые необходимо зарезервировать Центру для того, чтобы выполнить работы с номерами от (Ык-1+1) До включительно в периоде к. Примем разность ЦЫы, Мк)=С(Кк-1, - Б(Кк-1 ) за длину

дуги (N-1, Щ

В рамках такой терминологии любому пути в сети, соединяющему вход и выход, соответствует некоторый план реализации программ реформирования предприятия и наоборот.

Поэтому, задача определения минимального резерва при условии выполнения комплекса операций за фиксированное время Т сводится к задаче определения пути в этой сети, соединяющем начальную и конечную вершины, у которого максимальная длина дуги минимальна.

Заключение

Таким образом, механизмы самофинансирования в задачах осуществления программ реформирования предприятий могут эффективно помогать административному центру в назначении активным элементам плана выполнения комплекса операций, оптимизируя при этом различные приоритеты центра.

Литература

1. В.Н. Бурков, А.Ю. Заложнев и др. «Механизмы финансирования программ регионального развития».

2. В.Н. Бурков, А.Ю. Заложнев, Д.А. Новиков «Теория графов в управлении организационными системами».

3. В.Н. Бурков, Д.А. Новиков «Как управлять проектами».

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

MECHANISMS OF SELF-FINANCING OF PROJECTS

V.N. Burkov, Yu.A. Karpov, V.A. Levjchkin, N.F. Mirzebalaev

The mechanisms of self-financing resulted in this work allow the project - to the manager most full to use internal reserves of the project by realization of some works due to the profit received from already executed operations, reducing thus the sizes of own capital investments, but, certainly, not increasing final profit

Key words: the manager, the mechanism, the project, financing