Оценка своевременности и экономичности реализации стохастического проекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

48 (90) - 2011

Финансовый менеджмент

УДК 336

ОЦЕНКА СВОЕВРЕМЕННОСТИ И ЭКОНОМИЧНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОЕКТА*

Б. И. ВАЙСБЛАТ,

доктор технических наук, профессор кафедры венчурного менеджмента E-mail: classic_14@mail. ru

Ю. С. КУРЛОВА,

магистрант факультета бизнес-информатики E-mail: yuskurlova@gmail. com Нижегородский филиал Национального исследовательского университета

«Высшая школа экономики»

В статье приведен анализ методов определения функции распределения продолжительности выполнения проекта, отмечены их слабые стороны. Предложен новый алгоритм оценки функции распределения продолжительности выполнения стохастического проекта.

Ключевые слова: проект, планирование, продолжительность, технология, алгоритм, путь, своевременность, экономичность.

При планировании сложных комплексов взаимосвязанных и взаимообусловленных работ и управлении ходом их выполнения наиболее эффективны методы сетевого планирования и управления (СПУ) [2, 4-6]. В основе методов СПУ лежит графическое представление проекта (комплекса работ для достижения поставленной цели) в виде сетевого графика, являющегося ориентированным графом без контуров [3]. При этом дуги сети соответствуют операциям (работам), а вершины - событиям (моментам окончания одной или нескольких операций).

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского -Национальном исследовательском университете.

В детерминированном случае для каждой операции задана ее продолжительность. Как отмечается в работе [2], главной целью исследования проекта является установление возможности выполнения проекта в заданный срок, т. е. реализуемости проекта в течение фиксированного отрезка времени. Кроме того, необходимо знать, не будут ли затраты на реализацию проекта больше установленной суммы. Очевидно, что эти задачи сразу окажутся решаемыми, если удастся установить время и затраты на реализацию проекта.

В стохастическом случае, когда продолжительности операций являются случайными величинами, задача сводится к определению функции распределения продолжительности выполнения проекта и функции распределения затрат [4].

Один из подходов для решения этой задачи в стохастическом случае основывается на системе PERT [5] и заключается в следующем. По каждой операции задается диапазон возможной длительности (от нижней оптимистической до верхней пессимистической оценки). Далее рассчитывается соответствующий диапазон для проекта в целом по стандартной схеме расчета продолжительности критического пути на

Финансовый менеджмент

48 (90) - 2011

сети, где сначала для всех работ принимаются нижние оценки, а затем опять-таки для всех - верхние. Однако такой гарантированный диапазон обычно оказывается слишком широким и по нему трудно судить о возможностях выполнения проекта к конкретному сроку и решать, например, вопрос о возможности принятия определенных обязательств.

Вместе с тем интуитивно трудно согласиться с предположением о том, что все работы будут выполняться в предельных вариантах, которым соответствуют верхние и нижние оценки длительности операций. Представляется, что сроки реализации проекта будут лежать где-то между пределами. Такая интуиция по существу базируется на представлении о вероятностном характере процессов и может быть формализована в виде той или иной вероятностной модели.

Такая вероятностная модель предложена в работах [4, 6] и сводится к следующей схеме оценки функции распределения продолжительности выполнения проекта в целом по исходным экспертным оценкам для каждой работы:

1) предполагается, что экспертиза выдает для каждой работы l три оценки: оптимистическую тор , пессимистическую т 1 и наиболее вероятную т0 длительности;

2) постулируется, что длительность т1 работы l - случайная величина с математическим ожиданием ml и дисперсией Dl, вычисляемым по формулам:

Щ = 1 (Т°р . l + 4Т0 +Т pe, l

l); D = (т Ре*.1 х°Р 1. 1 36

3)

4)

причем т1, l е Z независимы в совокупности; рассчитывается критический путь К в детерминированной сети, где в качестве длительностей работ принимаются средние (ожидаемые) значения т1, l е ^ Следовательно, длительность выполнения комплекса работ оказывается случайной величиной tN, явно задаваемой формулой = Ъ ^т! ,

так что М(^)=Ъ, DtN = ЪlеzDl; со ссылкой на предельную теорему утверждается, что распределение tN при достаточно большом числе работ, лежащих на критическом пути, близко к нормальному, следовательно, полностью определяется параметрами М (tN ) и DtN . В этом случае функция распределения для tN имеет следующий вид:

^х-мсу

К(х)= Р^ < х}=у

№

1 г2 . . 1 гг --

где у(t) = .— I е 2ёг - функция Лапласа.

Заметим, что если пп. 1, 2 изложенной схемы являются полностью постулированными - их можно либо принять, либо отвергнуть, то пп. 3, 4 содержат элемент упрощения анализа уже формализованной схемы - сети, в которой длительности Т операций - независимые случайные величины с заданным первым и вторым моментами. Поэтому неоднократно предпринимались попытки избавиться от дополнительных допущений, т. е. от гипотезы неизменности критического пути и гипотезы нормальности [1]. Как показывает анализ литературы, до сих пор этого сделать не удалось. В связи с этим предлагается метод оценки функции распределения продолжительности выполнения проекта в общем случае.

Рассмотрим простейшие варианты сетей.

Последовательная технология. Пусть технология выполнения проекта последовательная и состоит из N операций. Тогда продолжительность выполнения проекта Т = Ъ ^ ti.

Зная ti и Dt., можно вычислить вероятностные

характеристики Т [7]: Т = Ъ ti, DT = Ъ ^ Dti.

Для оценки функции распределения случайной величины Т воспользуемся принципом максимума неопределенности Гиббса - Джейнса [7]. Согласно этому принципу, если случайная величина принимает неотрицательные значения и известны среднее

значение Т и дисперсия DT, а коэффициент варила

ации и = -

Т

< 1, то наилучшим приближением

для ее плотности распределения по критерию максимальной энтропии Н = w (х) 1п w (х) ёх, где

w (х) - плотность распределения случайной величины, является распределение Эрланга, функция распределения которого равна

Кэ (х)= 1 - ехр{-К

^-лк-1 [ Кх Л 1

Ъ г=01 у I —у

(1)

1

где к - целая часть числа —г .

и2

Если же и > 1, то наилучшим приближением является гиперэкспоненциальное распределение, функция распределения которого имеет следующий вид:

К (х ) = 1 - С ехр {-Т }-(1 - С ) ехр {-^^Т^ 1, (2)

7х"

3

48 (90) - 2011

Финансовый менеджмент

где c = 0,5

1 -.

и2 -1

V +1

F ( х ) =

если v< 0,3

4DT,

F3 (х), если 0,3 < и < 1. Fr ( х), если v> 0,3

(3)

y3 = max {х, х2, х3 }= max {y2, х3 }= y2 + w2

yN = max {xi, X2,...х^ }=

= maX {УN-1, хМ }= УN-1 + WN

I z., если z. > 0

(4)

где

w. = ■

0, если z. < 0

W = <

z1 = х2 - У1

z, = х„1 - yt; i = 2,3,...,(N -1)

где а, =у(Х,.), Ьг = .¡Щ P(X,), X, =

Щ'

Известно, что если и < 0,3, то распределение Эрланга приближается к нормальному распределе-

х - T

нию [7] т. е. (х)=у^=

На основании этого можно записать формулу функции распределения для Т в общем случае:

х - Т

Параллельная технология. Пусть проект состоит из N операций, которые осуществляются параллельно. Тогда очевидно, что T = max{, t2,...tN} и функция распределения для T будет иметь вид:

F0(х) = P {T < х}= P {t1 < х, t2 < x,...tN < х}=

=П N=1 P{t, < х}=Ш f (х)

где F (х) - функция распределения t..

Очевидно, что вычислительные трудности здесь велики (необходимо знать F (х)). Кроме того, если t. попарно коррелированы, то найти F (х) достаточно сложно. Авторы считают, что эти трудности и сложности можно преодолеть следующим образом.

Предположим, что нам известны t, и Dt{ и корреляционная матрица K . Для простоты дальнейшего изложения обозначим xi = ti и yN = T, где

yN = max {х1, х2,..., хы }.

Представим y N в виде рекуррентной формулы:

y2 = max {х1, х2 }= х1 + w1

) = ехр\--1 - функция Гаусса.

у/2% [ 2 Подставим ^. в (4). Рекуррентная формула для ум будет иметь вид:

Ух = х1

У 2 = (1 - а1 ) Ух + °1х2 + Ь1 У3 = (1 - «2 ) У2 + а2 Х3 + Ь2 .

Ум = (1 - «N-1 ) Ум-1 + «N-1ХМ + ЬМ-1 На основе теоремы о числовых характеристиках функций от случайных величин [7] из (5) получаем следующий алгоритм (который назовем тах-алгоритмом) определения числовых характеристик для Ум:

= х2- й; Вz1 = Вх2 + Вух - 2К12;

- Ь = *

1 Dx'

а = y(X ); ¿1 =4щ P(X1);

y2 = (1 - а1 ) y1 + а1 х2 + К

- Dy2 = (1 - a1 )2 Dy1 + а12 Dx1 + а12 Dx2.

Для

N > 3

вычисляются:

zN-1 = ':CN yN-1;

- K

- K.

- K

, Уж-

= (1 - a2)KiN + а1К2, N; = (1 - а2)Кхм,y2 + a2K3,N;

= (1 - aN-i)^ ,y„_, + aN-2K

2 хм, хм_1 '

dzN-1 = d^cN + DyN-1 - Жх

X N-1 =

jdzn-1 '

an-1 =Y(X n-1 );

(5) -

bN-1 =yjDzN ]P(XN-1 );

yN = (1 - aN-1 ) ~У N-1 + aN-1 *N + bN-1;

DyN = (1 - aN-1 )2DyN-1 + 4-1DN +

Используя метод статистической линеаризации [7], представим w. в виде:

w. = az. + b,

+2аМ-1(1 - ам-1)Кхм,ум.

Функцию распределения для Т вычислим таким же образом, как и для последовательной технологии при известных Т и ВТ (3).

Таким образом, можно найти функцию распределения продолжительности последовательного и параллельного проектов. Для нахождения функции

z

N

N-1

1

Финансовый менеджмент

48 (90) - 2011

Тк = 4 + к +... + 4 ,

к к1 к2 кт

DTk = DtK + Dtkl +. . . + DtK.

распределения продолжительности стохастического проекта в общем случае напомним некоторые известные понятия [2].

Любая последовательность работ проекта, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Путь, в котором начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим, называется полным. Тогда продолжительность проекта будет совпадать с полным путем, имеющим наибольшую продолжительность т. е.

Т = тах{Т1,Т2 ,...у }, (6)

где Тк - продолжительность пути; N - число полных путей проекта. Если полный путь Бк состоит из т работ,

«'к = К, ак2 ,..., акт Ь где °к,, °кг ,..., акт - р^ОТЬ^ составляющие этот путь, а tk,^,...,tк^ - продолжительности соответствующих работ, являющиеся некоррелированными случайными величинами с известными средними значениями к,к,..., ^ и дисперсиями (Dkl,Dk2 Dkm), то

" " (7)

(8)

Заметим, что случайные величины Т1, Т2,..., Т№ вообще говоря, являются попарно коррелированными. Можно показать, что корреляционный

момент К случайных величин Т и Т вычисляется

з 1 з

по формуле

Кз =Ъ М Dtl, (9)

где Dtl - дисперсия продолжительности первой работы, входящей и в Б, и в « полные пути; М - число работ, входящих в Б. и в Б. полные пути.

Тогда, зная Тк (7), DTk (8), К. (9) и учитывая (6), с помощью тах-алгоритма вычислим Т и DT и, соответственно, функцию распределения для Т (3).

Если Т0 - плановый срок реализации проекта, то показателем своевременности выполнения проекта будет

Р {Т< То} = К (То). Зная К (х), можно обосновать плановый срок Т0, обеспечивающий заданную своевременность Р0 реализации проекта. Для этого необходимо решить относительно х уравнение К (х) = Р0 .

Если заданы С(1 = 1, и) - затраты на выполнение 1-й операции в единицу времени, то очевидно, что среднее значение и дисперсия затрат и на реализацию проекта вычисляются по формулам:

и = Ъ "=£ А, (10)

DU = Ъ" С2Dt.. ¿^=1 1 1

Коэффициент вариации уи = ^ ВЦ

(11) (12)

Задавая плановую сумму затрат и0, можно рассчитать показатель экономичности реализации проекта:

Р {и< Ц} = С (Ц), где С (Ц) - функция распределения случайной величины и, которая вычисляется по формуле

С (х) = \

( х - Ц

\

если Уи < 0,3

К (х), если 0,3 < уи < 1 К (х), если Уи > 1

Заметим, что Кэ (х) и Кг (х) вычисляются по формулам (1), (2), где вместо Т и V применяются Ци vи соответственно.

Для иллюстрации предлагаемого метода оценки своевременности и экономичности реализации проекта рассмотрим пример.

Пример. Предположим, что сетевой график проекта имеет вид, представленный на рисунке.

Заданные интервальные прогнозы и вероятностные характеристики продолжительности операций представлены в таблице.

Рассмотрим возможные полные пути: « = (а1, а4); « = (а2, а6, а8);

«3 = (а3, а5, а6, а8); «4 = (а3, а7, а8).

По формулам (7) - (9) вычислим Ti, ВТ, К,.:

Т = /1+74 = 13; 1

Т2 = Т2 + Т6 + Т8 = 25,5;

Т3 = 7з + ¿5 + ¿6 + Тв = 31;

= Вг1 + Вг4 = 0,666;

ВТ2 = Вг2 + Вг6 + Вг8 = 2,417;

ВТ3 = Вг3 + Вг5 + Вг6 + Вг8 = 3,167;

ВТ4 = Вг3 + Вг7 + Вг8 = 1,83;

К12 =

К13 = 0;

К14 = 0;

К23 = Вг6 + Вг8 = 1,66;

К2А = В/6 = 033;

К34 = + = 1,08.

С помощью тах-алгоритма вычислим Т , ВТ

и V:

7х"

5

48 (90) - 2011

Финансовый менеджмент

Показатель Номер операции

1 2 3 4 5 6 7 8

Интервальный прогноз продолжительности операций

Минимальная продолжительность операции t. 5 8 2 6 10 9 12 4

Максимальная продолжительность операции t^ 7 11 5 8 13 13 15 6

Вероятностные характеристики продолжительности операций

Средняя продолжительность операции tt 6 9,5 3,5 7 11,5 11 13,5 5

Дисперсия Dt. 0,33 0,75 0,75 0,33 0,75 1,33 0,75 0,33

T = 31; DT = 0,0004; v = ^DT = 0,00065. Так как v < 0,3, то функция распределения для

Т будет иметь вид

F(х) = P{T < х} = у

( х-Т_>

4dt

Если Т0 = 32, то показатель своевременности реализации проекта будет равен Р {Т< Т0} = 1.

Зададим С. = 1, C2 = 2, С3 = 3, С4 = 4, С5 = 5, С6 = 6, C7 = 7, С8 = 8. Тогда можно вычислить средние затраты, дисперсию и коэффициент вариации (10) - (12):

U = 321,5; DU = 140,25;

vU = 0,04.

Так как Vu < 0,3 , то функция распределения для затрат U будет иметь вид:

G( х) = Y

( х - U

\ V ^^ у

а показатель экономичности реализации проекта (при u0 = 330) будет равен:

P{U < Uо}= G(Uо)= 0,76. Таким образом, предлагаемый метод позволяет оценивать своевременность и экономичность реали-

зации проекта и может быть использован в задачах управления проектами.

Список литературы

1. Ахметов К. С. Управление проектами с помощью Microsoft Project 2003. М.: НТ Пресс, 2006.

2. Бурков В. Н. Сетевые модели и задачи управления / В. Н. Бурков, Б. Д. Ланда, С. Е. Ловецкий и др. М.: Советское радио, 1967.

3. Бурков В. Н., Новиков Д. А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001.

4. Голенко Д. И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука, 1968.

5. Зуховицкий С. И., Радчик И. А. Математические методы сетевого планирования. М.: Наука, 1965.

6. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования. М.: Прогресс, 1968.

7. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.