Механизмы экономической мотивации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МЕХАНИЗМЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОТИВАЦИИ

H.С. Ермаков1

(Самарский государственный аэрокосмический университет,

Самара)

I. ВВЕДЕНИЕ

Механизмы внутрифирменного налогообложения [2], определяющие распределение прибыли между подразделениями (агентами) и фирмой в целом - центром (например, корпоративным центром [1]), играют стимулирующую роль и побуждают агентов выбирать действия в интересах центра. Ставкой стимулирования называются параметры, определяющие долю дохода или прибыли, которые остаются в распоряжении агентов. Прогрессивным (регрессивным) называется механизм, в котором ставка стимулирования уменьшается (увеличивается) с ростом рентабельности. Дискретные модели противозатратных прогрессивных механизмов исследовались в [1, 2]. Настоящая работа посвящена обобщению и дальнейшему развитию предложенных в [4] моделей экономической мотивации.

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим следующую модель. Пусть в организационной системе (корпорации, фирме и т.д.) помимо одного центра имеются п агентов, и известны затраты с7(у7) 7-го агента, зависящие от его действия у7 е (например, от объема выпускаемой агентом

продукции), 7 еЫ = {1, 2, п} - множеству агентов. Будем счи-

тать функцию затрат непрерывной, возрастающей, выпуклой и равной нулю в нуле. Целевая функция 7-го агента представляет собой разность между его доходом Н7(у7) и затратами с7(у7) [3, 5]: Ду) = Иг(уг) - сг(уг), 7 е N.

Рассмотрим пять механизмов экономической мотивации агентов, а именно: механизм отчислений (налога с дохода), централизованный механизм, механизм с нормативом рентабельности, механизм налога с прибыли, механизм участия в прибыли.

]Статья написана совместно с Д.А. Новиковым.

3. МЕХАНИЗМ ОТЧИСЛЕНИЙ (НАЛОГ НА ДОХОД)

Пусть функции затрат агентов имеют вид:

Сг(Уг) = Гг р / г) 7 еЫ, где р(-) - возрастающая гладкая выпуклая функция, такая, что р(0) = 0. Обозначим £(■) = р~1(-) - функцию, обратную производной функции рр).

Пусть задана внутрифирменная (трансфертная) цена 1 единицы продукции, производимой агентами, и центр использует норматив у е [0; 1] отчислений от дохода агентов. Тогда доход агента Н7(у7) = 1у7 и целевая функция 7-го агента с учетом отчислений центру имеет вид:

(1) ДУг) = (1 - у) 1у7 - с(у) 7 еЫ.

Величина у - норматив отчислений - может интерпретироваться как ставка налога на доход (выручку). Каждый агент выберет действие, максимизирующее его целевую функцию:

(2) Уг(У> = Гг Х((1 - У) 1), 7 еЫ.

Целевая функция центра, равная сумме отчислений агентов будет равна

(3) фу) = у 1Н Х(1 - У) 1),

где Н = 2 г.

Задача центра, стремящегося максимизировать свою целевую функцию заключается в выборе норматива отчислений:

(4) Ф(у) ® тах .

У е[0;1]

Если функции затрат агентов являются функциями типа Кобба-Дугласа, то есть с7(у7) = — (у7)“ (г7)1-а, а> 1, 7 еЫ, то решение

а

задачи (4) имеет вид:

(5) у*(а) = 1 - 1 / а, *

то есть оптимальное значение норматива отчислений у (а) возрастает с ростом показателя степени а. Оптимальное значение целевой функции центра при этом равно:

2 Легко проверить, что в рамках введенных предположений оптимально использование единого норматива для всех агентов [5].

116

а-1

Ф7 = ---- 1Н Х(1/а)

а 1

то есть Фу = (а- 1) Н (—)а/(а-—, а сумма действий агентов равна

а

Уу = Н Х(1/ а) = Н (1/ а)1 /(а-1 Выигрыш 7-го агента равен

¡у = гг (1 - 1 / а) (1/ а)а/(а-Я 7 еЫ, а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех

агентов) равна: Wr = (а2 - 1) H(Л/а)

а/(а- 1)

а.

4. ЦЕНТРАЛИЗОВАННЫЙ МЕХАНИЗМ

Сравним найденные показатели со значениями, соответствующими другой схеме экономической мотивации агентов, а именно, предположим, что центр использует централизованную схему - «забирает» себе весь доход от деятельности агентов, а затем компенсирует им затраты от выбираемых ими действий у, в случае выполнения плановых заданий х, (компенсаторная система стимулирования).

В этом случае целевая функция центра равна:

(6) Ф(х) = Л 2 x - 2 С(X) •

isN isN

Решая задачу фх) ® max, центр находит оптимальные зна-

{xt >0}

чения планов:

(7) х, = r, Х(Л), i eN.

Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

фх = Ла/ (а- 1 H(1 - 1 / а), а сумма действий агентов равна

Yx = H Х(Л) = H Л/(а- 1}.

Выигрыш i-го агента тождественно равен нулю, так как центр в точности компенсирует его затраты, а сумма целевых функций всех участников системы Wx (центра и всех агентов) равна Фх. Сравним полученные значения:

1

- фх/ фу = аа-1 > 1 и убывает с ростом а;

- Yx / Yr = аа-1 > 1 и убывает с ростом а;

а

- Wx / Wy = аа-1 / (а + 1) > 1 и убывает с ростом а.

Таким образом, мы доказали справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1. Если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то централизованный механизм экономической мотивации (с точки зрения организационной системы в целом) выгоднее, чем механизм отчислений, так как обеспечивает больший суммарный выпуск продукции и большее значение суммарной полезности всех элементов системы.

Фраза «с точки зрения организационной системы в целом» в утверждении 1 существенна, так как при использовании централизованного механизма прибыль (значение целевой функции) агентов равна нулю - весь ресурс изымает «метасистема». Такая схема взаимодействия центра с агентами может не устраивать агентов, поэтому исследуем обобщение централизованной схемы, а именно механизм с нормативом рентабельности, при котором вознаграждение агента центром не только компенсирует его затраты в случае выполнения плана, но и оставляет в его распоряжении полезность, пропорциональную затратам. Коэффициент этой пропорциональности называется нормативом рентабельности. Рассмотренной выше централизованной схеме соответствует нулевое значение норматива рентабельности.

5. МЕХАНИЗМ С НОРМАТИВОМ РЕНТАБЕЛЬНОСТИ

В случае использования норматива рентабельности р >0 целевая функция центра равна:

(8) ад = л 2 х - (1 + р) 2 c(х).

isN isN

Решая задачу Фр(х) ® max центр находит оптимальные зна-

{ xi >0}

чения планов3:

(9) х,р = г, Х(Л/ (1 + рР), i eN.

3 Оптимальное с точки зрение центра значение норматива рентабельности, очевидно, равно нулю.

118

Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

Фр = 1(1/(1 + р))1 / (“" 1Н (1 - 1 / а), а сумма действий агентов равна

Гр = н / (1 + р)) = н (1/ (1 + р))17 (а- 1).

Выигрыш /-го агента равен

/гр = руг (1/ (1 + р))а/(а- 1} / а, а сумма целевых функций всех участников системы Жр (центра и всех агентов) равна

Жр = 1Н (1/(1 + р))1 / (а- 1} (а- 1 / (1 + р)) / а.

Сравним полученные значения (отметим, что при р = 0 все выражения для механизма с нормативом рентабельности переходят в соответствующие выражения для централизованного механизма):

1

- Фх / Фр = (1 + р)а-1 >1 и возрастает с ростом р;

1

- Гх / Гр = (1 + р)а-1 >1 и возрастает с ростом р;

1 —

(1 - -)(1 + р)а-1

- Жх / Жр = ----а-----1------ > 1 и возрастает с ростом р.

1 -

(1 + р)а

Интересно, что максимум суммы целевых функций участников организационной системы (центра и агентов) достигается при нулевом нормативе рентабельности, то есть в условиях полной централизации!

Сравним теперь механизм с нормативом рентабельности с механизмом отчислений:

- Фу / Фр = ( + р )а-1 и возрастает с ростом р;

а

- Гу / Гр = (-р )а-1 и возрастает с ростом р;

а

(а2 -1) 1 + р _

- Жу / Жр = ---------------------------------------------(-)а 1 и возрастает с ростом р.

а2-----^ а

(1 + р)

Утверждение 2. Если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм с нормативом рентабельности р = а - 1 эквивалентен механизму отчислений.

Справедливость утверждения 2 следует из того, что при р= а - 1 все (!) показатели механизма с нормативом рентабельности совпадают с соответствующими показателями механизма отчислений, то есть выполняетсяуг(у) = хгр, г еМ Фу = Фр, Гу = Гр, ¡у = ¡р, г еМ, Жу = Жр.

Теперь рассмотрим четвертый механизм экономической мотивации - механизм налога на прибыль.

6. МЕХАНИЗМ НАЛОГА НА ПРИБЫЛЬ

Если в качестве прибыли агента интерпретировать его целевую функцию - разность между доходом и затратами, то при ставке налога Р е [0; 1] на эту прибыль целевая функция г-го агента примет вид:

(10) = (1 - Р) [1Уг - ф/)], / еМ, а целевая функция центра:

(11) ФРу) = Р[1^ Я- 2 Сг (Уг ) ].

Действия, выбираемые агентами при использовании налога на прибыль, совпадают с действиями, выбираемыми ими при централизованной схеме, следовательно:

(12) Угр = Гг Х(1), г е N.

Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно4:

Фр = р1а/(а - 1Н (1 - 1 / а), а сумма действий агентов равна

Гр = н х(1) = н 11 / (а - 1).

Выигрыш г-го агента равен

4 Очевидно, что оптимальное с точки зрения центра значение ставки налога на прибыль Ь равно единице. При этом механизм с налогом на прибыль превращается в централизованный механизм.

120

/р = (1 - Р) Г (а- 1 г, (1 - 1 / а), а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов) равна:

Жр = 1а/ (а- 1) Н (1 - 1 / а).

Сравним полученные значения:

- фх / фр = 1 / р >1 и возрастает с ростом Р;

- Гх / Гр = 1;

- Жх / Жр = 1.

Таким образом, механизм налога на прибыль приводит к той же сумме полезностей и к тому же значению суммы равновесных действий агентов, что и централизованный механизм, но в первом случае полезность центра в р раз ниже, чем во втором. Поэтому механизм налога на прибыль может интерпретироваться как механизм компромисса [5], в котором точка компромисса внутри области компромисса определяется ставкой налога на прибыль, задающей пропорцию, в которой делится прибыль системы в целом между центром и агентами.

Сравним теперь механизм налога на прибыль с механизмом с нормативом рентабельности:

і

\а-1

- Фр/ Фр = р (1 + р)

1

- Гр / Гр = (1 + рУ-1 >1;

1 —

(1 - -)(1 + р)а-1

- Жр / Жр =--------а-------------->1.

1 -

(1 + р)а

И, наконец, сравним механизм налога на прибыль с механизмом отчислений (механизмом налога с дохода):

1

- Фр/ ФУ = р аа-1 ;

1

- Гр/ Гу = аа ;

- Жр/ Жу = аа-1 / (а + 1).

а

К сожалению, для механизма налога на прибыль не удается доказать столь общее утверждение, как утверждение 2 для механизма с нормативом рентабельности: а именно, механизмы эквивалентны с точки зрения различных участников при различных соотношениях параметров, которые даются следующим утверждением.

Утверждение 3. Если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм налога на прибыль:

1

- при р = 1 / аа-1 с точки зрения центра эквивалентен оптимальному механизму отчислений;

а

- при р = 1 - 1 / аа-1 с точки зрения агентов эквивалентен оптимальному механизму отчислений;

1

- при р = 1 / (1 + р)а-1 с точки зрения центра эквивалентен механизму с нормативом рентабельности;

а

- при р = 1 - р/(а- 1) (1 + р)а-1 с точки зрения агентов эквивалентен механизму с нормативом рентабельности.

7. МЕХАНИЗМ УЧАСТИЯ В ПРИБЫЛИ

Рассмотрим механизм участия в прибыли, в рамках которого центр получает прибыль Н(у) от деятельности агентов, а затем выплачивает каждому агенту фиксированную (и одинаковую для всех агентов, то есть механизм является унифицированным [5]) долю ^ е [0; 1] этой прибыли. Целевая функция /-го агента примет вид:

(13)/гЧ(у) = ЧН(у) - с1(у1), / еЫ, а целевая функция центра:

(14) ФЧу) = (1 - П Ч) Н(у).

Действия, выбираемые агентами при механизма участия в прибыли равны

(15) УгЧ = Гг Х(1Ч), г еЫ.

Пусть прибыль центра линейна по действиям агентов: Н(у) = 1 ^ у . Тогда значение целевой функции центра при

функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

Фч = (1 - п Ч) Н 1%(1Ч), а сумма действий агентов равна

Гч = Н Х(1Ч).

Выигрыш /-го агента равен:

¡Ч = Н [п Ч1Х(1Ч) - ч(1Ч)Ъ / еЫ, а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов) равна:

жЧ = н[1Х(1Ч) - ЛЧ].

При квадратичных функциях затрат агентов оптимальная с точки зрения центра ставка равна Ч = 1 / 2 п.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрены пять механизмов экономической мотивации. С точки зрения суммы полезностей всех участников системы и суммы действий агентов максимальной эффективностью обладают централизованный механизм и механизм налога на прибыль (с любой ставкой). Использование механизма отчислений или механизма с нормативом рентабельности приводит к меньшей эффективности.

При использовании механизма отчислений, механизма с нормативом рентабельности или механизма налога на прибыль в зависимости от параметров (соответственно - норматива отчислений, норматива рентабельности и ставки налога на прибыль) полезности центра и агентов перераспределяются по-разному по сравнению с централизованным механизмом (см. приведенные выше оценки).

Совместное использование утверждений 1-3 позволяет в каждом конкретном случае получать оценки параметров, при которых различные механизмы эквивалентны. Так, например, при квадратичных функциях затрат (а = 2) оптимально следующее значение норматива отчислений (ставки налога с дохода): у = 0.5. При р = 1 механизм с нормативом рентабельности полностью эквивалентен механизму отчислений, а при р = 0.5 механизм налога на

прибыль эквивалентен им обоим с точки зрения центра, а при р = 0.75 - с точки зрения агентов (см. таблицу 1). Отметим низкую эффективность унифицированного механизма участия в прибыли.

Таблица 1

Параметры механизмов экономической мотивации

при квадратичных затратах агентов

Механизм Параметры

Ф У Я

Налог с дохода ІН/4 ЛН/2 312Н/8 12Н/8

Централизованный ІН/2 1Н 12Н/2 0

Норматив рентабельности 12Н/(2(1+р)) т/(1+р) 12Н(1+2р) / (2 (1+р)2) 12Нр/ (2 (1+р)2)

Налог с прибыли РІН/2 1Н ІН/2 (1-Р)12Н/2

Участие в прибыли 12Н/(4п) 1Н/(2п) 12Н(2п-1)/(4п2) 12Н(п-1) /(4п2)

Перспективным направлением дальнейших исследований представляется обобщение полученных результатов на более общие классы функций затрат, а также исследование механизмов экономической мотивации в моделях организационных систем, учитывающих неопределенные факторы и взаимозависимость агентов (модель сильно связанных агентов [5]).

ЛИТЕРАТУРА

1 Бурков В.Н., Агеев И.А., Баранчикова Е.А., Крюков С.В., Семенов П.И. Механизмы корпоративного управления. М.: ИПУ РАН, 2004. - 109 с.

2 Бурков В.Н., Трапезова М.Н. Механизмы внутрифирменного управления. М.: ИПУ РАН, 2000. - 58 с.

3 Кочиева Т.Б., Новиков Д.А. Базовые системы стимулирования. М.: Апостроф, 2000. - 108 с.

4 Новиков Д.А., Глотова Н.П. Модели и механизмы управления образовательными сетями и комплексами. М.: Институт управления образованием РАО, 2004. - 142 с.

5 Новиков Д. А. Стимулирование в организационных системах. М.: Синтег, 2003. - 312 с.