Механизм и математическая модель процесса грануляции порошкообразных материалов в барабанных аппаратах Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

УДК 662.684.2:66.09

МЕХАНИЗМ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГРАНУЛЯЦИИ ПОРОШКООБРАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ В БАРАБАННЫХ АППАРАТАХ

Г.И.Келбалиев, В.М.Самедли, М.М.Самедов*, В.Н.Ахмедов*

Институт катализа и неорганической химии им. М.Нагиева НАН Азербайджана *Сумгаитский государственный университет

samedov-muxtar@mail. ru

Поступила в редакцию 01.10.2015

На основании механизма и кинетических закономерностей гранулообразования порошкообразных материалов построена математическая модель процесса в барабанных грануляторах. Установлено, что гранулирование порошкообразных материалов является стохастическим, поскольку полученный гранулометрический состав - полидисперсный, что определяется неравномерной завершенностью гранул, зависящей от размеров капель связующего вещества, частиц порошка, и таких явлений, как коагуляция и разрушение, износ и деформация.

Ключевые слова: грануляция, суперфосфат, механизм гранулообразования, кинетические закономерности, математическая модель.

С целью построения математической модели гранулообразования порошкообразных материалов в барабанных грануляторах с учетом анизотропии структуры и наслаивания порошка на поверхности проводили ряд теоретических и экспериментальных исследований.

Известно, что необходимость гранулирования порошкообразных материалов и требования к их качеству позволили разработать различные виды устройств и аппаратов: перемешивающие устройства с высокими внешними напряжениями, вращающиеся барабанные аппараты, аппараты с псевдоожи-женным слоем и другие конструкции [ 1, 2].

Многочисленные экспериментальные исследования процессов гранулирования в перемешивающих устройствах - грануляторах [3-7] и в барабанных аппаратах [8-12] показали, что конечный размер гранул определяется множеством параметров, среди которых важно отметить размер образовавшегося ядра-зародыша, размеры частиц порошка и капель связующего вещества, условия агломерации, свойства порошка и жидкости и методы гранулирования. В работах [13-15] рассматривается влияние размеров частиц капель связующего вещества на образование и дальнейший рост гранул и на морфологию структуры. Следует отметить, что предсказание соответствующего количества жидко-

сти (размера капли) для получения желаемого размера гранулы весьма затруднительно вследствие того, что, кроме указанных выше факторов, размеры образовавшихся гранул зависят от адгезионных свойств порошка и от физических свойств жидкости (вязкость, поверхностное натяжение). Толщина наслаивания и условия завершенности структуры гранулы определяются влагоемкостью или смачиваемостью поверхности. В связи с этим в работах [11, 16] исследовано влияние размеров капель на скорость роста и образование зародышей в грануляторах-мешалках. Вводится время проникновения жидкости в слой порошка, так называемое время пене-трации и определяемое как

1.35 V

2/3

г2 ^p

GrCOS0n

(1)

где У0 - объем капли жидкости, ^ - радиус пор, в - пористость, % - вязкость жидкости, 90 - угол смачивания, - поверхностное натяжение жидкости.

Важнейшей проблемой в промышленных процессах гранулирования порошкообразных материалов является выявление функции распределения полидисперсных гранул по размерам, что позволяет определить в практических расчетах изменение их среднего размера по длине аппарата [6, 16, 17]. Экспери-

т

ментальному исследованию образования гранул полидисперсного состава и связанного с этим распределения гранул по размерам, измерению их размеров и пористости посвящены работы [10, 16]. Экспериментальные кривые распределения гранул по размерам в ме-шалках-грануляторах показали двугорбовый характер кривой распределения, максимумы которой определяются в областях зародыше-образования и структурообразования гранулы. В барабанных аппаратах наиболее эффективным является описание эволюции функции вероятности распределения размеров гранул с использованием стохастического дифференциального уравнения Фоккера-Планка [17-19] на основе экспериментальных данных, характеризующих непрерывное наслаивание и рост гранулы.

Процессы гранулирования сопровождаются уплотнением, деформацией и износом гранул [5, 8, 20], приводящим к изменению их размера, степени полидисперсности и физических свойств - плотности, прочности и пористости [10, 22]. В частности, в работе [14] изменение плотности гранулы в зависимости от времени и характеристик барабанного аппарата представлено в виде

4-1.9

Ф = 10"3'5

а

ю

0.06, -1

где ю - угловая скорость вращения барабана, Д Ь - диаметр и длина барабана, к - некоторый параметр. Множество эмпирических формул по вычислению физических свойств гранул приведено в работах [6, 12, 14]. Следует отметить, что плотность гранул определяется как р = р^ (1 -в(7)) , где рл - плотность материала, в(/) - пористость гранулы, зависящая от времени и реологии наслаивания, уплотнения и деформации. Таким образом, как следует из этой формулы, изменение плотности связано с изменением пористости гранулы во времени.

В целом процесс грануляции, на первый взгляд кажущийся простым, является весьма сложным явлением, включающим исследование и описание таких явлений, как зародышеобразование, структурное образо-

вание скелета самой гранулы, реологию уплотнения, деформации и т.д.

С целью построения и анализа сложной модели образования гранулы и уплотнения её в результате окатывания с учетом анизотропии структуры образовавшихся гранул проведен ряд экспериментальных и теоретических исследований.

Установлено [1, 8, 21], что механизм гранулирования порошкообразных материалов методом окатывания определяется следующими стадиями: а) смешение порошка с каплями связующего вещества и образование ядра гранулы; зародышеобразование в процессе грануляции определяется характером капиллярного взаимодействия в слое частиц порошка с жидкостью, размером капель связующего вещества, числом контактов в единице объема материала (координационным числом) и временем релаксации тр, в практических случаях источником заро-дышеобразования также могут служить крупные частицы, имеющиеся в составе исходного порошка; б) рост и образование гранул в результате их окатывания по поверхности порошка. В этой стадии важную роль играют размеры частиц порошка (толщина наслаивания) и размеры частиц капель связующего вещества, скорость окатывания. Конечный размер гранул определяется степенью распределения жидкости за счет капиллярных сил в порах и содержанием жидкости в объеме гранулы (влагоемкостью); в) уплотнение гранул под действием деформирующих внешних напряжений и собственного веса. В результате уплотнения гранулы жидкость, содержащаяся в порах, выдавливается к поверхности, что увеличивает скорость наслаивания порошка; г) стабилизация и упрочение структуры гранулы в результате упрочения внутренних связей между отдельными частицами в объеме гранулы и стабилизация конечной формы.

В конечном итоге реализацию формы гранулы определяет геометрия двух факторов: геометрия динамики движения гранулы в процессе её окатывания и геометрия анизотропии прочностных и прочих свойств, точнее её сопротивление к истиранию и де-

формации. Динамика процесса заключается во вращательном движении гранулы по поверхности порошка и аппарата, причем вращение осуществляется во всех направлениях, в результате чего геометрия динамики окатывания имеет симметрию вращающегося шара или сферы, т.е. состоит из бесконечного количества осей симметрии бесконечного порядка. Вследствие этого при такой геометрии динамика процесса окатывания сама по себе придает грануле округлую форму (рис.1): овал (а), сфера (б), эллипс (в). С другой стороны, геометрия анизотропии структуры гранулы определяется истиранием, износом и деформацией во всех направлениях, что создает условия для искажения и смещения осей симметрии. Однако во всех случаях совместного действия геометрии динамики вращательного движения и анизо-

тропии структуры форма гранулы приближается к округлой, за исключением сильно деформированных. Вместе с тем в результате действия различных внешних и внутренних сил гранула теряет устойчивость и разрушается, теряя при этом определенные симметрию и форму. В сферических координатах (г, 0, у) площадь поверхности гранулы определим в виде

г sin ededy, (2)

где 0 <9<л,0 — полярные углы. Если

гранула имеет радиус Я, то в результате наслаивания радиус переменной поверхности увеличивается на величину толщины наслаивания X или Я + Х(0, у).

Z

Y

X •

I

а) б) в)

Рис. 1. Характерные формы гранул (X Y, Z - оси анизотропии).

Если предположить, что Х<<Я, то переменную площадь поверхности с учетом (2) можно представить в виде

1+-

1

а

2 (r+X)2'^

х( R + Х)2 Sin ededy.

1

^2

2 (R + X)2 Sin2 е

(3)

При изменении толщины наслаивания на величину АХ, площадь поверхности гранулы изменится на величину

П л ч * л дХ дАХ 1 2(R + X)AX +--+-

дАХ

^yj ду

де де sin2 е

х sin ededy. (4)

Выражение (4) можно рассматривать как вариацию площади поверхности грану-

лы по мере изменения толщины наслаивания. Интегрируя два последних члена (4) по частям от 0 до п, имеем

í^^ sin е-de = -í^-f sin е—]de, J де де J ЛЙ1 ЯА i

д01

де

¡•дХдАХ, г д2 X,

I--dy = - I АХ—зг dy.

2

дy де J дy2 С учетом этих выражений и предположив, что по длине Al изменение площади поверхности в результате чистого наслаивания равно || ХА/ sin ededy, уравнение (4) представится в виде

AS=

2 (R+X)-

sin еде

д Г. пдХ^ sin е—

де

2l А

д2х

sin2 е дy2

хАХ sin e+XA/sine] dedy.

Изменение объема гранулы определим

как

АУ ={{АХ( К + Х)2^п еёеёу . (6)

Разделив подинтегральное выражение (5) на (6), с учетом X<<R получим под интегралом выражение, соответствующее изменению площади поверхности гранулы по отношению к изменению объема. Тогда, перейдя к пределу, получим следующее выражение:

1

1

dS _ 2

dV = R R2 sin0 501 sin "50 J R2~:*2

5 ( .

sin 0 — -■

Б1П ^

52X . 5l

-7 + .

д^2 5v

(7)

Умножив и разделив обе части на А/ и обозначив = а и V = ^^ , уравнение

(7) можно переписать в виде

dS

~т=а dt

1

5

R rR sin 050

* е!Х1-

1

50 J R2sin0 5y2

, (8)

где V - скорость перемещения гранулы, определяющая геометрию динамики. Таким образом, в уравнении (8) первый член отражает геометрию анизотропии формы, второй - динамику движения гранулы. В общем случае уравнение (8) отражает динамику несимметричного роста гранулы в результате её окатывания. Для симметричной сферической гранулы, предположив S = па2 (а - диаметр гранулы), получим более простое уравнение изменения среднего размера гранулы в результате её окатывания

da 2a Xv

~ ь ■

. (9)

& Жа2 2па' v 7

Следует отметить, что сферическая форма гранулы соответствует изотропному и равномерному строению и отличается неизменностью прочностных и прочих свойств гранулы по разным направлениям. Общее решение уравнения (9) представляет собой трансцендентное выражение, в связи с чем рассмотрим частные случаи его решения:

а) eсли а << 4а/XV , то уравнение (9)

можно представить в виде 9 ёа _ 2а (7)

a

dt

a

к

(t)lt=o=

a

с решением

,1/3

a

(t ) =

a0 +-к

t

Ja(t) dt

(10)

б) eсли а > , то уравнение (9) представится в виде

ёа XV

dt 2na

с реш ением

a (t) =(a2 + —t

Л/2

(11) (12)

Выражение (11) совпадает с уравнением окатывания в барабанном грануляторе, приведенным в работе [1], если V = (где ю, ^ - угловая скорость вращения и радиус барабана). Исходя из решений (10) и (12), процесс гранулообразования можно подразделить на две области: 0 < / < т^ где осуществляется структурообразование ядра гранулы и, / > т^ где осуществляется рост гранулы за счет наслаивания порошка на поверхность. Соответственно тр можно назвать временем релаксации зародышеобразования. Используя уравнение (1 ) и предположив, что

объем капли равен V'к = га^/б, получим

Тр = 0.876

d

к

Ля

s2RP

cos е'

(13)

где ^ - радиус пор. Фактически это уравнение соответствует условию и времени заполнения капиллярных пор в упорядоченных структурах. Из уравнения (13) следует, что с увеличением среднего диаметра капель жидкости время релаксации зародышеобра-зования также увеличивается пропорционально квадрату диаметра.

с) Рассмотрим стационарный случай уравнения (8) при / > т^ т.е.

R

1

sin 0 50

5 ( • п 5Г [sin 05ёу

1

52Х

sin 0

= Xv. (14)

х

Если предположить, что толщина наслаиваемого слоя не меняется относительно полярного угла у, то уравнение (14) можно переписать в виде

±( sine ^ V Ml sine.

де ^ де) а

Ввиду незначительности второй производной д2 х/ае2 записать в виде

данное уравнение можно

Xvr2 . . cos ö— =-sin ö.

ae a

Разделив обе части на 0 и интегрируя их, имеем

С/0 = ßS/0, (15)

где С/0, Si0 - интегральные косинус и синус,

ß =

R2v

л ^ 0 - угол в радианах. Выра-ао 1п А/Ш

жение (15) представляет собой уравнение стационарного наслаивания в процессе гранулирования порошкообразных материалов. На рис.2 приведены численные траектории наслаивания порошка на поверхность гранулы при различных значениях р.

Ci(Ö)0.08-

ci(e)0.08-

3x10 Si(ö)

0.015 Sl(ö)

0.1

0.1

0.06

0.06

3

3

3

3

3

1x10

2x10

4x10

5x10

5x10

0.01

0.02

0.025

Рис.2. Геометрическая интерпретация модели наслаивания для различных значений р, равных: а) 0.5, б) 1.0.

Представленные кривые дают графическую интерпретацию наслаивания на поверхности сферической гранулы.

Выводы

Изучением механизма гранулообразо-вания порошкообразного суперфосфата определено, что наслаивание на поверхности сферической гранулы происходит по спиралеобразной траектории. Во всех случаях совместного действия геометрии динамики вращательного движения форма гранулы приближается к округлой, за исключением силь-нодеформированной.

Получена сложная математическая модель (8), которая в общем виде отражает динамику несимметричного роста гранулы в резултате её окатывания. Полученные урав-

нения описывают процесс гранулообразова-ния порошкообразных материалов в барабанных грануляторах и включает три стадии гранулообразования - зародышеобразова-ние, формирование гранулы наслаиванием и её уплотнение. Отметим, что эти уравнения могут быть использованы также для описания процесса образования "снежного кома" при наличии начального ядра наслаивания.

Список литературы

1. Классен П.В., Гришаев И.Г. Основы техники гранулирования. М.: Химия, 1982. 272 с.

2. Salman A., Houslow M., Seville J.O.K. Granulation. In.: Handbook of Powdered Tecnol. 2006. Elsevier Ltd UK. 1402 p.

3. Bouwman A.M. Form, Formation: the influence of material properties and process conditions of the shape of granules by high shear granulation. Thesis for degree of Doctor of Science. University of

Groningen, UK, 2005. 346 p.

4. Birudaraj R., Goskonda D., Pande P.G. Granulation Characterization. In: Handbook of Pharmaceutical granulation Technology (Ed., Parikh D.M.). 2010. Р. 513-534.

5. Badawy S.I., Hussain M.A., Effect of starting material particle size on its agglomeration behavior in high shears wet granulation // AAPC Pharm. Sci. Techn. 2004. V. 53. P. 1-7.

6. Knight P.C. Structuring agglomerated products for improved performance // Powder Technology. 2001. V. 122. P. 212-221.

7. Krictensen H.G., Agglomeration of powdered // Acta Pharm. Sues. 1988. V. 25. P. 1-7.

8. Келбалиев Г.И. Механизм уплотнения упруго-связанных частиц в процессе гранулирования порошкообразных материалов // Теор. oсновы хим. технол. 1992. Т. 26. № 3. С. 749-754.

9. Pat. i 20040045 Az. R. Danavar superfosfatin alinmasi /Samadov M.M. 2004.

10. Keirens D. Granulation. Analysis of size distribution and porosity during consolidation in a batch drum granulator. The University of Queensland. Individual Inquiry, 2000. 260 p.

11. Kibbe A.H., Lactose. In: Handbook of Pharmaceutical Excipients. DC: American Pharmaceutical Association. 2000. 278 p.

12. Heim A., Obranik A., Gluba T. Changes of feed bulk density during drum granulation of bentonite // Physicochem. Problems of Mineral Processing. 2005. V. 2. P. 877-886.

13. Abberger T., Seo A., Shaefer T. The effect of droplet size and powdered particle size on the mechanisms of nucleation and growth in liquid bed melt agglomeration // Int. J. Pharm. 2002. V. 249. P. 185-197.

14. Gluba T. The effect of wetting droplet size on the

growth of agglomerates during wet drum granulation // Powder Technol. 2003. V. 130. P. 219-223.

15. Ivensen S.M., Listen J.D. Liquid-bound granule impact deformation and coefficient of restitution // Powder Technol. 1988. V. 99. P. 234-242.

16. Ceylan K., Kelbaliyev G. Stochastical modeling of the granule size distribution in the agglomeration processesof powdered materials // Powder Technol. 2001. V. 119. P. 173-180.

17. Kelbaliyev G., Ceylan K. A theoretical model for the particle distribution in a polidispersed solid mixture under hydrodynamic and gravitational effects // Powder Texnol. 2001. V. 115. P. 84-91.

18. Мамедов М.И., Келбалиев Г.И., Гусейнов А.С. Детерминированносто-хастическое моделирование процессов гранулировании порошкообразных материалов // Теор. основы хим. тех-нол. 1986. Т. 20. № 4. С. 514-520.

19. Kelbaliyev G., Guseinov A. Quality analysis of granules disperse composition using Focker-Plank equations // Proc. 2nd Int. Conf. on measurement and Control of Granules Materials. MCGM*91 Chengde, 1991. P. 23-25.

20. Келбалиев Г.И., Гусейнов А.С., Таиров А.З. Реологическая модель уплотнения и износа гранул при гранулировании методом окатывания // Хим. пром-сть. 1986. № 9. С. 41-42.

21. Kelbaliyev G.I., Samedli V.M., Samedov M.M. Modeling of granule formation proses of powdered materials by the method of rolling // Powder Technol. V. 194. 2009. P. 87-94.

22. Kelbaliyev G.I., Kasimova R.K., Samedov M.M., Samedli V.M. Analysis of Dispersity and Temporary Evolution of the Distribution Function of Granules in Drum Apparatus // J. of Dispersion Science and Technol. 2011. 32:6. P. 799-806.

BARABAN TIPLI APARATLARDA TOZ§OKiLLi MATERIALLARIN DONOVORLO§DiRlLMOSi

PROSESiNiN MEXANiZMi VO RlYAZi MODELi

Q.LKalbaliyev, V.M.Sam3dli, M.M.Samadov, V.N.Ohmadov

Baraban tipli danavarla§diritilarda toz§akilli materiallann danavarla§dirilmasinin mexanizmina va kinetik qanuna-uygunluqlanna asasan, prosesin riyazi modeli qurulmu§dur. Muayyanla§diril-mi;jdir ki, toz§akilli materiallann danavarla§dirilmasi stoxastik xarakter da§iyir, bu isa danavar kutlanin polidisprsliyi ila alaqadardir. Polidisperslik danalarin qeyribarabar formala§masi ila alaqali olub, namla§dirici maye damcilannin va toz§akilli materiallann hissaciklarinin olgularindan asilidir.

Agar sozlzr: dsnsvsrls§ms, superfosfat, dsnssmslsgslmsnin mexanizmi, kinetik qanunauygunluqlar, riyazi model.

MECHANISM AND MATHEMATICAL MODEL OF THE PROCESS OF GRANULATING THE POWDER-LIKE MATERIALS IN THE DRUM DEVICES

G.I.Kelbaliyev, V.M.Samedli, M.M.Samedov, V.N.Akhmedov

On the grounds of the mechanism and kinetic regularities of granule formation of powder-like materials the mathematical odel of the process in the drum devices has been constructed. It has been established that granulating powder-like materials is stochastic as received granulometric composition-poludispersed what is determined by uneven com-pletchess of granule dependent on sizes of the binding substance, drops, particles of powder and such phenomena as coagulation, destruction wear and deformation.

Keywords: granulation, superphosphate, mechanism of granulation, kinetic regularities, mathematical model.