Механико-геометрическое моделирование в нелинейной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3 DOI 10.18522/0321-3005-2016-3-5-12

МЕХАНИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

© 2016 г. Д.А. Азаров, Л.М. Зубов

Азаров Даниил Анатольевич - старший преподаватель, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, e-mail: [email protected]

Зубов Леонид Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Azarov Daniil Anatolievich - Senior Lecturer, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected]

Zubov Leonid Mikhailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, 344090, Rostov-on-Don, Russia, e-mail: [email protected]

Изложен новый способ построения определяющих соотношений упругого материала при больших деформациях, который можно назвать механико-геометрическим моделированием. Этот способ существенно отличается от распространенного формально-аналитического метода, основанного на полиномиальной аппроксимации удельной энергии как функции тензора деформации. Предложенный подход применен к построению конкретной модели изотропного нелинейно-упругого материала. Проведен анализ свойств полученной потенциальной энергии деформации материала.

Ключевые слова: нелинейная упругость, механико-геометрическая модель, потенциальная энергия деформации.

A new approach is proposed concerning the construction of constitutive relations of the elastic material under large deformations, which can be described as mechanical-geometrical. This approach significantly differs from the formal analytical method being based on polynomial approximation of the specific energy as the strain tensor's function. The approach is applied to the construction of the concrete model of an isotropic elastic media. The properties' analysis of the potential stress energy was carried out.

Keywords: non-linear elasticity, mechanical-geometrical model, specific strain energy.

В нелинейной теории упругости построение уравнений состояния в основном заключается в аналитическом представлении удельной потенциальной энергии деформации как функции инвариантов какого-либо из тензоров деформации. Полиномиальные представления этой функции дают разнообразные выражения энергии [1]. Далее встают вопросы о правомерности такого представления, согласовании его с естественными ограничениями теории упругости, нахождении параметров модели и т.д. Такой формально-аналитический метод обладает определенными достоинствами, но имеет слабую физическую обоснованность. В работе предложен другой подход к построению функции энергии деформации.

Общие положения модели

Главная идея этого подхода заключается в конструировании геометрической модели, которая до-

полнена моделью силовых (механических) взаимодействий в упругой системе [2-5]. Из полученной системы уравнений напряжения-деформации выводится функция потенциальной энергии деформирования. Этот метод кажется более обоснованным в связи с исходной физической непротиворечивостью используемых допущений модели.

Модель представляет собой набор упругих связей, объединенных определенным способом в пространственную геометрическую конструкцию (рис. 1).

Каждую связь будем считать линейно-упругим стержнем (пружиной), работающим на растяжение-сжатие без потери устойчивости. В применении модели к механике сплошных сред связи должны отражать феноменологические оценки интегральных характеристик взаимодействий между гранями элементарного объема сплошной среды. Стержни модели могут быть двух типов: продольные и диагональные. Продольные соединяют противолежащие грани параллелепипеда,

диагональные - его смежные грани. Будем исследовать деформацию описанной конструкции под действием сосредоточенных сил, параллельных ребрам параллелепипеда и приложенных в центрах его граней. Таким образом, продольные связи передают деформацию «вдоль» каждой из соответствующих осей, по которым действуют нагрузки (растягивающие или сжимающие силы). Что касается диагональных связей, то они связывают продольные и поперечные деформации и определяют функцию поперечной деформации модели (в линейной теории упругости - коэффициент Пуассона).

А x

-v / / Л^Х

v\ ^J-n

¿5 /

Рис. 1. Общий вид модели. Геометрия связей

В принципе каждая связь может быть представлена в виде распространенных в механике сплошных сред простых одномерных моделей типа упругого элемента, вязкого элемента, элемента сухого трения и их комбинаций [6].

В данной работе ограничимся случаем линейно-упругих связей. Даже в таком упрощенном варианте модель демонстрирует существенно нелинейное поведение. Модель можно обобщить, выбирая другие зависимости «сила - растяжение», например квадратичную [3]. Другой альтернативой для расширения возможности модели является замена упругого элемента вязкоупругим, например стандартным линейным телом - моделью Зи-нера [5].

Поведение упругой сплошной среды при деформировании будем определять по изменению размеров и формы каждой грани параллелепипеда, обусловленному приложением внешних сил. Взаимодействия между гранями описываются с помощью системы связей, встроенной в элементарный объем механической конструкции (рис. 1), узлы которой шарнирно прикреплены к центрам граней (узлы Л] - А6). В такой системе растяжение или сжатие какой-либо связи повлечет за собой изменение длин других связей и, в свою очередь, рас-

стояний между гранями или же изменение углов между ними.

Характеристики конструкции можно разделить на два типа: геометрические и механические. Геометрические характеристики - это длины связей и углы, а механические - параметры упругости (или, возможно, вязкости, пластичности) связей. В общем случае, если характеристики связей различны, конструкция будет моделировать свойства анизотропной сплошной среды. Подробное исследование поведения таких моделей не входит в цели данной работы.

Что касается изотропного материала, то для его описания в модели достаточно указать только два типа характеристик жесткостей: первый - для всех связей между противолежащими гранями, второй -для всех связей между смежными гранями.

Уравнения модели для трехосного деформирования ортотропного тела

Общие обозначения и вид модели. Рассмотрим трехосное растяжение элементарного объема с заключенной в него моделью. Внешние силы, действующие по каждой из осей модели, обозначим ¥а, и ¥с, реакцию каждой связи модели -Яг, где индекс г обозначает соответствующую связь г = а, Ь, с, /, п, р, удлинение каждой связи - 8г. Длины связей в недеформированном состоянии будем обозначать малыми буквами, а в деформированном - большими.

Геометрия модели. На рис. 1 представлена геометрия начального состояния модели. Геометрия после деформации на примере одного октанта представлена на рис. 2а. Длины продольных связей -а, Ь, с, диагональных - /, п, р . В недеформирован-ном состоянии справедливы зависимости

/2 = а2 + Ь2 , р2 = а2 + с2, п2 = Ь2 + с2 . (1)

В деформированном состоянии выполняются равенства

Ь2 = Л2 + В2, Р2 = А2 + С2 , N2 = Б2 + С2, (2)

Л = а + 8а, Б = Ь + 8Ь, С = с + 8с,

Ь = / + бI, Р = р + бр, N = п + бп . (3)

Из этих уравнений можно получить связь диагональных удлинений с продольными, т.е. с размерами элементарного объема. Для этого подставим (3) в (2). Тогда, с учетом (1), получаем уравнения для нахождения удлинений диагональных связей

8/ =712 + Ч/ -1 , §р =у!р2 + Чр - р, 8п =

4

= vn + qn -n>

(4)

где qi = 5a 2 + 2a5a +5^2 + 2Ь5ь

qp = 5a2 + 2a5a + 5C2 + 2c5c ,

qn =5b 2 + 2b5b + 5c 2 + 2c5c, и углов между связями

cos ф = — =

Ja

L l +8,

B b + 8b

cos V = — =-b

N n + 8„

С A a + 8a cos 8 = — = - a

P p + 5 p

В недеформированном состоянии углы определяются формулами cos фс = a, cos= ~ , cos 6 о = ~ ■

in p

Механические характеристики модели. Схема приложенных внешних сил и реакции связей показаны на рис. 2б.

4

//

RP/ J /Rf Ч Л

Fc RL Fe

Xj й\ \

б / N /

Рис. 2. Углы модели в актуальной конфигурации (а) и схема действия внешних сил и реакции связей (б)

Внешние силы и реакции связей модели подчиняются условиям равновесия сил в узлах:

F = Ra + 2Rl cos ф + 2Rp cos 8, i Fb = Rb + 2Ri sin ф + 2Rn cos y, F = R,, + 2Rp sin8 + 2Rn siny.

(6)

В качестве зависимости силы реакции от удлинения связи выберем самую простую - линейный закон: Яг = кг 8г, г = а, Ь, с,1, р, п.

Здесь Яг - сила реакции 1-й связи; параметр к1 -коэффициент упругости связи.

При помощи (5) и (6) найдем зависимости внешних сил от удлинений продольных связей, используя выражения (4) для удлинений диагональных связей. Таким образом, внешние силы выражаются только через три основных продольных удлинения 8а, 8ь , 8с :

Fa = ка8а + 2kl (д/12 + qi -1)

a + 8„

ft

+qi

+2kp (ij p2 + qp - p>

a + 8a

л/p2+qp

Fb = kb8b + 2ki(Jl2 + ql -1+

vi2 + qi

+ 2kn (J n2 + qn - n) ,

I

n 2 + qn

Fc =kc8c +2kp(Jp2 + qp -p>

c + 8„

i

p2 + qp

+2kn(Vn2 + qn-n) i^8

i

n2 + qn

(7)

+

+

c

Формулами удобнее пользоваться, если на основе (3) в них перейти вместо 8а, 8ь, 8с к зависимостям от длин А, В и С. После такого перехода система уравнений примет вид

Уа = Л(ка + 2к/ + 2кр) -2/кг 2 ркр

(

- A

Л

Va2+B2

Га

2 + с2

Fb = B(kb + 2ki + 2kn) -

-B

2lk,

2nk„

■Ja2 + в2 Vb2 + с2

Fc = C (kc + 2kn + 2kp) -2 Pkp

-с

2nk„

V B 2 + C 2

+

Va2 + с2

- ak„

- bkh

- ck„

(8)

Fa Fa „ F F

— = = = CT

sac 4ac ' sab 4ab C

Ь 4Ьс

Перейдем от размерных величин А, В, С к безраз-

- 1 Л Б

мерным кратностям удлинений: к л = —, К б = —,

а Ь

К— = —. В результате получим систему

с

7a = ТТ" [a A (ka + 2kl + 2kp ) - a 'X

4bc

(

2lk,

p ) a X A ■

2 Pkp

ja 2'Xa2+b2'Xв 2

I 2 ^ 2

д/a ' Xа + c 'Xс

- ak„

4 = ~T [b'X B (kb + 2kl + 2kn) - b'X B 4ac

"B ( 2lki

2nk„

ja 2'XA2 +b2'Xf2

4ab

■A +b ' X B [c' XC (kc

-1-[c' xc (kc + 2kn + 2kp ) - c' X C х

2nk

n

jb2'XB2 +c2'XC2

p ) c' XC

2 Pkp

- bkh

(9)

jb2'XB2 +c2'XC2

I 2 ^ ^ 2

a 'Xа +c 'Xс

- ck

углы модели ф0, уо, 90 до деформации, присутствующие в формулах неявно через длины продольных связей а, Ь, с.

Потенциальная энергия деформирования. Потенциальную энергию деформирования Э определяют как функцию относительных удлинений 8а, 8ь , 8с . Напряжения являются частными производными от этой энергии по соответствующим относительным удлинениям 8г .

3Y 38,

3Y 38,

3Y 38;

Для элементарного объема рассчитаем нормальные напряжения на его гранях, поделив левые и правые части этих соотношений на площадь граней параллелепипеда в начальном состоянии

(10)

уа д8а д8п

В изотропном материале механические свойства поперечных и диагональных связей одинаковы ка = кЬ = кп, к/ = кп = кр . Геометрические характеристики до деформации определяются равенством %

углов фо = уо = ^о = ~ . В этом случае без потери

общности можно считать а = Ь = с = 1, / = р = п = 42.

Соотношения (10), записанные через главные кратности удлинений, имеют вид

дУЁ дУЁ дУЁ

СТ > =-— ' СТ ~ =-— ' <5~ =-—

дКл дКв дк—

где ЭИ - энергия изотропного материала.

Восстановив по трем частным производным неизвестную функцию, получаем формулу потенциальной энергии изотропного материала:

V • — v a

Y Е =

(ka + 4kl).. 2 ^ ^ 2, -¡2kt

(XA +Xв +XC )

■ XA2 +X B 2

+ ^XД +Xc2 +^Xв2 +XC2) -

k

(XA +Xв +XC ) + K0 •

(11)

В^1ражения (9) представляют собой инженерные (или номинальные) напряжения как функции главных кратностей удлинений при трехосном растяжении-сжатии ортотропного тела в виде определяющих соотношений механики сплошных сред в главных осях деформации. Главные кратности удлинений Кг являются компонентами левого тензора растяжения и = К+ + [1].

Количество параметров в формулах (9) для потенциальной энергии ортотропной среды равно 9, из них шесть механических параметров - коэффициенты ка, кЬ, к„, к1, кп, кр и три геометрических -

Константа К0 является постоянной интегрирования и может быть найдена из условия равенства нулю энергии при отсутствии деформации

( X A =XB =XC = 1X

3

Ye (1,1,1) = о => K0 = -(ka + 4kl) •

о

Выражение потенциальной энергии деформации (11) принимает окончательный вид

ye =

(ka + 4kl )„ О о о yflki

(XA +xв +XC ) -

■ (JlZ+XB^ + ylxA2 +Xc2 Wxв2 +XC2)-

k 3

-(XA +XB +Xc) + -(ka + 4kl) •

2 о

(12)

Количество параметров в выражении (12) для потенциальной энергии изотропной среды равно двум. Это два механических параметра ка, кь .

У

У

8

2

х

■

и

c

■

х

8

2

Полученное методом механико-геометрического моделирования новое выражение (12) для удельной потенциальной энергии деформирования сжимаемого изотропного материала задает симметричную функцию кратностей главных удлинений. Явное представление этой функции через инварианты какого-либо из тензоров деформаций является весьма сложной задачей из-за радикалов, входящих в формулу энергии. Хотя первое и третье слагаемые легко выражаются через инварианты левого тензора растяжения и, второе слагаемое, содержащее радикалы, может быть выражено через эти инварианты только очень сложным образом, отчего формула для энергии теряет привлекательность простоты.

Для визуального отображения функции энергии

введем безразмерный параметр к = и выполним

2к,

У р

нормирование энергии У = . В результате полу-

2к1

чим формулу, которая зависит от одного параметра к:

У = (XА2 + Хв2 + Хс2) - к (X+ Xв + Хс) -

XA2 + ХB2 + \ХA2 2 + \ХA2 2) +

3

(13)

+ - (к + 2).

8

Энергия для линеаризованных уравнений состояния. Из выражения энергии (12) для изотропного материала У^ при инфинитезимальных деформациях 5а, 8Ь, 8С <<1 следует формула для соответствующей энергии деформации

= (ка + 4М (5 а 2 +§ь 2 +5с 2) +

к

8

+ -£■ (5а 5Ь +5а 5С + 5Ь 5С).

Выражение энергии в линейной теории упругости имеет вид [1]

A =

2 2 2 (Х + 2ц)(б! +62 + S3 ) + 2Х(б^2 +^1^3 + е2ез)

где 62,63 - главные относительные удлинения; X, ц - постоянные Ляме.

Сравнивая между собой это представление и энергию модели, увидим, что параметры модели соответствуют постоянным Ляме в виде

Х = к/4 ; ц = (ка + к1 )/8 . (14)

При этом коэффициент Пуассона

X к

= 2(Х + 2ц) = ка + 3 • к1 '

Дополнительные неравенства теории упругости. Рассмотрим ограничения на параметры модели к и к;, вытекающие из определяющих неравенств теории упругости. Приведем эти неравенства в их линейной

форме в соответствии с классификацией К. Трусделла [7]. В линейной теории достаточно двух неравенств: O-F: ц> 0, P-C: 3X+2ц>0. (15)

Неравенство O-F (ordered forces) является требованием положительности модуля сдвига ¡л, неравенство Р-С (pressure-compression) - модуля объемного деформирования К.

В терминах предлагаемой модели из этих неравенств с учетом формул (14) получим ограничение на значения параметров модели: ka > -k/.

Параметр ka может быть отрицательным, но при этом k > 0, так как kj = 4X и X > 0 (модель не предназначена для описания свойств материалов-ауксетиков).

Ограничение на коэффициент k = ka/2k/ принимает вид k > -0,5 .

Предельное значение k = -0,5 соответствует коэффициенту Пуассона v = 1/2 , а k = 0 - v = 1/3 .

Далее исследованы два основных случая безразмерного параметра модели: -0,5 < k < 0 и k > 0 .

Свойства функции потенциальной энергии

Рассмотрим свойства полученной функции энергии изотропной среды (13) при k > 0. Такие значения параметра к соответствуют значениям коэффициента Пуассона материала при инфините-зимальных деформациях v < 1/3 .

Энергия является функцией трех переменных, и графическое отображение ее гиперповерхности не представляется возможным. Поэтому ниже представлены графики для двух основных случаев:

1) плоско-деформированное состояние при разных ХА и ХВ и фиксированном значении ХС (не обязательно равном единице);

2) трансверсально-изотропная деформация, для которой ХВ = ХС при разных XA.

Плоско-деформированное состояние. На рис. 3 а и 3б представлены графики потенциальной энергии предлагаемой механико-геометрической модели при значении параметра модели к=1: форма поверхности функции Э(ХА,ХВ,1) - рис. 3а и линии уровня для этой поверхности - рис. 3б.

Функция энергии удовлетворяет требованиям теории упругости. Она является величиной положительной как при сжатии (ХА, ХВ < 1), так и при растяжении (ХА, ХВ > 1). В точке (1,1), т.е. при отсутствии деформаций, она имеет минимальное значение, равное нулю. Энергия является выпуклой функцией своих аргументов ХА, ХВ, ХС при значении параметра модели к > 0 и при любых деформациях. Выпуклость энергии при ХА,ХВ,ХС > 0 была проверена численными расчетами.

Рис. 3. Форма графика функции потенциальной энергии при плоском деформированном состоянии и положительных значениях к

Графики энергии при различных значениях па- Пуассона при инфинитезимальных деформациях раметра к и при различных значениях деформации (V > 1/3). ХС представлены на рис. 3в и 3г. Во всех этих слу-

С

чаях выпуклость энергии сохраняется.

На рис. 4 представлен график поверхности потенциальной энергии деформации при ХС = 1 (т.е. Перейдем к рассмотрению формы энергии при деформация плоская без растяжения или сжатия по значениях параметра модели к из диапазона -0,5 < направлению С) и значении параметра модели к = < к < 0, что соответствует значению коэффициента = -0,3, а также соответствующие ему линии уровня.

Рис. 4. Форма графика функции потенциальной энергии при плоском деформированном состоянии и отрицательных значениях к

На всех графиках функции энергии при отрицательных значениях параметра к существуют области, где функция является невыпуклой. В этих областях материал, описываемый моделью с соответствующим параметром к, является нестабильным. Чем меньше параметр к, тем больше области нестабильности материала. Важно, что в области малых деформаций при любых значениях параметра к > -0,5 функция энергии является выпуклой.

Надо заметить, что при выполнении условия ХА+ХВ > 2 функция выпукла при любых значениях параметра к > -0,5. Области невыпуклости функ-

ции потенциальной энергии находятся только ниже сечения XA+XB =2.

Отметим также траекторию деформации XA = Ав. Это траектория равного растяжения-сжатия по двум осям (equibiaxial strain). Вдоль этой траектории функция энергии также является выпуклой при любых значениях XA и Ав.

Трансверсально-изотропная деформация. На рис. 5 представлены графики энергии и линии уровня при положительном значении параметра k=1 (а) и при отрицательном к = - 0,3 (б). На этих графиках имеются траектории, соответствующие случаю одноосного растяжения.

Рис. 5. Форма графика функции потенциальной энергии при трансверсально-изотропной деформации

Все графики при к>0 имеют одинаковый вид: положительной и выпуклой поверхности, с минимумом энергии в начальном недеформированном состоянии при ХА=ХВ =1.

Все графики при -0,5<к<0 имеют область недопустимых деформаций, где энергия невыпукла.

В сравнении с симметричными областями невыпуклой энергии на предыдущих графиках случая плоской деформации, на графиках для трансвер-сально-изотропной деформации симметрия отсутствует. Надо отметить также траекторию деформации ХА=ХВ=ХС. Это - траектория трехосного (объ-

емного) растяжения-сжатия (triaxial strain). Вдоль неё функция энергии также является выпуклой при любых значениях XA и Хв (и, соответственно, Хс).

Численный анализ показывает, что основные виды напряженно-деформированных состояний (одноосное растяжение, двухосное (плоское) растяжение-сжатие, объемное сжатие) могут быть реализованы в материале, описываемом моделью с любым параметром k > -0,5. На траекториях, соответствующих таким напряженно-деформированным состояниям, потенциальная энергия деформации выпукла и материал ведет себя стабильно.

Заключение

1. Вышесказанное позволяет утверждать, что материал, описываемый предложенной механико-геометрической моделью, является «гиперупругим» материалом в смысле существования потенциала [1, 7].

2. Анализ свойств энергии модели показывает, что эта функция удовлетворяет всем основным требованиям механики сплошной среды в определенных областях деформаций, зависящих от значений параметров модели.

3. Нужно отметить, что новый механико-геометрический способ построения определяющих соотношений позволяет получать разнообразные функции потенциальной энергии деформации, априори обладающих свойствами, не противоречащими физически обусловленным требованиям теории упругости.

4. Метод механико-геометрического моделирования потенциальной энергии деформации имеет перспективы для дальнейшего развития.

Литература

1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1970.

940 с.

2. Азаров А.Д., Азаров Д.А. Трехмерная механическая мо-

дель для описания больших упругих деформаций при

одноосном растяжении // Вестник ДГТУ. 2011. Т. 11,

№ 2 (53). С. 147-156.

3. Азаров А.Д., Азаров Д.А. Сопоставление трехмерной

механической модели с законом состояния Мурнагана

// Современные проблемы механики сплошной среды: тр.

XVI Междунар. конф. 16-19 октября 2012 г. Ростов н/Д.,

2012. Т. I. С. 5-9.

Поступила в редакцию_

4. Азаров А.Д., Азаров Д.А. Описание больших сдвиговых

деформаций упругой среды с помощью трехмерной механической модели // Труды VII Всерос. (с между-нар. участием) конф. по механике деформируемого твердого тела, г. Ростов н/Д., 15-18 октября 2013 г. : в 2 т. Т. I. Ростов н/Д., 2013. С. 17-21.

5. Azarov A.D., Azarov D.A. Description of non-linear viscoe-

lastic deformations by the 3D mechanical model // Physics, Mechanics of New Materials and Their Applications: Proceedings of the 2015 International Conference, devoted to the 100th Anniversary of the Southern Federal University / I.A. Parinov, S.-Hsyung, V.Yu. Topolov (Eds.). N.Y., 2016. P. 367-375.

6. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.,

1976. 328 с.

7. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной меха-

ники сплошных сред. М., 1975. 522 с.

References

1. Lur'e A.I. Nelineinaya teoriya uprugosti [Nonlinear theory

of elasticity]. Moscow, 1970, 940 p.

2. Azarov A.D., Azarov D.A. Trekhmernaya mekhanicheskaya

model' dlya opisaniya bol'shikh uprugikh deformatsii pri odnoosnom rastyazhenii [Three-dimensional mechanical model to describe the large elastic deformation in uniaxial tension]. VestnikDGTU, 2011, vol. 11, no 2 (53), pp. 147156.

3. Azarov A.D., Azarov D.A. [A comparison of three-

dimensional mechanical model of the law of the state of the Murnaghan]. Sovremennye problemy mekhaniki sploshnoi sredy [Contemporary problems of continuum mechanics]. Works XVI Intern. Conf. October 16-19, 2012. Rostov-on-Don, 2012, vol. 1, pp. 5-9.

4. Azarov A.D., Azarov D.A. [Description of large shear defor-

mation of an elastic medium with the help of three-dimensional mechanical model]. Trudy VII Vseros. (s mezhdunar. uchastiem) konf. po mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [Proceedings of the VII All-Russia. (With Intern. Participation) Conf. on Solid Mechanics]. Rostov-on-Don, October 15-19, 2013: in 2 vol. Vol. 1. Rostov-on-Don, 2013, pp 17-21.

5. Azarov A.D., Azarov D.A. Description of non-linear viscoe-

lastic deformations by the 3D mechanical model. Physics, Mechanics of New Materials and Their Applications. Proceedings of the 2015 International Conference devoted to the 100th Anniversary of the Southern Federal University / Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung, Vitaly Yu. Topolov (Eds.). New York, 2016, pp. 367-375.

6. Pal'mov V.A. Kolebaniya uprugoplasticheskikh tel [The

vibrations of elastic plastic bodies]. Moscow, 1976, 328 p.

7. Trusdell K. Pervonachal'nyi kurs ratsional'noi mekhaniki

sploshnykh sred [Initial course a rational continuum mechanics]. Moscow, 1975, 522 p.

11 мая 2016 г.