CC BY
146
МЕХАНИКА ПОЧВЫ И РЕОЛОГИЯ ГРУНТОВ. ТОЧКИ СОПРИКОСНОВЕНИЯ И РАЗЛИЧИЯ
В.П. ДЬЯКОВ, кандидат технических наук ВНИИЗиЗПЭ
Обработка почвы — распространенный и в значительной мере определяющий состояние плодородного слоя почвы вид деятельности человека. В то же время, несмотря на более чем вековую историю развития земледельческой механики, теоретические основы почвообработки до сих пор полностью не разработаны.
Вопрос о деформации почвы во времена В.П. Горячкина представлял «...камень преткновения для всякого рода теоретических исследований...». Актуален он и сегодня, так как отражает физическую сущность коэффициента при втором члене рациональной формулы силы тяги плуга, ставшей в последнее время предметом научной дискуссии по корректности ее выведения.
Цель нашей статьи — попытка определения физической сущности коэффициента «К» В.П. Горячкина, поскольку и сам автор указывал на необходимость его развития и замены более сложной функцией.
Почва, как и грунт, деформируемая дискретная среда, обладающая реологическими свойствами. Особенность методики исследования тел под нагрузкой в реологии — наделение их идеальными фундаментальными свойствами: упругостью (тело Гука), вязкостью (тело Ньютона) и пластичностью (тело Сен-Венана). Упругое тело Гука отображает упругое сопротивление почвы и обозначается символом Н. Вязкое тело Ньютона обозначается символом N и характеризует вязкие свойства тела. Жесткопластическое тело Сен-Венана отражает внутреннее сухое или кулоново трение и обозначается символом В реологических моделях свойство упругости изображается математической моделью в виде пружины, вязкости — моделью дырчатого поршня, помещенного в сосуд с жидкостью, пластичности — моделью ползуна.
Сочетания фундаментальных свойств в той или иной модели сложного реологического тела в определенной степени эвристические, но основаны они на наблюдаемом поведении реальных материалов под нагрузкой. При этом существует правило: в случае последовательного соединениия фундаментальных свойств деформации элементов суммируются, а напряжения в телах считаются равными; при параллельном — наоборот, деформации идеальных тел равны, а напряжения различны.
Первой реологической моделью вязкоупругого твердого тела стала модель Кельвина (рис. 1, а). Она включает упругий элемент //0, который последовательно соединен с блоком параллельно включенных
а) б)
Рис. 1. Реологические модели: а) Кельвина; б) Максвелла.
второго элемента Гука Нх и элемента Ньютона N. Реологическая формула тела Кельвина:
К = Н0 — (H/N).
Уравнение модели Кельвина г =тя + rN,
(1)
(2)
где хн и tn — соответственно напряжения в упругом (гуковом) и вязком (ньютоновом) элементах.
Подставив значения тн = Gy и tn = г\у в равенство (2), получим уравнение деформирования: г = Gy + rjy, (3)
где G — модуль упругости; у — величина деформации; т] — коэффициент молекулярного трения материала; у — интенсивность (скорость) деформации.
Зависимость (3) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с правой частью. После интегрирования при постоянном напряжении т = const, она примет вид:
(4)
Формула (4) есть уравнение последействия Кельвина, отражающее процесс запаздывания развития упругой деформации. В начальный момент времени при постоянной нагрузке ее нет, а при г = оо упругая деформация достигает своего предельного значения. Из уравнения (4)
т =
yG
-tG '
(1-е’ )
(5)
Особенность этого упруговязкого тела — полное восстановление упругой деформации после снятия нагрузки.
-ю
У і =У,(в)е 4 • (6)
Деформация восстанавливается при ґ = °°. Другая упруговязкая модель тела предложена
Максвеллом в 1868 г. В ней упругий и вязкий элементы соединены последовательно. Модель обозначается буквой М(рис. 1, б). Ее реологическая формула имеет вид:
М = Н-К (7)
В первое мгновение в теле после того, как к нему приложена некоторая сила, деформация будет носить чисто упругий характер. После того, как она достигнет определенного значения, начнется деформация вязкого течения с постоянной скоростью. В связи с тем, что течение в максвелловом теле происходит при самых малых усилиях, его рассматривают как жидкость и называют упруговязкой жидкостью.
Реологическую модель тела Максвелла А.С. Кушнарев [2] рекомендует для отображения процесса изменения объема, Д.И. Золоторевская [3] — дня моделирования динамики уплотнения почв ходовыми системами машинотракторного агрегата. Ее реологическое уравнение имеет вид:
у=ун+у", (8)
где у” и у" — деформации упругого и вязкого элементов.
Поскольку деформация у"возрастает во времени, то для соблюдения условия у = должно уменьшаться уя, то есть релаксация — следствие перераспределения упругой и вязкопластической деформации. Если еще учесть, что ун = г/(7, выражение (8) можно записать в виде:
(8>)
то есть постоянство деформации у — const обеспечивается за счет уменьшения во времени напряжения т = г (t).
После дифференцирования зависимости (8), подстановки у11 = г/G, yN= г/rj и некоторых преобразований уравнение релаксации напряжений в модели Максвелла примет в вид:
G
V
= Gy.
(9)
г =
G
+ Gjy (exp J—dt)dt
. Gt. exp(------).
V
(10)
• • Gt
* =»7У+(*в-»7У)ехр(------),
V
(И)
пряжений равна скорости увеличения вязких. В случае, когда I = оо напряжения в теле не исчезают полностью. При равенстве нулю упругих деформаций, напряжения в теле равны г]у. При малой скорости деформирования их величина незначительна и в расчет не принимается.
Закон релаксации упругих напряжений находится из решения уравнения (8) при скорости деформации равной нулю и поддержании деформации по-
стояннои:
G
х =т0ехр(----1).
V
(12)
Формула (12) показывает, как падает напряжение во времени. В начальный момент после снятия нагрузки оно равно мгновенному упругому т0, а во время t = оо х становится равным нулю и напряжения в теле полностью исчезают.
Однако позднее в 1880 г. Ф.Н. Шведов обнаружил у некоторых жидких сред аномалию вязкости и упругости формы. У них расслабление напряжения происходит не до rjy ~ 0, а до некоторой конечной величины тк, названной пределом текучести в теле Шведова. Структурная формула модели Шведова:
Sch =# - (M/SV). (13)
Уравнение, характеризующее релаксацию тела Шведова, имеет вид:
т=Г'+(г0-тк)ехр—,
где тд — мгновенное (начальное) напряжение; G и г] — соответственно модуль упругости и коэффициент вязкости.
При /-» оо упругое напряжение релаксируетдо остаточного тл„ обусловленного наличием в модели тела элемента пластичности Сен-Венана. С учетом уравнения (11) и согласно модели тела Шведова, уравнение (14) запишется в виде:
=rsr =q у+^Gy-(tsr+rj у )^ехр-^-,
(15)
Если решить зависимость (9) аналогично (4), то уравнение деформации тела Максвелла запишется в виде:
При постоянной скорости деформирования из выражения (10) получается закон расслабления напряжений в системе:
где г51' — сопротивление сен-венанова (сухое ку-лоново трение) элемента; у и у — соответственно деформация и скорость деформации; г]у — вязкое сопротивление жидкости.
Анализ выражения (15) показывает, что сопротивление системы возрастает до определенного значения скорости деформации. При дальнейшем повышении последней зависимость (15) теряет смысл. Порог увеличения скорости определяется из условия равенства нулю выражения в квадратных скобках, то есть при
(16)
где тд — начальное упругое напряжение при нагружении (мгновенные упругие напряжения).
Из (9) следует, что расслабление напряжений в системе происходит за счет уменьшения упругих напряжений. Причем скорость расслабления упругих на-
Су-(г5К->/у)2:0.
Выражение (16) выполняется в случае малой скорости деформации и большой зоны распространения упругой деформации.
Если в модели тела Шведова удалить один упругий элемент Н, то получим модель другого упругоп-ластично-вязкого нерелаксирующего тела Бингама.
Структурная его формула имеет вид:
В=Н-(М/ЗУ). (17)
Закономерность деформирования тела Бингама получается из условия т = тя + гг, откуда следует, что при напряжениях, меньше значения тт тело деформируется по закону Гука, а по достижении этого предела оно начинает течь с постоянной скоростью. Уравнение течения бингамова тела записывается в виде:
т = тт+г]у, (18)
где тт — предельное сопротивление сдвигу сен-венанова элемента; г] — коэффициент вязкости ньютонова элемента.
Установлено [1], что при определенных условиях к виду (18) приводится и уравнение течения тела Шведова, поэтому такую зависимость часто называют законом Шведова-Бингама.
Позднее к фунтам стали применять теорию уп-руговязко-пластического деформирования. Здесь следует отметить модели Н.Я. Денисова и И. Кисаля [4]. Модель Денисова (рис. 2, а) представляет собой параллельное соединение моделей Бингама и Максвелла. Ее реологическая формула имеет вид:
Б = Б/М. (19)
1
м
Ноф
м к
а)
I
б)
Рис. 2. Реологические упруговязко-пластические модели: а) Денисова; б) Кисаля; в) почвы.
Тело Денисова сначала проявляет упругие свойства твердого тела, а затем при напряжении г > хт, превращается в жидкое, характеризуемое вязким течением. Модель Кисаля можно представить как параллельное соединение упругопластичного тела Прандтля и Максвелла, — максвел-лово течение при напряжениях превышающих предел текучести тела.
Характерная особенность моделей Денисова и Кисаля то, что они, по отношению к ранее рассмотренным, отвечают одному из главных требований, вытекающему из правил составления реологических моделей дискретных сред: деформации также, как и напряжения элементов модели должны складываться [1].
В то же время модель Денисова не учитывает ряд последних результатов исследований реологии дискретных тел, полученных в конце XX века.
Первое. Установлено [5] и подтверждено, что полная деформация грунта в общем случае включает в качестве составляющих не только мгновенную, но и длительную упругую деформацию, протекающую на стадии упруговязкого течения совместно с необратимой вязкой. Скорость длительной упругой деформации с большой точностью подчиняется закону вязкости. Такую деформацию называют вязко-упругой, причем упругая часть ее, как и мгновенно упругая, подчиняется принципу независимости действия сил. Этот процесс достаточно полно отражает модель тела Кельвина (рис. 1, а).
Второе. Также установлено [5], что мгновенная деформация уд восстанавливается не полностью. Поэтому начальная (мгновенная) деформация складывается из упругой и пластичной уд = у‘ + удр. Пластическая часть у Л не восстанавливается.
Деформация на затухающей стадии течения восстанавливается тоже частично, поскольку состоит, как отмечалось, из деформации упругого и пластического последействия, что еще раз говорит о полезности включения в модель Денисова модели Кельвина вместо модели Бингама.
Третье. В связи с тем, что пластические деформации имеют место на стадии мгновенной деформации, для отражения этого свойства элемент Сен-Ве-нана должен быть соединен параллельно телам, входящим в модель.
Кроме того, модель почвы должна отображать такое важное свойство, как упругое последействие, которое в реальных условиях проявляется при блокированном и полублокированном ее рыхлении и крошении пласта.
Исходя из отмеченных особенностей модель тела Денисова применительно к условиям почвообрабатывающих процессов имеет вид, изображенный на рис. 2, в. Ее структурная формула:
И = К/БУ/М. (20)
Модель почвы, как реологического тела, представляет собой систему из параллельного соединения тел Кельвина, Максвелла и сен-венанова элемента. Модель тела Кельвина отображает упругое последействие деформации при постоянном напряжении, модель Максвелла — релаксацию упругих напряжений при постоянной деформации, элемент Сен-Венана — кардинальное свойство дискретных тел — сопротивление трению, действующее как в начальной стадии деформирования, так и в предельном состоянии, что служит обязательным требованием к содержанию модели [1].
Деформация модели складывается из упругой и пластической частей и равна величине деформации, как тела Максвелла, так и тела Кельвина. При различии их вязкихдеформаций перекос модели выравнивается за счет изменения упругих деформаций. Элемент Сен-Венана выступает как регулятор уровня проявления свойств последействия упругой деформации и релаксации упругих напряжений, в том числе он сдерживает развитие мгновенных упругих деформаций на первой стадии течения.
Усилие, действующее на почву согласно модели, равно сумме усилий в упругом, вязком и пластическом элементах:
r= Gy0+T]y+tT, (21)
где Gyg — суммарное сопротивление мгновенных упругих деформаций; г/у—сопротивление упруговязкой деформации; тт= rsv— сухое (кулоново) трение.
Если в почве отсутствует внутреннее трение rsv= О, то уравнение (21) переходит в зависимость (3) деформирования тела Кельвина. При постоянной деформации у = const напряжение, как следует из равенства (21), остается постоянным г = Gy + rsv, в то же время с увеличением скорости деформации сопротивление почвы возрастает неограниченно по уравнению прямой вида:
у = ах + Ъ. (а)
В реальных же условиях зависимость (21) аппроксимируется затухающей кривой. Такое несоответствие объясняется тем, что уравнение (21) не учитывает увеличение упругой деформации за счет вязкой с ростом приложения скорости нагрузки (скорости деформации).
Исходя из учения В.П. Горячкина об ударе [6], можно допустить, что уменьшение вязкопластичных деформаций, а равно и вязких напряжений, в пользу упругих на первой стадии деформирования [1] пропорционально коэффициенту:
D = V/U, . (б)
где V— скорость деформации; U — скорость распространения упругих колебаний в почве.
С учетом (б) уравнение (21) запишется в виде:
r=Gy0+\riy-]^<jiy-GYi)^+xsr, (22)
где уд — длительная упругая деформация, протекающая одновременно с вязкой на первой стадии деформирования [1].
При У= 0 сопротивление деформации, как следует из зависимости (22), складывается из суммы мгновенно упругого, вязкого и сен-венанова сопро-
тивлений. В случае, когда У= и сопротивление почвы представляет собой сопротивление упругого тела, обладающего внутренним трением (идеально упругого дискретного тела). Уравнение его деформирования имеет вид:
г = (Х-Уо+ + гГ- <23)
Если в модели (22) напряжение сухого трения тт заменить его значением tg,р'о, а сумму напряжений Сг/ + г)у считать равной С — силе сцепления межчас-тичных связей, то получим модель предельного состояния Кулона [7]:
г=С+фр'ог, (24)
где <р' — угол внутреннего трения среды; а — нормальное напряжение, действующее на площадке скольжения; г — касательные напряжения, вызывающие сдвиг части материала при потере им прочности.
Таким образом, предложенная реологическая модель отображает не только течение деформации, но и предельное напряженно-деформированное состояние почвы перед потерей прочности.
Анализ результатов исследований реологии в целом и фунтов, в частности, показал, что основные задачи механики почвы нельзя решать без учета ее реологических свойств.
Из классических теорий упругости и пластичности следует, что напряженно-деформированное состояние материала вполне определяется величиной нафузки и порядком ее приложения.
Конечная цель механики фунтов — исследование изменения во времени напряженно-деформирован-ного состояния фунта; механики почв — потеря прочности почвы в виде отделения (подъема) части (пласта) от целого (массива).
В реологии фунтов определяющий фактор изменения напряженно-деформирующего состояния — время, в механике почв (почвообработке) — скорость.
Закономерности, связывающие поведение тела под нафузкой с его свойствами — упругостью, пластичностью, вязкостью и их сочетаниями — устанавливаются на основе проектирования реологических моделей. Назначение модели — формулирование уравнения деформации тела под нафузкой.
Предложенная реологическая модель почвы, включающая параллельное соединение тел Кельвина, Максвелла и элемента Сен-Венана, отображает упруговязко-пластическое течение почвы под нафузкой и кардинальное свойство дискретных тел в начальном и в предельном напряженно-деформированном состоянии вплоть до потери прочности.
Литература.
1. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов: Уч. пособие для строительных ВУЗов. — М.: Высшая школа, 1978.
2. Кушнарев А. С. Механика почв: задачи и состояние работ. // Механизация и электрификация сельского хозяйства. — 1987. — №3.
3. Залоторевская Д.И. Математическое моделирование динамики деформирования и уплотнения почв. // Почвоведение. — 2007. —
т.
4. Kisel /., Lysik R Zarys reologii gruntow. Dzialanie obciazenia statucznego та grunt/ Warszawa, 1956.
5. Гольдштейн M.H., Бабицкая С. С., Мизюмский В А. Методика испытания грунтов на ползучесть и длительную прочность. — Вопросы геотехники. Сборник №5, 1962.
6. Горячкин В.П. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 1. — М.: Колос, 1968.
7. Цытович Н.А. Механика грунтов. — М.: Стройиздат, 1963.
