Матрица состояний нелинейного регистра сдвига с обратными связями и ее влиянием на формирование сигнатуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

Поступила в редколлегию 21.02.2007

Дзюндзюк Борис Васильевич, д-р техн. наук, проф. зав. кафедрой «Охрана труда» ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование эргатических систем. Хобби: путешествия. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-360. Наумейко Игорь Владимирович, канд. техн. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Сердюк Нат алья Николаевна, ассистент кафедры «Охрана труда» ХНУРЭ. Научные интересы: управление условиями труда на рабочих местах. Хобби: плавание. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-360.

Стыценко Татьяна Евгеньевна, старший преподаватель кафедры «Охрана труда» ХНУРЭ. Научные интересы: электромагнитная безопасность. Хобби: вязание, кулинария. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-360.

УДК 681.324 А.Н. РЫСОВАНЫЙ

МАТРИЦА СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО РЕГИСТРА СДВИГА С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА ФОРМИРОВАНИЕ СИГНАТУРЫ

Рассматривается задача определения сигнатуры нелинейными регистрами сдвига с обратными связями по состоянию столбцов матрицы состояний. Выводятся формулы определения столбцов матрицы состояний, расчетов степеней матрицы связей и их взаимное влияние.

1. Введение

Современный уровень развития микроэлектроники предъявляет новые требования к проектированию цифровой техники. Усилия многих ведущих фирм-производителей направлены на усовершенствование старых и разработку новых методов диагностирования цифровой техники.

Одной из разновидностей диагностирования цифровых узлов и блоков является тестовое диагностирование, применение которого на этапе проектирования и изготовления цифровых узлов позволяет определить правильность их функционирования и осуществить процедуру поиска неисправностей. При разработке тестовой диагностики возникает сложность в определении эталонных реакций при тестировании существующих схем, а также в определении оптимального числа контрольных точек для снятия выходной реакции диагностируемой цифровой схемы. Это можно сделать создавая прототип разрабатываемого цифрового устройства и проводя его диагностику аппаратными методами либо осуществляя моделирование на персональном компьютере как цифрового устройства, так и процесса диагностики. Наиболее рациональным является второй подход, который предполагает создание автоматизированных систем диагностики, позволяющих производить диагностику цифровых схем на стадии проектирования. Актуальность данной работы определяется тем, что при диагностировании некоторых классов цифровых схем (таких как программируемые логические матрицы) оказывается неэффективным псевдослучайный тест с линейного регистра сдвига с обратными связями, который связан с большим числом сходящихся разветвлений и специальным видом неисправностей в таких схемах [1]. Кроме того, для диагностирования схем, которые имеют три стабильных состояния, а также линий передачи данных, имеющих три уровня сигнала, предпочтительнее использовать устройства, предназначенные именно для решения таких задач [2]. К этим устройствам относят и нелинейные регистры сдвига с обратными связями. При их построении используются полиномы с коэффициентами не с двоичного поля Галуа GF(2).

Наибольший интерес представляют системы диагностики с использованием нелинейных регистров сдвига с обратными связями, вопросы синтеза и применения которых нуждаются в дальнейших совершенствованиях. Например, в работе [3, с. 61] сказано, что:"... в настоящее время мы располагаем весьма скудной информацией о построении нелинейных кодеров". Перекликается с этим высказыванием и работа [4, с. 3]: "... разрыв между практикой и математической теорией недвоичного помехоустойчивого кодирования не сокращается или сокращается недостаточно быстрыми темпами".

Применению линейных регистров сдвига посвящено много работ. Но класс нелинейных регистров сдвига значительно шире линейных. Например, в [5, 6] указаны некоторые области применения, где целесообразнее использование нелинейных регистров с обратными связями. Если регистр сдвига применяется для диагностирования цифровой техники, то такие устройства называются сигнатурными анализаторами (СА).

Целью данной работы является усовершенствование математического аппарата теории нелинейного сигнатурного анализа с детальным рассмотрением формирования проверочной матрицы и матрицы связей, которые позволяют вместе с выбранным полиномом прогнозировать получаемые сигнатуры с полностью подконтрольными разработчику свойствами, рассчитанными на индивидуального потребителя.

Задачи исследования:

- нахождение математических зависимостей между матрицами связей и состояний;

- вывод формулы для определения различных степеней матрицы связей на основании известных состояний регистра сдвигов.

2. Основная часть

Основой сигнатурного анализатора есть регистр сдвига с обратными связями, выбор которых определяется видом обратных связей.

Сигнатурный анализатор называется нелинейным [7 - 9], если коэффициенты при аргументах принадлежат множеству а; е{0,1,2,...,п -1}.

Функциональная схема одноканального НСА (НОСА) с полиномом Р(х) = х4 ©3 х ©3 1 приведена на рисунке.

Функциональная схема НОСА с Р(х) = х4 © 3х © 3 1

При подаче на вход НОСА с Р(х) = х4 ©3 х ©3 1 логической 1 и последующих сдвигах получится матрица состояний Н:

1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2 1 1

0 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2 1

0 0 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2

0 0 0 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 2 0 1 1 0 0 1 2 2 2 0 2 1 0 0 2 0 0 0

1 0 2 0 1 1 0 0 1 2 2 2 0 2 1 0 0 2 0 0

1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 2 2 2 0 2 1 0 0 2 0

2 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 2 2 2 0 2 1 0 0 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2 2 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 2 2

0 2 2 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 2

0 0 2 2 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1

0 0 0 2 2 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

0 1 0 2 2 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0

2 0 1 0 2 2 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0

2 2 0 1 0 2 2 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0

1 2 2 0 1 0 2 2 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

В общем случае матрица состояний имеет вид:

I I т

н = |ЬхЬ2Ь3...^...Ьп| ,

т

где И! = 10...0 - начальное состояние регистра; Т - символ транспонирования матрицы.

Матрица связей определяет связи между разрядами регистра сдвига и изменяется в зависимости от выбранного образующего полинома Р(х). Например, для Р(х) = х4 ©3 х ©3 1 матрица связей 8 имеет вид:

1001 1000 0100 0010

81 =

Первая строка матрицы 8 показывает, что на первый разряд регистра сдвигов подается информация с выходов 4-го и 1-го разрядов этого регистра, просуммированная по модулю поля Галуа GF(pn). При использовании полинома Р(х) = х4 ©3Х©3 1 из конечного поля GF(3) суммирование осуществляется по mod3. Вторая строка матрицы 8 показывает, что выход первого разряда регистра сдвигов подается на вход первого разряда этого регистра и т.д.

Утверждение 1. Каждый последующий столбец матрицы состояний определяется путем перемножения по модулю поля предыдущего столбца матрицы состояний на матрицу связей регистра сдвига с обратными связями.

Доказательство. Покажем справедливость этого утверждения на примере нелинейного СА с Р(х) = х4 ©з х ©з 1. Для этого определим некоторые столбцы матрицы состояний:

Ь2 = Ь, ®3 81 =

1 ^ 3

1 1001 1 1 1001 1

0 0 ® 3 1000 0100 = 1 0 ; Ь3 = Ь2 ©3 81 = 1 0 ® 3 1000 0100 = 1 1

0 0010 0 0 0010 0

Ь4 = Ь3 ®3 81 =

33

Ь6 = ®3 81 =

5 ^3

1 1001 1 1 1001 2

1 1 ® 3 1000 0100 = 1 1 ; Ь5 = Ь4 ©3 81 = 1 1 ® 3 1000 0100 = 1 1

0 0010 1 1 0010 1

2 1001 0 0 1001 1

1 1 ® 3 1000 0100 = 2 1 ; ь7 = Ь6 ©3 81 = 2 1 ® 3 1000 0100 = 0 2

1 0010 1 1 0010 1

и т.д.

Таким образом, обобщенная формула определения столбцов матрицы состояний определяется как:

\ = Ьм ® 81 , при h! =| 1000 |Т (1)

и зависит только от вида матрицы связей. Однако необходимо помнить, что и матрица связей, и проверочная матрица формируются в зависимости от вида используемого образующего полинома из выбранного поля Галуа GF(pn).

Утверждение 2. Каждый последующий столбец матрицы состояний определяется путем перемножения по модулю поля первого столбца матрицы состояний на матрицу связей степени предыдущего столбца регистра сдвига с обратными связями.

Доказательство. В связи с тем, что матрица связей всегда квадратная и ее размер (г х г) определяется только видом полинома Р(х), то любой ее ьй столбец должен соответствовать определенному столбцу матрицы состояний. Например, для

Р(х) = х4 ©з х©з 1 матрица связей 81 имеет вид:

81 =

1001 1000 0100 0010

= Ь 2 Ьу9Ь8оЬ1

В начале доказательства определим некоторые столбцы матрицы связей:

82 = 81 ® 81 =

83 = 81 ® 82 =

84 = 82 ® 82 =

1001 1001 1011

1000 0100 © 3 1000 0100 = 1001 1000

0010 0010 0100

1001 1011 1111

1000 0100 © 3 1001 1000 = 1011 1001

0010 0100 1000

1011 1011 2111

1001 1000 © 3 1001 1000 = 1111 1011

0100 0100 1001

= ЬзЬ80Ь1Ь 2

= Ь4Ь1Ь2Ьз

= Ь5Ь2Ь3Ь4

85 = 82 ® 83 =

1011 1111 0112

1001 1000 © 3 1011 1001 = 2111 1111

0100 1000 1011

6П3П4П5 и т.д.

Следовательно, обобщенная формула расчетов степеней матрицы связей имеет вид:

Si = |Ь^-2|. (2)

Из формулы (2) следует, что первый столбец матрицы связей Si есть последующий столбец матрицы состояний Н . Эта формула позволяет определить всю матрицу связей Si различной степени без предварительного ее расчета, так как матрица состояний Н регистра сдвига известна заранее и столбец ^ всегда определен. Наиболее практично, если известен столбец Ь^, потому что все остальные столбцы определяются из Ь^ путем сдвига на НОСА.

Определим некоторые столбцы матрицы состояний Н :

h 2 = h, ® 3 S1 =

® 3

h4 = h, ®3 S3 =

1 ^ 3

® 3

1001 1000 0100 0010

1111 1011 1001 1000

h3 = h2 ©3 S2 =

1 1011 1

0 0 ® 3 1001 1000 = 1 1

0 0100 0

h5 = h1 © 3 S 4 =

13

1 2111 2

0 0 ® 3 1111 1011 = 1 1 и т.д

0 1001 1

В отличие от (1) следующая обобщенная формула определения столбцов матрицы состояний определяется как:

hi = hj ®3 Si-1, при hj =| 1000 |T . (3)

Таким образом, hi = hj ®3 Si-1 = hi-1 ®3 S1.

Полученные формулы (1)-(3) позволяют не только определить результирующую сигнатуру НСА, но также могут быть применимы для определения и локализации ошибок различной кратности.

3. Выводы

В результате проведенных исследование найдены формулы определения проверочной матрицы, зависящие только от вида матрицы связей, которая, в свою очередь, формируется в зависимости от вида используемого образующего полинома из выбранного поля Галуа GF(pn).

Выведена формула расчетов степеней матрицы связи, которая позволяет определить всю матрицу связей различной степени без предварительного ее расчета, только на основании известных состояний матрицы состояний.

Практическая значимость данной работы состоит в том, что полученные результаты расчетов матриц могут быть применимы как для определения, так и для локализации ошибок различной кратности в зависимости от длины последовательности.

Научная новизна исследований заключается в том, что впервые получены математические зависимости для конечного поля Галуа GF(3) матриц связей и матрицы состояний.

Список литературы: 1. Латыпов Р.Х. Воспроизведение тестовых наборов и сжатие данных нелинейными регистрами сдвига // Автоматика и телемеханика. М.: Наука, 1989. .№10. С. 167-172. 2. Рысованый А.Н., Гоготов В.В. Выбор полиномов для нелинейных регистров сдвига с обратными связями по критерию формирования последовательности максимальной длины // Системи управлшня, навц-аци та зв'язку. К.: Центральний науково-дослщний шститут навц-аци i управлшня, 2007. Вип.1. С. 77-79. 3. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 576 с. 4. МуттерВ.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 288 с. 5. Karpovsky M.G., Nagvajara P. Optimal robust compression of test responses // IEEE Trans. Comput. 1990. 39, N1. P. 138 -141. 6. РысованыйА.Н. Выбор полиномов для нелинейных сигнатурных анализаторов по критерию сложности технической реализации // Харшв: ХАЖДТ, Зб. наукових праць "Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте". 2007. Вип. 2. С. 96 - 99. 7. А.с. 1264180 СССР. Сигнатурный анализатор. ИвановМ.А., Кл. G 06 F 11/00. 8. БарашкоА.С. Характеристическая функция нелинейного сигнатурного анализатора // Электронное моделирование. 2000. Т.22, №6. С.59-65. 9. Барашко А.С. Об одной гипотезе, касающейся нелинейных аналогов примитивных сигнатурных анализаторов // Электронное моделирование. 2000. Т.22, .№6. С.84-89.

Поступила в редколлегию 03.03.2007

Рысованый Александр Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры вычислительной техники и программирования НТУ "ХПИ". Научные интересы: контроль и диагностика цифровой техники. Адрес: Украина, 61002, ул. Фрунзе, 21, тел. 70-76-165, E-mail: [email protected]