Матричный метод проверки изоморфизма графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИМ ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Ш 512-643.8 А. А- Беспалов

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ПРОВЕРКИ ИЗОМОРФИЗМА ГРАФОВ

Введение. Поскольку целью статьи является обоснование наиболее перспектив-лого. на наш взгляд, подхода к решению популярной проблемы изоморфизма графов, » будут приведены некоторые известные определения и факты, которые в другом случае были бы излишними.

Не переходя пока к строгим определениям и считая, что читатель в той или иной мере знаком с упомянутой проблемой, укажем на два традиционных подхода к решению этой проблемы, используемых в теории графов.

Первый метод основывается на вычислении инвариантов графов. Инвариант графа иг- меняет своих значений на изоморфных графах, следовательно, равенство инвариантов — необходимое условие изоморфизма графов. Примерами инвариантов являются: ’число вершин, число дуг, число циклов заданной длины в графе и т.п. К наиболее ждагргим инвариантам графа также относятся плотность — число вершин наибольшего шюгаого подграфа, неплотность — наибольшее число попарно смежных вершин графа, число компонент графа, число Хадвигера — количество вершин, на которое можно стя-жтть наибольший полный граф. В качестве инвариантов графа можно рассматривать не одно число, а, например, вектор значений вышеуказанных параметров. Все перечисленные и многие другие инварианты не гарантируют изоморфизм графов, т.е. не являются полными. Полный же инвариант графа С? — это такая функция /(О), для которой равенство /(С?) = /(Н) выполняется тогда и только тогда, когда графы С? и Н изоморфны.

Второй подход к решению задачи об изоморфизме графов основан на исчерпывающем переборе. Большинство известных переборных алгоритмов основано на разбиении множества вершин каждого из графов на подмножества, которые в случае изоморфизма графов также должны соответствовать друг другу. Об этой ситуации в [1, с. 41] сказано: «Общее число шагов, которое необходимо сделать для выяснения изоморфизма графов с п вершинами, равно п\. Если удачно провести классификацию вершин графов и наделить полученные классы сравнительными характеристиками, то общий перебор можно сократить по крайней мере до ^ щ\ , где щ — число вершин в г-том классе».

Перебор большого числа вариантов, а п! при большом п — огромное число (в этом и состоит проблема изоморфизма графов), требует различения и фиксации вариантов. Последнее достигается нумерацией и перенумерацией вершин графа. Как только вершины графа пронумерованы, так графу можно сопоставить матрицу из нулей и единиц. Причем в г-той строке и ^'-том столбце матрицы стоит единица, если г-тая

© А. А. Беспалов, 2004

вершина графа связана с j-той вершиной. В противном случае на указанном месте стоит нуль (строгие определения см. ниже). Матричная интерпретация графов давно и прочно вошла в литературу по теории графов, а также по смежным отраслям знаний, где используется теория графов (см., например, [2, с. 178; 3, с. 267]).

Несмотря на вышесказанное, систематического использования матричного метода решения проблемы изоморфизма графов в литературе обнаружить не удалось. Этот метод состоит в следующем. Выше отмечалось, что как только вершины графа перенумерованы, так графу единственным способом сопоставляется матрица. Если перенумеруем вершины графа другим образом,' то получим другую матрицу. Переход от первой матрицы ко второй совершается с помощью умножения первой матрицы слева на некоторую матрицу перестановки Р [4, с. 39], а справа - на матрицу Р', транспонированную к Р. Такое преобразование матрицы в литературе [5, с. 352] называется перестановкой рядов, т.е. перестановкой строк и точно такой же перестановкой столбцов. Будем в дальнейшем такое преобразование матрицы называть преобразованием P-подобия. В этих терминах графы будут изоморфными, если их матрицы Р-подобны. Другими словами, чтобы выяснить, изоморфны два графа или нет, необходимо установить, можно ли с помощью преобразования P-подобия матрицы первого графа перейти к матрице второго графа. Если такой переход возможен, то мы не только устанавливаем изоморфизм графов, но и указываем перенумерацию вершин первого графа, т.е. переход, задаваемый матрицей Р, от первоначальной нумерации к искомой, в которой обе матрицы графов будут одинаковыми.

Понятно, что поиск необходимой матрицы Р равносилен перебору (число матриц перестановок n-го порядка равно п\). Однако мы резко сократим число подлежащих испытанию матриц Р, если будем рассматривать инварианты преобразования Р-подобия. Несовпадение инвариантов ведет к отрицательному ответу на вопрос об изоморфизме, графов. .

Из определения P-подобия как перестановки рядов следует, что инвариантами этого преобразования будут все строчные и столбцовые суммы элементов матрицы графа, т.е. составы векторов строчных и столбцовых сумм. Далее, поскольку при перестановке рядов диагональные элементы матрицы остаются на диагонали, то как состав диагонали, так и след матрицы, т.е. сумма диагональных элементов, будут также инвариантами указанного преобразования. Поскольку из P-подобия матриц следует P-подобие степеней соответствующих матриц, то, наряду с указанными выше инвариантами матриц, для решения задачи изоморфизма графов будем изучать аналогичные инварианты степеней матриц.

К рассмотрению степеней матриц приводит и следующее наблюдение. Р-подобие . матриц есть частный случай подобия. Из подобия следует равенство характеристических многочленов таких матриц, откуда вытекает, что коэффициенты характеристического многочлена — инварианты преобразования P-подобия. Коэффициенты многочлена, в соответствии с формулами Виета с точностью до знака, являются основными симметрическими многочленами от корней многочлена [6, с. 284]. Они однозначно выражаются через степенные суммы корней многочлена с помощью формул Ньютона (там же, с. 290). Степенные суммы корней для характеристического многочлена матрицы есть не что иное, как следы степеней матрицы. Этим оправдано рассмотрение вместо одних инвариантов других, которые рассчитываются легче, т.е. вместо вычисления п коэффициентов характеристического многочлена матрицы n-го порядка (напомним, что старший коэффициент характеристического многочлена всегда равен Единице) можно определять следы последовательных степеней матрицы до п-й включи-

телъно. Вычисление степеней матриц, как и упомянутых выше инвариантов, является однообразной процедурой, легко реализуемой на персональной ЭВМ.

Нужно отметить, что из равенства характеристических многочленов следует равенство их корней. Поскольку матрица графа неотрицательная, то из замечания выше вытекает, что число Фробениуса—Перрона [7, с. 141] и, как нетрудно видеть (см. ниже), состав нормированного вектора Фробениуса—Перрона (в том случае, если он единственен) также являются инвариантами преобразования Р-подобия. Перечисленных инва-реантов, как правило, достаточно для практического решения проблемы изоморфизма графов. Можно предложить различные 'практически реализуемые алгоритмы решения проблемы изоморфизма графов матричным методом. Один из них изложен в данной статье. Другой алгоритм может быть получен на основании результатов работы [8,

1. Понятие бинарного отношения, его матрица. Р-подобие матриц. Начнем с определения бинарного отношения.

Определение 1.1 [3, с. 15]. Бинарным отношением Я на множестве X называется подмножество Я множества X х X, т.е. Я С X х X.

Если пара (х, у) входит в Я, т.е. (х, у) € Я, то иногда пишут хЯу, что читается: «I» находится в отношении Лс<Су>.

Если элементы конечного множества X, а именно такие и будем изучать в дальнейшем, упорядочены каким-либо образом, то само множество X можно считать столбцом. Тогда декартово произведение X х X будем рассматривать как формальное произведение столбца X на строку X' (штрих здесь и далее — обычное транспонирование, используемое в теории матриц).

Пример 1.1. Пусть X = {а,/3,7, <5} ий = {(а, а), (а, /3), (7, б)}. В нашем случае X х X будет соответствовать набор пар, полученных следующим образом:

Чтобы бинарное отношение Я можно было также представить в виде матрицы, заменим в (1) все пары, не входящие в Я, нулями, тогда

с. 321].

VЧ

((а, а) (а,0) (о:, 7) (а,<5)\

09, а) ОМ) (/5,7) СМ)

(7>“) (7.0) (7,7) (%<*)

\(*,а) (6,0) (<5,7) (М)У

(1)

((а, а) (&,(}) 0 0 ^

О ООО

(2)

О 0 0 (7,(5)

\ О ООО/

Бинарному отношению Я можно взаимно однозначно сопоставить матрицу А, полученную из (2) заменой всех ненулевых пар (а, а), (а,/3), (7,5) единицами. Таким образом,

R

A =

(1

0

0

\°

0\

0

1

0/

т.е. мы взаимно однозначно сопоставили бинарному отношению матрицу, которую в дальнейшем будем называть матрицей бинарных отношений.

/5\

а

Теперь рассмотрим вектор Хг =

лучен из вектора Х\ =

7

W

Нетрудно видеть, что он может быть по-

, где

р =

/0 0 0 1\

10 0 0 0 0 10 \о і о о/

Рассмотрим Х2 х Х'2:

(а\ (5\ / а\

/3 а /3

7 путем перемещения строк, т.е. 7 = р 7

W U W

матрица, осуществляющая перестановку строк.

Х2 х X' = (РХх) х (Х[Р') =

= Р(Хх х Х[)Р' =

/(6,8) (8,13) (8,7)

(а, 8) (а, а) (а, 7)

Ь,6) Ь,а) (7,7)

\(0,8) (13, а) 03,7)

Получается, что бинарному отношению Я при другой нумерации элементов будет соответствовать матрица

(М)\

(<*,£)

(l,P)

ому

R =

/ 0 0 0 0 \

0 (а, а) 0 (а,р)

(у,8) 0 0 0

V 0 0 0 0 /

<—> В =

fo 0 0 о\

0 1 0 і

1 0 0 0

К* 0 0 о/

т.е. 5 = РАР'.

Обобщение данного примера на n-мерный случай тривиально.

Замечание 1.1. Очевидно, что от одной нумерации вектора X можно перейти к другой с помощью матрицы перестановок и таких переходов га!, т.е. га! матриц Р. Сам же переход РХ по сути является перенумерацией исходного множества X. Отсюда следует, что каждому бинарному отношению соответствует целый класс матриц вида РАР1, где А — матрица, отвечающая данному бинарному отношению, при некоторой первоначальной (исходной) нумерации элементов множества, на котором задано бинарное отношение.

Определение 1.2. Матрицы А и В будем называть P-подобными, если выполняется соотношение РАР' = В, причем Р — матрица перестановок.

Определение 1.3 [5, с. 80, определение 10]. Матрицы А и В, связанные отношением В — т_1лг, где Т — некоторая неособенная матрица, называются подобными.

Замечание 1.2. Сравнивая определения (1.2) и (1.3), видим, что Р-подобие является частным случаем подобия матриц.

2. Изоморфизм графов, матричная интерпретация. Будем пользоваться следующим определением графа.

Определение 2.1 [1, с. 34]. Конечным графом С = (Х,Я) называется пара, где X — конечное множество вершин, а Л — бинарное отношение на X.

Из этого следует, что как только вершины графа С = (X, Я) перенумерованы, так базарному отношению Я однозначно сопоставляется матрица А, которую в дальнейшем будем называть матрицей графа. Все сказанное выше относительно матриц бинар-дкгт отношений, очевидно, переносится на матрицы графа. Иногда введенную выше матрицу бинарных отношений (следовательно, и матрицу графа) называют матрицей смежностей или матрицей смежности.

Определение 2.2 [1, с. 35]. Графы С? = (X,К) и Н = (У,ф) называются изоморфными, если существует биекция (р : X У такая, что для всех х,у £ X и г, Ь 6 У, хи которых <р(х) = г, (р(у) = Ь, из того, что хЯу в С?, следует, что в Н.

Это определение можно переписать в следующем виде.

Определение 2.3. Графы С? = (Х,Я) и Н = (У, Я) называются изоморфными. если существует нумерация элементов множеств X = {Х1,Х2,...,жп} и У = \У;*У2--чУп}) определяющая функцию <р(Х{) = Уг такую, ЧТО (Хг,Х^ € Я тогда и только тогда, когда (у{,у^ £ <2-

Определение (2.3) эквивалентно таким определениям:

Определение 2.4. Графы й = (X, Я) и Н = (У, ф) будем называть изоморфными, если существует такая нумерация элементов множеств X и У, при которой им будет гссггвегствовать одна и та же матрица смежности.

Определение 2.5. Графы С? = (X, Я) и Н — (У, <5) будем называть изоморфными, если их матрицы Р-подобны между собой.

Определение (2.5) указывает путь поиска решения проблемы изоморфизма графов. Пусть при произвольной нумерации вершин графа О ему соответствует матрица А, графу Я в его собственной нумерации вершин — матрица В, таким образом, проблема изоморфизма графов сводится к проблеме Р-подобия соответствующих им мат-реп смежности А и В. Другими словами, проблема сводится к отысканию такой матрацы Р, что РАР' = В. Если такая матрица существует, то графы (7 и Н изоморфны, если нет — то не изоморфны.

Следовательно, для ответа на вопрос об изоморфизме графов необходимо получить ответ на вопрос о Р-подобии их матриц смежности. Из замечания (1.1) вытекает, что данное определение позволяет использовать свойства Р-подобия матриц для изучения изоморфизма графов и следить за перенумерациями, производимыми с помощью матриц Р.

Пусть при произвольной нумерации графу (3 соответствует матрица А, графу Н в его собственной нумерации — матрица В, таким образом, проблема изоморфизма графов сводится к проблеме Р-подобия соответствующих им матриц смежности А и В.

Пример 2.1. Рассмотрим два графа С? = (Х,Я) и Н\ = (У,(?1), X = {1,2,3} и У = {а, Ь, с}. Пусть Я = {(1,2), (2,3), (3,1)} и фх = {(а, с), (с, Ь), (Ь, о)}. Тогда биекция ф : X —> У, задаваемая перечислением </э : 1 —> а, 2 —> с, 3 —)• Ь, будет являться изоморфизмом.

В матричной интерпретации графам С? = (Х,Я) и Н = (У, (^1) (У — упорядоченное

множество У, У = I Ъ I) соответствуют матрицы А и В\ такие, что А —

Vе/

/О О 1\

В\ = 1 0 0 . Биекцию (р установит операция Р-подобия с матрицей перестановок

Р = 0 0 1 I, и будет выполнено соотношение РАР' = В\.

\0 1 0) 1 Пример 2.2. Теперь рассмотрим два графа G = (X,R) (из предыдущего примера) и Я2 = (У, <3г)) $2 = {(а, Ь), (с, а), (£>,а)}. Очевидно, что графу Я2 будет взаимно однозначно соответствовать следующая матрица:

Яг <—^ Яг —

Нетрудно видеть, что матрица Яг может быть получена из матрицы В\ (см. пример (2.1)) перестановкой двух последних столбцов.

Графы б и Яг не являются изоморфными, так как их матрицы не Р-подобны. Напомним, что Р-подобие — это частный случай подобия, и, следовательно, характеристические многочлены Р-подобных матриц, т.е. соответствующие коэффициенты этих многочленов, должны быть равными. У характеристических многочленов матриц А и Р2 графов С и Яг это не так, поскольку А = — с^Яг и Эр(А) = 0, Зр(Я2) = 1, т.е. соответствующие коэффициенты характеристических многочленов не равны.

3. Матричные инварианты и алгоритм решения задачи Р-подобия матриц. Рассмотрим вектор е = (1,1,...,1)'; очевидно, что для любой матрицы перестановки Р: Ре = Р'е = е.

Введем обозначения: вд = Ае, дА = А'е. Нетрудно видеть, что — вектор строчных сумм, а дА — вектор столбцовых сумм матрицы А.

Очевидно и следующее утверждение.

Утверждение 3.1. Матрица А из нулей и единиц будет являться матрицей перестановки тогда и только тогда, когда вл — Ча — е.

Рассмотрим две Р-подобные матрицы А и В (В = РАР'). Из Я = РАР' следует, что ев = Яе = (РАР')е = РАе = Ре а- Аналогично получаем, что дв = Рдл- Далее Я2 = (РАР')(РАР') = РАР'РАР' = РА2Р'. Отсюда вытекает, что вв2 = Р5л2> дВ2 = и вообще вВк = РзА1=, 5в*> = Ряа* Для степени к. Последнее означает,

что составы строчных и столбцовых сумм степеней матрицы являются инвариантом преобразования Р-подобия (элементы столбцов лишь переставляются).

Обозначим через Б а диагональную матрицу, полученную из матрицы А, т.е. И а = (а,ц 0 ... О \

О а22 • • • О

. Введем в рассмотрение вектор с1а = (ац,а22,...,апп)'. Для

: ... О

У 0 0 ... &пп)

рассматриваемых выше Р-подобных матриц А и Я Яв = РЯдР' и Л в = Р&А и вообще £>в* = РЯ^Р' и <1Вк = Рс1аь.

Сказанное выше относительно инвариантов вдь и имеет место и для инвариантов с1аь ) к = 1,2,... .

Пусть Р-подобные матрицы А и В неразложимые [5, с. 352] и

В = РАР', ВХв=\вХв, АХа=\аХа, (3)

сие Ад, \в — числа Фробеииуса—Перрона, Ха > 0 и Хв > 0 — вектора Фробе-шшуса—Перрона матриц А и В.

Будем полагать, что

е'ХЛ = е'Хв = 1. (4)

Из подобия матриц А ш В следует равенство корней характеристических много-члияов. в частности равенство Ад = ХВ] из свойств неразложимых неотрицательных

капряц - единственность векторов Ха и Хд, удовлетворяющих соотношению (4).

Возьмем соотношения (3) и рассмотрим цепочку следствий, вытекающую из них: ЛХл = ХАХА =» РАХа = ААРХА =► РАР'РХа = ААРХА =* В(РХА) = АА(РХА) =► В РХА) = Ав(РХа) => ХВ = РХа• Таким образом, показано, что при преобразовании Р-подобия состав вектора Xа не меняется. Может изменяться только порядок элементов вектора ХА.

Введем еще два определения, характеризующих неотрицательные матрицы.

Определение 3.1. Назовем число всех различных строк в матрице А ее разнообразием. Строки называются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, расположенным на одинаковых местах в строке.

Если обозначим через рА разнообразие матрицы А, то очевидно, что ра < п, где п — число строк матрицы. Разнообразие вектора — частный случай разнообразия матрицы.

Определение 3.2. Будем говорить, что две матрицы одинаковы по составу, если они отличаются друг от друга лишь перестановкой строк.

Изложим теперь алгоритм решения задачи — Р-подобны ли две квадратные матрицы одинаковой размерности из нулей и единиц или нет?

Возьмем матрицы А я В, подозрительные на Р-подобие, и будем предполагать, что с помощью алгоритма, изложенного в статье [8, с. 321], они приведены к квазидиаго-нальному виду [5, с. 56]

(А, 0 . • 0 ^ (Вх 0 . . 0\

0 Лг . .. 0 , QBQ' = • о to to . 0

•• 0 . 0

\о 0 . • Akj 0 0 . • Вк)

где ни одна из матриц-блоков Аі и Ві с помощью перестановки рядов уже не может быть приведена к квазидиагональному виду. При этом матрицы А( и Ві либо неразложимы, либо нулевые, либо имеют квазитреугольный вид [5, с. 56] с неразложимыми или нулевыми матрицами-блоками на диагонали.

Предположим далее, что на основании размерностей блоков Аі и Ві, их структуры, инвариантов sAi, qAi, dAi и sBi, Яв{, dBi и перестановки блочных рядов нам удалось однозначно сопоставить каждому блоку Аі соответствующий блок В і (і = 1,..., к). То есть будем считать, что удалось свести задачу проверки P-подобия матриц РАР' и QBQ' к задачам P-подобия матриц А{ и Ві (і = 1,..., к). Поскольку мы свели одну

• задачу к к однотипным задачам, то, не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем

* примем, что исходные матрицы А и В имеют вид

(Ах * . ' * ^ (Вх * . •

0 А<1 . . * 0 в2 . . *

А = . * , в = . *

\о 0 . ■ А-к) \о 0 . • Вк)

где А и В не сводимы с помощью перестановки рядов к квазидиагональному виду, а Л* и В; — неразложимые или нулевые матрицы.

Замечание 3.1. К виду (5) матрицы А и В приводятся все тем же алгоритмом, изложенным в статье [8, с. 321].

Предположим вначале, что матрицы А и В — неразложимые. Они могут быть подозрительными на Р-подобие тогда и только тогда, когда Ад равно Ад и матрицы = («л, ХА) и = (зв,дв,(^в,Хв) имеют одинаковый состав. Последние

столбцы в матрицах Я^ и Яв\ т.е. ХА и Хв - это положительные нормированные (сумма координат равна единице) собственные вектора матриц А и В, отвечающие собственным числам Ад и А в соответственно.

Из предположения, что матрицы Я^ и Я^ имеют одинаковый состав, следует, что их разнообразия равны. Обозначим это общее разнообразие рх. Если р\ = п, то существует единственная матрица Р такая, что Я$ = РЯА\ Остается проверить, будут ли матрицы В и РАР' равны или нет. Если они равны, то матрицы А и В Р-подобные, если нет - не Р-подобные.

Когда рх <п, делаем следующий шаг: строим матрицу

ЯА^ = (8д,дд,йд,Хд,8д2,дд2,^д2)

и соответственно матрицу

/п\

= (вв,яв,(1в,хв,8в*,яв2,(1в2)

и проверяем, имеют ли они одинаковый состав или нет. Если нет — процесс останавливаем и заключаем, что А и В не Р-подобные. Если да, то вычисляем р2 и сравниваем его с п. Если р2 = га, то концовка процесса такая же, как в случае р\ = п. Если р2 <п, то делаем следующий шаг и строим матрицы Я^ и Я^ ■ На каком-то к-том шаге получим либо рк = п, либо рк = Рк-1 < п. В обоих случаях процесс заканчивается. Причем, когда рк = п, процесс заканчивается проверкой, равны ли матрицы В и соответствующая РАР'. В случае, когда рк = рк-\ < га, придется сравнивать матрицу В с целым классом матриц РС^АС^'Р', где ф определяется каким-либо образом из условия Я^ а Р выбирается из класса автоморфизмов, устанавливаемых условием

РЯ$ = Яд^ (т.е. матрица <3 — фиксирована, а перебор ведется по матрицам Р из указанного класса автоморфизмов).

Чтобы представить себе упомянутый класс автоморфизмов, заметим следующее. Так как разнообразие матрицы Я^ равно рк, то все множество ее строк разбивается на Рк групп, причем каждая группа состоит из одинаковых строк (не различимых между собой). Предположим, что с помощью перестановки строк, задаваемой матрицей перестановки и, в матрице IIЯ^ все одинаковые строки собраны в группы и номера этих ч;трок идут подряд. То есть можно предположить, что между строками матрицы VЯв^

ж соответствующими строками блочного вектора X =

(*Х)\ \2(Рк)

где вектора-блоки

состоят из одинаковых элементов а.^, установлено взаимно однозначное соответствие.

Предположим, что щ ф щ, когда г ф j (г,^ = 1 ,...,рк). При этом класс автоморфизмов матрицы С/Д^ будет совпадать с классом автоморфизмов вектора Z, т.е. будет представлять множество матриц Р таких, что PZ = Р. Класс автоморфизмов хтя вектора Z, который будем обозначать Ъ, состоит из матриц вида

Р =

соответствующих векторов. Обозначим размерность матрицы Рі (длину вектора через щ. Тогда число различных матриц в классе автоморфизмов Ъ будет равно произ-

Рк

велению пііпг! • • ‘Прк\, причем ^ щ = п. Указанное произведение, очевидно, меньше

1=1

то и и'рил{в] = Я{в] хтя всех Р Є Ъ. То есть мы описали весь класс автоморфизмов, оставляющих матрицу

(Рх 0 ... 0 \

0 Р2 ... 0

0

0 • • • Ррк)

1,.. . ,Рк) имеют ту

п!. если Рк ф 1. Поскольку РХЛ= IIдля всех Р Є

Нд неизменной при перестановке строк.

Этим закончено рассмотрение задачи проверки на Р-подобие для частного случая аеразложимых матриц А и В.

Замечание 3.2. Если в матрицах Д^ и Д^ одинаковым образом поменяем столбцы, то на изложенном выше алгоритме это никак не отразится. Потому можно вначале рассматривать инварианты степеней матриц Л и В. И только после того, как разнообразие рк перестанет увеличиваться при росте К, оставаясь меньше п, можно перейти к вычислению векторов Ха и ХВ-

Пусть теперь матрицы А а В имеют вид (5) и удовлетворяют наложенным на них условиям. В этом случае решать задачу проверки Р-подобия матриц А и В следует, рассматривая как общие инварианты степеней матриц А и В, т.е. проверяя одина-

ковость состава Д^ и Д^; для небольших к, так и матричные инварианты степеней блоков Ai и В», т.е. проверяя одинаковость состава Д^ и Д^. При этом рассмотрение как инвариантов степеней матриц А{ и В*, так и чисел Ал; и \в{, векторов Ха{ и Хв( позволит либо установить взаимно однозначное соответствие между блоками А{ и В{, либо дать отрицательный ответ относительно Р-подобия матриц А и В.

Понятно, что построение программы по указанному алгоритму — это отдельная задача, для решения которой понадобятся как дополнительные исследования, так и большая конкретизация уже высказанных утверждений и предположений.

>(*)

Bespalov A. A. Graph isomorphism check matrix method.

The new effective method of graph isomorphism check based on the matrix invariants of the similarity’s special case is shown.

Литература

1. Горьковой В. Ф. Лекции по математическим основам информационно-логических систем. СПб., 2003. 174 с.

2. Харари Ф. Теория графов / Пер. с англ. Г. П. Гаврилова. М., 2003. 296 с.

3. Макаров И. М., Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М., 1982. 328 с.

4. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ.; Под ред. X. Д. Икрамова. М., 1989. 655 с.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1967. 576 с.

6. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре. М., 1984. 416 с.

7. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика / Пер. с англ. А. В. Ма-лишевского; Под ред. Э. М. Бравер. М., 1972. 517 с.

8. Беспалов А. А., Хитрое Г. М. Один алгоритм исследования матриц на разложимость и примитивность // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV науч. конференции аспирантов и студентов. СПб., 2003. С. 321—328.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.