Матричный метод анализа двухсекторной экономики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 338:330.341.4

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ДВУХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ

Е. Ф. КУСТОВ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики электротехнических материалов, компонентов и автоматизированных электротехнологическихкомплексов E-mail: Kustovyf@mail.ru Московский энергетический институт (ТУ)

Реальная экономика, анализируемая с помощью матриц «затраты - выпуск - цена» может быть свернута и описываться матрицами двухсекторной модели, которые можно применять при анализе мировой экономики развитых и развивающихся стран, рассматривать финансовый и реальный секторы экономики, промышленное производство и экологию окружающей среды и т.д. В практическом применении рассматривается модель основного производства и производственной инфраструктуры.

Ключевые слова: инфраструктура, экономический анализ, матричный метод.

Во многих случаях отраслевая структура экономических отношений допускает сворачивание этой структуры до двухсекторной модели. Используя матричный метод можно многофакторную экономическую систему свести к двухсекторной модели и анализировать условия их взаимного развития и изменения структурных показателей. В рамках двухсекторных моделей можно анализировать мировую экономику развитых и развивающихся стран, рассматривать финансовый и реальной секторы экономики, промышленное производство и экологию окружающей среды, экономическую взаимосвязь основного производства и производственной инфраструктуры [1].

В представленной работе разработан матричный метод анализа двухсекторной экономики, и получены основные соотношения между выпусками, производственными затратами, стоимостями продукции, поставками на рынок и добавленными стоимостями секторов на примере экономической

взаимосвязи основного производства и производственной инфраструктуры (ОППИ).

Макроэкономтескаяматрица «затраты—выпуск, цена — добавленная стоимость». В [1,2] разработан метод матриц «затраты — выпуск, цена—добавленная стоимость», позволяющий проводить экономический анализ, исходя из конкретной структуры всей экономики или взаимно замкнутой ее части.

Основу экономического анализа составляет матричное уравнение типа

(1 - Лй) ук = с,, (1)

где А1к— матрица «затраты — выпуск»;

ук— вектор-столбец валового выпуска & отрасли экономики;

с— вектор-столбец, компоненты которого описывают поставки на рынок каждого сектора. Матрица «затраты — выпуск» состоит из технологических коэффициентов, которые показывают автономные и взаимные потребления единиц продукции по различным секторам.

Так, матричные элементы типа Аи показывают количество единиц продукции сектора /, использованных на производство единицы продукции этого же сектора. Матричные элементы типа А1к показывают количество единиц продукции сектора /, использованных на производство единицы продукции сектора к.

Уравнение (1) и обратное уравнение в векторной форме будут иметь вид

С=(1-А) 7; 7=(1-Л)-1С. (2)

Первое уравнение определяет уровни поставок С секторов на рынок при определенных

уровнях выпуска продукции У каждым сектором. По второму уравнению решается обратная задача: определятся уровень валового выпуска секторов У, обеспечивающих уровни их поставок Сна рынок.

Технологическое и ценовое уравнения. Уравнения для уровня выпуска и стоимости продукции следующие [1]:

_ (1 - А)Л = с,-, (1 - Ак)Рк = V,, (3) где Ак — транспонированная технологическая матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами: АЛ - Аы; рк — цена продукции; у — добавленная стоимость. По этим уравнениям и известным величинам выпуска ук продукции секторов можно определить объемы продукции этих секторов ср поставляемой на рынок. Аналогично по известным стоимостям продукции секторов рк можно определить добавленную стоимость у;.этих секторов.

Обратную задачу можно решить по следующим уравнениям:

Ук = (1 - А- )-1 с,, рк = (1 - Ак1 )-1 V,.. (4) Общие уравнения для уровней выпуска и цены можно представить в следующем виде:

(1 - А) 0

0 (1 - А)

Эти уравнения решают следующие задачи. По известному объему поставок на рынок с;. продукции всех секторов каждый сектор может определить план выпуска своей продукции ук. А по предполагаемой добавленной стоимости ур получаемой отраслями, можно определить цену рк, которую следует установить, чтобы обеспечить нужный уровень добавленной стоимости.

Валовой выпуск продукции УР определяется произведением уровней выпуска секторов ук на стоимость^, просуммированную по всем секторам экономики к:

УР = XУР = Х[(1 - А-)1 с (1 - А1)4 Vj ]•

к к,/. 1 Технологические и ценовые уравнения двухсек-торной экономики. Для двухсекторной экономики уравнения для поставок и добавленной стоимости секторов в соответствии с уравнениями (1), (3) будут:

С = (1 -ап)у1 -а12у2, с2 =-а21 У1 + (1 -а22)у2,

V1 = (1 "«11)Р1 -«21Р2» V2 =-«12Р1 + (1 "а22)Р2. В соответствии с уравнениями (4) для уровней выпуска и цены продукции секторов можно записать уравнения в таком виде:

У1 =

(1 -а22) с1 + а12с2

У с

Р V

(5)

У 2 =

Р1 =

Р2

^11^22 ^12^21 ^22 ^ 1 а 21С1 +(1 -ап) с2

(1 -а22) v1 +а21v2

^^ 22 ^12 ^^ 21 ^^ 22 ^ 1

«12^ + (1 ~«11) ^ ^^ 22 ^12 ^^ 21 ^^ 22 ^ 1

В работе [3] анализируется динамика изменения структурных показателей экономики России в виде структурных сдвигов, причем структурными показателями могут быть величины продукта, занятости, капитала, инвестиций и т.д. Разработанная теория двухсекторной экономики может ответить на некоторые вопросы закономерностей структурных сдвигов экономики для взаимно обособленной по структурным показателям двухсекторной модели. Для этого надо ввести относительные величины структурных показателей двух секторов по выпуску продукта и добавленным стоимостям.

Отношение уровней выпусков продукта двух секторов будет равно:

= а 21С1 + (1 ~а11) с2

У1 (1 "а22) С1 + ^2С2

Переходя к относительным величинам выпуска

У2 с 2

а иуровней поставок на рынок р: а = —, Р = — ,

получим:

У1

а ■

а 21 +(1 -ап )р

(6)

1 - а22 + а12Р

Аналогично для относительных цен продукции у и добавленных стоимостей 5 будем иметь:

Г = —, 8 -

у.

Р1 '1

а12 + (1 -а11) 8 1 -а22 + а218

(7)

Относительные валовые выпуски ау секторов будут равны

_а 21 + (1 -ап) Р „а12 + (1 -ап) 8

IX у — X ,

1 -а22 +а12Р 1 -а22 +а218

Парциальные структурные параметры как отношения уровня выпуска продукта к уровню поставок и цены продукта к добавленной стоимости каждого сектора будут иметь вид: У±= (1 ~«22 ) + «12Р

С1 1 ^^ 22 2 СХ21 1 ^^ 22 ^ 1

а 21Р"1 + (1 "«и)

=_

С2 1 ^^ 22 2 ^^ 21 1 ^^ 22 ^ 1

(1 -а22) + а215

р =_

1 ^^ 22 2 ^^ 21 1 ^^ 22 I 1

а,

.З1 +(1 -ап )

Р2. =_

1 ^^ 22 2 ^^ 21 1 ^^ 22 ^ 1

Поскольку матрицы экономических систем являются матрицами с положительно определенными коэффициентами, которые должны быть меньше единицы, то из уравнений (6) и (7) можно видеть, что эти величины не могут быть отрицательными.

Для того чтобы матрица выпуска имела обратную матрицу, необходимо, чтобы определитель матрицы (3) не был равен нулю. Кроме того, из уравнений (6) и (7) следует, что этот детерминант Одолжен быть больше нуля:

В - а22 + 1 >0.

Это условие можно представить как

Тг(Л) - В(Л) < 1, (8)

где след и детерминант матрицы затрат А равны

Тг(Л) = а11 +а22, В(Л) = апа22 -а12а21.

Условие (8) является необходимым для определения удельных коэффициентов затрат каждого сектора.

Валовые параметры выпусков (ВВП) будут равны векторному произведению уровней выпуска на цену продукции для каждого сектора: у1с1 (а 22 + а12а 21 - 2а 22 +1) +

ур _ +^1С2(~а12а22 ~а12а11 + 2а12) ^

(а

11 ^22 ^11 ^22 ^ 1 ^12^21) ( СХ21СХ22 ^21 ^^ 2^21 ) ^^

+у2с2(а121 + а12а 21 - 2а11 +1)

(^^ 22 ^^ 22 ^ 1 СХ12 21 )

Структура валового продукта определяется четырьмя частями:

УР = 11В1 +112 В12 + 121В21 +12 В2, где /1, /2 — интегральная добавленная стоимость первого и второго секторов, равная 1Х = с1у1,

12=

/12, /21 — корреляционные части, равные произведению поставок под спрос одного сектора на добавленную стоимость другого /12=с1у2,

Б2, Бп, Б21 — технологические коэффициенты, которыми определяется вклад этих частей:

В — В — в — В — ^22

В1 В2' В12 В 2' В21 В 2' В2 В2'

= (1 -

^22 ) ^ ^12^21 5 ^ =а12(-а22 -ап + 2),

d21 = б21 (-а22 -а11 + 2), ё22 = (1 -а11 )2 +а12а21.(16) Поскольку технологические коэффициенты Б2, Б12, Б21 положительны, то структурные изменения ВВП аддитивно, с положительными коэффициентами складываются из структурных изменений валового выпуска отдельных секторов. Кроме того, следует учитывать корреляционные члены, когда, к примеру, инвестиции в первый сектор вызывают изменение выпуска второго сектора и наоборот.

Аналогично валовые уровни добавленной стоимости будут равны векторному произведению уровней поставок продукта на добавленную стоимость для каждого сектора:

СУ = У^2 - У2Д2 - ^¿21 + У^,

где у = ур , у2 = У р2, У21 = У2Р15 У2 = У2Р2 ■

Двухсекторная модель основного производства и производственной инфраструктуры. Разработка методов прогнозирования развития региональных производственных инфраструктур, увязанного с экономическим развитием регионов или страны в целом, является актуальной проблемой современной экономики. Понятие «инфраструктура» определяется как совокупность отраслей, предприятий и организаций, входящих в эти отрасли, предназначенные для создания условий нормального функционирования производства и обращения товаров, а также жизнедеятельности людей или домашних хозяйств. К производственной инфраструктуре относят транспорт, дорожное и складское хозяйства, системы связи и информационно-коммуникационных технологий, внешнее энергоснабжение и водоснабжение.

Под региональной инфраструктурой понимается организационно-экономическая система, обеспечивающая свободное внутри- и межрегиональное перемещение товарных, сырьевых, трудовых, финансовых, инвестиционных, информационных ресурсов.

Рассмотрим пример части экономики, состоящей из двух секторов: основного (ОП) и инфраструктурного (ИП) производств. Каждый сектор производит определенное годовое количество продукции. Часть годового выпуска каждый сектор потребляет сам, часть направляет в другой сектор, а остальную часть поставляет конечным потребителям. Структура этих взаимных потоков определяет матрицу «затраты — выпуск» А1к

ОП ИП Потребление Валовой выпуск

ОП 25 20 55 100

ИП 30 14 6 50

ОП. Поэтому второй столбец матрицы Ай а12 = 0,4;

а

'22

= 0,28. А вся матрица А., будет иметь вид:

Из валового выпуска в 100 ед. сектор ОП должен поставить потребителям 55 ед., передать 20 ед. своей продукции инфраструктурному сектору как средства для инфраструктурного производства и 25 ед. должны остаться в первом секторе на нужды собственного производства.

Сектор ИП поставляет сектору ОП 30 ед. продукции (в единицахпродукции инфраструктурного производства), 14 ед. продукции использует в своем секторе для поддержания уровня производства и поставляет 6 ед. продукции другим потребителям, например домашним хозяйствам (если инфраструктура строится только в интересах основного производства, то эта доля продукции равна нулю). Для удовлетворения этих потребностей и затрат сектор ИП должен произвести 50 ед. продукции. Эти соотношения между затратами и поставками в секторах зависят от технологии производства, величины потребного валового выпуска и совокупного потребления основного производства. Но для того, чтобы составить матрицу, не зависящую отуровней производстваипотребления, необходимо рассчитать удельные коэффициенты затрат и поставок по отношению к валовому выпуску каждого сектора.

Так, сектор ОП 25/100 = 0,25 часть валового выпуска своей продукции оставляет у себя. Это удельный коэффициент собственных затрат. Также используются 30 ед. поставок продукции сектора ИП, или удельные значения этих поставок на единицу выпуска сектора ОП будут равны: 30/100 = 0,3. Размерность этого коэффициента — отношение размерностей продукции обоих секторов в обобщенных единицах. Или по-другому: для производства единицы продукции сектора ОП ему нужно 0,25 удельных единиц собственной продукции и 0,3 удельных единиц ИП. Поэтому элементы первого столбца матрицы А1к будут аи = 0,25, а21 = 0,3. Если умножить эти элементы на величину выпуска сектора ОП, то получим величину собственных затрат а11у1 и величину поставок продукции из сектора ИП а12уг

Чтобы поставить для потребителей 6 ед. продукции, сектор ИП должен произвести 50 ед. собственной продукции, из которых 14 ед. оставит у себя для собственного производства, что составляет 14/50 = 0,28 часть собственного производства, и 20 ед. должен получить из сектора ОП, что составляет 20/50 = 0,4долю его производства. Или по-другому, для производства единицы продукции сектора ИП надо 0,28 ед. собственной продукции и 0,4 ед. продукции, которые будут получены из сектора

1 2

Сектор 1 25/100 20/50

Сектор 2 30/100 14/50

А =

1 - А =

0,25 0,4 0,3 0,28'

Матрица А называется матрицей затрат: слева направо по первой строке стоят удельные коэффициенты затрат сектора ОП, по второй строке — удельные коэффициенты затрат сектора ИП.

Если от единичной матрицы отнять матрицу затрат А, то в каждой строке будут содержаться затраты сектора другим секторам, которые будут отниматься от полного выпуска продукции сектора.

Матрицы выпуска в случае двухсекторного производства и вектора производства Уи поставок С будут:

1- 0,25 -0,4 -0,3 1 - 0,28

¥ = | У1 У 2 |' С - |с1 с2|.

Раскрывая уравнения (2) по строчкам, получим два уравнения:

^ - 0,25^ - 0,4у2 = ср у2 - 0,3^ - 0,28у2 = с2, (9)

где У1, У2 ~ неизвестные, которые определяют валовой выпуск продукции основного и инфраструктурного производств. Другая форма уравнений (9) будет: 0,75ух - 0,4у2 = сх, -0,3у1 + 0,72у2 = с2. (10)

Решение уравнений (10) покажет уровни выпуска каждого сектора, у2, необходимые для обеспечения совокупного конечного потребления с1 и с2 производств и домашних хозяйств, продукции основного и инфраструктурного производств. Решения этих уравнений будут: у =1,714^ " 0,952с2,

у2 - 0,714^ + 1,786с2' (и)

Если подставить в эти уравнения значения сх = 55, с2 = 6, получим значение валового выпуска секторов ОП и ИП Уу = 100, у2 = 50.

При изменении уровня конечного потребления Су и с2, в соответствии с уравнениями (11) должен меняться валовой выпуск обоих секторов, при этом матрица (2) остается постоянной. Поэтому матрица А1к является технологической матрицей. Можно предположить, что при сохранении технологии

производства постоянной доля единиц продукции всех секторов, использованной для производства единицы продукции каждого сектора, будет постоянной. Эта матрица инвариантна относительно уровня конечного спроса и валового продукта и зависит только от технологии производства.

Уровни выпуска и стоимости продукции основного и инфраструктурного производств. Матрица выпуска ОППИ и транспонированная матрица равны

0,75 -0,4 0,75 -0,3

1 - А = , 1 - А =

-0,3 0,72 -0,4 0,72

Раскрывая матрицы (5) в систему уравнений, получим:

с1 = 0,75ух - 0,4у2,

с=- 0,3у. + 0,72у7,

(12)

(13)

2

= 0,75^1 — 0,3^2, у2 = - 0,4?! + 0,72р2.

По уравнениям (12) рассчитываются уровень поставок продукции потребителям и добавленная стоимость или прибыль каждого сектора. При этом исходными будут значения уровня выпуска продукции и ее стоимость.

Уравнения для уровней выпуска и цены продукции секторов следующие:

у1 = 1,714^ + 0,95^, у2 = 0,714с1 + 1,786с2, ^ = 1,714^ + 0,714^, р2 = 0,952у! + 1,786у2.

По уравнениям (13) рассчитываются уровень выпуска продукции и ее стоимость. При этом исходными будут значения уровня поставок продукции потребителям и добавленная стоимость или прибыль каждого сектора.

Так, для того, чтобы увеличить поставки основного производства с1 на единицу, необходимо увеличить выпуск продукции основного производства на 1,714 ед., при этом на 0,714 ед. надо увеличить величину продукции инфраструктурного производства. Для того, чтобы увеличить производство инфраструктурной продукции общего назначения с2 на единицу, надо увеличить выпуск продукции ИП на 1,714 ед., при этом на 0,95 ед. надо увеличить величину продукции основного производства.

По второй половине уравнений (13) в цену р1 стоимости

1,5

1

0,5

единицы продукции ОП входит 0,714 добавленной стоимости ИП р2. В цену р2 стоимости единицы продукции ИП входит 0,952 добавленной стоимости ОП р1.

Валовой внутренний продукт и валовая добавленная стоимость для ОППИ описываются формулами:

УР = 3,6191 + 3,333112 + 2,5121 + 3,86912,

СГ = 0,68311 " 0,588у2 - 0,441721 + 0,63872.

На рис. 1 показаны зависимости относи-

Р2 У 2

тельных цен продукции у = —^и выпуска а = —

Р У1

с

от относительных величин поставок Р = — и

С1

добавленных стоимостей 8 = — двух секторов.

С увеличением поставок сектора ИП или увеличением инфраструктурного производства общего назначения (параметр с2) рост относительного выпуска продукта и цен этого сектора замедляется и стремится к насыщению. Такие же изменения стоимости продукта происходят, но с большей скоростью и большим уровнем насыщения, для параметров основного производства.

На рис. 2 приведена зависимость парциальных

Рi У

параметров цены — и выпуска^ от относи-

V,- С,.

/

/

/

/

/

7

10

а

У

М

Рис. 1. Зависимость относительных цен продукции у и выпуска а от относительных величин поставок р и добавленных стоимостей 8 двух секторов

2

4

6

8

2

5

4

/

/

/

\

/

ч. /

р1 ¿1 11

С1 С 2

Р 2

^ 2

Р,5

Рис. 2. Зависимость парциальных параметров цены и выпуска от относительных величин поставок р и добавленных стоимостей 8 двух секторов

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1

0,8

0,2 0,4 3 0,8 1

•У1 Р 2 Е1. II

С2 v 2 v2 С2

Рис. 3. Зависимость относительныхпараметров цены р1,Р-

уг уг

У У 2 С1

ивыпуска —,— ототносительныхвеличинпоставок—

С2 С2 С2 и добавленных стоимостей — двух секторов

V,

тельных величин поставок р = и добавленных

V С1

стоимостей 5 = — двух секторов. При увеличе-

VI

нии поставок на рынок сектора ИП р удельный выпуск этого сектора уменьшается, а сектора ОП возрастает.

Если предположить, что поставки инфраструктуры домашним хозяйствам с2 постоянны, то для того, чтобы увеличить поставки с1 на рынок основного производства, надо увеличивать выпуск продукции двух секторов (рис. 3). Причем, начиная производство (с1 = 0), необходимо, чтобы выпуск продукции инфраструктурного производства был больше выпуска основного производства. С увеличением выпуска ИП выпуск ОП растет быстрее, и при определенном уровне эти выпуски сравняются. После этого выпуск ИП начинает обеспечивать дальнейший рост поставок под спрос продукции ОП.

Эффективность производства можно определить отношением поставок потребителям к общему выпуску продукции каждой отрасли Л! = С1/у1 ИЦ2 = С2/у2.

Л1 = 0,75 - 0,4У2, У1

Л2 = 0,72 - 0,3^ (14)

У2

На рис. 4 приведены зависимости эффективности основного = С\/У\ и инфраструктурного "Л2 = сг/У2 производств от соотношения уровней выпусков у1/у2- Эффективность ОП увеличивается, поскольку инфраструктурное производство все в большей степени удовлетворяет потребности ОП. На практике для рынка инфраструктурных средств и эффективности основного производства трендовая динамика характеризуется быстрым ростом в начальный период и последующей постепенной стабилизацией. При этом наблюдаются логарифмические зависимости, которые хорошо описываются функцией (14). В то же время эффективность ИП падает вследствие уменьшения инфраструктурного производства общего назначения, описываемого величиной с2. Эти зависимости наблюдаются до соотношения выпусков обоих производств ух/у2 = 2,5, после чего эффективность ИП становится отри-

3

2

2

3

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,5

1,5

Л1

Л2

Рис. 4. Зависимость эффективности основного = с1/у1 и инфраструктурного = ^производств от соотношения уровней выпусков ух/у2

цательной. Это означает, что развитие ОП может происходить за счет уменьшения инфраструктурного производства общего назначения. При этом максимальное значение эффективности ОП равно 0,5. Это значение является технологической величиной и определяется матрицей затрат.

Можно выделить три этапа взаимного развития ОП и ИП. На начальном этапе у1/у2 < 1, Для того чтобы наладить выпуск ОП, необходимо иметь определенный уровень выпуска ИП. Нулевой выпуск

продукции ОП соответствует 0,55 с2/у2 (см. рис. 4). На втором этапе 1 < УУ2 ^ ^ развитие обоих секторов проходит с хорошей эффективностью, однако рост продукции ОП сопровождается уменьшением продукции ИП общего назначения. На третьем этапе 2,5 < у1/у2 развитие ОП сопровождается ущербом для инфраструктурного производства общего назначения.

Все эти зависимости определяются матрицей затрат и технологией ОП и ИП и зависят от региональных особенностей. Поэтому применение разработанного метода должно начинаться с определения матриц затрат каждого региона. В качестве начального этапа матрицу затрат можно определить на основе экспертных оценок с последующим уточнением по параметрам реальных производств.

В заключение можно сказать, что модель двух-секторной экономики позволяет определять аналитические закономерности между экономическими параметрами и проводить экономический анализ двухсекторной проекции реальной экономической системы.

2,5 у,/у2

0

2

Список литературы

1. КустовЕ. Ф. Аналитическая экономика. Тамбов: Першина, 2005. Т. 1,2.

2. ЛеонтъевВ. Экономические эссе. М.: Издательство политической литературы, 1990.

3. Сухарев О. С. Структурные проблемы экономики России: теоретическое обоснование и практические решения. М.: Финансы и статистика, 2010.