МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 10 (68). Вып. 3

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

МАТЕМАТИКА

УДК 512.541.7, 512.552.8 МБС 20К30, 20К15

Матричные представления колец эндоморфизмов для некоторых классов абелевых групп без кручения*

Е.А.Благовещенская1, А. В. Михалёв 2

1 Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9

2 Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, 1

Для цитирования: Благовещенская Е. А., Михалёв А. В. Матричные представления колец эндоморфизмов для некоторых классов абелевых групп без кручения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 3. С. 487-498. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.304

Неизоморфные прямые разложения абелевых групп без кручения влияют на разложения их колец эндоморфизмов, которые допускают матричные представления. Описаны возможные прямые разложения матричных колец специального вида в прямые суммы односторонних неразложимых идеалов. Это приводит к комбинаторным конструкциям изоморфизмов между некоммутативными кольцевыми структурами, допускающими различные прямые разложения.

Ключевые слова: абелевы группы без кручения, кольца эндоморфизмов, матричные представления.

1. Введение. Мы рассматриваем так называемые блочно-жесткие ещ-группы X € А ранга п = ^теТ (х) пт, которые являются почти вполне разложимыми группами кольцевого типа с регулятором К(Х) = А = фтет (а) Ат = фтет (а) птт, циклическим регуляторным фактором Х/А и регуляторной экспо-нентой е = ехр Х/А = |Х/А|. Отметим, что, по определению этого класса групп, критические типы т € Тсг(А), рассматриваемые в цепи 1 С т С <Р, являются под-кольцами кольца рациональных чисел <Р, однородные компоненты Ат в разложении

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №22-21-00267). © Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

А. В. Михалёв

регулятора A группы X не допускают между собой ненулевых гомоморфизмов и являются сервантными подгруппами в X.

Используем обозначения: £ = End X, £a = End A, £T = End AT, T = Tcr(X) = Tcr (A). Группу, порожденную некоторым множеством элементов, обозначаем как {■■■), ранг группы X обозначается rkX. Как обычно, V С X означает, что V — подгруппа X, а VX = {g G X : существует n G N, для которого ng G V} обозначает сервантную оболочку V в X. Подгруппа V называется сервантной подгруппой в X, если VX = V.

Если группа X почти изоморфна группе Y, мы пишем X =nr Y. Как обычно, Z — это группа (кольцо) всех целых чисел, N — множество всех натуральных чисел, Q — аддитивная группа (кольцо) рациональных чисел.

Если целое число q делится на целое p, мы будем писать p\q. Как обычно, |с| обозначает порядок элемента группы c G C.

Обозначение E+ используется для аддитивной группы кольца E и будет, в частности, применяться для кольца эндоморфизмов End X группы X.

Для групп X из рассматриваемого класса верно, что X(т) = AT, и т-рангом группы A называется rk AT, ранг т-однородной компоненты регулятора (см. [1, т. 2, §85]).

Все необходимые определения, базовые сведения и используемые обозначения содержатся в обзоре [4, гл. 2, 4].

Важную роль в классификации crq-групп играют понятие почти изоморфизма и числовые инварианты mT(X), введенные для crq-группы X в [3, определение 12.6.2] следующим образом. Определим естественный эпиморфизм

— : А I—> А/еА = А. (1)

Выберем образующий элемент b + A группы X/A, тогда eb = TeT vT, vT G AT. Положим

mT = mT(X) = = \vT + eA\. (2)

Очевидно, mT\e для всех т G T.

Одной из эквивалентных формулировок понятия почти изоморфизма является следующее (см. [3, определение 9.1.2, теорема 9.1.4, 5]).

Определение 1.1. Пусть G и H — группы конечного ранга без кручения. Тогда G и H почти изоморфны (обозначение G =nr H), тогда и только тогда, когда для каждого простого q существует мономорфизм уq : G —>• H, для которого индекс [H : Gyq] конечен и q не делим [H : Gyq].

Особое разложение, называемое главным разложением в [4, теорема 4.1] и [3, теорема 13.1.6], всегда существует для рассматриваемых групп.

Теорема 1.1 (О главном разложении). Пусть X — блочно-жесткая crq-группа. Тогда существует разложение X = Y ф A' такое, что A' — вполне разложима, Y является жесткой crq-группой, и т G Tcr (Y), если и только если mT (X) > 1, при этом mT (Y) = mT (X). Группа Y единственна с точностью до почти изоморфизма, вполне разложимая группа A' единственна с точностью до

Главное разложение не единственно, но определяется с точностью до почти изоморфизма. Числа тТ (X) не зависят от выбора элемента Ь и служат инвариантами группы X. Более того, они одинаковы для почти изоморфных ещ-групп.

Теорема 1.2 (Критерий почти изоморфизма [4, теорема 4.2]). Пусть X и У — блочно-жесткие ещ-группы. Тогда X =пг У, если и только если Я(Х) = Я(У), и для всех типов т, тт(Х) = тт(У).

Почти изоморфизм — это эквивалентность, которая слабее изоморфизма, но сохраняет свойства прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга.

Теорема 1.3 (Д. Арнольд [4, 12.9 (Ъ), е. 144]). Если Х и У — почти изоморфные абелевы группы без кручения конечного ранга и Х = Х\ ф Х2, то

Y = Yi ф Y2 для некоторых групп Yi

Xi, Y2

X2

Другие прямые разложения crq-групп описываются следующей теоремой (см. [3, глава 13]).

Теорема 1.4. Пусть X — блочно-жесткая crq-группа кольцевого типа, имеющая T = Tcr (X) и mT = mT (X). Прямое разложение X = фieI Xi в сумму жестких неразложимых слагаемых таких, что mT(X) = J^ei mTi, где mTi = mT(Xi), существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(D1) числа mTi и maj взаимно просты при i = j и т,а € Tcr(X);

(D2) |{i € I : mTi > 1}| < rk(X(т)) для любого т € T„(X);

(D3) для любого i € I и любого разбиения Tcr(Xi) = TiUT2 на непересекающиеся подмножества существуют т € Ti и а € T2 такие, что mT(Xi) и ma(Xi) имеют общий нетривиальный делитель.

Заметим, что неразложимые слагаемые Xi являются жесткими crq-группами, т.е. ранги однородных компонент X(т) = rk(Xi П AT) равны 1 для любого т € Tcr(Xi), кроме того, expX/A = ехРXi/R(Xi). Не умаляя общности, считаем, что mT (X) = 1 для всех т € Tcr(X), так как в противном случае AT является прямым вполне разложимым слагаемым в любом разложении группы X.

Рассмотрим произвольную группу X € A. Перечисляя все критические типы группы X, мы можем написать T = Tcr(A) = {т\, . ..,ти}. Из разложения регулятора A = фi=l ATi на ^-однородные компоненты ATi рангов ni сразу следует, что кольцо End A изоморфно кольцу М, состоящему из (n х п)-матриц F блочно-диагональной формы:

/ Fi 0 ... 0 \

0 F2 ... 0

F=

0

где Fi € МПг(п).

(3)

Ясно, что

где матричные кольца

0 0 Fk )

i

М = 0 М '(п),

i=i

М '(п) = End AT

(4)

(5)

имеют только один ненулевой блок Мпн(т¿), являющийся кольцом квадратных матриц порядка щ над кольцом т^. Для F € М это будет символически записываться в

nr

nr

виде F = (Fi)1<i<k, или, что то же самое, F = (FT)TeT, означающем, что (nT х nT)-матрицы FT состоят из элементов соответствующих колец т G Tcr(A), Z С т С Q.

Для любого т G T мы фиксируем разложение

At = та1 ф ■■■ ф тагПт = тПт ■ (6)

Пусть FT G End AT. Рассмотрим AT как свободный модуль над кольцом т, имею-ший базис {aj ,■■■, аПп }. Мы отождествляем действие FT на произвольном элементе aT = 71 aj + ■■■ + ^Пт аПт G AT, определенном числами y G т, с умножением вектора (7i,„ ■ ,YnT )T на соответствующую матрицу FT слева, столбцы которой — суть образы элементов aT, i = l,^,^, при отображении FT, расположенные в том же порядке:

ат Ft = Ft (Yi ^■■,YnT )T ■ (7)

Имеется каноническое разложение:

£a = £т в сумму идеалов £т = End AT = МПт (т)■ (8)

T ET

Ключевую роль играет следующий результат (см. [4, предложение 3.7]).

Предложение 1.1. Пусть X — блочно-жесткая crq-группа кольцевого типа с регулятором A = T T AT, регуляторным показателем e, множеством критических типов T = Tcr(X) и nT = rk AT. Тогда:

1) имеют место включения e End A С End X С End A;

2) (End X)+ является crq-группой с множеством критических типов T, регулятором fl((End X)+) = (End A)+ регуляторным показателем e, при этом для всех т G T его т-ранг равен nT2. □

Мы будем рассматривать отображения из End X как элементы кольца End A (см. [4, Лемма 3.5]).

2. Прямые разложения crq-групп и их колец эндоморфизмов. Хорошо известно, что абелевы группы без кручения в целом не обладают свойством изоморфизма для различных прямых разложений. В рассматриваемом классе crq-групп теорема 1.4 устанавливает связи между различными разложениями группы, фактически в терминах комбинаторики.

Пусть

X = Xi ф X2 ф ■■■ ф Xs = X1 ф X2 ф ■■■ ф X't (9)

— различные прямые разложения crq-группы X из класса A на неразложимые слагаемые. Пусть {<7i, ■■■,<rs} и {aj, ■■■, a't} — множества соответствующих проекций, которые являются попарно ортогональными примитивными идемпотентами. Поскольку Xi = Xai и Xj = Xaj, имеются различные так называемые разложения Пирса:

£ = End X = Lj ф ■■■ ф Ls = Lj ф ■■■ф L't

на неразложимые правые идеалы, имеющие вид Li = ai£ и Lj = aj £, где i = l^^s и j = l^^^t. Этот факт создает фундамент для нашего рассмотрения прямых разложений некоммутативных колец, которые являются crq-группами как аддитивные структуры (см. Предложение 1.1).

Нам потребуется матричное представление кольца £, при этом заметим, что правые идеалы кольца £ будут представляться левыми идеалами соответствующего матричного кольца [см. (7)].

Не умаляя общности, полагаем тт (X) = 1 для любого т € Т, так как тт (X) = 1 означает, что эндоморфизмы вполне разложимой группы Ат выделяются прямым слагаемым из £. Из [4, теорема 4.3] следует, что кольцо эндоморфизмов £ блочно-жесткой ещ-группы X кольцевого типа с регулятором А = 0теТ х) птт изоморфно кольцу Е блочно-диагональных матриц Е = (Ет)тет следующего вида:

( kt

FT

+ mT т т mT т т

mT т

\

\

С Мпт (т),

(10)

/

где тт = тт(X) и целое число к' = к'(Е) фиксировано для каждой блочно-диаго-нальной матрицы Е. Отметим, что данное матричное представление связано с главным разложением X = У ф А' в следующем смысле: та\ ПУ = 0 и А' = 0 п та^ для любого т € Т (см. теорема 1.1). Вид матриц отражает следующий факт: если Т € £, У = (Я(У),Ь) и е = ехр У/Я(У), то (еЬ)Т делится на е, что означает следующее: Е(У)Т С к'Е(У) + е еТсг(у) Ат., где к' € I.

Аналогично для любого прямого слагаемого XI из (9), имеющего е^ =

TjETcr (Xi) Atj>

Aj, где l G Z.

expXi/R(Xi), верно, что R(Xi)F С lR(Xi) + ei 0

Основываясь на этом, мы опишем прямые разложения на неразложимые левые идеалы матричных колец, имеющих аддитивную структуру crq-групп. Пусть E обозначает кольцо матриц, являющееся представлением кольца эндоморфизмов £ = EndX группы X, заданной ее главным разложением [см. (10)].

Пусть X — блочно-жесткая crq-группа кольцевого типа с регулятором A = 0i=i к ATi, регуляторным показателем e, множеством критических типов T = Tcr(X) и ni = rk ATi, где ATi = та\ ф ■■■ ф таП.. Пусть X = Y ф At — главное

X

разложение, где Y = (^ а^ ■■■, тk ak ) _t и At = 0 Далее, фиксируем разложение

гЫ а2 + ■ ■ ■ + таПъ).

X = Xi ф X2 ф ■ ■ ■ ф Xm ф Xm+i ф ■ ■ ■ ф Xs

на неразложимые слагаемые, где rkXf = 1 только для f > m. Пусть

(Ех 0 ■ ■ ■ 0 \

0 B2 ■ ■ ■ 0

(11)

B

, где Bi G МПъ (т),

(12)

\ 0 0 0 Bk J

является блочно-диагональной обратимой матрицей из кольца (4) такой, что для разложения (11) и для любого т\ € Т выполнено следующее: элементы {Ь^ : ] =

т т

т т

т

т т

m-^т

т

т т

T

1,...,щ} каждого столбца £ субматрицы ВI являются коэффициентами линейной комбинации о^ = Ъгиа\ + ... + Ъгп1.агп , где т^оГ- — сервантная подгруппа некоторого прямого слагаемого Xf (в частности, r'k(Xf) может быть равен 1, тогда тОТ€ = Xf). Иными словами, для любого г = 1,...,к, группы тОт.,, £ = 1,...,щ распределяются между определенными прямыми слагаемыми из разложения (11) в качестве их сер-вантных подгрупп ранга 1, а именно они совпадают со слагаемыми ранга 1 данного типа т или являются подгруппами слагаемых Xf, для которых тт- (Xf) = 1.

Пусть е = е\е2 ... ет, где е^ = ехрX^/К(Х^), ] = 1,...,т. Будем рассматривать матрицу В как матрицу перехода от главного разложения группы к разложению, в котором регуляторные экспоненты неразложимых слагаемых ранга, большего 1, составляют множество {е\, е2,..., ет} [см. (12)]. Такая матрица фактически является матрицей перехода от одного базиса к другому в свободном модуле Ат над кольцом т, где т € ТСГ(Х) [см. (6)].

Любая такая матрица В будет обозначаться Ве1 <е2,...,ет и называться матрицей {е\, е2,..., ет}-трансформации прямых разложений группы X.

Теорема 2.1. Пусть X — блочно-жесткая crq-группа кольцевого типа со множеством критических типов T = Tcr(X) = {т : i = 1,...,k}, регулятором A = фi=i к ATi, регуляторным показателем e и ni = rk ATi.

Если X обладает прямым разложением X = Xi ф X2 ф ... ф Xs, то имеется разложение E = Li ф ... ф Ls матричного кольца E = End X в прямую сумму неразложимых левых идеалов таких, что Lf + =nr Xf ф (Xf) Ai), где Ai =

т^-1, f =1,...,s. " СГ

Доказательство. Обозначим mi = mTi — инварианты почти изоморфизма для всех i = 1,...,k.

I. Получим разложение матричного кольца E = End X, связанного с главным разложением crq-группы X, в прямую сумму неразложимых левых идеалов. Не умаляя общности, полагаем, что жесткое слагаемое Y из главного разложения X = Y ф A' является неразложимым (иначе группа X представляется в виде прямой суммы вполне характеристических подгрупп Hi и H2, для которых Tcr(Hi) П Tcr(H2) = 0, и мы можем рассматривать их прямые разложения по отдельности (см. теорему 1.4)).

Как было показано, кольцо эндоморфизмов E = End X блочно-жесткой crq-группы X кольцевого типа с регулятором A = фi=i к ATi изоморфно кольцу E блочно-диагональных матриц F = (FTi )i=1,..,k [см. (10)]:

E=

(Ex 0 ... 0 \

0 E2 ... 0

V 0 0 0 Ek )

где FTi € Ei с МПг (п),

(13)

которое связано с ее главным разложением

X = Y ф A'

следующим образом: левый идеал Еу = (Еу)=1 к кольца Е, имеющий вид

( к' + miTi 0

FYe

0 0 \ 0 0

0 0

V

0

0 0

представляет собой Hom(Y, Х),где End Y = (к'+miTi)i=1,..,k, причем End Y + =nr Y, и miTi = Hom(Y, Tjat) при t = 2,...,щ.

Далее, обозначим FA> = (F^ )i=1 k, где

FA e

/ 0 n

0 Ti

0 Ti

Ti Ti Ti Ti

0 Ti

(15)

/

является также левым идеалом, служащим матричным представлением для Иош(А',Х), и, очевидно, Е = Еу 0 ЕА, = Иош(^Х) 0 Иош(А',Х) = Е<1 0 Еа'2, где {<71 ,<2} — проекции на Y и А' соответственно. Для каждого г = 1,...,к имеем разложение Ап = 0 ... 0 ^а1п. такое, что слагаемые главного разложения представляются как Y = (ф4=1

Tia1)X и А' = фi

= 1.....k, t=2,

n, Tiait. Обозначим

через aj проекцию элементов группы ATi на Tia\, где t = 2,...,ni:

at =

0 0

0 . 0 0 0

0 : 0 1 0

0 : 0 0 0

V 0 0

0

\

0

(16)

представляемую матрицей, имеющей только один ненулевой ¿-й элемент на диагонали, равный 1.

Тогда a2 = Еi=i,...,k, t=i,...nH ai и

E = Eai ® ( 0 Eiaj).

i=1,...,k, t=2,...,ni

0

rriiT.

0

rriiT.

rriiT.

Ti T

T.

0

0

Отметим, что идеал Еу = Еат неразложим в силу неразложимости группы У,

в то время как идеал Ел> = (Вг=1,..,к, г=2,..,щ Е = ©г=\,.,к, г=2,..,щ Еа* разложим

в прямую сумму неразложимых левых идеалов матричного кольца Е, имеющих только один ненулевой блок г:

Ft =

¡00 0 0

0 0

0 т 0 т

0 0

0 0

0 т 0

0

(17)

в котором содержится один ненулевой столбец с номером t. Очевидно, F/ = Hom^alX), где 2 ^ t ^ ni.

Обозначим Li = Eai и Lit = Eiaj, где i = 1,...,k, t = 2,... ,ni. Поскольку количество последних равняется s — 1 = rk A', их можно перенумеровать числами от 2 до s для установления соответствия полученного результата с формулировкой теоремы.

II. Получим разложение матричного представления кольца E = End X в прямую сумму неразложимых левых идеалов, связанного с произвольным разложением (11) crq-группы X:

X = Xi ф X2 ф ... ф Xm ф Xm+1 ф ... ф Xs,

(18)

в котором е = е\е2 ...ет, где е = ехр Х/А и е^ = ехр X^/К(Х^), ] = 1,...,т. Для этого введем матрицу В = Ве1,е2,..,ет, являющуюся матрицей {ет, е2,..., ет}-трансформации прямых разложений группы X [см. (12)]. Столбцы ее субматриц

Вг = (Кг € п : 1 < а,Ь < пг)

отождествляются с элементами второго базиса свободного модуля

Ат- = тга-^ 0 ... 0 тгап- = тгот- 0 ... 0 топ

(19)

над соответствующим кольцом т., где aT. = b\ta\ + .. .+bln-taln-, i = 1,...,k. Очевидно, подкольцо

E' = B-1EB (20)

кольца М [см. (3)] изоморфно кольцу E. Очевидно,

E' = B-1EiBi i=1.....k.

(21)

Пусть неразложимое прямое слагаемое Xf имеет инварианты тт- (Xf) = 1 для тг € Т', где Т' = TСI(Xf) С Т . Не умаляя общности, считаем, что Т' = {тт,..., т}, где I < к.

Фиксируем г ^ I и номера столбцов Ьг ^ пг такие, что элементы

b\u ai + ... + ЬПЛ an.

0

0

0

т

ti

a

T

принадлежат Xf. Напомним, что любой эндоморфизм группы X сужается до эндоморфизма ее регулятора А как вполне характеристической подгруппы, и

Xf = ( 0 Tia%)X. (22)

i=i,...,i

Следовательно, говоря о системе попарно ортогональных идемпотентов кольца End X, мы можем рассматривать их как элементы из End А, являющиеся проекциями на прямые слагаемые группы А.

Напомним, что матрица aI* из кольца Bi имеет только один ненулевой элемент = 1 [см. (16)].

Ясно, что множество {a1,..., ani} представляет собой полную систему попарно ортогональных идемпотентов кольца Mn* (Ti) = End ATi, которые являются проекциями на группы Tia\,..., Tiaini ранга 1 соответственно. Тогда множество

{ait = BialBr1 : t = 1,...,nJ (23)

является множеством проекций на соответствующие группы Tia1i,... ,Tiarni [см. (19)]. Введем упорядоченные множества элементов группы ATi:

Щ = (ai,...,an.) и R = (a1. ,...,ОЩ),

которые являются базисами свободного модуля ATi над кольцом Ti. Тогда произвольный элемент из группы ATi представляется столбцом Z, состоящим из коэффициентов его разложения по базису R\, а также в виде столбца Z' его коэффициентов в разложении по базису R2, причем Z = BiZ'.

Для каждого i = 1,...,/ построим левый идеал кольца Ei:

EiBiai"1 Bi 1 = Eiai *,

[см. (13), (20-23)]. Он состоит из отображений, действующих на произвольном элементе Z e ATi, представленном линейной комбинацией элементов базиса R1 следующим образом: Dait* Z = W, где D e Ei и W e AT* .Из Z = BiZ' и W = BiW' следует, что DBiait*B-1 BiZ' = BiW', т.е. W' = (B-1 DBi)aitiZ' = D'ait*Z', где D' = B-1DBi e E'. Поэтому B-1 (EiBiait*B-r1)Bi = Br1EiBiait* = E'at является левым идеалом кольца E', где о"* — один из элементов базиса R2, линейной комбинацией элементов которого представлен элемент Z' [см. (19)]. Из (16) получаем, что матрицы, представляющие E'iait"i, могут иметь только один ненулевой столбец.

Пусть F' = (FT*)i=1.....k e E', где F^ e E', тогда F'¿2^ ^ a* =

Ei=1 l F'*a/'* e E' Ei=1 l ai'* [см. (21)]. Это означает, что ранг аддитивной структуры левого идеала (E' Еi=1 l ait*)+ = (Hom(Xf ,X))+ кольца E' равен

Ei=1,...,i ni = ET*eTCT(Xf) rk(An).

Обозначим через af = Ei=1 l ait* проекцию V' на Xf, где V' = Ei=1 l V — произвольный элемент группы A = R(X), слагаемые которого V' e AT* заданы в базисах R\, f =1,...,s [см. (11, 19)]. Из того, что E' = 0 f =1 s E'af = 0f =1,...,s Hom(Xf ,X) и Hom(Xf,X) = EndXf$)t=f Hom(Xf,Xt), получаем

E' = 0 Lf,

f =1,...,s

где Lf = E'af = End Xf 0 (0t=f Hom(Xf, R(Xt)) = End Xf 0 Hom(Xf, R(0t=f Xt)) =

End Xf 0Hom(Xf ^ ф<=1.....г> s=u TiaSi) = End Xf 0Hom(Xf ^ы^т^х,), s== ) =

End Xf 0 (0i:TieTcr(Xf ), s=ti miTiasTi), так как gcd(ef ,et) = 1 при f = t, и Hom(Xf,TiaT-i) = miTiaTi тогда и только тогда, когда Ti G Tcr(Xf), ина-

че Hom(Xf ,t

(i

T

Zi: TiETCI (Xf ), s=ti (miTiaSTi )+ )

казать.

= 0. Поскольку (End Xf)+ =

Xf 0 (0i:TieTcr (Xf )

имеем L+ =nr Xf 0

nr X f ,

Tj(ni-1)), что и требовалось до-

□

Замечание 2.1. Внесем некоторые уточнения в распределение ранга аддитивной группы кольца E = End X = E между его неразложимыми левыми идеалами в соответствии с главным разложением X = Y 0 A crq-группы X в случае, когда жесткая группа Y является неразложимой. Используя матричные представления полученных идеалов (14) и (17) и рассматривая их как аддитивные абелевы группы, мы получаем, что rk(Hom(Y, X)+) = i=1 k ni и rk(Hom(Tiat,X)+) = ni, где t > 2. '

Таким образом, rk(E+) = ^i=1 k n2 раскладывается в сумму рангов неразложимых левых идеалов следующим образом:

i=1,...,k --v-

rk(£+)

= [n1 + П2 + ... + nk ] + [П1] + ... + Ш + ... + [nk ] + ... + [nk],

rk(Hom(F,X) + )=rk(X)

ni — 1

nfc-1

что соответствует заявленному для главного разложения группы X (в квадратных скобках содержатся ранги неразложимых левых идеалов).

3. Заключение. Теорема 2.1 позволяет распространить комбинаторную теорию прямых разложений блочно-жестких ещ-групп кольцевого типа на их кольца эндоморфизмов (см. теорема 1.4). Более того, в статье [5] рассматриваются группы, кольца эндоморфизмов которых представляются целочисленными матрицами. Поскольку теория прямых разложений такой группы совпадает с теорией прямых разложений ее вполне характеристической подгруппы, являющейся блочно-жесткой ещ-группой кольцевого типа, результат теоремы 2.1 может быть переформулирован на языке рангов неразложимых идеалов для колец целочисленных матриц специального вида, а именно для колец блочно-диагональных матриц Г, г-блоки которых имеют следующий вид:

(k' + miZi Z

\

V

iZi

Z

(24)

/

где число к' = к'(Г) фиксировано для каждой блочно-диагональной матрицы Г этого вида, и каждый делитель Н1 числа тг делит еще хотя бы одно число т^, где Н — простое число и г = ] [см. (10)].

2

m

m

m

Таким образом, получены результаты о неизоморфных прямых разложениях некоммутативных структур, прямые слагаемые которых являются неразложимыми односторонними идеалами, однако допускающими нетривиальные разложения как абелевы группы.

Литература

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, пер. с англ. Москва, Мир, т. 1 (1974), т. 2 (1977).

2. Благовещенская Е. А., Михалев А. В. Влияние теоремы Бэра — Капланского на развитие теории групп, колец и модулей. Фундаментальная и прикладная математика 24 (1), 31—123 (2022).

3. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach. Algebra, Logic and Applications, vol. 13, Amsterdam (1999).

4. Arnold D. Finite rank Torsion free Abelian Groups and rings, lecture notes. In: Mathematics, vol.931, Springer Verlag (1982).

5. Blagoveshchenskaya E. Direct Decompositions of Torsion-Free Abelian Groups Lobachevskii. Journal of Mathematics 41, 1640-1646 (2020).

Контактная информация:

Благовещенская Екатерина Анатольевна — д-р физ.-мат. наук, проф.; [email protected], [email protected]

Михалёв Александр Васильевич (1940-2022) — д-р физ.-мат. наук, проф.

Matrix representations of endomorphism rings for torsion-free abelian groups*

E. A. Blagoveshchenskaya1, A. V. Mikhalev^ 2

Статья поступила в редакцию 6 декабря 2022 г.;

доработана 6 декабря 2022 г.; рекомендована к печати 16 февраля 2023 г.

1 Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University, 9, Moskovskii pr., St. Petersburg, 190031, Russian Federation

2 Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie gory, Moscow, 119991, Russian Federation

For citation: Blagoveshchenskaya E. A., Mikhalev A. V. Matrix representations of endomorphism rings for torsion-free abelian groups. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 3, pp. 487-498. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.304 (In Russian)

Non-isomorphic direct decompositions of torsion-free abelian groups are reflected in their endomorphism ring decompositions which admit matrix representations. The set of possible direct decompositions of a special kind matrix rings into direct sums of one-sided indecomposable ideals is described. This leads to the combinatorial constructions of isomorphisms between non-commutative differently decomposable ring structures. Keywords: torsion-free abelian groups, endomorphism rings, matrix representations.

References

1. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Academic Press, vol. 1 (1970), vol. 2 (1973). [Rus. ed.: Fuchs L. Beskonechnye abelevy gruppy. Moscow, Mir Publ., vol. 1 (1974), vol.2 (1977)]. (In Russian)

*The research was supported by Russian Science Foundation (Project no. 22-21-00267).

2. Blagoveshchenskaya E. A., Mikhalev A. V. Influence of the Baer — Kaplansky Theorem on the Development of the Theory of Groups, Rings, and Modules. Fundamental'naia i prikladnaia matematika 24 (1), 31-123 (2022). (In Russian) [Engl. trans.: Journal of Mathematical Sciences, 269 (5), 632-696, 2023. https://doi.org/10.1007/s10958-023-06306-3].

3. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach. Algebra, Logic and Applications, vol. 13, Amsterdam (1999).

4. Arnold D. Finite rank Torsion free Abelian Groups and rings, lecture notes. In: Mathematics, vol.931, Springer Verlag (1982).

5. Blagoveshchenskaya E. Direct Decompositions of Torsion-Free Abelian Groups Lobachevskii. Journal of Mathematics 41, 1640-1646 (2020).

Received: December 6, 2022 Revised: December 6, 2022 Accepted: February 16, 2023

Authors' information:

Ekaterina А. Blagoveshchenskaya — [email protected], [email protected] Alexander V. Mikhalev (1940-2022)