Матричная игровая модель выбора стратегии аудита Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Родин, В.С. Струков

доктор физико-математических наук, профессор

МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА

Налоговые органы, получив налоговые декларации, прежде всего, должны решить задачу, какие из деклараций следует подвергнуть аудиту. Налоговая служба работает с огромным списком налогоплательщиков, и тотальная (полная) проверка списка деклараций невозможна. Поэтому налоговая служба, занимаясь экономической деятельностью, нуждается в определенной стратегии как максимизировать сумму собираемых налогов, работая по проверкам лишь с ограниченным списком проверяемых деклараций. Налогоплательщики декларируют свои обязательства или честно, или занижая их с помощью определенных схем. Процентное соотношение уклоняющихся налогоплательщиков от честной стратегии неизвестно, и неизвестно изначально, какие декларации будут подвергаться проверкам. Поскольку налоговые органы стремятся собрать возможно больше налогов, а налогоплательщики, в массе, — заплатить поменьше, их взаимодействие можно описать как игру с неполной информацией. При этом, работая даже с ограниченным списком проверяемых деклараций, без определенной стратегии, но используя полную «переборную» проверку, мы получим стандартную конечную игру, в которой построение платежной матрицы, решение и его анализ столь громоздки, что лишают такой подход практической ценности. В работах [1, 2 и др.] показано, что оптимальной является пороговая стратегия, при которой с определенной вероятностью проверяются лишь декларации, в которых заявлен доход, меньший некоторого порога. Слова «с определенной вероятностью» на практике можно понимать как конкретное долевое участие. Задачей математического моделирования в этой финансовоэкономической деятельности является выяснение рациональной структуры расчетных формул и порогов, отбирающих декларации для аудита. В работе [3] делается предположение, что различные обязательства, выбранные «природой», равновероятны. В нашей статье мы обобщаем и расширяем утверждения и схемы автора [3], считая, что суммы крупных обязательств в нашем обществе вряд ли встречаются с такой же частотой, что и средние и мелкие, что ведет к закону распределения, скорее всего отличному от равномерного. Показано, что и для любого распределения справедливы утверждения, полученные в работе [3]. Обозначения работы [3] сохранены.

1. Описание игры. Участники: 1) «природа» — поскольку инспекция не знает ни того, честен или нет данный налогоплательщик, ни его истинных налоговых обязательств, то стандартным приемом [4] вводим дополнительного игрока — «природу»; 2) налоговая служба; 3) налогоплательщики / = 1,2,...,П , которых также будем называть игроками. Каждый игрок считается честным с вероятностью р > 0 . Налоговые обязательства для каждого игрока / выбираются из множества

Т*(/) = {т*(/,1),...,Т*(/,к)} с вероятностями V(/) = {V(/(/,к)}, образую-

к

щими полную группу событий 2 V (/, /) = 1.

1=1

В работе [ 3 ] рассмотрен случай, когда V * (/, у) =1, или равномерное распределе-

к

ние. Наша цель — показать, что полученные в работе [3] утверждения справедливы и в общем случае. Пусть Т*(/,1) > Т*(/,2) > ... > Т*(/, к) . В отличие от обязательств, существующих объективно, декларации, обозначим их Т (/, у ), являются чистыми стратегиями

игрока /. Если налогоплательщик честен, то Т(/, у) = Т* (/,у), если нет, то он декларирует или Т*(/,у), или с вероятностью р(/, у,/) меньшую величину Т(/,/), / > у. Обозначим, следуя работе [3], через р(/, у, у) полную вероятность, что честный или нечестный

налогоплательщик с обязательствами Т* (/, у ) декларирует Т(/, у) . Понятно, что р(/, у, у) > р. Смешанные стратегии игрока / связаны с вектором { р(/,у,/), / = у,у +1,...,к }. Инспекция получает И деклараций. Произвольный набор деклараций обозначим

г = {Т (1, /(1)),..., Т (п,/ (п))}. Рассмотрим две вероятностные модели.

Модель 0(1) . Каждому г набору для / -го игрока ставится в соответствие вероятность ц(\, г) включения Т (/,/(/)) в набор проверяемых деклараций. Набор к(/, г) V /, г} называется г-стратегией. Если эта стратегия выбрана, то инспекция разбирается с каждой декларацией (в зависимости от величины вероятности) независимо от других, не оперируя со списками.

Модель 0(2) . Инспекция непосредственно выбирает вероятности Q(i, у ) проверки декларации с индексами (/, у ). Набор ^(1, у ) V /, у} называется стратегией проверки.

Для каждого г набора, определяется число О < п проверяемых деклараций. Набор {/(/, г) V /, г} называется допустимым, если выполнено неравенство

2 ^ г) £ О .

/

Игра протекает за п+2 шага. На первом шаге «природа» выбирает налоговые обязательства игрока и определяет, честен ли он. На следующих п шагах каждый налогоплательщик знает свои обязательства, т.е. выбор «природы» для него, но не знает, какие обязательства выбраны для других. Игроки последовательно в порядке номеров выбирают свои стратегии — предъявляемые в налоговые органы декларации из множества возможных. На последнем шаге, зная эти декларации, но не зная выбранных «природой» обязательств, инспекция решает, декларации каких игроков проверить. Каждый участник рационален. Решений в чистых стратегиях, возможно, и нет. А в смешанных стратегиях, согласно теореме Нэша [4], решение игры есть.

2. Задачи игроков и инспекции. Цель налоговых органов.

Для модели 0(1).

Если инспекция не проверяет декларацию (с вероятностью 1 — ч(/, г)), то налоговые поступления равны сумме деклараций. Если декларация проверяется ( с вероятностью ч(', г)), то доход равен сумме налоговых обязательств плюс сумма штрафов. Штраф пропорционален обязательствам. Расход на проверку пропорционален декларируемой величине. Целью налоговых органов в этом случае является максимизировать математическое ожидание дохода от сбора налогов, т.е. разность между ожидаемым доходом от сбора налогов и расходами на проверку.

Выбираем г - стратегию {/(/,г) Vi, г}. Получим доход

и (г ) = 2 (1 — г ))Т (i, 1 (/)) + г )

^ * р (/, 5, / (/))

—(/+С)т(/,/(/))+2(1+/)т (/,*)р;.\,,,()) *=1 р(/, /(/), р)

, (1)

это вероятность того,

где р(и j, р ')■ = 2p(', * />. Следовательно, р(/;

*=1 р(/, /(/), р )

что декларация Т (/, у) предъявлена (нечестным) игроком с большей, вообще говоря,

суммой обязательств Т * (/, *), * < у .

Вероятность предъявления набора г равна

п / (/)

Р(г) =п 2р(>’/(/)■ р^('\*).

/=1 5=1

Средний доход налоговой инспекции равен

и = 2 и (г)Р(г).

(2)

г

Максимизация величины (2) и является целью налоговой инспекции. Поскольку в условиях решения по Нэшу вероятности, входящие в выражение Р(г) , зависят только от стратегий налогоплательщиков, то задача максимизации (2) эквивалентна задаче максимизации (1) при условии

2 q(i, г) < О . (3)

/

Для модели 0(2) .

Пусть Q(i, у ) — вероятность проверки декларации Т (/, у). Доход инспекции равен

и (', Л =(1 — Q(i', у))Т (/])+^ и у)[—(/ + с)Т ^ Л +

+ 2 (1+} )Т" (i, *) р^5'-7’,)]. (4)

*=1 р(i, у, р О

Выбор инспекции ( множество {Q(', у ) V', у} ) должен максимизировать доход

и = 2 2 и0', у)Р(', у) (5)

i ]

и удовлетворять ограничению

I I0(/, Ш, ]) £ й. (6)

] г

Здесь Р(г,у) — это вероятность предъявления декларации Т(г,у). Заметим, что справедлива формула Р(г, у) = Р(г, у, р'V(г, у).

Модель 0(2) выглядит менее громоздкой. Покажем, что модель 0(1) можно преобразовать к виду, аналогичному виду модели 0(2). Обозначим через *(г, у) множество всех г , содержащих декларацию Т(г, у). В первой модели вероятности проверки декларации зависят от того, в каком наборе эта декларация предъявляется. Налогоплательщик, выбирая свои стратегии, реагирует на полные вероятности проверки деклараций с учетом вероятности представлений. Сохраняя обозначения второй модели, получаем, что при заданных вероятностях р(г,у) и q(г, г) декларация Т(г,у) проверяется, при условии, что она предъявлена, с вероятностью

I q (Л г)р{г )

ЫIР (г) • (7)

к (г, у)

п I (г)

где Р(г) = ПI р( ,I(г),р')¥(г,^). При заданных (инспекцией) вероятностях q(г,г)

г=1 5=1

вероятность (7) не зависит от выбора игрока г.

Замечание. В работе [3], обозначения и схему моделей которой мы сохраняем в

этой статье, рассмотрен случай, когда V(г,у) = ^ для всех у = 1,2,...,к, Однако, как мы

покажем, основные утверждения работы [3] справедливы и для общего случая.

Цель налогоплательщиков. Налогоплательщик с обязательствами Т* (г, у) располагает стратегиями Т(г,I) с номерами I = у,...,к. Пусть расходы на реализацию схемы уклонения пропорциональны разности между истинным значением обязательств и представленной декларацией: а[т* (г, у) - Т(г,I)]. Рассмотрим возможные значения случайной величины расходов налогоплательщика. Если декларация не проверяется, то они равны Т (г, у) + а[т * (г, у) - Т(г, I)], если проверяется, то

Т* (г, у) + (а + /)[т* (г, у) - Т(г,I)]. Вероятность проверки декларации Т(г, I) равна Q(i, I). Математическое ожидание платежа налогоплательщика равно

Р(г, у) = 1р (г, у, I )[т (г, I + (а + (1 + /т I ))(Т * (г, у) - Т(г, I))], (8)

I = 1

у = 1,2,...,к.

При получении формулы (8) использовались равенства полной группы событий

I Q(i, I) = 1 и I р(г, у, I) = 1. Функция (8) линейна по переменным р(г, у, I).

1= у 1= 1

Стратегии игрока выбираются из множества

Хрj’1) =^ pjj) > p , pjl) - °>j =1’2’ -’* • (9)

l=j

Итак, игра G(1) состоит в том, что, выбирая q(i, г), инспекция максимизирует выражение (1) при условии (3) и, выбирая стратегии p (i, j, l), игроки минимизируют выражения (8) при выполнении условий (9).

Для игры G(2) инспекция максимизирует выражение (5) при условии (6), а игроки, выбирая стратегии p(i, j, l), минимизируют выражения (8) при выполнении условий (9). Вероятности q (i, г) и Q(i, j) связаны соотношением (7).

Обозначая решения звездочкой, получаем: набор {q* (i, г), Vi, г; p* (i, j,l), Vi, j, /} образует равновесие по Нэшу в игре G(1), если q*(i,г) — решение задачи (1), (3) при p (i, j, l) = p * (i, j, l) и p * (i, j, l) решение задачи (8) —(9) при q (i, г) = q * (i, г).

Аналогично для второй игры набор {Q * (i, j), Vi, j; p * (i, j, l), Vi, j,l} образует равновесие по Нэшу в игре G(2), если Q*(i,j)- решение задачи (5)—(6), при p (i, j, l) = p * (i, j, l) и p * (i, j, l) — решение задачи (8) —(9) при Q(i, j) = Q * (i, j).

Утверждение. Игры G(1) и G(2) обладают равновесиями по Нэшу.

Доказательство следует из свойств целевых функций (1) и (8) с применением одной из разновидностей теоремы Нэша из работы [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Sanchez I. Hierarchical Design and Enforcement of Income Tax Policies / I. Sanchez, J. Sobel // J. Public Econ— 1993.— V.50.

2. Vasin A.A. Tax Collection and Corruption in Fiscal Administration / A.A.Vasin, T.I. Panova // Working paper. Moscow. — NES.— 1999. — № 99 008.

3. Мовшович С.М. Игровая модель выбора стратегии налоговой инспекцией / С.М. Мовшович // Экономика и математические методы.— 2003.— Т.39.— № 2.—

С.188—200.

4. Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение / Е.В. Шикин.— УРСС. — М., 2003.— С.110.