CC BY
50
РАЗДЕЛ 1. НАЗЕМНЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ СРЕДСТВА, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ
УСТАНОВКИ И ДВИГАТЕЛИ
Математическая модель движения автомобиля как многомассовой системы
д.т.н., проф. Бахмутов С.В., Гусаков Д.Н.
МГТУ «МАМИ»
Пусть 0 X ^' ^' - неподвижная система координат. Зафиксируем подвижную систему координат OXYZ в центре масс автомобиля, связав ее линейные и угловые перемещения с соответствующими перемещениями подрессоренной массы, что обеспечивает постоянство моментов инерции и произведений инерции кузова как основной массы независимо от его положения в пространстве. Примем, что в начальный момент оси подвижной и неподвижной систем координат совпадают, причем плоскости XOY и X'O^' параллельны поверхности дороги.
Для описания движения принятой расчетной модели как системы взаимосвязанных масс воспользуемся уравнениями Лагранжа в независимых координатах, которые в общем виде могут быть представлены следующим образом:
d
Л
( дт Л
дТ ди дЯ
-—++—■+— = Ql (1)
\дЧг ) дЧг дЧг дЧг 1
Из теоретической механики известно, что абсолютные скорости произвольной точки
х,- У1
жесткого тела с координатами в подвижной системе 1, 1, 1 имеют вид:
х 1 = К + Г • 21 - V • У,
у1 = КУ -р• 21 +У/• х1 (2)
21 = Vг - г • х1 + р • У1 Соответственно кинетическая энергия произвольной массы:
т=1 Тт -(х 2 + У) + ¿2) (з)
Согласно выбранному в модели расположению осей координат (рис. 1), кинетическая энергия подрессоренной массы:
Т = — •Т 5т, 2 ^ 1
( +г• • У1))+(Ку-Р• 21 +у/• х^ + + ( - г • х1 + Р • УзУ
(4)
Поскольку подвижная система координат связана с подрессоренной массой, в целях определения кинетической энергии неподрессоренных масс требуется установить связи между скоростями перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс, определяемые кинематическими характеристиками подвески, под которыми понимается отношение абсолютных скоростей перемещения неподрессоренных масс к скоростям подрессоренной массы в направлении возможных перемещений:
1 дЧг
(5)
Таким образом, перемещение каждой неподрессоренной массы определяется шестью кинематическими характеристиками подвески, соответствующими возможным перемещениям в пространстве.
Абсолютные скорости элементарной неподрессоренной массы 5т1 по направлению осей х, У, 2 найдем в соответствии с общими формулами (2):
1 Расшифровка обозначений см. приложение 1
X'■ = + г ■ г'у-(( + - кр( р - г) у'; +к]ху + кр ■ г + к? ■ р
у' ]■ = У у - (кр-р - кру2 - кр ■ г) г'; +(+кг( у - крц. р - к( ■ г) ■ -к] ■ г
(6)
- кру^р - кгуу
Рис. 1. Расчетная схема трехосного автомобиля и внешние силовые факторы,
действующие на него.
Проанализировав характер полученных производных подвески, отметим, что координаты произвольной точки неподрессоренной массы не являются постоянными, а зависят от
текущих значений
г р г
. Получим следующие выражения для
У
■ г ■
х' = х' +кгх ■г + крх ■ р + кгх ■г
у\■ = у',о -к7 ■г - кр ■р - к
(7)
г . = г
+кгг^г + крг ■р + к2* ■г
1 ~ I0 ''' ' " 1
Подставляя 1.1.8 в 1.1.7, получим:
х'1 = Ух + г ■ ( о +кг; т+кр^р+г; ■ г )-(ц+кгц у - кр( р - к( ■ г) ■
■(к' 10 -к?т - кр^р - к? ■г)+к--Уг + кг* ■г + кр^р
у 1 = уу -^■р - к7 ■ V - к7 ■ г)■ (г'1 о +кг г + ^■р + К ■ г)+ + ( + кг( ■ уг - крц ■ р - кг( ■ г) (х';0 ■г + кр^р + кр ■ г)- ку ■ г -
-кр^р-к?у
г<1 = к? у - г-((, +к-т+кр^р+г; ■г )+(кр-р - кр ■ у - кр^г) ■ ■(о -к^ • г - кр ■ р - кр ■г)+ к--г
(8)
х
г
Следовательно, кинетическая энергия неподрессоренной массы:
г(ух + т ■ (г' ,0 +¥; ■ г+кр ■ р+к? ■ г )-*+к? V - к]*- р - к* ■ т)^ ■( -к^-т - кр ■ р - кг[ ■ г)+кг;-¥г + к; ■ г+крх ■ р
Т: = — "У 8ш . 1 2 ^ 1
2 >
+
/
Су -(■р - кг] у - ктр ■ т)) ■ т + к] ■ р + к* ■ г)+ 42
+
+ * + к]* у - кр? р - к]* ■ т)•(;0 +ктх • т + к? ■ р + к™ ■ г)-
к? ■ т -кру ■ р -кгу у
\ 1 ] 1 ] 2
+
С к] у - т ■(( +кг*-т + крх ■ р + к- ■ г)+(р - гр у - к
■т)
'(0 -к7-т - ^■р - кГт)+ кгт
(9)
Решение уравнений (4) и (9) относительно каждой из обобщенных координат дает левые части уравнений Лагранжа второго рода для подрессоренной и неподрессоренных масс соответственно.
При составлении уравнений движения многомассовой системы, очевидно, необходимо исходить из того, что связь элементов системы однозначно определяется кинематическими либо силовыми факторами. В рассматриваемом случае кинематическая связь задается направляющим аппаратом подвески (математически выражается при помощи коэффициентов кинематических характеристик подвески). Неизвестным фактором является силовое взаимодействие подрессоренной и неподрессоренных масс системы. Для определения силового взаимодействия масс системы условно «разрежем» автомобиль на подрессоренные и непод-рессоренные массы. Очевидно, что границы такого раздела пройдут по элементам подвески (в нашем случае - двухрычажной независимой каждого из колес). Из курса сопротивления материалов известно, что две системы являются эквивалентными при равенстве силовых факторов, действующих на систему, и вызываемых ими перемещений. Таким образом, при разрыве связей необходимо ввести заменяющие их силовые факторы (см. схемы рис. 2 и 3).
Рис. 2. Силовые факторы, возникающие при разрыве подвески (вид спереди, схематично).
Очевидно, что на подрессоренную и неподрессоренную массы при этом будут действовать равные по величине и противоположные по направлению силы (таким образом, при суммировании они взаимно сокращаются, что подтверждает внутренний характер этих сил по отношению к системе). Также логично предположить, что силовые факторы, вводимые при разрыве подвески, будут каким-то образом приложены вдоль ее рычагов (в случае линейных сил) или представлять собой скручивающие и изгибающие моменты, действующие на рычаги подвески. В любом случае величина и направление приложения данных силовых факторов будут зависеть от направляющего аппарата подвески, что не слишком удобно при расчетах ввиду необходимости учета геометрии подвески. Поэтому целесообразно указанные силовые факторы привести к центру подрессоренных масс - таким образом при составлении
уравнений движения подрессоренной массы каждый из указанных силовых факторов будет главной и единственной силой (моментом), действующим на каждом из линейных (угловых) перемещений системы. Очевидно, что приведенные силы и моменты не являют собой реакции в пятне контакта колеса с дорогой по соответствующему направлению в чистом виде, а учитывают влияние каждой реакции через кинематические характеристики подвески, а также инерционной составляющей от движения неподрессоренной массы.
При составлении уравнений движения неподрессоренной массы таким образом необходимо в качестве внешних сил принимать каждую из приведенных сил (моментов), введенных при разрыве подвески, противоположную по направлению действующей на кузов автомобиля, с учетом кинематических характеристик подвески (поскольку приведенные силовые факторы приложены в центре подрессоренной массы).
Рис. 3. Силовые факторы, возникающие при разрыве подвески (вид сверху, схематично).
Полная потенциальная энергия системы определяется суммой потенциальных энергий от продольного и поперечного крена и вертикального перемещения подрессоренной массы:
Поскольку расчетная модель автомобиль не является консервативной системой, то есть сумма кинетической и потенциальной энергий изменяется при движении системы, необходимо определить диссипативную функцию Релея.
Принимая пропорциональность между силой сопротивления амортизатора и скоростью относительного перемещения его поршня и допуская линейную зависимость между последней и обобщенной скоростью ^, определим диссипативную функцию Релея при вертикальном перемещении подрессоренной массы:
(10)
(11б)
(11.а)
Для поперечного крена:
Кр = "2 ' (2 ' ^12 + ка12 " + К34 ' ^34 + ка34 ' ^34 + ка56 ' ЬР256 + ка56 ' ^56 )-
Аналогично для продольного крена подрессоренной массы: Я. = (к
а12 'Ь212 + кас5б 'Ь г56/' Г Г > 0
Кг =(к а12 Ь2п + К56 'Ь г56 / ' Г Г < 0
Р 2
(12)
(13.а)
(13.б)
Далее определим частные производные потенциальной энергии для подрессоренной и неподрессоренных масс по обобщенным координатам и диссипативной функции по обобщенным скоростям.
Обобщенные силы уравнений Лагранжа определим как отношения работ внешних сил
йЛ йц
1 к соответствующим возможным перемещениям 11.
Согласно внешним силам, показанным на рис. 1, и внутренним силам, динамически
связывающим подрессоренную и неподрессоренные массы (рис. 2 и 3), обобщенная сила
б,
для подрессоренной массы на возможном перемещении йх составит (с учетом производных подвески):
б, = УР. - Р (14.а)
Обобщенная сила бу на возможном перемещении йу равна:
бу = У Р.
Для перемещения :
а= ^а -XР
Аналогично для остальных перемещений:
б = М -Ур.
^Р е /—I Р1
бг =У Р.
в
где:
&=(( + КП2 )' -((„5 + Я„6 )' 008^56 +((„2 - Я„1 +
+ ((„5 - К„6 )-|+ (( - К )-В'00^12 + (( - ^4 )В + (( - К* '<^56 +
+У1 ^-ур в
(14.б)
(14.в) (14.г) (14.д)
(14.е)
1 - угол поворота колеса (равен 0 для колес средней оси, отрицателен для колес задней оси);
Р
к - сила аэродинамического сопротивления. Для неподрессоренной массы:
б. = -008^1 - Яп] ' БШ в 1 - рщ
бУ1 = Я„, ' 00Б в1 + Я. -ап^ - Р.
б. = к7'Р, - кГ'ря + ^ 'Р - Гр'рт +1' Р^ - К.
бр. = кРХ 'Р - кРУ ' Р* + , 'Р. + кРР' РР1 - 1 Р -
кр (р - к;р' Г - к*'г)
б, =к;' р - кг' рУ1 + к;г Р - к;р Р+к7' р - м
%=Р, - М ,
где: ^ср - коэффициент сопротивления развалу,
(15.а)
(15.б)
(15.в)
(15.г)
15. д) (15.е)
кр ■(<?■р-кг[ ■ т-кгрт)= к
ср
М
= кср-р1
момент сопротивления развалу,
М
скк - момент сопротивления качению 1 -го колеса, 4 - момент сопротивления повороту 1 -го колеса,
Г Г Г Г Г Г х , у , г, р1, т , * - силовые факторы, заменяющие связи подвески, приведенные к центру масс кузова. Запишем уравнения Лагранжа в окончательном виде. Для подрессоренной массы:
уравнение движения по обобщенной координате х ( ^ ):
у-* у + т ■ у+ т2) Х0 +(т■ р-*) ■ У0 + + ( + *■р )г0
т0
= У Г - Р
Х1 V
(16)
лю).
(потенциальная энергия и диссипативная функция на данном перемещении равны ну-Для неподрессоренной массы:
уравнение движения по обобщенной координате х ( ^ )
V + т■ г'01 +кгг ■г■ т + к" ■г2 + крг ■г ■ р + крг ■г■ р + к? ■т■ г + Л
х 011 1 ]*-]*-]
+ кр ■гу - *■ у'01 +кр ■*■ т + кр ■*■ т + кр ■*■ р + +кГ ■*■ г - кг* у2-у\ . к^у-т+
т.
1 г 011 1
+ Г* кру У-р + круу-р + ¥*■ к? У-г + ¥*■ к^у? +
1 1 г ± 1 1 г ± 1 ] г 1 ] г
+ кр* ■ рр ■ у\ 1 -кр* ■ Щ ■ р т - к*, р. т - кр* ■ Щ ■ р р
- kp]*■ кр^р2 - кр* ■ к^ ■ р ■ г - кр* ■ к^р У2 + к]*
т^ у
0
- к* ■ кр ■ г ■ т - к* ■ кр ■г2 - к* ■ кру ■ г ■ р - к* ■ кру ■г ■ р
- кт* ■ кгу ■г ■ г - ^■т: К + кгху2 + ктх ■г + к
11 11 2 ] 2 ]
V + крУгТ*01 +kp■kpуz■ г +
1 ■р
-т
+ кр^кру^р + кр ■кгг уг- г - к
рр
01
р - кр ■р^ г - kpp■kpz■p■ р -
рр 1
-крр ■к2; ■р^г + ктрт'0г + kтp■kтlz■r■ г + ^■кр^у р + kтp■kZ]■r■ г +
гг
тр
01
тр
рг
тр
+ * ■ х'01 +кр ■*■ г + крх ■*■ р + кр ■*■ г + к]* у\ ■ х'01 +к* ■ кр ■ у2т + + кр ■ у г ■ р + к*■ кр ■ у г - г - к^^ р^ х\ 1 -к^^ кр^р^ г - k]*■ кр^р^ р
V "1
]
- кр* ■ кр^р^ г - кт* ■ г ■ х'01-кт* ■ к? ■г- г - кт* ■ крт ■ р - кт* ■ к^г ■ г
т*
0
(17)
(* + к* у -kp*■ р-¥**■ т)+
+ т1
кр■ уг - г ■ х'01 -к" ■г- г - кр^у р - kzx■r■ г -
0
- круг-у 01.+кр ■кгу ут + кр ■ кр Уг- р + кр^у^г -
-кгр ■г■ у'01 +кгр ■kтy■r■ г + к^^к^ ■г ■ р + ктр ■кгу ■г ■ г + крр
1 ^ 0111 1 1 г 1 1
ГУ у 01
- kpp■kf■p■ г - kpp■kpy■p■ р - kpp■kf■p■ г + к
1тУ ■
рр
рр
гу
г =
= Яц ■0080,-ЯП1 РХ1
Таким образом, мы получаем систему, состоящую из шести уравнений движения для каждой из масс (уравнения 16 для подрессоренной массы и группа уравнений 17 для каждой
из неподрессоренных масс1). Совместное решение уравнений этой системы представляет собой математическую модель движения автомобиля.
тг
Выводы
Получена универсальная многомассовая система уравнений движения автомобиля, в которой математическое описание конструкции направляющего аппарата подвески заменено передаточной функцией - кинематической характеристикой подвески. Представлен способ вычисления инерционных характеристик отдельных масс в общей координатной системе.
Приложение 1 Обозначения и индексация переменных: Iх, I , Iг - моменты инерции в первоначальной системе координат;
Iх,, Iу,, Iг, - моменты инерции в новой системе координат;
Х , у' ,.' - соответствующие смещения осей новой системы координат относительно первоначальной;
Рху, Руг, Р.2 - произведения инерции в первоначальной системе координат; Рх,у,, Ру,г,, Рх,г, - произведения инерции в новой системе координат;
Т - кинетическая энергия системы; и - потенциальная энергия системы; Я - диссипативная функция Релея; б1 - обобщенная сила; ц1 - обобщенная координата; ц - обобщенная скорость; 0, !у0, 1.0 и Ру0, Рхг0, Руг0 - моменты инерции и произведения инерции подрессоренной массы относительно осей х, у, г; х0 , у0 , г0 - координаты центра подрессоренной массы;
Ух, Уу, Уг, р , Г, у/ - линейные и угловые скорости по соответствующим осям координат;
ц1 - возможное перемещение подрессоренной массы; ц\ - возможное перемещение неподрессоренной массы; , - номер неподрессоренной массы; Рк - сила аэродинамического сопротивления;
Я,. , Я„. , Яг. - продольная (боковая, вертикальная) реакция . -го колеса;
Рх. - эквивалентный силовой фактор, вводимый при разрыве подвески, действующий
в направлении соответствующей оси; Оа - вес автомобиля;
Ма - обозначение центра масс автомобиля; М. - крутящий момент , -го колеса; М - момент сопротивления повороту , -го колеса; М - момент сопротивления развалу , -го колеса.
Параметрическая унификация конструктивных параметров автомобиля при его конструировании и производстве
к.ф-м.н., доц. Гадельшин Т.К., Гадельшин Д.Т.
МГТУ «МАМИ»
Введение
За более чем вековую историю развития автомобилизации мы можем наблюдать, что автомобили все больше и больше влияют на различные стороны жизни и деятельности лю-
