Математическая модель сочленённого автотранспортного средства Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАЗЕМНЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 629.113

В.Н. Кравец, Р.А. Мусарский

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СОЧЛЕНЁННОГО АВТОТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Предлагается пространственная математическая модель сочленённого автотранспортного средства, разработанная на основе использования квазикоординат, нашедших широкое применения для исследования него-лономных систем.

Ключевые слова: математическая модель, квазикоординаты, сочленённое транспортное средство, псевдоскольжение колеса, боковой увод.

Математическая модель предназначена для определения показателей управляемости и устойчивости специализированных автотранспортных средств, создаваемых на базе вне дорожных карьерных самосвалов особо большой грузоподъемности. Были разработаны математические модели для нескольких специализированных автотранспортных средств. Из всех рассмотренных моделей наибольшей общностью обладает модель буксировщика карьерных самосвалов, представляющего сочлененное транспортное средство, которое состоит из тягача-буксировщика и буксируемого им карьерного самосвала или любой другой транспортно-технологической машины, используемой при разработке полезных ископаемых открытым способом.

Пространственная шестиколесная механическая модель системы буксировщик - буксируемый автомобиль представлена на рис. 1 [3, 7]. В основу разработки пространственной модели положен метод квазикоординат, развитый Н.А. Фуфаевым [8, 9].

Для описания качения эластичного колеса, нагруженного продольной и боковой силами, использованы обобщенные гипотезы продольного псевдоскольжения (крипа) и бокового увода [4, 12].

Количественной характеристикой продольного псевдоскольжения является величина

s=(V-rKOo)/V, (1)

где V - скорость центра колеса; гк - радиус свободного колеса; ш - угловая скорость вращения колеса.

При малых значениях крипа s между ним и продольной силой Fx - силой сопротивления крипу имеет место линейная зависимость

F =-Kxs , (2)

где Kx - коэффициент сопротивления крипу.

Зависимость (2) справедлива при постоянной нормальной силе Fz, действующей на колесо. Изменение нормальной нагрузки на колесо оказывает влияние на радиус качения колеса, которое учитывают в обобщенной гипотезе крипа [4]:

© В.Н. Кравец, Р.А. Мусарский, 2010.

Г =-Кх (V — гк*ш) / V+КХ (2 — 2* ),

где гк* - радиус свободного качения колеса при статической нагрузке; Хг - коэффициент, учитывающий влияние на крип радиальной (нормальной) деформации упругого колеса; 7 — - нормальная деформация упругого колеса.

Рис. 1. Математическая модель системы буксировщик - буксируемый автомобиль

В простейшей гипотезе увода взаимосвязь между боковой силой Г и вызываемым ею углом увода 5 выражается линейной зависимостью [4]

Гу =—КУ 5 . где Ку - коэффициент сопротивления уводу. Величину 5 определяют из соотношения

1Е5 - 5 = Vу / V, (3)

где Уу и V- поперечная и продольная составляющие скорости центра колеса соответственно.

Линейная зависимость между ¥у и 5 справедлива для малых углов увода (5 < 0,05 рад). Нелинейная связь может быть аппроксимирована несколькими выражениями [1, 4, 5, 6]. В данной работе использована зависимость

Fy =" КУ 5

^ фFz )2 +( Ку 5 )2

где Ку - коэффициент сопротивления уводу на линейном участке зависимости ¥у = У(5); 5 -угол увода; ф - коэффициент сцепления колеса с опорной поверхностью; - нормальная сила, действующая на колесо.

При составлении математической модели приняты следующие допущения:

1) подрессоренные части буксировщика и буксируемого автомобиля представлены в виде двух шарнирно-сочлененных твердых тел, соединенных посредством шести подвесок с колесами;

2) неподрессоренные части (колеса) заданы в виде материальных точек;

3) ведущие колеса имеют моменты инерции, приложенные в плоскости их качения;

4) рулевое управление жесткое, лишено люфтов и инерционности;

5) характеристики подвесок и амортизаторов нелинейные;

6) крутящие моменты на ведущих колесах равны;

7) углы продольного и поперечного кренов подрессоренной массы малы;

8) нелинейные упругие характеристики шин аппроксимируются кусочно-линейной функцией;

9) углы поворота управляемых колес и крутящие моменты на ведущих колесах -заданные функции времени.

Рис. 2. Системы координат Рис. 3. Эллипсоид инерции буксировщика

Системы координат показаны на рис. 2, эллипсоид инерции буксировщика - на рис. 3. Углы поворота управляемых колес связаны между собой соотношением [11]

С1в0п - ^ел = 2Ь0 /1 .

Связь между обобщенными координатами qn и их производными ^ , q2 ,..., ¿¡п и

квазикоординатами л1з л2,..., лп задана уравнениями (3):

п

* у = Е ау* ^1) &+ ау (q, 1);

5=1 (4)

5=Е К (q'1 )л ^+ь (q, I).

5 = 1

Как показано в [9], уравнение Лагранжа второго рода в квазикоординатах имеет вид

а дЬ дЬ т . \дЬ _ дК

\дЬ _ дК

+Х(у ьул у у )—=^,

а длк длк у=1 11 1 у дл; дЛг

(5)

где Ь = Т - П - функция Лагранжа; Т - выражение кинетической энергии при переходе к квазискоростям; П - выражение потенциальной энергии; Qk - обобщенная сила на виртуальном перемещении 5лк; К^, Л) - диссипативная функция Рэлея, учитывающая рассеи-

дЬ* дТ*

вание механической энергии из-за наличия сил вязкого трения; _=_а - оператор,

длк

который для истинных координат совпадает с операцией частного дифференцирования по соответствующей координате; уку и уу - коэффициенты, зависящие от уравнений связи между обобщенными координатами и квазикоординатами, и не зависящие от движения системы.

Для получения уравнений движения математической модели необходимо составить выражения для кинетической и потенциальной энергий, функции Рэлея и обобщенных сил, действующих на систему.

По теореме Кенига [9], кинетическая энергия системы буксировщик - буксируемый автомобиль равна

Т = Т +Т +Ет ,

п п1 ^^ 1 '

(6)

1=1

где Тп и - кинетическая энергия подрессоренных масс буксировщика и буксируемого автомобиля соответственно; Т1 - кинетическая энергия 1-го приведенного колеса.

После подстановки в уравнение (6) выражений для кинетических энергий Тп , Т и Т1 получаем формулу для кинетической энергии модели в развернутом виде:

Т* =1 шУС +1 [1Ар2 + 1ВЧ2 + 1сг2 ]+1 т1Кс2 +

+ — 2

1 Г 1 6 1 6

1 А\1Р\ + ^ К + /С! I2 ]+ 1Е ШКгУ2 + 1 ХТВг .

(7)

2

г=1 г=1

где т и т1 - подрессоренные массы буксировщика и буксируемого автомобиля соответственно; т - приведенная (неподрессоренная) масса 1-го колеса; Ус и Уг - скорости дви-

к1 С1

жения центров масс подрессоренных частей буксировщика и буксируемого автомобиля соответственно; У - скорость движения центра 1-го колеса; IА, 1В, 1С, 1 Ах, !Вх, - главные

центральные моменты инерции подрессоренных частей буксировщика и буксируемого автомобиля; р, q, г, р1, г - проекции мгновенных угловых скоростей шс и юс1 подрессоренных частей на главные оси центральных эллипсоидов инерции и буксировщика и буксируемого автомобиля; Тъ - кинетическая энергия вращательного движения 1-го колеса.

Для перехода к уравнениям (5) в квазикоординатах в качестве кинематических характеристик выбраны 7 (г = 1,18), связанные с обобщенными скоростями следующими соотношениями:

тс 1 = 1; 712 = Ап; 773 = А; 774 = у; 77 5 = - х вю у + у сов у; 776 = - х сов у + у вю у;

77 7 = 0п ; 77 8 = ¿1 ; 77 9 = ¿2 ; 7710 = ¿3 ; 7711 = ¿4 ; 7712 = ¿5 ; 7713 = ¿6 ; 7714 = Фп ; 7715 = Фл ; 7716 = Ап1 ; 7717 = А1 ; 7718 = у 1 •

(8)

Подставляя выражения (4) в (7) с учетом введенных соотношений (8), получим уравнения кинетической энергии в квазикоординатах:

1

Т = — ш п 2

П2 + (М2 - ИккА + Л6) + (Итс3 + АХп714 + Л5)

+ 11А [ П3 +( К +Р ) П4 ] 2 + 1/В ( П 2 )2 + 14 П4 ;

Тп* = 1 ш1 { [П6 - И3П2 + ^4 + (И5П16 - 18 ) То +

+ (ИЯ17 -(^ - И\ ) ) БШу0 2+[7С5 -(6 + \И ) П - ИП +

(А^Я18 - И5П16 ) sin У 0 + (И5П17 - (¿1 - п ) П18 ) ^ ^0 2 + [П1 + 2 + 16 ]2 } П17 +( \ + в1 ) П1

2 + 11В, (П16 - )2 + 1П128 ;

гт* 1

1 2 к1

*1

Т2 = - тк

2 2 к2

*1

Т3 =- тк

3 2 кз

*1

Т4 = - тк

4 2 к4

(п5 + ап4)2 +(п6 + ¿0Л4 )2 + п2 ] +1 1Щ [(п6 + ¿0Л4 )/гк ] 2;

(п5 + а!п4 )2 +(п6 - Ь0П4 )2 + П2 ]+ 1[(П6 - Ъ0П4 )/Гк ] 2 ;

(Л5 - а2%4 )2 +( Л6 + Ъ2%4 )2 + ^0 (715 - а2п4 )2 +(п6 - Ъ2П4 )2 + П21

Т5* = 1 { [П6 - 2 + ¿3Хк4 + (^4П16 - (^4Х1 - Ъ4 ) П18 ) C0S У0 + + ( ¿4п17 - (^ - ^ ) п18 ) У0 2 + [Л5 - (Ъ + ) Л4 - 3 ] 2+

+ [(¿4Х1 - Ъ4 ) П18 - ¿4П16 ] Sin Та + [(¿4П17 - (ё - ¿4Хп ) П18 ) C0S ^0 Т6* = 1 {[ П6 - ¿3П 2 + ¿3ХП4 +(^4 П16 -(КХ1 + Ъ4 ) П18 ) С°^0 +

+ (¿4л17 -(ё - ) л 18) siny0 2 +[л5 -(Ъ + Хпh) л4 - ^л3 ]2 +

+ [(¿4Х1 + Ъ4 ) л 18 - ¿4П16 ] sin Уа + [(¿4П17 - (ё - ¿4Хп, ) П18 ) C0S Ь

+11кзП 24;

+11к 4П 25;

+ Л,

+ 77 2

Потенциальная энергия системы может быть записана как сумма потенциальных энергий ее составных частей:

П = пП + пП1 + + £пПг + ,

г=1 г=1 г=1

где Пп и п - соответственно потенциальная энергия подрессоренных частей буксировщика и буксируемого автомобиля; Пг- - потенциальная энергия 1-го приведенного колеса; пп - потенциальная энергия 1-го упругого элемента подвески; пш - потенциальная энергия шины /го колеса.

6

п = тёг + тё ( г + Ъ Хп + ё Хп ) + £ тщ ё2, +

г=1

6 ^ 6 ^ +1 I Р (Ап,)ёАп, +2 I рш, К )ёА

г=1 V а

у г=1 V а

У

где р (Ап ) и Р (Аш ) - нелинейные силы упругости гидропневматического упругого-

элемента 1-й подвески и шины 1-го колеса соответственно; Ап и Аш - деформация (прогиб)

1-го упругого элемента подвески и 1-й шины колеса соответственно.

С учетом введенных обозначений деформации упругих элементов подвески и шин рассчитывают по выражениям:

Ап = П1 - а1П2 + Ъ1П3 - 11 - П8 ; Ап2 = П1 - а1П2 - Ъ1П3 - 12 - П9 ;

А% = П1 + а2П2 + Ъ3П3 - 13 - П10 ; Ап4 = П1 + а2П2 - Ъ3П3 - 14 - П11 ; (9)

АП5 = п + Ъп2 - Ь, + К + ёп16 + Ъ5щ7 - ^ - щ2; ^ = л + ЪП2 - Ь, + К + ёп16 - Ъ5щ7 - ^ - ^ , где ^ (I = 1, б) - длина свободного /-го упругого элемента;

6

Аш = " Г ; Лш = - Гк ; Лш3 = П10 " Г ; , ч

л 1 л 2 л' (10)

где гк и г - радиусы качения колес буксировщика и буксируемого автомобиля соответственно.

Зависимость упругой силы гидропневматического упругого элемента подвески от хода поршня имеет вид [2]

р _ . ро1о1 A . %L о2а

Пг (/с +АПг)L^Í^F

где и - начальное давление в основном цилиндре и в цилиндре противодавления соответственно; 10 и Ь0 - высота приведенного столба газа в основном цилиндре и в цилиндре противодавления соответственно; g1 и g2 - показатели политропы процессов сжатия в основном цилиндре и в цилиндре противодавления (при малых скоростях перемещения поршня g1 = g2 = 1) соответственно; Л - ход поршня.

п/

По данным НИИ КГШ (г. Днепропетровск) [10], нелинейная упругая характеристика шины может быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией с двумя линейными участками:

[ОЧ, при Лш <ЛШ

.^ [сШЛШ+сш(Лш-ЛШ), при Лшк >ЛШ.

С учетом выражений (9) и (10) потенциальная энергия системы может быть записана в квазикоординатах в следующем виде:

П* = т^ + mg (П1 + Ъ%2 + 4П16 ) + тЧ + тк2 gП9 + gП10 + тк4 gП11

^ Л

^л m Л

6 л пi 6 л ш i +тщgn12 + тКбgn13 + Z J Fu¡ )d\ + £ J Fm¡ (^)d^

'=1 ^ с J '=1 ^ с

Функция Рэлея имеет вид

„ 1 6

R = Rn + ^ш = 1Z +1Z кщ лЛЩ^, 2 ,=1 2 ,=1

где Rп и Rш - функции, учитывающие рассеивание энергии в амортизаторахподвески и в шинах колес соответственно; К, - коэффициент сопротивления (вязкого трения) i-го амортизатора подвески; Лп - скорость деформации i-й подвески; Кш - коэффициент демпфирования (вязкого трения) шины i-го колеса; Лш - скорость деформации шины i-го колеса. Для определения обобщенных сил записывают выражение для виртуальной работы: дЛ = F [дгс4 (a cos 0П - b0 sin 0п ) + дл5 cos 0П - дгс6 sin 0п ] +

+F2 [дтс4 (a cos 0л - b0 sin 0л) + дп5 cos 0л - дгс6 sin 0л ] +

+Fy3 (дП5 - а2дп4 ) + FyA (дп5 - а2дп4 ) + F4 (дп6 + Й2дп4 - ^14 ) + +F (дП6 - Ь2дп4 - ГддП15 ) + Ffl [-дП4 (а1 sin 0п - Ь0 cos 0п ) -

-дл5 sin 0п - дгс6 cos 0П ] + F/2 [-дгс4 (a sin 0Л - b0 cos 0Л ) --дл5 sin0n -дл6 cos0n ] + F (дгс6 siny0 + дп5 cosy0 - dдгс18) + +F (дгс6 sin у0 + дп5 cos y0 - dдгс18 ) + Ff (-дгс6 sin y0 + дп5 cos y0 --Ь4дп18) + Ff (-дп6 sin yc + дп5 cos ус + Ь4дп18) ,

где р (/ = 1, б) - сила сопротивления боковому уводу /-го колеса; р (г = 1, б) - сила сопротивления качению /-го колеса; рз и - силы сопротивления крипу правого и левого ведущих колес; Т и Т - крутящие моменты на правом и левом ведущем колесах; уо = у - у1

- угол складывания буксировщика (системы буксировщик - буксируемый автомобиль); гд - динамический радиус ведущего колеса.

При расчете сил сопротивления крипу величины крипа по формуле (1) записывают для ведущих колес в квазикоординатах в следующем виде:

_ = П6 + Ъ2П4 ~ ГкоП14 . „ = П6 " Ъ2П4 " Гко П14 .7 • ; ^4

П 6 + b2 П4 П 6 - b2 П4

Необходимые для расчета сил сопротивления уводу углы увода колес вычисляют по формуле (3) через скорости V и Vy, записанные в квазикоординатах:

тс, sin 0 - П cos6 - Л, (a cos6 - bn sin 0 )

С _ 6 П 5 П 4 \ 1 П U П/.

ж5 sin 0п + ж6 cos 0П + 7С4 (a cos 0П + b sin 0П) П sin0 - П cos0 - кл (a cos0 + bn sin0 )

С _ 6 л 5 л 4 \ 1 л U л/.

2 7C5 sin 0л + 7С6 cos 0Л + 7С4 (a cos 0л - b sin 0л)'

_ a2714 - 715 .с _ a2 П 4 - 715 . °3 и • ' ü4 • 7 . ;

71, + bП. 71, -b71,

6 1 2 4 '"6 2 4

sin y 0 + F2 cos y0 + h4n17 + (^ - d)( П18 -7П4 )

5 V COs Yo - V2 sin Yo + h4П16 -(h4Xп - b4 )(П18 4 ) '

V1 sin Y0 + V2 cos Y0 + h4n 17 + ( Д X п - d )( П18 -n 4 )

^ _

6 СОБ Yo - ^ sin Yo + К4П16 - (КХп + Ъ4 ) (П18 -П4 ) '

где V = П6 -КП + КзПП4; V = П -(Ъ+КК)П4 -Кз^Л3.

Выполнив необходимое дифференцирование выражений кинетической и потенциальной энергий, а также функции Рэлея и подставив полученные результаты вместе с выражениями для обобщенных сил в формулу (5), получают систему дифференциальных уравнений для описания движения пространственной модели буксировщика с буксируемым автомобилем:

• для подрессоренных масс:

18

Ё a i jij = -(m+m1) g+Ё(р + Ri);

j=1 i=1

18

Ё «2 j П j = -L2 + T2 - m gb + «1 (F + Fn2 + R1 + R2 ) -

j=1

-a (F + F + R + R)-b(F + F + R + R);

2 \ п3 п4 3 4 / V П5 п6 5 6 / '

18

Ё «з j П j = -L + T3 - b1 (F - Fn2 + R1 - R)-Ьз (Fn3 - Fn4 + R3 - R4);

18

a

- • • - - .... . . - ■ U3 П4

j=1

18 18

Ё a4 j П j = L4 + T4 + Q4 - П 6 + П 5 ^2 ; Ё a5.j ^^ j = -L5 + T5 + Q5 - П 4D2 ;

j=1 j=1 18 18

Ё a6 j íí j = -L6 + T6+Q6+n 4D1; Ё a16 jn j = - L16 + - d (Fn5 + Fn6 + R5 + R6);

j=1 j=1

18 18

Ё a17 jП j = -L17 + ^17 - b5 (Fn5 - Fn6 + R^S - R6 ) ; Ё a18 jП j = -L18 + T18 + Q18 ¿

j=1 j=1

• для неподрессоренных масс:

П8 = g + F - + R - ^ ; тк2 П9 = "mK2 g + Рщ - Fm2 + R " ^ ;

П1С =-mK3 g + - Ршъ + R3 - ; jt11 =-mK4g + РпЛ - + R4 - ; mK5 П12 =-mK5 g + Fn5 - ^ + R - Яш5 ; mK6 П13 =-mK6 g + Fu6 - ^ + R6 - ; A, П14 = 014 ; П15 = 015 -

Разработанная пространственная модель системы буксировщик - буксируемый автомобиль может быть использована для исследования специализированных автотранспортных средств с различными конструктивными схемами и различных режимов движения.

В заключение следует отметить, что предлагаемая пространственная математическая модель системы буксировщик - буксируемый автомобиль обладает по сравнению с ранее разработанными математическими моделями автотранспортных средств наибольшей универсальностью, позволяющей учесть все конструктивные особенности, параметры и характеристики составных частей и разнообразные условия эксплуатации.

Библиографический список

1. Бухин, Б.Л. Введение в механику пневматических шин / Б.Л. Бухин. - М.: Химия, 1988. - 224 с.

2. Добрых, Л.И. Создание и исследование прогрессивных пневмогидравлических подвесок автомобилей БелАЗ большой и особо большой грузоподъемности: автореферат дисс...канд. техн. наук: С5.С5.С3. - Минск, 1973. - 65 с.

3. Кудряшов, Е.М. Исследование устойчивости и управляемости буксировщиков карьерных автомобилей: автореферат дисс.канд. техн. наук: С5.С5.С3. - Нижний Новгород, 1993.-2С с.

4. Левин, М.А. Теория качения деформируемого колеса / М.А. Левин, Н.А. Фуфаев. - М.: Наука, 1989. - 272 с.

5. Литвинов, А.С. Автомобиль: Теория эксплуатационных свойств / А.С. Литвинов, Я.Е. Фаро-бин. - М.: Машиностроение, 1989. - 237 с.

6. Литвинов, А.С. Управляемость и устойчивость автомобиля / А.С. Литвинов. - М.: Машиностроение, 1971. - 416 с.

7. Могутнов, В.П. Повышение устойчивости и управляемости специализированных автомобилей большой грузоподъемности: автореферат дисс.канд. техн. наук: С5.С5.С3. - Волгоград, 1987. - 19 с.

8. Мусарский, Р.А. Концепция твёрдого тела в теории движения колёсных экипажей / Р.А. Му-сарский, Н.А. Фуфаев // АН СССР, Механика твёрдого тела. 1995. №3. С.65-74.

9. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. - М.: Наука, 1967. - 519 с.

10. Результаты статических испытаний серийной шины 18.СС-25: Отчет о НИР / Науч-исследоват. ин-т крупногабаритных шин. - Днепропетровск, 1978. - 14 с.

11. Фалькевич, Б.С. Теория автомобиля / Б.С. Фалькевич. - М.: Машгиз, 1963. - 239 с.

12. Фуфаев, Н.А. Простейшие теории качения колеса / Н.А Фуфаев. - Горький: ГГУ им. Н.И. Лобачевского, 1984. - 27 с.

Дата поступления в редакцию 25.01.2010

V.N. Kravetz, R.A. Musarskiy MATHEMATICAL MODEL OF THE JOINTED VEHICLE

The spatial mathematical model of the jointed vehicle developed on the basis of using of quasi -coordinates, found wide applications for research of nonholonomic systems offered.

Key words: the mathematical model, quasi - coordinates, the jointed vehicle, creep, lateral withdrawal.