CC BY
106МЕТОДОЛОГ1Я НАУКОВИХ ДОСЛ1ДЖЕНЬ У ГАЛУЗ1 ТЕОРПТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА СЕГОДНЯ:
ЕЕ РОЛЬ И МЕСТО В ГУМАНИТАРНЫХ НАУКАХ
Н.Я. Игнатенко, доктор педагог. наук, профессор, заслуженный работник образования Украины, заслуженный деятель науки и техники Автономной республики Крым, УКРА1НА,
e-mail: 4986798@ukr.net
Висвтлено деяк питання методологи математики, и роль та мгсце в гуматтартй сферг. В робот1 розкрит1 основт два питання: предмет математики. (деяю методолог1чт проблеми / принципи), а також мЩе 7 роль математики в сучасному св1т1, свгтовгй культур7 та ¡стори.
Ключовi слова: методолог1я математики, предмет математики, математика в гумаш-тарних науках.
Постановка проблемы. Вопрос о месте и роли математики в современном мире, в мировой культуре и истории, в том числе и в гуманитарных науках важен, как никогда. Мы живем в век математики. В настоящий момент одни науки уже безоговорочно приняли математику на вооружение, другие только начали ее применять. Гуманитарии, например, относятся к последним. Однако в настоящее время и их большая часть спорит уже не о том, «нужно ли применять», а о том - «где и как лучше применять».
В последнее время практически отсутствуют конкретные публикации, адресованные учителю математики, отображающие место и роль математики в современном мире, в мировой культуре и истории, в том числе и в гуманитарных науках.
Цель работы - в общедоступной форме (в первую очередь для учителя математики и для гуманитариев) раскрыть следующие вопросы: 1. Предмет математики. Некоторые методологические проблемы и принципы. 2. Место и роль мате-
матики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках.
Изложение материала статьи. В литературе известны два подхода к определению предмета математики. Одно из них было дано Ф. Энгельсом, другое - коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки.
Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, -весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение и нельзя считать полным определением математики, поскольку в нём нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики, тем не менее, оно отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.
Бурбаки удалось воссоздать «архитектуру единого здания математики» показать, что фундаментом этого здания является понятие множества и структур (алгебраических, порядковых, топологических), а цементирующим средством - основные понятия логики, аксиоматический метод.
Что касается Бурбаки, то он также определяет не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем воспроизвести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем -полностью формализованной.
В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хоть и идеализированных, но вполне конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается от нее, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений она использует язык символов и формул, в результате чего содержательных рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т.е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения самых различных по своему конкретному содержанию объектов.
Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия абстрактной структуры. Н. Бурбаки выделяет три основных типа структур, которые играют наиболее важную роль при построении ими современной математики.
Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца и поля. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве А конечного числа операций с соответствующими свойствами, описывае-
мых системой аксиом. В качестве элементов множества А могут выступать как математические объекты (числа, матрицы, перемещения, векторы), так и нематематические.
Структуры порядка характеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение на числовых множествах), для которого выполняются следующие свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
Топологические структуры. Множество М обладает топологической структурой, если к каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из М, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологических структур). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как «окрестность», «предел», «непрерывность».
Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие структуры органически связываются с помощью объединяющей системы аксиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождающие структуры.
Общей чертой различных понятий, объединенных родовым названием «математическая структура» является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Построить аксиоматическую теорию структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».
На основе сказанного Н. Бурбаки делает вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укла-
дываются в некоторые из этих форм».
Итак, по Н. Бурбаки, математика - это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса уже устарело.
Сопоставление двух подходов к определению объекта изучения математики можно осуществить только с позиции анализа истории развития математического знания. Академик А.Н.Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики.
Период зарождения математики, который продолжался до VI-V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и метод.
Еще за три тысячелетия до новой эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения и знали теорему, которая ныне носит название теоремы Пифагора. Древние владели достаточно большим набором не связанных между собой правил и формул для решения многих практических задач: измерение земельных участков, составление календарей, строительство и т.д. К сожалению, до нас не дошли источники, по которым можно было бы судить, каким образом люди получили используемые ими в то время математические сведения.
Второй период развития математики -период элементарной математики: от "УГ-У вв. до н. э. до XVI в. н. э. включительно. Математика как логический вывод и средство познания природы - творение древних греков (У1-У вв. до н. э.). Не сохранилось документов, которые могли бы рассказать, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и её роли. А.Н. Колмогоров считает, что изменение характера математической науки можно объяснить более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, характеризовавшейся высоким развитием диалектики, искусством ведения спора. У греков к этому времени сложилось определенное миропонимание
того, что Природа устроена рационально, а все ее явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Пифагорейцы (VI в. до н. э.) усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них было первым принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. Начала дедуктивного, аксиоматического метода были также заложены древнегреческими математиками.
Первые аксиоматические теории, абстрагированные из конкретных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это побудило античных математиков к систематизации и логической последовательности изложения ее основ. К IV в. до н. э. уже были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки как логической системы, в основе которой лежат определенные начала - аксиомы. Развитие дедуктивной теории в первую очередь связано с именем Аристотеля (384-322 гг. до н. э.).
Первое же систематизированное дедуктивное изложение математики (геометрии) принадлежит Евклиду (около 300 г. до н. э.). Геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида, была блестящим, непревзойденным в течение свыше двадцати веков (вплоть до XIX века) образцом логической строгости, аксиоматического метода. Хотя на протяжении двух тысячелетий и вскрывались логические пробелы в системе исходных положений Евклида, однако первые реальные успехи в создании аксиом геометрии были достигнуты только к концу XIX века в работах Паша (1882), Пиано (1889), Пиери (1889).
Таким образом, в Древней Греции состоялся постепенный переход от практической геометрии к теоретической.
Третий период - период создания математики переменных величин (ХУЛ, ХУШ вв., начало XIX века) - знаменуются введением переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта (1596-1650) и созда-
нием дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Ньютона (16421727) и Г. Лейбница (1646-1716). Основными направления научной деятельности Ньютона были физика, механика, астрономия и математика. Математика в системе научных взглядов Ньютона была частью общей науки о природе, орудием физических исследований. Разработанный им метод флюксий служил математическим аппаратом для изучения движения и связанных с ним понятий скорости и ускорения.
Математические работы Лейбница так же тесно были связаны с его философскими воззрениями, в частности с созданием универсального метода научного познания, «всеобщей характеристикой». Математика мыслилась Лейбницем как наука об отражении всевозможных связей, зависимостей элементов, отношений в виде формул, в виде особого исчисления - дифференциального. Основой построения нового исчисления было понятие бесконечно малой величины, которое понималось, прежде всего, на уровне интуитивных представлений.
Несмотря на недостаточно разработанное в школах Ньютона и Лейбница исчисление бесконечно малых величин, оно позволяло решать многие из важнейших задач геометрии, механики, физики и прикладных наук, что лишь во второй половине XIX века, когда была создана теория действительного числа, стало возможным построить все здание математического анализа на строго логической основе.
Приведенное выше высказывание Ф. Энгельса отражает развитие математической науки от ее зарождения до середины XIX века. Основным источником развития математики до этого времени были запросы практики и физики (в основном механики и оптики). Математические теории отражали количественные (метрические) характеристики процессов.
Подход к объектам математического исследования, по Н. Бурбаки, обусловлен четвертым, современным периодом в развитии математики, который начинается со второй половины XIX века. Состояние математики, сложившееся к этому времени, характеризу-
ется следующими особенностями.
Накопленный в XVII и XVIII веках огромный фактический материал, привел к необходимости углубленного логического анализа. Связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также в связи с внутренними потребностями самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.
Вторая особенность этого периода развития математики связана со значительным расширением области её приложения. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь её результаты находят применение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности техники в математике: в баллистике, в машиностроении и др.
Третья особенность математики XIX века обусловлена усиленным вниманием к вопросам её обоснования, критического пересмотра её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также к критическому рассмотрению логических приёмов, используемых при этих доказательствах.
Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с проблемами её обоснования, с новым пониманием аксиоматического метода, чему послужило открытие в 1826 году Н.И. Лобачевского (1792-1856) который опроверг пятый постулат Евклида о параллельных прямых («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную»).
Это развило столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком к изменению взглядов на математику. Сразу же возник вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, об исследовании её
непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить два взаимоисключающих вывода). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом (1862-1943).
Сущность аксиоматического метода на современном этапе развития математики, которую определил Д. Гильберт, можно описать следующим образом.
1. Строится абстрактная теория. В её основании лежат термины двоякого рода: одни обозначают элементы одного или нескольких множеств (например, «точки», «прямые» и т.д.), другие - отношения между этими элементами (например, «лежать», «между» и т.д.). Этим терминам пока не приписывается никакого содержательного смысла, они - только слова.
Устанавливаются аксиомы, которым должны удовлетворять термины. Из аксиом выводятся логические следствия (теоремы). Для сокращения речи вводятся новые термины при помощи определений.
2. Терминам абстрактной теории приписывается содержательный смысл. Теперь их роль меняется, они выражают понятия, имеющие более или менее наглядное, осязательное содержание. Следует проверить, соблюдается ли для этих понятий аксиомы абстрактной теории.
Система, полученная путем приписывания содержательного смысла абстрактной теории, называется моделью или интерпретацией этой теории [5].
Если каждая аксиома системы аксиом бессодержательной теории выполняется в построенной интерпретации, то этим доказывается относительная непротиворечивость исходной теории. Абсолютно доказать непротиворечивость математической теории внутренними средствами математики невозможно. Так, для доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского была построена одна из моделей
французским математиком А.Пуанкаре (1854-1912). Эта модель возникла на предположении, что геометрия Евклида непротиворечива. Вопрос о непротиворечивости геометрии Евклида был сведен Д. Гильбертом к непротиворечивости арифметики. Доказанные в 30-е гг. нашего столетия теоремы позволяют сделать вывод о том, что доказать непротиворечивость арифметики математическими средствами нельзя.
Новый взгляд на аксиоматический метод в корне изменил прежние представления о геометрии как полуэмпирической науке. Из открытий неевклидовых геометрий и построения их интерпретаций следовало, что евклидова и неевклидовы геометрии не представляют собой непосредственного описания реального физического пространства, а являются абстрактными системами утверждений, истинность которых может быть проверена после соответствующей конкретной интерпретации.
Таким образом, подход Н.Бурбаки к определению математики как «скоплению абстрактных, бессодержательных, математических структур» был предопределен новым пониманием аксиоматического метода.
Однако подход Бурбаки встретил и негативное отношение, поскольку Бурбаки не считал нужным выяснять отношение рассматриваемых им структур к действительному миру. Не имея возможности в рамках данной статьи представить различные оценки философов и математиков на позицию Н.Бурбаки, сошлемся лишь на точку зрения ведущих отечественных математиков А.Н.Колмогорова, А.Д.Александрова, В.В. Гнеденко. Они считают, что во времена Энгельса математика изучала количественные отношения между величинами и пространственными формами. Теперь же она поднялась до изучения абстрактных структур и категорий. Но на этом основании нельзя считать, что объект изучения математики стал иным, что вместо количественного аспекта действительного мира математика стала исследовать нечто принципиально иное, что современный этап её развития совершенно не связан с предшествующими этапами ее истории.
В действительности же дело обстоит таким образом, что качественные изменения, происшедшие в математике, дают ей возможность исследовать количественные отношения несравненно глубже и шире. А.Н.Колмогоров приходит к мысли о том, что круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространства любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира применимо и на современном этапе её развития.
Эту позицию разделяет и А.Д.Александров: в математике рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений.
Б.В.Гнеденко обращает внимание на то, что хотя любая ветвь современной математики действительно изучает математические структуры, данное Бурбаки определение отнюдь не находится в антагонистических отношениях с определением Ф.Энгельса, а лишь с определенных позиций его дополняет.
Подводя итог всему сказанному, можно заключить, что подход к определению математики через математические структуры представляет собой выражение определенного этапа математического познания. Математика была и остаётся определенным «инструментом» познания мира, его закономерностей, пространственных форм и количественных отношений. В настоящее время, как уже было сказано, этот «инструмент» используется при изучении всё более сложных процессов и явлений, в том числе и не метрической природы. Без осознания этого фундаментального, методоло-
гического положения не может быть сформировано целостное представление об общей картине мира [3].
Математика претендует на статус «особой» науки, изначально превосходящей все прочие по уровню точности, истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений.
В сфере конечных величин математика действительно точна и непротиворечива; этого достаточно для более или менее количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей.
Что же касается сферы бесконечного, то здесь у современной математики есть свои противоречия, которые могут быть преодолены лишь совместными усилиями математиков, философов, логиков.
Роль математики в общечеловеческой структуре огромна. Обращаясь к истории философии, следует отметить, что ученые, создававшие математику нового времени, рассматривали математическую науку как составную часть философии, которая служила средством познания мира.
Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она позволяет перевести «общежитейские», интуитивные подходы к действительности, базирующиеся на чисто качественных (а значит, приблизительных) описаниях, на язык точных определений и формул, из которых возможны количественные выводы. Неслучайно говорят, что степень научности той или иной дисциплины измеряется тем, насколько в ней применяется математика.
Математика является частью общечеловеческой культуры. На протяжении нескольких тысячелетий развития человечества шло накопление математических фактов, что привело около двух с половиной тысяч лет тому назад к возникновению математики как науки. Квадривий, изучавшийся в Древней Греции, включал в себя арифметику, геометрию, астрономию и музыку. О значении математики для человечества говорит тот факт, что «Начала» Евклида - книга, которая издавалась наибольшее число раз (не считая Библии).
Математика имеет богатейшие возможности воздействия на выработку научного мировоззрения и достижения общекультурного уровня. Пытаясь объяснить окружающий мир, задавая вопрос «почему?», древние философы-софисты пришли к необходимости выделения математических знаний. История зарождения великих математических идей, судьбы выдающихся математиков (Архимед, Галуа, Паскаль, Галилей, Гаусс, Эйлер, Ковалевская, Че-бышев и др.) дают пищу для ума и сердца, примеры беззаветного служения науке, приводят к философским размышлениям и нравственным поискам [2].
Логические рассуждения представляют собой метод математики, поэтому её изучение формирует логическое мышление, позволяет правильно устанавливать причинно-следственные связи, что, безусловно, должен уметь каждый человек. Стиль изложения математики, её язык оказывают влияние на развитие речи. Каждый культурный человек должен иметь представление об основных понятиях математики, таких, как число, функция, математическая модель, алгоритм, вероятность, оптимизация, величины дискретные и непрерывные, бесконечно малые и бесконечно большие. Речь идет именно об основных понятиях и идеях, а не о наборе конкретных формул и
теорем [4].
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках. Сейчас никого не удивишь словосочетаниями «математическая лингвистика», «математическая биология», «математическая экономика» и т.п. - какую дисциплину ни взять, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета «математический». Распространение математики вширь сопровождается ее проникновением вглубь. Математика занимает сегодня одно из центральных мест в жизни общества.
Тем не менее, повсеместное проникновение математики некоторым людям кажется загадочным, даже подозрительным. В самом деле, не вызывает сомнений право на всеобщее признание, например, физики или химии. Физика открывает новые источники энергии, новые средства быстрой связи. Химия создает искусственные ткани, а сейчас покушается на создание искусственной пищи. Неудивительно, что эти науки, помогающие человеку в его извечных поисках энергии, связи, одежды и еды, прочно и триумфально вошли в нашу жизнь.
Что же дает людям математика, которая не открывает новые способы передвиже-
ния, в отличие от физики, и не создает новые вещи, подобно химии? Почему появление в какой-либо отрасли науки и техники математических методов означает и достижение в этой отрасли определенного уровня зрелости, и начало нового этапа в дальнейшем развитии этой отрасли?
Наиболее частый ответ на эти вопросы еще не так давно состоял в том, что математика умеет хорошо вычислять и тем самым позволяет осуществлять математическую обработку цифровых данных, связанных с тем или иным изучаемым процессом. Однако при всей важности вычислительного аспекта математики, особенно в последние годы, которые характеризуются бурным ростом вычислительной техники, он оказывается неглавным при попытке объяснить причины математизации современного мира.
Главная же причина этого процесса такова: математика предлагает весьма общие и достаточно четкие логические модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Такие модели математика дает с помощью своего языка - языка чисел, различных символов. Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания явлений в природе, в технике, в обществе.
Математической моделью изучаемого объекта (явления, процесса и т.п.) называется логическая конструкция, отражающая геометрические формы этого объекта и количественные соотношения между его числовыми параметрами. При этом математическая модель, отображая и воспроизводя те или иные стороны рассматриваемого объекта, способна замещать его так, что исследование модели даст новую информацию об этом объекте, опирающуюся на принципы математической теории, на сформулированные математическим языком законы природы. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет находить и не обнаруженные ранее закономерности, давать математический анализ условий, при кото-
рых возможно решение теоретических или практических задач, возникающих при исследовании этого явления.
Естественно возникает один общий вопрос: нужна ли математика гуманитарию?
Известно, что математика является частью общечеловеческой культуры, такой же неотъемлемой и важной, как право, медицина, естествознание и многое другое. Все знаменательные достижения человеческой мысли, человеческих рук и составляют основу гуманитарного образования, необходимого каждому современному человеку. Исходя из этого, для студента-гуманитария математика прежде всего является общеобразовательной дисциплиной, то есть такой, как например, право - для студента-математика. «Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры» (А.Н.Колмогоров).
Напомним слова М.В.Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Прежде всего, своей внутренней стройностью, своей логикой. Внутренний порядок в математике устанавливается особым образом: с помощью отношения логического следования.
Математика влияет на упорядочение ума и такие особенности, как общность и абстрактность своих конструкций. Математика полна всякого рода правил, общих, строго определенных методов решения различного класса однотипных задач. Решая любую такую задачу, человек должен строго следовать точному предписанию (алгоритму) того, какие действия и в каком порядке надо выполнить для решения задачи данного типа. Нередко изучающему математику приходится составлять подобные предписания, т.е. находить алгоритм.
Можно утверждать, что математика учит точно формулировать разного рода правила, предписания, инструкции и строго их выполнять (не последнее качество, необходимое, например, любому юристу) [1]. В юриспруденции, как и в математике, применяются одни и те же методы рассуждений, цель которых - выявить истину.
Любой правовед, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на практике индуктивный и дедуктивный методы. Поэтому, занимаясь математикой, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление.
Кроме того, применение математических методов (теории вероятностей и математической статистики; математического моделирования и теории принятия решений; исследование операций) расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль также играет и статистика, умение правильно обработать информацию, сделать достоверный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического материала. Статистические методы применяются при массовых наблюдениях явлений и вместе с тем они выявляют закономерности и порядок на основе имеющихся отдельных фактов, наблюдений и измерений. Строго говоря, математическая статистика - это наука о методах количественного анализа массовых явлений, учитывающая одновременно и качественное своеобразие этих явлений. Цель любой науки - познание общих закономерностей, позволяющее предвидеть течение явлений и выбирать рациональные пути поведения в типичных ситуациях. Очевидно, что ценность специалиста, если он умеет делать все это, значительно возрастает.
Известны статистические данные по «новым украинцам», сделавшим удачную карьеру (предприниматели, банкиры). Оказалось, что подавляющая их часть - выпускники престижных технических вузов. По-видимому, прекрасное математическое образование, полученное ими в этих вузах, пригодилось в жизни, что еще раз подтверждает хорошо известную истину: нет ничего практичнее хорошей теории. Даже
биолог Чарльз Дарвин когда-то выразился так: «У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных»,
Вывод. Мы живем в век математики. С начала ХХ в. она активно проникает во все области человеческого знания, подтверждая слова К. Маркса: «Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой» В настоящий момент одни науки уже безоговорочно приняли математику на вооружение, другие только начали её применять. Гуманитарии, например, относятся к последним. Среди них немало еще сомневающихся в перспективности использования математических методов. Однако в настоящее время большая их часть спорит уже не о том, «нужно ли применять», а о том - «где и как лучше применять». Пророческими оказались слова Джорджа Сантана «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев: учебн. пособие. - М.: Юрайт, 2000. -112 с.
2. Дорофеева А.В. Учебник по высшей математике для философских факультетов университетов. -М.: Изд-воМГУ, 1971. - 260 с.
3. Игнатенко Н.Я. Математика и искусство. Ялта: РИО КГГИ, 2004 - 240 с.
4. 1гнатенко М.Я. Шукайте красу в мате-матиц1. До питання гумантаризацп матема-тичног освти // Гумаштарш науки. - 2001. - № 3. - С. 41-45.
5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения /Пер. с англ. - М.: ИИЛ, 1977. -536 с.
6. Стюарт Я. Концепции современной математики. - Минск: Вышэйш. шк., 1990. - 280 с.
7. Сойер У.У. Прелюдия к математике. / Пер. с англ. М.Л. Смолянского и С.Л. Романовой. 2-е изд. - М. : Просвещение, 1972. - 192 с
Резюме. Игнатенко Н.Я. МАТЕМАТИКА СЕГОДНЯ: ЕЕ РОЛЬ И МЕСТО В ГУМАНИТАРНЫХ НАУКАХ. Освещены некоторые вопросы методологии математики, ее роли и места в гуманитарной сфере. В работе раскрыты основные два вопроса: предмет математики; роль математики в гуманитарных науках.
Ключевые слова: методология математики, предмет математики, математика в гуманитарных науках.
Abstract. Ignatenko N. MATHEMATICS TODAY: ITS ROLE AND PLACE IN THE HUMANITIES. Today there are almost no specific publications for teachers of mathematics, which showing the place and role of mathematics in modern society, world culture and history, including the humanities. Therefore it is no coincidence that some problems are still topical. For instance, these issues are devoted to some bases of mathematics (the subject of mathematics, its methodological problems and principles), the features of formation and development of mathematical language, the place and role of mathematics in world culture, including the humanities.
The content of this paper can fill in the existing informational gaps to a considerable degree.
The author makes an attempt to consider some issues in generally accessible form (for teachers of mathematics and humanist in the first place) in this paper. These issues are:
1. The subject of mathematics, some its methodological problems andprinciples.
2. The place and role of mathematics in modern society, world culture and history, including the humanities.
Key words: mathematics in the humanities, the subject of mathematics, methodological issues of mathematics.
References
1. Gres P.V. Mathematics for humanist: textbook / P.V. Gres. - Moscow: Yurayt, 2000. - 112 p.
2. Dorofeeva A.V. Higher mathematics textbook for philosophical university faculties / A.V.Dorofeeva - Moscow: MGU, 1971. - 260 p.
3. Ignatenko N. Mathematics and Art / N. Ignatenko. - Yalta: RIO KGGI, 2004. - 240 p.
4. Ignatenko M. Look for a beauty in mathematics. By the issue of humanitarization of mathematics education / M.Ignatenko // The Humanities. -
2001. - №3 - P. 41-45.
5. Poya D. Mathematics and plausible reasoning / D. Poya. - Moscow: IIL, 1977. - 536 p.
6. Stewart Ya. The conception of modern mathematics /Ya. Stewart. - Minsk: Vysheyshaya shkola, 1990. - 280 p.
7. Soyer U.U. Prelude to mathematics / U.U.Soyer. - Moscow: Prosveshenie, 1972. - 192 p.
Стаття надйшла доредакци 05.07.2013р.
