CC BY
326
МАТЕМАТИКА АРХИТЕКТУРНОЙ ГАРМОНИИ - ПРОПОРЦИЯ.
Козодаева Надежда Владимировна, ТГУ им. Г.Р. Державина, кафедра дизайна и декоративно-прикладного искусства, ассистент
Аннотация. Данная статья посвящена историческому обзору теорий красоты и гармонии в архитектуре, теории целочисленных и иррациональных отношений. Оценивается значение «Десяти книг» Витрувия для культуры зодчества.
Ключевые слова: Архитектурные пропорции, гармония, модуль, золотая пропорция, культура.
«Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном
творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию».
А.В.Щусев
В высказываниях многих архитекторов о пропорциях часто встречаются слова «внутренняя красота», «простота», «всеобщность». Архитектурные пропорции - это математика зодчего, в свою очередь математика - это универсальный язык науки, следовательно, пропорции - это универсальный всеобъемлющий и всесильный язык архитектуры.
Гармония в природе и гармония в архитектуре - две стороны единого процесса созидания. Советский зодчий и теоретик И.В.Жолтовский (1867-1959) считал творчество архитектора частью творчества природы. Он называет архитектора «дитём природы», а архитектурные формы должны члениться, следовать одна за другой, вырастать друг из друга, как ветви древесного ствола. Впрочем, ту же мысль на 500 лет ранее высказывал и Альберти: «Здание есть как бы живое существо, создавая которое следует подражать природе»[1].
Гармонию в природе естествоиспытатели видят в целесообразном и совершенном устройстве мироздания, выраженных в «красивых» математических уравнениях и принципах симметрии. Жолтовский считал, что гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое выражение в законе золотого сечения [1].
Зодчие всех времен, различных культур и архитектурных направлений говорили на языке пропорций: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники, представители барокко и классицизма, конструктивисты и рационалисты, апологеты эклектизма и функционализма, поклонники «модерна» и «хай-тека». Хотя на сегодняшний день современные зодчие пытаются напрочь исключить пропорции из своего архитектурного арсенала, сделав своим кумиром «геометрию беспорядка». На огромном опыте культурного наследия человечества можно сделать вывод, что пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии.
Архитектор Великих Пирамид, зодчие и философы века Перикла, Альберти, Леонардо да Винчи, Джакопо да Барбари, Браманте, Рафаэль, Микеланджело и Виньола непрестанно размышляли о законах «науки пространства», искали тот самый закон Числа [2].
К сожалению, ни древние египтяне, ни древние греки, ни средневековые каменщики, ни плотники Древней Руси не сохранили для потомком секреты своих пропорций. Ни в уцелевших фрагментах пифагорейцев, ни в трудах Платона, Аристотеля, Архита, Евклида, Архимеда, Аполлония нет ни намека на теорию архитектурных пропорций. И это в то время, когда Пифагор знал по крайней мере, три вида «древних» пропорций, когда Платон в «Тимее» доказывал, что красота полностью зависит от совершенства пропорций, а Евклид в «Началах» дал развитое математическое учение о пропорциональности и применял правило золотого сечения для построения правильного пятиугольника! Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве - это знаменитые «Десять книг об архитектуре» Витрувия, время написания которых относят к 27-14 гг. до н.э.
«Десять книг» Витрувия в архитектуре, как и «Начала» Евклида в математике, стали энциклопедией античных знаний, являясь не только собственным сочинение автора, но и собранием известных к тому времени трудов в данной области. Сам автор не в коем случае не скрывал этого, более того: «Что до меня, о Цезарь, то я не выпускаю этого сочинения под своим именем, заметая следы чужой работы, и не намерен доказывать свою правоту,
опорочивая чьи-либо мысли, но, напротив, я приношу бесконечную благодарность всем писателям за то, что, собрав из прошлого превосходные творения человеческого гения, они, каждый в своем роде, накопили изобильные запасы знаний, благодаря которым мы, как бы черпая воду из источника и проводя ее для собственных нужд, имеем возможность писать красноречивее и свободнее и, опираясь на таких авторов, осмеливаемся давать новые наставления» [3].
По словам немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943) такая «собирательность» (по-латыни - «компилятивность») не умаляет достоинств авторов, ибо, значение научной работы можно измерить числом предыдущих публикаций, которые стали ненужными после появления этой работы [4].
Но в теории архитектурных пропорций энциклопедия античного зодчества Витрувия суждено было стать источником глубоких заблуждений. Дело в том, что в своем сочинении Витрувий справедливо называет совершенными те сооружения, в которых достигнута «точная соразмерность» всех частей с основной мерой. Однако какой математический смысл вкладывает автор в эту фразу, оставалось неясным. После падения Рима о Витрувии надолго забыли, и только через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии был случайно обнаружен единственный экземпляр трактата. «Десять книг» мгновенно стали настольной книгой зодчих итальянского Возрождения, поклонников античной классики. Авторитет Витрувия был огромен, так как ему посчастливилось читать пропавший трактат создателя Парфенона, зодчего Иктина «О соразмерности дорийского храма на Акрополе». С тех пор «точную соразмерность», о которой говорит Витрувий, стали понимать в простейшем арифметическом смысле - как кратность всех частей сооружения основному модулю.
Единицу измерения, принимаемую для согласования размеров частей сооружения между собой и со всем сооружением принято называть в архитектуре модулем (от лат. modulus - мера) В качестве модуля в зависимости от особенностей конструкции и композиции здания принимались различные величины, например диаметр колонны в античной архитектуре или диаметр купола в византийском зодчестве. Еще чаще использовали так называемый линейный модуль, когда архитектурной мерой являлась непосредственно мера длины всегда естественным образом связанная с человеком: шаг, сажень, стопа, пядь, фут, дюйм, ярд (Последний, например, был введен в 1101 г. указом английского короля Генриха I и равнялся расстоянию от кончика носа его величества до конца среднего пальца его вытянутой руки.) «Точную соразмерность» теоретики Возрождения поняли арифметически: модуль должен целое число раз откладываться в каждой из частей архитектурного сооружения. Таким образом, в теории архитектуры допускались только рациональные пропорции, отношения целых чисел, а об иррациональных пропорциях не могло быть и речи. Это убеждение подкреплялось и тем, что в музыке со времен Пифагора также господствовали целочисленные отношения интервалов.
Но шедевры древней архитектуры говорили об обратном: античные пропорции основаны на иррациональных отношениях. «Точную соразмерность» частей и целого можно достигнуть и другим путем - геометрическим. Например, построив квадрат со стороной АВ и измерив шнуром его диагональ АС, нетрудно было получить иррациональную пропорцию
л/2
АВ/АС=—j—, даже не зная иррациональных чисел (рис. 1). Далее, отложив с помощью шнура
на продолжении стороны АВ диагональ AC=AD, легко было построить прямоугольник с
л/2
иррациональным отношением сторон DE/AD= —j—. Повторив эту операцию несколько раз,
можно получить систему прямоугольников с иррациональными отношениями сторон. Ясно, что прямоугольник AHNK (рис. 1-б) состоит из двух квадратов. Таким образом, получаем еще один практически удобный способ получения иррациональных отношений - систему двух квадратов. Два квадрата, приставленных один к другому, дают иррациональные отношения BC/AC=1/V5, AB/AC=2/V5, а с помощью двух операций циркулем или шнурком, как показано на рисунке 1 -в, в них можно получить и золотое сечение EB/AE=AE/AB=(V5-1)/2=9, АВ/АЕ=АЕ/ЕВ=1/ ф =(^5+1)/2=Ф.
ЕР
АС
СИ М '
±_
'VI
±_
~Я5
01
АР'
х
VI
(а)
(б)
ВС=1 АВ—2 АС=\/5 АЕ=</5-1 £В=3-</5
АВ АЕ '
ЕВ
АЕ'
М.
' АВ '
>/5-1
* <Р
(в)
й ^5=15=
СВ 90 /46
(г)
50 </5-1
= 1р =а,Б1в
Рис.1 Примеры геометрического построения иррациональных отношений. а)-Диагональ квадрата. б)- Система прямоугольников с иррациональными отношениями сторон. в)- Золотое сечение в системе «двойной квадрат». г) Помпейский пропорциональный циркуль, установленный на золотое сечение.
Помимо гипотез, построенных на изучении геометрических свойств античных памятников, были и «материальные» свидетельства того, что древние пользовались иррациональными пропорциями. История сохранила имена древних математиков и зодчих -Имхотепа и Хесиры, живших в ХХУШ веке до н.э., - строителей первой в истории Древнего Египта пирамиды фараона Джосера в Саккаре. Это были высокочтимые люди, о чем свидетельствуют древнеегипетские иероглифы: Хесира был похоронен вблизи пирамида Джосера. Стены его гробницы украшали рельефы на досках, которые прекрасно сохранились и выставлены в Египетском музее в Каире (рис.2). На двух панелях изображены фигуры владельца гробницы, в руках у Хесира, помимо прибора для письма, изображены две палки -два эталона меры. Если теперь взять линейку, измерить длины этих палок и найти их отношение, то мы обнаружим, что они относятся как 1/^5=0,447 [5,6].
Рис.2 Зодчий Хесира. Фрагмент деревянной панели из гробницы Хесиры в Саккаре. XXVIIIв.до н.э.
Остается открытым вопрос, какой же системой пропорций пользовался зодчий Парфенона Иктин. Однако, можно смело сделать вывод, что понятие «архитектурная пропорция» для всех культур тесно связано с понятием «золотой», или как ее называли во времена Возрождения, божественной пропорции.
Список литературы:
1. Альберти Л.-Б. Десять книг о зодчестве.- М.: ИАА, 1935.
2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве.- М.: ИАА, 1936.
3. Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре.- М.: ИАА, 1936.
4. Иконников А.В. Художественный язык архитектуры.- М.: Искусство,
1985.
5. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Л.;М.: ОНТИ, 1935.
6. Волошинов А.В. Математика и искусство.-М.: Просвещение,1992.-235 с.:ил. - ISBN 5-09-002705-6
