Matematicka osnova oblikovanja digitalnih modela reljefa Текст научной статьи по специальности «Математика»

Mr Radenlto I. VSnjlc, potpukovnik

Vojna ak&demija VJ.

Btogrtd

MATEMATIČKA OSNOVA OBLIKOVANJA D1GITALNIH MODELA REUEFA

UDC: 528.932:519.651/.652:681.322

Rezime:

U radu je prikazana matematićka osnova oblikovanja digitalnih modela reljefa (DMR) kopnene fizičke površi Zemlje. Opisana je teorijsko-matematička osnova i dati su matematički izrazi aproksimacija linija ipovršinskih elemenata oblikovanjaprostorno-strukturnih svojstava reljefa. Izrazi su značajni za izbor odgovarajućih rjeSenja pri korišćenju računarske podrike u postupku izrade DMR - zavisno od njihove primene i zahtjevane tačnosti.

Ključne riječi: digitalno modelovanje reljefa, matematička osnova oblikovanja DMR, funkcije interpolate i aproksimacije.

MATHEMATICAL BASIS OF FORMATING DIGITAL MODELS OF RELIEF

Summary:

This paper deals with a mathematical basis used for formating the Digital Models of Relief (DMR) of the Earth’s physical land surface. The theoretical and mathematical basis is described and mathematical expressions for approximation of the lines and surface elements in formating reliefs space structural features are given. These expressions are significant for the selection of appropriate solutions while using computer support in the DMR making procedure. The selections depend on their application and a required accuracy.

Key words: digital modelling of relief, mathematical basis of formating the DMR, functions of the interpolation and approximation.

Uvod

Digitalni modeli reljefa (DMR) fi-zičke kopnene površi Zemlje jesu digitalni skupovi podataka u rasterskom i/ili vektorskom sistemu, o morfometrijskim i metričkim (geodetskim; sopstvenim) svojstvima prostorno-strukturnih odnosa fizičke površi Zemlje i geodetskih verti-kalnih referentnih povrSi (po dijelovima ili u ejelini). Prcdstavljaju elementarne površi ili unije elementarnih povrSi, i skupove materijalnih tačaka različitih gu-

stina, položaja, orijentaeija, medusobnih odnosa [1] i si.

Digitalno modelovanje reljefa je slo-ženi sistem prikupljanja, oblikovanja, ob-jašnjavanja, vrjednovanja, predstavlja-nja, primjenjivanja i ispitivanja saglasno-sti digitalnih podataka o fizičkoj površi Zemlje i izvornih podataka. Sistem $a£i-njavaju: podsistem modelovanja - reljef fizičke površi Zemlje i modulujući podsistem - informatička nauka, tehnologija i stručnjaci.

VOJNOTEHNlCKI GLASNtK 60000.

601

Digitalno modelovanje reljefa obu-hvata [2]:

- prikupljanje originalnih podataka o reljefu, uspostavljanjem odgovarajućih odnosa izmedu rezultata različitih mjere-nja i izrada osnovc DMR;

- oblikovanje i uređivanje podataka (obrada i prilagodavanje, izdvajanje po-srednih modela i priprema za različite postupke primjene, svodenje podataka u jedinstvenc geodetskc referentne siste-me, i si.);

- interpretaciju digitalnih podataka o reljefu kvalitativno-kvantitativnim ana* lizama, izdvajanjem skupova kontrolnih tačaka, .,medumodela“, i si.;

- predstavljanje DMR i njihovih funkcionala različitim metodama, postup-cima i oblicima (tekstualno, grafički, alfa-numerički, izometrijski. aksiometrijski, onogonalno, jednobojno i viSebojno, ras-terski, vektorski i si.).

- korišćenjc modela i funkcionala u različitim naučnim, teorijsko-praktičnim, praktičnim, civilnim, vojnim, inženjer-

skotehničkim, geodetskim, geofizičkim. geomorfološkim, kartografskim, fotogra* metrijskim, geografskim i sl. oblastima djelatnosti.

Prostoma svojstva, struktura i oblast DMR (slika 1 [3]) presudno utiču na izbor parametara i veličina sistema digi* talnog modelovanja reljefa fizičke površi Zemlje (zemljišta, terena, topografije) i postupak njihove primjene. Zbog toga se u cjelokupnom postupku oblikovanja DMR postavljaju potrebni i dovoljni uslo-vi, kao što su: gustina i raspodjela podataka, geodetski referentni sistemi, tačnost modela, način predstavljanja modela i funkcionala, sadržaj oznaka modela i koordinatnih početaka, oblast obuhvata-nja modelom, mogućnosti preoblikova* nja, i sl.

Teorijsko-matematicka osnova

oblikovanja DMR

Predstavljanje i ostvarenje skupova digitalnih podataka, koji izražavaju pro* stomo-struktuma svojstva fizičke površi

602

VOJNOTEHSIĆKI GLASNIK «2000.

Zemlje (s)ika 1) dostiže se složenim siste-mom - digitalnim modelovanjcm reljefa

- tako da istraživanje, proučavanjc, iz-rada i primjena DMR obezbjedujc nove podatke - neposredno i posredno - fun-kcionalima DMR (ugao nagiba zemljišta, struktume linije i tačke reljefa, zapre-mina masa. gravitacioni potencijal i izo-statička kompenzacija masa reljefa, uti-caji masa reljefa na osnovne geodetske fizičke parametre, karte dogledanja i po-krivanja EMT, itd.).

Obrada izvomih i referentnih poda-taka obiikovanjem DMR, predstavlja naj-složeniji i najznačajniji dio sistema digital-nog modelovanja reljefa. Prostorno-vre-menska svojstva DMR: globalni, regio-nalni, lokalni. referentna ili proizvoljna vremenska epoha, globalni, regionalni, nacionalni ili lokalni geodetski referentni sistemi, standardizovana ili proizvoljna struktura i raspodjela podataka i si. opre-djeljujuće utiču na postupke obrade podataka i oblikovanja DMR.

Postupak oblikovanja, zavisno od obima, namjene i primjene DMR, us-lovno se može podijeliti na intervale raz-ličite prema: sadržaju, načinima interpo-lacije podataka, aproksimaeiji linija i ele-mentamih površi reljefa, itd.

U „uvodnom dijelu“ postupka obra-zuje sc referentna (osnovna) raspodjela (grid, TIN, TIN-grid [3]) i gustina (detalj-ni, prorijeđeni, posredne površi reljefa)

- na osnovu raznovrsnih i uskladenih izvomih (originalnih) podataka.

Glavni i završni dio obuhvataju obradu izvornih podataka rutinskim pro-gramima i oblikovanje DMR - do ostva-renja potrebnih skupova podataka (o-znaka osnovnih veličina, podjela na pod-skupove, dobijanje i predstavljanje mate-matičko-statističkih pokazatelja, prilago-

davanje mode I a primjeni i moguenostima informatičke podrške [1], itd.).

U opštem slučaju postupak sadrži dvije interpolacije podataka, različite i/ili jednakc, ali je neophodno sljedede:

- u prvom dijelu postupka interpolacije i aproksimaeije (linija i elememamih površi) sačuvati opšti kvalitet i tačnost izvomih podataka (npr. 95% nivoa zna-čajnosti),

- u glavnom dijelu postupka dostići zahtjevane osobine DMR odgovarajućim metodama interpolacija (kolokacija. spline polinomi, harmonijske funkeije, itd.) i funkeijama aproksimaeija (kovari-jaciona funkeija, stepeni polinomi, fun-kcionalni redovi, konvolueije, itd.).

Metode interpolacije, nezavisno od namjene DMR, moraju zadovoljiti neop-hodne uslove [4]:

- neprekidnost funkeije i njenih iz-voda (prvog i drugog reda) u ejelini, ili „dio po dio", na intervalu interpolacije i aproksimaeije;

- tačnost funkeija aproksimaeije linija i površi, i u referentnim tačkama DMR kojc pripadaju površima niskog stepena i reda (npr. ravnima) - mora biti zadovoijavajuća, tako da vrijednosti vi-sina tačaka pripadaju takvim funkeijama;

- interpoiacione funkeije moraju biti invarijantne, u pogledu promjene: para-metrizaeije, razmjera. transiaeije i rota-cije DMR;

- ostvarenje (bi)linearne funkeio-nalnc meduzavisnosti referentnih (osnovnih) tačaka DMR.

Osnivanje, obrada, oblikovanje i primjena DMR obuhvataju aproksimaeije:

linija (krivih i pravih, duž odredenih ili proizvoljnih pravaca) i

povrSi (u okviru osnovnih kvadrat-nih, trapezoidnih, trougaonih polja, ili

VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 6/2000.

603

proizvoljnog dijeia površi Zemlje), koriš-ćenjem različitih metoda interpolacije.

Podjela metoda interpolacije može se izvršiti prema:

- brzini i tačnosti izračunavanja;

- namjeni DMR;

- zahtjevanoj tačnosti DMR i njiho-vih funkcionala i sl.

Interpoiacija linija fizičke površi Zemlje najčešće se izvršava primjenom: polinoma i spline funkcija trećeg stepena, poligonih vlakova, lineamih polinoma, Fourierovih funkcionalnih redova, me-tode najmanjih kvadrata, kolokacije naj-manjih kvadrata [6] i sl.

PovrSinski elementi reljefa Zemlje, interpoliraju se u trodimenzionalnom (3D) metričkom prostoru, prcthodno na-vedenim metodama, korišćenjem koordi-nata: geocentričkih i lokalnih Cartesiuso-vih, državne koordinatne mreže, elipsoid-nih (geodetskih) ili sfcmih i sl., gdje su nadmorske ili geometrijske visine fun-kcije sfemih, elipsoidnih, astronomskih ili pravouglih koordinata.

Pri aproksimaciji elementarnih po-vrši reljefa analitičkim izrazima, nezavi-sno od usvojene parametrizacije, prime* njuju se metode interpolacije: bilineama (hiperboličkim paraboloidima); bikub-nim polinomima; bikubnim spline funkci-jama; konačnim i graničnim elementima; 2D kovarijacionim funkcijama, i sl.

Aproksimacija linija prostome

strukture reljefa

Strukturne tačke i linije prostomih i morfometrijskih svojstava fizičke površi Zemlje ne mogu se prcdstaviti jednostav-nim matematičkim izrazima, pa se zbog toga aproksimiraju analitičkim funkcijama na osnovu skupova izabranih, ras-

položivih i odredenih tačaka, u definisa-nim geodetskim referentnim sistemima.

Aproksimacije linija reljefa zasno-vane su, uglavnom, na interpolacijama neprekidnih funkcija polinomima i fun-kcionalnim redovima.

Interpolacioni polinomi, sa gledišta postupka računanja i sprovođenja račun-skih operacija, pogodni su analitički izrazi [5] numeričkih metoda odredivanja pri* bližnih vrijednosti nesvojstvenih, neprekidnih, podintcgralnih funkcija. Primjena je zasnovana na Weierstrassovoj teoremi (navodi se bez dokaza [5]):

Za svaku funkciju H (x), x € [a, b] i za svako e > 0, postoji polinom P (x), tako da je:

d [H (x); P (x)] < £

gdc je:

e - greSka aproksimacije;

d[#] - metrika na intervalu [a, b] aproksimiranja funkcije polinomom.

Aproksimacije neprekidnih, krivih i pravih linija prostorne strukture reljefa, pri izradi DMR, najčešće se zasnivaju na interpolacijama: kubnim stepenim i

spline polinomima i Fourierovim trigono* metrijskim redovima.

Kubni polinomi

Funkcija H (x), diferencijabilna (n) puta u tački x0 E [a, b], može se aprok-simirati Taylorovim polinomom (primje-nujući jednostavnije označavanje, dnH (Xo)/dxn « H(n,(x*)):

Tn (H,xo,x) = H(xo) - H'(xo) +

... + H«“'(xo)-^- (1)

n!

604

VOJNOTEHSlCK! GLASNIK 6/2000.

ili pri Xq = 0 Maclaurinovim stepenim polinom:

M„(H,0,x) = H(0) + H’(0) yj- +...

+ H<o)(0) — (2)

n!

Neprekidna funkcija H (x) do (n + l)-og izvoda, na odsječku x E [0, L) u tački Xq€ [0, L], aproksimira se polinom:

H (x) = Tn (x) +R„ (x)

koji za treći stepen (n = 3) ima razvijeni oblik:

T3(x) = H(0) + H’(0) yy + H”(0) ^ +

+ H"’(0) "yy (3)

R3(x) = H'4»©^-; ^ = 0 + 0(x - 0),

4!

o<e< i

GreSka aproksimacije e, funkcije H (x), Taylorovim polinomom T3 (x), za-visi od stepena polinoma i klase regular-nosti funkcije, pa iz prethodnog slijedi:

H(x)~T3(x); |H(x)-T3(x)|<e„; n = 3;xG[0, L] i

i kubni Taylorov polinom T3 (x) funkcije H(x):

H(x) T3(x) = ao + aix + a2x2 + a#3 (4) gdje je:

an> n E (0, 3] - koeficijenti polinoma (prcma izrazu (3));

xn, n E [0, 3] - vrijednost dužine na intervalu, x E [0, L];

H (x) - vrijednost visine tačke na rastojanju x E [0, L];

T3 (x) - kubni Taylorov interpofa-cioni polinom.

Koeficijenti polinoma odreduju se na osnovu poznatih visina tačaka, npr. H (0) - 300 m i njihovih medusobnih rastojanja (intervala uzorkovanja tača-ka), npr. Ax = 25 tn, dosljednom pri-mjenom teoreme odbiraka [1].

Pri interpolaciji funkcija Taylorovim polinomima Tn (x) značajni su: stepen polinoma (npr. n = 3), dužina uzorkovanja tačaka (npr. L = 10 km), interval uzorkovanja (npr. Ax = 25 m) i greška aproksimacije visina (npr. eh -= AH (x) = 1 m). Ocjenjuju se tokom ejelokupnog postupka izrade i primjene DMR, od prikupljanja izvomih podataka do primjene funkcionala DMR, a istovre-meno mogu biti početni uslovi i pokaza-teiji za: izbor, prikupljanje, obradu, obli-kovanje i obrazovanje odgovarajuće strukture podataka DMR.

Spline polinomi

Ako je funkcija H (x, y) (slika 2 [1]) zadata na intervalu y E [0, L], podjelje-nim Čvorovima interpolacije:

[0,L]: 0 = y0<y,<y2<...<ym = L (5)

može se aproksimiraci spline funkeijom H(*j (y), različitog stepena {m}. Skup polinoma Pm (y) i funkcija Ctn,) [0, L] realnih promjenljivih,odredenih na intervalu y E [0, L], ,,povezani“ su funkeijom S(.) (y), stepenim spline polinomom, de-fekta k (1 < k < m) sa čvorovima (5), ako su ispunjeni uslovi:

vojnotehniCki glasnik 6/2000.

605

(a) S{.|(y) 6 Pm(y) V y G [yit yi+1]

i G [0, m-1] (6)

(b) S[.](y) G Ctm"k) [0, L]

Ako se usvoji k = 1, tada spline Sm (y) vri>i interpolaciju funkcije H (y) na rastojanju L y G [0, L], pod sljedećim uslovima:

a) Sm(y) € Pm(y) Vy € [y^ yi+i] i £ [0,m - 1] b) Sm(y) e C«"-1* (0, L] c) Sn(yi) = y, = H(y.) i e [0, m] (7)

pri čemu su čvorovi, interpolacije i spline, podudami.

Spline S3 (y) je kubni interpolacioni polinom funkcije H|*j (y), na intervalu y G [0, L] ako na svakom dijelu y* < y £ y,+i ima vrijednost jednaku polino-mima Sm (y) - H|#j (y) ili ako funkciji odgovara spline polinom trećcg stepena:

S3 (y) ** Hii.i+ij(y) = ao[i,i+i] + ai (i.ifi)

(y - yj + a2|i.i+l| (y - yj)2 + a3 [u+i]

(y - yi)J (8)

pri čemu, u svim Ćvornim tačkama, mo-raju biti zadovoijene jednakosti:

S’ (y) = HVui(V) = H^„(y) (9)

S” (y) = H’Viai(y) = H”m+„(y)

gdje su (•)’ (•)” izvodi prvog i drugog reda polinoma i funkcija Sm(y) i H[*j(y).

Koeficijenti am[.j, m G [0,3] za svaki pojedini dio, npr. [yi-j, yi+i], odreduju se na osnovu poznatih visina tačaka (slika 1), prema izrazima [6]:

a2NJI (Yi “ y«-i) + 2a2[i.i+ij (yj+i +

+ y*-i) + a2ji+i.j+2] (yi+i - y. =

l yi+i-yi yi-yM / ao|u+ij = Hi (y)

2

ai ii,i+i| — — a2|i,i+ii (yi+i - y0 -

- — a2|i+i.i+2] (yi+i - yd + —^---------1 00)

3 yi+i - yi

1 1

a3 |i.i+i) - - ------------ (a2|i+u+2| - a2|jj+i)

3 (yi+i - yi)

Interpolacija kubnim spline polino-mom S3(x, y), funkcije visina tačaka H (x, y), u neposrednoj okolini matcrijalnih tačaka P(x, y, H(x, y)), daje veoma dobre rezultaie, ako se vrši na osnovu poznatih vrijednosti osam visina [1], pa se primjenjuje, gotovo isključivo, pri izradi nacionalnih i regionatnih DMR (slika 4).

606

VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 6/2000.

Fourierovi trigonometrijski redovi

Funkciji H(x) x £ [0, L] odgovara Fourierov red, za parno

H(x) «** — + X an cos “ x, (11) 2 i L

i za neparno područje definisanosti

H(x) £ b„ sin — x (12)

1 L

Ako funkcija H(x) zadovoljava us-love teoreme Dirichleta [7], u opStem slučaju odgovarajući Fourierov red:

H(x) = ^+ L(ancos^x +

2 i V L

+ bn sin “ x G (- L, L] (13)

Za konačne vrijednosti L(x, y) i talasne dužine lk, frekvencija se izražava recipročnom vrijednosti talasne dužine:

fk = — = - k£ [l.m] (16)

lk L

pri čemu amplitudi Ai odgovara frckven-cija 1/L, amplitudi Ak frekvencija k/L [6], itd.

Ograničen Fourierov red konačnom vrijednosti k £ N, i bez slobodnog £!ana (ao = 0) omogućava predstavljanje pro-stomo-struktumih svojstava reljefa Zem-ljine povrSi:

... . ^> / 2nk , 2itk \

H(x) = ijakcos-j— x + bfcSin—— xj

ak = bk = 0, za fk > (17)

H(x) = £ Ak cos - d>kj

ima vrijednost koeficijenata

Ak = 0 za fk > fma, (18)

ao

an

! l

= — J H (x) dx.

L *

= —jH(x) cos dx.

L -L

bn =

—/H(x) sin dx

L-l L

koji su sa koeficijentima reda H(x) = £ An cos - <t>nj

Koeficijenti ak, bk, Ak = ak + bk, određuju se iz visina tačaka Hj(x) j £ [1, n], u postupku uzorkovanja (prikuplja-nja) pod at aka, ili dopunjavanja sadržaja DMR, visinama tačaka odredenih, npr. geometrijskim nivelmanom.

. Zbog posebnosti primjene Fouriero-^ ' vih redova, za interpolaciju linija reljefa

sa izraženom morfometrijom pogodni su strmi odsjeci, kanjoni, sutjeskc, itd., ali se moraju pažljivo odabirati talasne duži* ne, zbog moguće neprilagođenosti pro-(15a) stomo-strukturnim svojstvima reljefa.

povezani funkcionalnim odnosima

Al = a* + bj <t>„ = arctan —

a„

(An - aplituda; <t>n - faza talasa) (15b)

Aproksimacija povriH prostorne strukture reljefa

Fizička površ Zemlje je složena i vremenski promjenljiva funkcija, zbog

VOJNOTEHNlCKI olasnik mjooo.

607

trajnih endogenskih i egzogenskih geodi-namičkih pojava, procesa i sila. Matema-tički se ne može potpuno izraziti i zbog ncdovoljnog poznavanja odnosa prcma geoidu, ill nekoj drugoj referentnoj po-vrši geodetskog vertikalnog referentnog sistema.

Ostvarivanje zadovoljavajućih rješe-nja dostiže se aproksimacijama: fizičke povrSi Zemlje - analitičkim izrazima, i vertikalne referentne povrSi - sfemom ili ravnom površi (sferna ili ravna aproksi-macija) ograničenih oblasti.

Aproksimacija elememarnih površi reljefa analitičkim funkcijama ostvaruje se interpolacijom izvornih podataka i u postupku oblikovanja DMR. Raspoloživi programski paketi, npr. GRAVSOFT i TIGRIS [1], omogućavaju različite inter-polacione met ode, kao što su: spline funkcije, stcpcni polinomi, kovarijacione funkcije, konačni elementi, Fouricrovi funkcionalni redovi, itd. u 2D metričkom prostoru.

Stepeni polinomi

U lokalnom Cartesiusovom sistemu, za funkciju H (x, y) = z (x, y) i (x, y) 6 D (D e R2) postoji takav polinom, P„ (x, y) koji je aproksimira pod uslovom:

d [H (x, y) Pn (x, y)] e

gdjc je e = A H(x, y) greška aproksi-macije.

Funkcija d [•] je metrička vrijednost u 3D oblasti, a uredeni par {R3; d} prcdstavlja 3D mctrički prostor. Oblast D 6 R2 je osnova različitih parametriza-cija fizičke povrSi Zemlje.

ProuČavanja prostorne strukture re-Ijefa povrSi Zemlje pokazala su moguć-

nost zadovoljavajućih interpolacija pri-mjenom kubnih 2D polinoma.

Neprekidna funkcija H (x, y) nepre-kidnih parcijalnih izvoda reda i stepena (n + 1), u okolini tačke P0 (xo, yo), može se razviti u funkcionalni red. za svaku tačku P (x, y):

H(x,y) « Pn(P) = H(P0) +

dH (P0)

H

d2H(P0) d“H(P0) „

+ -----— + ... +--------— + R„

2!

n!

+

09)

gdje je ostatak reda dn+1H (P*)

R„ -

(n + 1)! y0 + 8Ay) 0 < 0 < 1

P* (xo + 0Ax;

(20)

Jednostavnijim označavanjem kub-nog 2D polinoma, dobija se aproksima-tivna funkcija:

H(x,y) = a<> + a,x + a2y + a*x2 +

+ a^y2 + a5xy + a6X3 + a7y3 +

+ agx2y + a9xy2 (21)

čiji se koeficijenti a0 r. € [0, 9], odreduju na osnovu poznatih, najmanje deset vi-sina materijalnih tačaka.

Interpolacija visina tačaka vrši se u okviru osnovnog polja DMR, ili korišće-njem poznatih visina tačaka proizvoljne raspodjele.

Značajnu primjcnu, pri interpolaciji visina tačaka, za aproksimaciju fizičkc povrSi Zemlje imaju:

- bikvadratni polinomi:

H (x,y) = ao + aix + a2y + a*x2 +

+ aay2 + a5xy, (22)

608

VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 6/2000.

- bilineami polinomi (hiperbolički paraboloid):

H (x,y) = ao + aix + a2y + a3xy, (23)

- linearni polinomi (trougaona povrS):

H (x,y) = a« + a^ + a2y (24)

u postupku osnivanja, oblikovanja i pri-mjene DMR i njihovih funkcionala.

Konačni elementi

Osnovu interpolacije konačnim ele* mentima prcdstavlja podjcla fizičke po-vrši Zemlje na elemcntame površi ili konačne četvorougaone i trougaone po-vrši.

U mreži od i tačaka može se obrazo* vati {k = i — 2} trouglova, za koje sc određuju tri faktora razmjera s, i e [1,3] što je (3i - 6) ncpoznatih vrijednosti veli-

čina. Funkcija H (x, y), koja aproksimira trougaonu površ:

H(x,y) = t Sjd(PPj);

t

H(x.y) = t Si v'Tx-*i)2 + (y-yij5 (25)

I

u oblasti (x, y) €D c R2 ima zajednička rastojanja za dva trougla, odakle slijedi i uslov: d (PjPj) — 0.

Tačnost aproksimacije zavisi od pro-storne strukture, gustine i tačnosti izvor-nih podataka, koja se može poboljšati primjenom visina odredenih tačnijim me-todama, npr. geometrijskim ili GSP/geo-metrijskim niveimanom.

Sfernoharmonijske funkcije

Globalni reljef Zemlje (slika 3 [1]), na osnovu skupova srednjih vrijednosti nadmorskih visina, može se predstaviti sfemim funkcijama Yn (<p, X):

(26)

Yn(<p,X) * anoPn (sin <p) + £ (anm cos mX + b^ sin mX) Pnm (sin <p)

sn« I

primjenjujući sfernc geoccntričke koordi-nate <p, X i Legendreove pridružene orto-normirane funkcije prve vrste Pnm (sin <p)

m-

Ortonormirani sfemoharmonijski koeficijenti mogu se izraziti pomoću jedi-nične sfere a:

Pri sfernoj aproksimacijiZemlje fi-zička površ S (R + H((p,X), <p,X)) može se izraziti sfemoharmonijskom funkcijom

Hnm (<p,X) [8]:

__ n

Hnm((p,X) = R X (inm cos mX +

m-1

■~i! Y.(<pA) 4 n _

P

nm

(sin <p) do

(27)

gdje je do = cos tp d <p d X elcmenat sfere o, poluprečnika R = 1.

+ hom sin mX) Pntn (sin (p) (28)

koja predstavlja sfemoharmonijski razvoj reljefa povrSi Zemlje, u ejelini ili ,,dio po

dio“.

Za reljef kopnene površi Zemlje* sfemoharmonijski ortonormirani koefici-jenti izračunavaju se pomoću izraza:

VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK G/2000.

609

4nR

SS H((p,X)

(sin 9) da

(29)

gde je a sferaa aproksimacija kopnenog dijeta povrSi.

Zemlja se može posmatrati kao ,,bla-go“ deformisana sfera koeficijenta defor-macije t (H):

t n n

e(H) = — Z Z (gum cos mX +

R n«0 ra-0

+ hnm sin mX) Pnm (sin 9)

R = 6371 km (30)

Osts 100, (parametar visina)

Na slici 3 predstavljen je model glo-balnog reljefa Zemlje pri t « 100 i (n x

m) = {180 x 180}.

Za t = 0 Zemlja se aproksimira sfe-rom poluprečnika R = 6371 km, a ako jc t = 100 dobija se najveća vrijednost

Si. 3 - Sfernoharmonijski model reljefa Zemlje

nadmorske visine površi Zemlje Ham (9, X) = 8752 m u oblasti Himalaja.

Kao podintegralna funkcija H (9, X) može se primjeniti bilo koji izraz od (1) do (10), pri sfemoj ili ravnoj aproksima-ciji vertikalne referentne površi, imajući u vidu meduzavisnost elementarnih po-vrSi:

R2da = R2cos9d9dX R2da = dx dy

koja proizilazi iz usvojene aproksimacije i parametrizacije oblasti numeričke inte-gracije.

Ostale funkcije aproksimacija

Aproksimacije fizičke površi Zemlje analitičkim izrazima. ostvaruju se, pored prethodno opisanih, i složenijim meto-dama interpolacije zavisno od: informa-tičke podrške, zahtjevane tačnosti, pro-stornc strukture reljefa, raspoloživih po-da taka, itd.

Interpolacija kolokacijom najmanjih kvadrata (LSC - Least Squares Collocation) zasniva se na linearnoj povezanosti {q} osnovnih (baznih) funkcija [9]:

H(x,y) » F(P;) = £>«<!>„ (P,) k e [l,q] (31)

koje predstavljaju {q} lineamih jednačina sa {q} nepoznatih veličina, i imaju jedin-stveno rješenje.

Ako su zadate vrijednosti funkcije H(P) = H(x,y) q tačaka, Pifo, yi( Hj(x,y)) i E[l,q] tada se zahtijeva da u datim tačkama q aproksimacija <J>,(Pj) tačno predstavlja funkeiju H(x, y). Ozna-čavajući:

<D(Pi) = H(Pi) = F, i € [1, q] (31a)

610

VOJNOTEHNIČKl OLASNIK W000.

dobijaju se iz (31) sljedeći uslovi:

Zakljucak

t Alkbk = Fj Alk = 4>k(Pi) (32)

I

iz kojih proizilazi {q x q} sistem linealnih jednačina. RjeŠavanjem sistema odreduju se koeficijenti bk i dobijaju funkcije Fj (Pj) koje aproksimiraju fizičku površ Zemlje.

Interpoiacija metodom najmanjih kvadrata omogućava predstavljanje re-Ijefa kovarijacionim funkcijama C (P,Pk) u okolini materijainih tačaka:

C(P,P„) = C(0)exp. j-

C(0) = D(P,Pk) = cr?k za d (PiPk) = 0

(33)

c « d(PiPk) / ,'ln C (0) - In C (PiPk)

Interpoiacija linearnim spline funkcijama, po redovima, kolonama i dijagona-lama grid ili TIN-grid DMR, obezbjeduje zadovoljavajuće funkcije aproksimacija površi, posebno ako se iskoriste četiri pravca i poznatc visine osam tačaka, sli-ka 4 (1).

SI. 4- Odrediva♦ nje visina referentnih taiaktt DMR spline funkcijama

Izbor metoda interpolate i aproksimacija linija i površioskih elemenata re-Ijefa Zemlje, u postupku oblikovanja DMR, uslovljeni su 2ahtjevima primjene i tačnosti modela. NaČelno, obrazovanje referentne strukture DMR vrši se primje-nom tačnijih interpolactonih metoda (npr. spline i kovarijacionim funkcijama), dok se pri primjeni DMR koriste metode linearnih interpoiacija.

Pri obrazovanju referentnih tačaka DMR, interpoiacije i aproksimacije mo-raj u obezbijediti očuvanje tačnosti izvor-nih podataka. PoboljSanja se mogu ostva-riti primjenom većih skupova podataka, geometrijskog nivelmana, GPS/nivelma-na, i si.

Izbor metoda interpoiacije i funkcije aproksimacije, pri primjeni DMR, prila-gođava se zahtjevanoj tačnosti funkcio-nala DMR, raspoloživoj informatičkoj podršci, oblasti primjene modela i si.

Literature:

(1] Viinjić. R.: Digitaliu mode! rdjefa - primjeni kod odrediva-nja gcoida gravoncirijskom metodom. roaghurska teza. Gradevtmki fakultet Univerateta u Beogradu. Odsck za geodcdju. 1999.

(2) Wcibel, R.. Heller. M.: Digital Terrain Modelling. CIS. Principles and Applications, 1993.

J3| VdojiC. R.: Digital« model reljefa. Vojnotehnitki glasnik, 697. Beograd. 1997.

(4) PetroviC. D.: Izrada digitalnof modela reljefa. CAOP VGI. strufru izvjc&aj. Beograd. 1988.

($] Mićić, V.. TrifunoviC, M.: Matcmatika I. NauCna knjiga. Gradcvintki fakultet, Beograd. 1988.

(6| Kraus. K.: Pbotogramclrie. Band 2, Tbeore und Praxis Auswcne Sysieme. FDV, Born. 1984.

{7| Mitrinović. S.. Kctkid, D.: Jcdnatinc matetnittfke finke. Gradevinska knjiga. Beograd. 1985.

(8) Rapp, R.: Degre variances ol the Earth's Potential Topography and bt Isoitaticcoflipetuation. Bull, Geod., 56.1982.

(9j Moritz. H.: Kotokadja metodom najmanjih kvadrata. Geo-dctski list. 4-6. Zagreb, 1988.

VOJNOTEHNIĆKl GLASNIK 6^2000.

611