CC BY
25
Dr BnntsUv Todorović,
dipl. inž. Sandra Eik,
dipl. ini.
Vojooteha>£ki institul VJ, Beograd
TALASNA TRANSFORMACUA - NOVI METOD ZA ANALIZU SIGNALA
UDC: 621.39:537.8.029:519.688
Rezime:
V radu je prikazana nova metoda za anatizu signala - talasne transformacije. Razmatrani su uslovi pri kojima je moguća primena ove transformacije, osnovne teorijske postavke, način predstavljanja rezultata analize u vremensko-frekvencijskoj ravni, brzi algoritam koji omogućava praktičnu realizaciju i kriterijumi za procenu kvaliteta. Analizirane xu mogućnosti primene ove transformacije i pravci daljeg razvoja.
Kljuine reči: telekomunikacije, analiza signala, metod, transformacijo, talasići.
WAVELETS TRANSFORMATION - A NEW METHOD FOR SIGNAL ANALYSIS
Summary:
In this paper a new method for signal analysis - wavelets transformation is presented. We consider basic theoretical assumptions and mathematical foundations, signal representation in time-frequency domain, fast algorithms for practical implementation and a method for quantifying signal approximation achieved with wavelets. We also analyze implementation possibilities of the wavelets transformation as well as trends of future development.
Key words: telecommunications, signal analysis, method, transformation, wavelets.
Uvod
Fizički objekat ili pojava koja se posmatra i proučava može se predstaviti na više različitih načina. Koja predstava će se izabrati zavisi od konkretnog sluča-ja. Na primer, u svakodnevnom životu se koristi decimalni brojni sistem, dok se rad na računarima zasniva na binamoj prcdstavi podataka. U mnogim oblasti-ma. kao, na primer, u numeričkoj analizi ili obradi signala, jedan od osnovnih kri-terijuma pri izboru predstave signala jeste mogućnost relativno lakog i brzog identi-fikovanja njegovih osnovnih osobina.
Mogući naCin da se ovaj kriterijum ostvari jeste dekompozicija signala x po-moću skupa jednostavnijih signala Xi, pri
čemu važi x = JjCj. Drugim rečima, oba-
i
vlja se aproksimacija realnih signala po-moću jednostavnijih talasnih oblika. Cilj je da ta aproksimacija bude što je moguće bliža posmatranom signalu, a da broj talasnih oblika koji je Čine bude što je moguće manji. Za praktičnu realizaciju dekompozicije signala neophodan je brz algoritam, jcr bi u suprotnom takva predstava signala imala čisto teorijski značaj.
28
VOJNOTEHNiČKI GLASNIK U2000.
Metoda koja se do sada najčešće koristila za analizu signala jeste Furijeova transformacija. Furijeova analiza stavlja na raspolaganje više konkretnih alata za obradu signala: od kontinualne analize pomoću Furijeovog integrala, preko analize diskretnih signala, do brzog algoritma pogodnog za praktičnu primenu na raču-naru - brze Furijeove transformacije. Osnovna ideja Furijeove transformacije jeste dekompozicija signala na prostope-riodične komponente (bazne funkcijc su oblika e^). Najpre će se posmatrati slučaj periodičnog signala. Takav signal pred-stavlja se sumom prostoperiodičnih signala čije su amplitude i faze različite, a frekveneija svakog od njih jednaka je uranošku osnovne frekveneije razlaganog signala. Dati signal je u potpunosti oka-rakterisan skupom brojeva koji predstav-Ijaju te umnoške i skupom njima pripada-jućih amplituda i faza. Dobija se slika posmatranog signala u domenu frekveneija, a ujedno je složeni talasni oblik rastav-Ijen na prostije oblike. Zahvaljujući teo-remi superpozieije i ovakvom predstavlja-nju signala ukupan odziv sistema može se dobiti odredivanjem odziva na svaku od ovih prostijih komponenti zasebno. Naravno, u praktičnim slučajevima su-sreće se sa aperiodičnim signalima. Analiza ovakvog signala obavlja se pomoću Furijeovog integrala koji predstavlja gra-nični slučaj razvijanja u red funkeije čija osnovna frekveneija teži nuli. Da bi po-smatrani signal f(t) imao Furijeovu tran-sformaciju mora biti zadovoljen uslov:
m sa
J |f(t)|dt < 00 ili J f2(t)dt < 00 (1)
wSB -40
gde je sa |f(t)| označena apsolutna vred-nost funkeije f(t).
Veličina F (jo>) naziva se Furijeovom transformaeijom funkeije f(t). To je kon-
tinualna funkeija frekveneije i data je izrazom:
F (jea) = J f (t) e-*“dt (2a)
Izraz za inverznu Furijeovu transfor-maeiju glasi:
f(t) = — / F(joi)e^du (2b)
2n
Dakle, ukoliko se posmatra signal e^, Furijeova transformacija će dati maksimalnu vrednost na frekveneiji coo-Problem nastaje u slučaju da se posmatra signal koji je sastavljen od dva oscilatoma oblika koja se naizmenično pojavljuju u susednim vremenskim intervailima, tj. signal oblika:
f(t) = e*'X,..b|(t) + e^ X|b.cl(t), (3)
gde je X[Mt bj talasni oblik ograničen u vremenskom intervalu [a, b], a Xjb, c! talasni oblik u vremenskom intervalu [b, c).
Furijeova analiza će dati dve komponente u spektru, na frekveneijama cot i
0)2, ali ne i informaeiju o ponašanju signala u vremenu. Jedan od načina da se ovakav problem prevazide je prozorova-nje, tj. korišćenje prozorovane ili kratko-trajne Furijeove transformacije (short--time Fourier transform.). Bazne funkeije, preko kojih se sada predstavlja signal, imaju oblik w(t - T)e*°*, gde je w(t) pro-zorska funkeija koja omogućava lokaliza-ciju signala u vremenu.
Signali sa kojima se svakodnevno susreće nisu potpuno slučajni, već imaju odredenu korelacionu strukturu. Na primer, kod signala slike susedni element!
VOJNOTEHNIĆKI CLASNIK 1/2000.
29
(pikseli) jako su korelisani u prostoru (vremenu, frekvenciji). Sa druge strane, medusobno udaljeni pikseli su nekorelisa-ni. Za ovakav tip korelacije kaže se da je lokalna. To navodi na zaključak da signale sa ovakvim osobinama treba aproksimirati pomoću jednostavnijih signals koji su lokalizovani u vremenu i u domenu frekvencija. Takvi signal! pru-žaju mogućnost aproksimacije korelacio-nih osobina analiziranog signala sa rela-tivno malim brojem komponenata. Tala-sna transformacija (wavelet transformation), čije osnovne postavke su izložene u ovom radu, zasnovana je upravo na ovakvom konceptu.
Osnovne postavke talasne
transformadje
Talasna transformacija obavlja de-kompoziciju posmatranog signala preko jednostavnih talasnih oblika koji ne mo-raju da budu isključivo prostoperiodični signalt kao u slučaju Furijeove transformadje. Dakle, umesto da se dekompozi-dja posmatranog signala obavlja pomoću prostoperiodidiih signala, ona se vrši po-moću signala <p(t) i njegovih transliranih i proSirenih oblika. Dmgim redma, signal (p{t) u talasnoj transformadji ima ulogu prostoperiodičnog signala e** u Furijeo-voj transformaciji.
U talasnoj transformaciji koristi se familija baznih funkdja:
9..b(0 = i <P a>0,b€R, (4)
gde je sa <p(t) označena fiksna funkdja koja se naziva matični ill osnovni talasić (mother wavelet) a a, b su parametri transliranja i proširenja osnovnog talasi-ća. Funkdja treba da ima osobinu dobre
lokalizovanosti i u vremenu i po frekven-djama, tj. treba da budu ispunjeni uslovi:
|q>(t)| <S c (1 + Itl)-1-*, (5a)
|<K<o)| < c (1 + M)-1-, (5b)
gde je sa c ozna£ena konstanta, a <J»(<o) = / <p(t)e"*®*dt je Furijeova transformacija funkdje (p(t).
Analiza se obavlja pod pretpostav-kom da je zadovoljen uslov konačne sna* ge. tj.
«•
llfil2 =/l f(t)P dt < <x>. (6)
Prostor funkdja koje zadovoljavaju uslov (6) naziva se Hilbertovim prosto-rom, i u njemu se može dcfmisati skalami proizvod funkcija i, j, označen sa < i, j >, na sleded način:
< >. j > = (t)dt, (7)
gde j* (t) označava konjugovano kom-pleksnu vrednost j(t). Talasna transfor-madja posmatrane funkdje f(t) označava se sa Ta<t>f(t) i definiše na sleded način:
T..bf(t) = <f,(p..b>ij'f(t)<p*(—\ dt.
ya -* \ a /
(8)
Postojanje inverzne talasne transformadje zavisi od izbora osnovnog talasića (p(t). Ako izabrani osnovni talasić zado-voljava uslov:
C, = / J^d(o<+», (9)
- M
30
VOJNOTEHNIĆKJ GLASN1K 1/2000.
SI. 1 - Nekoliko talasića izvedenih iz osnovnog Utiasića
funkcija f(t) može se rekonstruisati na ako, postoji polinom P(t) čiji je stepen sledeći način: n<a, a>0, takav da važi:
f(0 = C,1 J - J T,.l>f(t)<p..1>(t)db. (10) o a -«
Ispunjeni uslov (9) ima za posledicu da funkcija <p(t) nema jednosmemu kom-ponentu, tj. važi <p(0) = 0. Osnovni tala-sić cp(t) treba da bude opadajuća funkcija i
da u opštem slučaju ima N nula,
$(0) = Jtk (p(t)dt = 0, k = 0, 1....N.
Na slici 1 dat je primer nekoliko talasića dobijenih iz osnovnog talasića oblika <Pi.o(t) = (1 - 2t2)e~‘\ koji pred-stavlja drugi izvod Gausove funkcije. U ovom slučaju je N = 1, tj. /(p(t)dt = Jt<p(t)dt = 0.
Vrednosti talasne transformacije za-vise od regulamosti funkcije f(t). Funkcija f(t) je Holder regulama ako, i samo
|f(t)-P(t)|<C,|t-to|* (11)
Ovaj uslov je zadovoljen kada je funkcija f(t) m puta diferencijabilna u okolini tačke to, pri čemu je m>a. Na osnovu Tejlorove formule za razvoj funkcije u red imamo da je:
P(t) = I f<k)(to)^^. (12)
Osk<a k!
U slučaju a<l P(t) = f(to). Matematičkom analizom u [1] poka-zano je da, ako osnovni talasić <p,. b(t) ima N>a -1 nula, dovoljno iščezava u beskonačnosti (tj. J<p(t)|t|“ dt < + «>), j ako važi uslov:
|b - to| < Ca, (13)
gde je:
C - konstanta,
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2000.
31
a - parametar širenja osnovnog tala-sića, važi sledeća relacija:
|T*,b f(t)|<K|a|° + (14)
gde je K konstanta.
Dakle, ukoliko je funkcija regulama u okoiini tačke to i ako je ispunjen uslov (13), amplitude talasne transformacije T*. b f(t) ograničene su i opadaju veoma brzo. Ako funkcija ima neki prekid u ovoj oblasti, vrednosti Ta, b f(t) opadaju znatno sporije.
U praktičnim primenama talasna transformacija se može odrediti samo za konačan skup vrednosti. Postavlja se pita* nje kako odabrati funkciju f(t), a da se pri tome izdvoje sve bitne informacije koje ona nosi. Složenom matematičkom analizom ([1], [5]) može se pokazati da je najefikasnije odabrati analiziranu fun* kciju talasićima oblika:
Vl.k(t) —aft* tp (ait-bok), j, kGZ, (15)
gde su ao > 1 i bo > 0 fiksni parametri.
Predstavljanje signals n vremensko-
-frekvendjskoj ravni
Talasnom transformacijom signal se razbija na komponente koje se nazivaju vremensko-frekvencijskim atomima, a predstavljaju se grafički u vremensko-frc-kvencijskoj ravni. Potpuna lokalizacija ovih atoma. u vremenu i frekvenciji, nije moguća. Naime, prema Hajzenbergovom principu neodredenosti proizvod neodre-denosti vremena At i neodredenosti fre-kvencije Af ograničen je i važi relacija:
AtAf =*—. (16)
4n
Vremensko-frekvencijski atomi predstavljaju se nekim dvodimenzionim oblikom, na primer pravougaonikom ili elipsom. Pozicija odabranc figure odre-đuje položaj posmatrane komponente u vremenu i frekvenciji, dok je njena po-vršina proporcionalna proizvodu neodredenosti vremena i frekvencije. Amplituda posmatrane komponente označava se ste-penom osenčenosti figure. Najčcšće se vremensko-frekvencijski atom predstav-Ija pravougaonikom, i nazivamo je infor-macionom ćelijom. Širina i visina te ćelije predstavlja neodredenost vremena, tj. neodredenost frekvencije. (Coordinate će-lije, odnosno položaj posmatrane komponente u vremenu i frekvenciji obično se naznače u donjem levom uglu atoma. Na slid 2 dat je primer tri talasna oblika i njihova predstava u vremensko-frckven-rijskoj ravni.
Prva dva signala sa leve strane imaju malu vremensku i vetiku neodredenost frekvencije, te su predstavljeni pravou-gaonirima kao na slid 2. Tred signal ima manju frekvcncijsku neodredenost i veću vremensku, pa je on predstavljen pravougaonikom manje visine. Ovaj signal ima mnogo veću energiju nego prethodna dva, §to je naznačeno intenzivnijim za-tamnjivanjem njegove ćelije.
Na slid 3 prikazani su primeri baznih funkcija i odgovarajuće predstavljanje u vremensko-frekvencijskoj ravni u slučaju kratkotrajne Furijeove transformadje i talasne transformacije. Talasna transfor-macija daje mnogo bolju sliku signala, tj. pruža informadju o ponašanju signala, kako u vremenskom domenu, tako i u domenu frekvencija.
Za talasnu transformaciju koriste se ortogonalne baze. Pod ortogonalnom ba-zom podrazumeva se skup sekvend {<P> |n| }iez takvih da za i ^ j važi:
32
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 1/2000.
r
Af
■ar
I
A
Si 2 - Informacione ćelije u vremenskO’frekvencijskoj ravni
A
a/\a
1
i ,
i
f
i
l
(i)
(b)
Si 3 - Baine funkcije i vremensko-frekvencijska rezolucija: a) kratkotrajna Furijeova transformacija, b) lalasna transformacija
VOJNOTEHNIČKl GLASNIK 1/2000.
33
J(p (nt - i) <j> (m - j) = 0 (17)
U tom slučaju informacione ćelije se neće preklapati.
Na slikama 4 i 5 prikazani su primeri pojedinih baza predstavljenih u vremen-sko-frekvcncijskoj ravni. Standardna Di-rakova baza sadrži Dirakove impulse čiji je položaj u vremenu odreden intervalom odabiranja. Ova baza ima optimalnu vre-mensku lokalizaciju, all ne daje nikakvu informaciju o položaju posmatranog sig*
vremensko-frekvencijskoj ravni
f
t
f
t a u
5/. 5 - Prozorovana Furijeova bat vremensko-frekvencijskoj ravni
nala u frekvenciji. Sa druge strane je Furijeova baza kod koje je situacija obrat-na: ima dobru karakterizaciju signala u frekvencijskom domenu, ali nema nikakvu informaciju o ponašanju signala u vremenu.
Prozorovana ili kratkotrajna Furijeova transformacija predstavljena jc in* formacionim ćelijama čija je širina pro-porcionalna širini prozora (slika S). U slučaju talasne transformacije isti je slučaj kao na slici 6.
Relativno lako predstavljanje signala pomoću vremensko-frekvencijskih kom-ponenti može se postići rekurzivnim algo-
34
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 1/2000.
t
51. 6 - Primer bate talasne transfer• macije u vremensko-frekvcncijskoj ravni
cijom (9), tj. ako izabrani osnovni talasić nema jednosmemu komponentu.
Da bi se doSlo do izraza za inverznu transformaciju uvodi se pojam okvira. Sekvenca (eB)o€z u Hilbertovom prostoru H naziva se okvirom ako, i samo ako, za svaki signal x važi relacija:
AlbdF < £| <x, en > |2 < B IbdP (18)
n€Z
gde su A, B granice okvira i koje ne zavise od izbora signaia x.
Složenom matematičkom analizom prikazanom u [1] može se doti do izraza za granice okvira. Ako važe pretpostav-ke:
ritmom deljenja koji je detaljno opisan u radu [3]. Suština je da se ulazni signal deli na dva dela, time se zapravo vremen-sko-frekvencijska ravan deli na dve polo* vine. Da bi se to realizovalo potreban je operator koji daje ortogonalne ili nezavi-sne delove koji se ne preklapaju. Ovom operacijom treba ujedno izvrSiti i decima-ciju signaia, tako da je zbir broja odbiraka signaia u tim delovima jednak ukupnom broju odbiraka signaia. Jedan od natina da se to ostvari je prozorovanje signaia i odredivanje Furijeove transformacije unutar svakog prozora. Drugi natin da se ostvari dekompozicija je filtriranje ko* njugovanim parom filtara h i h*, tj. g i g*. Niskofrekvencijske komponente iz-dvajaju se NF filterom h, a visokofre-kvencijske komponente pomoću filtera g. Nakon filtriranja signaia obavlja se njegova decimacija.
Inverzna talasna transformaeija
Inverzna talasna transformaeija po-stoji ako je ispunjen uslov defmisan rela-
0<Cl (a8co)|2 < <?2 < +» (19a)
n€Z
P(u) = sup^rX! |<J>(aSo))^(a> + u)|<
n€Z
c (1 + N)-1^,
(19b)
gde su Ci, C2, C konstante, za neko e > 0, granice okvira date su izrazima:
A'S(',-5j'(s,)6(fk)n
(20a)
(20b)
Granica A mora biti pozitivna veličina. Ovo uvek važi u slučaju da je bo < bt, gde je bt granidna vrednost.
Signalu x dodeljuje se operator F koji preslikava svako x € H u sekvencu (<x, en >)0ez i operator F<j koji sekvencu
VOJNOTEHNIČKl GLASNIK 1/2000.
35
(x0)n€z preslikava u x = £ x„ eD. U ra-
a€Z
du [1] pokazano je da se pomoću ova dva operators može uvesti nova sekvenca 6n:
= (FdF)-^, (21)
koja takođc, predstavlja okvir. Ovaj okvir naziva se dualnim okvirom, a nje-gove granice su A'1 2: B"1 > 0.
Na osnovu matematičke analize u [1] svaki signal x € H može se napisati u obliku:
X = Z Z ^ X, > en
n€Z Bgz
(22)
Dakle, za inverznu talasnu transfor-maciju neophodno je poznavati dualni okvir (6a)oez» tj. inverzni operator operator FdF. Postupak odredivanja operator FdF prikazan je u rdu [1].
Dualni okvir m = (Fd F)"1 u opštem slučaju ne nastaje transliranjem i širenjem osnovnog talasića. Jedino u slu-čaju A = B dualni okvir je jednak osnov-nom talasiću: $n. m = A‘l<f>0l m- Normali-zacijom <p0, m može se podesiti tako da je A = B = 1, i u tom slučaju važi:
f(t) = Z ^ ft *Pn. m ^ *Pn,m (0 (23)
DJB€Z
Ovakav okvir naziva se uskim okvirom.
W
0.8
0.6
0.4
0.2
OX)
1 2 t
W
0.8 .
0.6 .
0.4 .
0.2 .
0.0 _
-0.2 _
1 2 » SI. 7-Primerposiepenogaproksimiranjafunkcije
Brza talasna transformacija
Da bi neka transformacija bila od koristi potreban je brzi algoritam koji se može implementirati na računaru, li-neame ili lineamo-logaritamske složeno-sti. Takav algoritam naziva se brzom talasnom transformacijom.
Jedan od načina da se ovaj zahtev realizuje je multirezoluciona analiza. Nai-me, ideja je da se funkcija aproksimira različitim rezolucionim nivoima. Ana-logna situacija nastaje u slučaju predstav-ljanja slike sa sve većim brojem piksela. Koeftcijenti talasića odreduju se kao do-datni detalji kojima se poboljšava aprok-simacija, tj. prelazi od grublje ka finijoj
36
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 1/2000.
aproksimaciji, kao što je prikazano na slid 7.
Posmatra se slučaj talasića oblika (15), pri čemu je ao = 2 i bo = 1:
%k(t) = 2*2 <p (2jt - k) j, k £ Z (24)
i (pj', k, ali je njihov proizvod ponovo jednak nuli. Dakle, talasid <pj, k i <pj,k su ortogonalne funkcije. Ostaje još da se pokaže da one dne bazu, odnosno da se bilo koja funkdja f (t) može predstaviti kao kombinadja talasića <pjik oblika:
Jedan od najstarijih primera ortogonalne baze je Harov sistem, kod kojeg je osnovni talasić, deo po deo, konstantna funkdja oblika:
f 1, t€ [0,1/2]
<p(t)= -Me (1/2, 1] (25)
10, t €(-»,0) U (1, +oo)
Na slid 8 dat je prikaz nekoliko talasića posmatrane baze.
Najpre će se pokazati da ovakav sistem dni ortogonalnu bazu. Za fiksnu vrednost j lako se uočava da su funkdje <Pj, k i <Pj. k’» razlidte od nule u intervalima koji se ne preklapaju, te je jasno da je njihov proizvod jednak nuli, tj. da su one ortogonalne. Ako se razmatra slučaj j1 > j, talasić <{>j, k ima konstantnu vrednost razlidtu od nule u istom opsegu kao
f (0 = Z < <Pj. k > % k (0 (26)
jjtez
Uvodi se nova velidna Ajf odredena koeficijentima aj, k koji predstavljaju konstantnu aproksimadju funkdje na interval Ij,k, gde je Iifk = [2_ik, 2_i (k + 1)],
kez.
Znad da je:
aj, k = Ajf/lj,, = 2s / f (t) dt (27)
‘.t
Ako se posmatraju intervali Ii + I,2k = [2-lk, 2"* (k + 1/2)] i Ij + I, 2k + i = [2~* (k + 1/2), 2^ (k + 1)] uočava se da su to podintervali intervala Ij, k duplo manje dužine. Očigledno je aj, k srednja vrednost srednjih vrednosti funkdje na datim podintervalima, tj.:
V)
2
1
0
.1
•2
II
l|
M
I
I
' •
J-----,_____
H 1 2
H |l
U
l
i
,3 14 t
SI. 8 - Primer nekoliko Harovih baznih funkdja
aj. k —
+ 1,2k + + 1.2k + 1
2
(28)
Pošto je usvojen odgovarajud oblik osnovnog talasića, razlika dva susedna koefidjenta Aj + if i Ajf može se izraziti preko (pj. k. Dakle, važi izraz:
Aj + if - Ajf - Z dj, k <pj, k (29)
k
Na osnovu definidje velidne Ajf uo-£ava se da je
dj. k = < f, <pj. k >
(30)
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 1/2000.
37
Ukoliko sc usvoji neka ftksna vred-nost ji, može se dobiti vrednost koefici-jenta Aj,f pomoću grublje aproksimacije a*f, jo < ji i dodatnog člana koji predstav-lja kombinaciju (aJasića:
ji -1
Aj,f = A^f + Z I< f-tPj.k > <Pi.k (31)
j • jo k€Z
Ako se u ovom izrazu pusti da npr. j, +« i jo —► — oo dobija se izraz (26).
Cilj svake aproksimacije jestc da 5to bolje reprodukuje posmatranu funkciju, pa $a tog aspekta odgovara što veća vrednost ji, odnosno što manja vrednost jo. Međutim, u praksi se, uglavnom, sreće sa odbircima nekog signala ili sa čisto diskretnim podacima, tako da ji i jo naj-češće imaju konačnu vrednost.
Posmatrani Harov sistem nije pogo-dan za veliki broj konkretnih aplikacija. Ovako usvojeni talasići nisu kontinualne funkcije i njima se ne može postići do* voljno dobra aproksimacija glatkih fun-kcija. Zbog toga se često, umesto razvoja funkcije preko talasića, pribegava aprok-simiranju izvoda te funkcije izvodima koeficijenata Ajf. Jedan od osnovnih pro-blema teorije baza taiasića jeste konstrui-sanje sistema koji ima sličnu multirezolu-cionu strukturu kao Harova baza, all da pri tome osnovni talasić bude regularna funkcija kako bi se postigla bolja aproksimacija razmatranih signala. Jedan od najčeSće korišćenih postupaka za odre-đivanje osnovnog talasića dat je u litera-turi [1].
Kriterijum za procenu kvaliteta
aproksimacije
Osnovni cilj jeste da se funkcija f(t) aproksimira funkcijom fM(t), koja je li-neama kombinacija M odabranih talasi-
ća. Pitanje je kojih M talasida iz besko-načnog skupa mogućih treba odabrati. U idealnom slučaju kriterijum za izbor je da razlika originalne funkcije i njene aproksimacije bude §to je moguće manja, ali on nije pogodan za praktičnu realizaciju. U konkretnim situacijama kriterijum se pojednostavljuje time Što se biraju kocfi-cijenti sa najvećim apsolutnim vrednosti-ma. Pretpostavka je da je aproksimacija:
fM = I (32)
gde je sa Am označen skup talasića odabranih za analizu signala. Skup Am u ovom slučaju sadrži indekse M najvećih talasić-koeficijenata. Kako ovaj skup in-deksa zavisi od posmatrane funkcije, aproksimacija nije lineama ((f + g)M ^ (^M + gl*)-
Ako M <» aproksimacija konver-gira ka f(t). Da bi se odredio kvalitet aproksimacije, tj. koliko ona vemo reprodukuje originalni signal, posmatraće se brzina konvergencije. Ona se procenjuje na osnovu parametra a koji je definisan implicitno preko funkcije konvergencije O:
|f - fM| = O (M"°). (33)
Što je parametar a veći, to je konver-gencija brža, odnosno aproksimacija bolja pri istoj vrednosti M. Ako je funkcija f(t) diferencijabilna a puta, parametar a se može relativno lako odrediti. Signali sa kojima se u praksi susreće najčešće nisu takvi, pa je odredivanje a u opštem slučaju složen postupak. Aproksimacija neke funkcije, bazirana na Furijeovoj transformaciji, takode se može procenji-vati pomoću koeficijenta a, koji u tom slučaju ima vrednost a = 1. Ukoliko se aproksimacija obavlja pomoću talasića, vrednost koeficijenta a je uvek a > 2.
38
VOJNOTEHNIĆKI GLASNIK 1/2000.
Vrste talasića i njihova primena
Koncept talasića datira još sa po-četka veka. Zbog složenog matematičkog aparata koji ova transformacija podrazu-meva, tek sredinom osamdesetih godina počinje se sa detaljnijim razmatranjem mogućnosti njene primene. Jcdna od oblasti u kojoj su talasići našli svoju primenu jeste kompresija signala i kodo-vanje u podopsegu, ugiavnom za audio--signale i signal govora. Kodovanje po-moću talasića naročito je zanimljivo, jer pruža mogućnost dekodovanja samo dela signala kako bi se dobila njegova aprok-simacija. Priroda audio signala i signala govora su različite, ali jc u oba slučaja prijemnik isti - Ijudsko uvo. Šematski prikazano Ijudsko uvo u osnovi predstav-ija banku ftltera sa odrcdenim nelinear-nim efektima. Upravo zbog toga kodovanje ovakvih signala pomoću talasića je najbolje rešenje.
Ovakvi algoritmi za kodovanje kori-ste se i za signal slike. Nekada su ti algoritmi bili konstruisani tako da je eks-ploatisana jedino osobina talasića da signal razloži na statistički nezavisne opsege, tj. primenjivana su samo svojstva talasića vezana za frekvencijsku lokalizaciju signala. Novije varijante algoritama kodova-nja koriste mogućnosti i prostome i fre-kvencijske lokalizacije. Talasići se koriste i za kodovanje slike i video signala koji se prenose preko telefonskih linija, ze-maljskih kanala za difuziju, ili preko mreža poput ATM-a i INTERNET-a.
U prcthodnim odeijcima navedene su osnovne karaktcristike talasne tran-sformacijc i osobine koje treba da zado-voljavaju funkcije pomoću kojih se vrši dekompozicija posmatranog signala. Po-stoji više grupa funkcija za koje važe dati
uslovi, a za sada se najčeSće koristi pet kategorija funkcija.
7. Funkcije nastale transliranjem
I širenjem jedne funkcije
Ovo su klasični talasići koji se za sada najviše koriste u praksi, jer se pri-rodno uklapaju u koncept multirezolu-cione analize.
2. Paketi talasića
Ova grupa funkcija predstavlja proši-renje klasičnih talasića. Osnovna osobina je mogućnost primene baza sa boljom frekvencijskom lokalizacijom, ali je sa druge strane sama transformacija nešto složenija.
S. Lokalne trigonometrijske baze
Osnovna ideja jeste da se za bazne funkcije uzmu prostoperiodične funkcije definisane na nekom konačnom intervals pri čemu se koristi poseban metod za povezivanje baznih funkcija na krajnjim tačkama intervala definisanosti.
4. Multitalasići
U ovom slučaju ne barata se samo sa jednom funkcijom i njenim proširenim i transliranim oblicima, već nekim konač-nim brojem funkcija, pri čemu je taj broj veći od jedan. Na taj način može se dobiti veliki broj različitih kombinacija sa vrlo dobrim osobinama koje nije moguće po-stići klasičnim talasićima.
5. Druga generacija talasića
Ovde se potpuno napušta ideja tran-sliranja i širenja nekoliko jednostavnijih
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 1/2000.
39
talasnih oblika, talasići su potpuno razli-čiti signali. Ovako konstruisane baze pre-vazitaze većinu problema koji se susreću u ostalim slučajevima, ali je postupak generisanja takvih baza, kao i analiza signala pomoću njih vrlo komplikovana.
Zaključak
Talasna transformacija u veiikom broju slučajeva daje bolje rezultate od Furijeove transformacijc koja se do sada najčešće primenjivala. Ovakva transformacija daje podatke o ponašanju signala u vremenskom domcnu i u domcnu fre-kvencija, a aproksimacija pomoću talasić--koeficijenata mnogo brie konvergira ka posmatranom signalu. Talasići uvode u oblast obrade nestacionamih, neunifor-mnih signala, odnosno oblast koja je mnogo Sira od oblasti vremenski invari-jantne obrade gdc glavno orude predstav-
Ija upravo Furijcova transformacija. Tala-sići su, za sada, našli svoju glavnu pri-menu u oblasti kodovanja u podopsegu, dok je njihova primena u oblasti komu-nikacija još uvek prilično zanemarena. Trenutno se razmatra mogućnost pri-mene talasića za transmultipleksere, tj. za prenos viSe različitih signala po jednom kanalu.
LUeraturo:
(1) Cohen. A. and KovaCević J.: Wavelets: The Mathematical Background, free. o( (he IEEE. Vol. 84. No. 4. April 1998. pp. 514-522.
(2) Sweldens, W.: Wavelets: What Next?. Proe. of the IEEE. Vol. 84. No. 4. April 1996. pp. 680-685.
|3| Hess N. - Nieben and Wickerhauser. M. V.: Wavelets and Time-Frequency Analysis. Proc. of the IEEE. Vol. 84, No. 4. April 1996. pp. 523-540.
[4] Ramchandran. K.. Vetterii. M. and Herley. C.: Wavelets, Subband Coding and Best Bases. Proc. of the IEEE. Vol. 84. No. 4. April 1996. pp. 541-558.
{5] Daubechics, I.: Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: SIAM. 1992.
(6) MiBat. S.: Mutrifrequeoey Channel Decompositions of Images and Wavelet Modeb. IEEE Tram. Acoustics. Speech and Signal Processing. Vol. 37. December 1989. pp. 2091-2110.
40
VOJNOTEHNIČKI GLASN1K 1/2000.
