МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОСНОВНИХ ФіЗИКО-ХіМіЧНИХ ПРОЦЕСіВ ПРИ ВИРОБНИЦТВі СКЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

19. Rotshtein, A. Expert rules refinement by solving fuzzy relational equations [Text] / A. Rotshtein, H. Rakytyanska // In Proc. of the VIth IEEE Conference on Human System Interaction. Sopot, Poland, 2013. - P. 257-264. doi: 10.1109/hsi.2013.6577833

20. Rotshtein, A. Optimal design of rule-based systems by solving fuzzy relational equations [Text] / A. Rotshtein, H. Rakytyanska // Issues and Challenges in Artificial Intelligence. Studies in Computational Intelligence. - 2014. - Vol. 559. - P. 167-178. doi: 10.1007/978-3-319-06883-1_14

-□ □-

Дана стаття присвячена створенню мате-матичног моделi процесу скловаршня шляхом отримання математичних моделей окремих фiзико-хiмiчних явищ цього процесу. Розглянуто так фiзико-хiмiчнi аспекти, як гортня палива, плавлення шихти, гидро- та газодинамша роз-плаву скломаси та газового середовища, тепло-обмт у скловарнш печi. Отримано темпера-турн поля скловарног печi

Ключовi слова: математична модель скловарног печi, рiвняння Нав'е-Стокса, темпера-

турн поля

□-□

Данная статья посвящена созданию математической модели процесса стекловарения путем получения математических моделей отдельных физико-химических явлений этого процесса. Рассмотрены такие физико-химические аспекты, как горение природного газа, плавления шихты, гидро- и газодинамика расплава стекломассы и газовой среды, теплообмен в стекловаренной печи. Получены температурные поля стекловаренной печи

Ключевые слова: математическая модель стекловаренной печи, уравнения Навье-

Стокса, температурные поля -□ □-

1. Вступ

Сучасний свиовий ринок вимагае постшного вдо-сконалення виробництва та зменшення затрат на оди-ницю продукцп. Особливо гостро це вщчуваеться у скловарному виробництвi в Украшу через постшно зростаючi цши на енергоносп, зокрема природнш газ, який е основним джерелом тепла при виробництвi скла. Зважаючи на це, необхщно постшно шукати шляхи вдосконалення процесу виробництва скла та оптимiзащi затрат на його виробництво. Як правило, експерименти на реально працюючому об'екп практично не можлив^ саме через це виникае потреба ство-рення iмiтацiйних моделей скловарноi печi шляхом математичного моделювання.

2. Аналiз лкературних дослщжень та постановка проблеми

Загальною науковою проблемою е отримання ма-тематично1 моделi процесу скловаршня котра б вщо-бражала Bei складовi цього процесу у повному обсязь Лггература, присвячена математичному моделюванню процесу скловаршня доволi багаточисельна. У робо-

УДК 681.3.06

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.36069|

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОСНОВНИХ Ф1ЗИКО-Х1М1ЧНИХ ПРОЦЕС1В ПРИ ВИРОБНИЦТВ1

СКЛА

В. С. Цапар

Старший викладач* E-mail: cwst@ukr.net О. А. Жучен ко

Кандидат техычних наук, доцент* E-mail: azhuch@ukr.net *Кафедра автоматизацп хiмiчних виробництв Нацюнальний технiчний унiверситет УкраТни «Кшвський полiтехнiчний шститут» пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03056

тах [1-3] розглянуто математичш моделi, що базу-ються на зональному методi розрахунку теплообмiну випромiнюванням. У робоп [4] на основi зонального методу моделювання теплообмiну в газовому просторi ne4i отриманi залежностi мiж довжиною факела i його яскравiстю та величиною падаючого на скломасу теплового потоку. Важливi розробки у сферi матема-тичного моделювання скловарних печей мктяться у працях [5-7]. В роботах [5-8] наведено промислову точку зору щодо того, яю вимоги виносяться до моделей, та пщкреслено теми, що потребують подальшого дослiдження та розвитку. В робот [6] описано ключовi явища, яю присутнi у процесi варки та допомiжних процесах (таких, як випаровування на поверхш скло-маси, iржавiння вогнетривкого покриття) та узагаль-нено рiвняння переносу, що описують гiдродинамiчнi процеси та явища теплопереносу у скломась У роботах [9-10] висвгглено сучасний пiдхiд до моделювання температурних полiв схожих теплових об'eктiв за до-помогою методiв обчислювально! гщродинамжи та сучасних програмних засобiв.

Осюльки iснуe значна складнiсть проведення дослщжень на реальнш працюючiй печ^ одним iз спо-собiв уникнути цих дослщжень е математичне моделювання. У скловарнш печi одночасно протжае багато

31'|..........................................................................................................................................................................

©

паралельних процеив. Для кожного з цих процеав на сучасному етат отримаш достатньо складнi матема-тичнi модели котрi при об'eднаннi викликають значш труднощi у 1х реалiзацii та розв'язку. Необхвдшсть ви-користовувати значш техшчш та матерiальнi ресурси для моделювання процесу скловарiння на базi сучас-них моделей, а також час який займае це моделювання, обумовлюе необхiднiсть розроблення такоi матема-тичноi моделi скловарноi печi, котра б забезпечувала необхщну точнiсть при не дуже великих затратах.

поверхш розплаву скла i3-3a ix малоси нехтуеться, тобто модель вiльноi поверхш рщкого середовища не розглядаеться.

У ввдповвдност з розглянутими фiзичними уяв-леннями про процеси, що вщбуваються у скловарнiй печi, в основу математичного моделювання можуть бути покладеш таю рiвняння RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes equations - усередненi за Рейнольдсом рiвняння Нав'е-Стокса): - нерозривност

3. Мета i задачi дослщження

Метою дано! CTaTTi е формулювання математичних моделей основних фiзико-хiмiчних процеав, що вщбу-ваються пiд час скловаршня з урахуванням вщповщ-них спрощень, та побудова на ix базi температурних полей.

Для досягнення поставлено! мети виршувались наступнi задача

- формулювання спрощень i припущень вiдносно фiзики процесу скловарiння;

- формулювання спрощень i припущень ввдносно фiзики процесу скловарiння;

- опис основних фiзико-xiмiчниx процесiв, що вщ-буваються пiд час скловарiння за допомогою усередне-них за Рейнольдсом рiвнянь Нав'е-Стокса;

- формулювання початкових та граничних умов;

- побудова температурних полiв.

V-v = 0,

- кiлькостi руху

dv + (v-V) v

Эт 1 '

енергii

= -Vp + + p0ß( T - To) g ,

Pocp

^+v-(vT)

Эт 1 '

= V-[(X + cpnt)VT]-V-qr + т:Vv + qv , кiнетичноi турбулентно! енергп

P.

^ + V- (vk )

Эт 1 '

=V

. °k)

Vk

+ ПG -p£,

- дисипацii кшетично! турбулентно! енергп

(1)

(2)

(3)

(4)

P

4. Розробка математично! моделi процесу скловарiння

Враховуючи, що будь-яка математична модель Bi-дображае ильки певну частину (головну, з точки зору поставлено! задач^ властивостей об'екта моделювання, потрiбно сформулювати спрощуючi припущення, що у подальшому будуть використаш при математич-ному моделюванш процесу скловарiння: рух димових газiв пiд склепiнням печi та розплаву скла у ванш вiдбуваеться за рахунок примусу та природно! кон-векцп; димовi гази та розплав скла вважаються «ари-ми», випромшювальними, поглинальними, нерозию-вальними, нестисливими середовищами (рiдинами); внутрiшнi поверхнi печi, що контактують з димовими газами та розплавом скла (склетння i ванна), вважаються дифузними; теплообмiн в скловарнш печi вважаеться радiацiйно-конвективним [11]; рух рщин вважаеться турбулентним i описуеться к-s моделлю турбулентностi; для врахування термогравиацшно! (природно!) конвекцi! у цих середовищах приймаеть-ся модель Буссинеска; границя димовi гази - розплав скла е натвпрозорою для радiацiйного теплообмiну

i спряженою по теплообмшу мiж фазами газовою та

розплавом, а обмш кiлькiстю руху мiж фазами не

враховуеться, тобто зсувш напруження на цiй гра-

ницi приймаються нульовими; скловарна шч мае по два вихiдних та вщхщних потоки за газом та розплавом, вщповщно; огороджувальнi конструкцп печi, що контактують з оточуючим середовищем, явно не розглядаються, а враховуються певними термiчними опорами i заданими граничними умовами конвективного типу (або III роду). Утворенням хвиль на

—+v-(v£)

Эт 1 '

=V

Ve

+ -(CiG-C2pe), (5)

де V - оператор Гамiльтона, м-1; V - осереднений за Рейнольдсом вектор швидкосп середовища, м/с; ро - густина при температурi То, кг/м3; Т0 - абсолютна температура вщлжу, К; т - час, с; Т - осереднена абсолютна температура, К; р - осереднений тиск, Па;

^ _ _ 2 а — 2

— = + ^^-^Рок або т = 2 (П + П^О - ^Рок-

тензор 2-го рангу осереднених ефективних напружень, Па; п - динамiчна в'язюсть, Па^с; к - турбулентна ю-нетична енергiя, Дж/кг; 8 - дисипащя турбулентноi

— 1 _ _

кiнетичноi енергп, Дж/(кг-с);0 = — (VV + ^ тензор

2-го рангу осереднено'! швидкостi деформацii, с-1; Сп =0,09 - емтрична константа; в - коефiцiент лшш-ного температурного розширення, К-1; ср - масова iзо-барна теплоемшсть, Дж/(крК); X - теплопровiднiсть,

ВтДм-К); V-qr = к

J I(s)dQ-4n2oT4

дивергенцiя

густини радiацiйного теплового потоку або об'емна густина; Дж/м3; qr - вектор густини радiацiйного теплового потоку, Вт/м2; к i n - коефiцiент поглинання (м-1) i показник заломлення, вiдповiдно; fi - плесний кут, ср; а - постшна Стефана-Больцмана, Вт/(м2К4); I(s) - ш-тенсивнiсть випромiнювання (Вт^с/(м2^ср)) у напрям-ку s (м) у плесному кутi dfi визначаеться iз розв'язку

P

рiвняння переносу виду У^! + (б) = кп2-;

qv - об'емна густина внутрiшнього джерела теплоти, що може бути пов'язана з хiмiчними реакцiями або

джоулевою теплотою = %|Уф|2), Вт/м3; х - електро-

провщшсть, (Ом^м)-1; ф - електричний потенщал, В; G = П 72- джерело турбулентно! кiнетичноi енергii за рахунок середнього градieнта швидкостi або швид-

KOCTi деформацii, Вт/м3

; у ^ л/21зТ

D - модуль тензора

середньо! швидкостi деформацп, с-1; (:) - оператор под-вшного скалярного добутку; а^ =1,0; а8 =1,0; С1 =1,44; С2 =1,92 - константи к-е моделi турбулентность

У рiвняннях (1)-(5) i далi за текстом риска над фiзичними величина означав осереднення за Рей-нольдсом.

Початковi та граничнi умови Початковi умови:

T (X)= T0; v (X ) = 0;

Р (X) = 0;, (6)

k (X)= ko; e(X) = e,

де х(х,у,2)ей! - декартовi координати, м; ^ - розра-хункова область. Граничш умови: - на входi по димових газах

G = Glr

T = Tin

k = К,.

с—С

(7)

де G - масова витрата, кг/с; уп - нормальна складова осереднено! швидкостi, м/с; - на виходi по димових газах

Роиае^т.£ = 0>

T=Tol k=k

outlet-sm.f.' С = ^outlet-sm.f., ,

на входi по розплаву скла

(8)

G Glrlet-glass VУп Vmlet-glass'

T=t • mlet-glass'

k = kmlet-glass'

с — с lrlet-glass' (9)

на виходi по розплаву скла

poutlet-glass 0;

T—т • outlet-glass 1_1 ' v ' k — k outlet-glass'

с — с outlet-glass

- на гранищ контакту димових газiв i розплаву скла з твердими конструктивними елементами печi приймаються умови прилипання для рiвняння руху та абсолютного контакту для рiвняння енергп

v = 0;

lT}=0; {n ■ q z} = 0,

(11)

де {т} = Т + - Т- , К; |п ■ ях} = п + ■ ях+-п"■ ях- , Вт/м2; ^ = я + - вектор сумарно! густини теплового потоку, Вт/м2; п - вектор нормалi до поверхнi контакту;

- вектор густини радiацiйного теплового потоку, Вт/м2;

- на гранищ контакту мiж димовими газами i роз-плавом скла зсувнi напруження приймаються нульо-вими для рiвняння руху та абсолютного контакту для рiвняння енергп

т = 0'

•1Т}=0;

|п ^} = 0. (12)

Для визначення радiацiйних потокiв на поверхнях (стшках) склепiння печi, ванни, у вхвдних та вiдхiдних перетинах печi також задавться вiдповiдна натвсферич-на стутнь чорноти. На напiвпрозорiй границi мiж димовими газами та розплавом скла двонапрямлена стутнь чорноти визначавться iз балансового рiвняння виду

(13)

де езш.£ - напiвсферична стутнь чорноти мiжфазноi границi у димовi гази; Sglagg - напiвсферична стутнь чорноти мiжфазноi границi у розплав скла i розрахо-вувться iз формул Френеля; nglass - показник залом-лення розплаву скла.

Показник заломлення димових газiв пзш.£ прийнято рiвним одинцi [12].

Розглянемо ствввдношення для одержання 8glass на натвпрозорш границi за допомогою формул Френеля при П2>П1, n2=nglaSS:

!_- складова коефвдвнта вiдбиття ^

Rs (ц) —

п^-^/n2 -п42 (1 -ц2)

n2 -п42 (1 -ц2)

11- складова коефвдента вiдбиття ^ п^-п^ -п2 (1 -ц2)

rp (ц)=

п2ц + п^п2 -п2 (1 -ц2)

R (ц) = 1 (Rs (ц) + Rp

(14)

1

де ц. = 1--2- граничне значення за законом Снела;

п,

при вiдбуваeться повне внутршне вiдбиття.

2

sm.f. glass glass

Шсля проведения розрахуньлв було от-римано наступш значения езт£=0,907 - на-швсферична стутнь чорноти м1жфазно1 границ! у димов1 гази, е81азз=0,6 - нашвсфе-рична стутнь чорноти м1жфазно1 границ! у розплав скла.

5. Моделювання температурних ноли! на баз1 отримано! математично! модел1

В якост1 коефщ1ент1в вщповщних р1внянь та при розробщ тривим1рно1 гео-метрп скловарно1 печ1 були взят1 даш ¿з реального об'екта - одше1 з скловарних печей Гостомельського склотарного заводу ВАТ Ветропак. Моделювання температурного розподьчу проводилось методами обчислю-вально1 пдродинамжи (СРО). Моделювання турбулентних потоьлв зд1йснене за допом-огою к-8 моде.гп турбулентность Розв'язок рiвняння переносу енергп випромшюван-ням базуеться на апроксимацп методу сфе-ричних гармошк для ирого двотемператур-ного середовигца.

В результат! розрахуньлв отримано на-ступний температурний розподьч у скловар-шй печ1 (рис. 1)

Нижче на рис. 2-4 представлен! перер1зи даного температурного розподьчу, а саме: по-перечний вертикальний перер1з на вщсташ 5 м вщ початку печ1, повздовжшй перер1з по середиш печ1, поперечний горизонтальний перер1з на висот1 2 м.

Отримано температурш поля ванно1 регенеративно! печ1 ¿з шдковопод1бним на-прямком полум'я. На баз1 вигце наведено! математично1 моде.и, змшюючи початков1 умови, можна дос.гпджувати динамжу змши температур у скловаршй печь Що, в свою чергу, е потужним шструментом дослщжен-ня р1зномаштних систем керування темпе-ратурним режимом скловарно! печi.

■

2 20е+03 2 119+03 2.01е+03 1.92е+03 1.32е+03 1.73е+03 1.636+03 1.54е+03 1.44е+03 1.35е+03 1.25е+03 1.16е+03 1,06е+03 9 65е+02 3.70е+02 7.75е+02 6.80е+02 5.85е+Й2 4.90е+02 395е#й2 300е+02

Рис. 2. Розподiл температури в поперечному вертикальному перерiзi на вщсташ 5 м В1Д початку печ1

2.209+03

Вие+оз

? 019+03. I 92в+03 1.929+03 1.739+03

I 63е+'й3 1.549+03 |.44е+03 !..зщв*оз 1.25е+03

.169+03 I 069+03 165е+02 70е+02 '.75е+02 ¡.809+02 5 850+03 4.9®+02 3.959+02 З.Оае+02

Рис. 1. 3D модель розподiлу температур у скловарнш печ1

Рис. 3. Розподт температури в повздовжньому перерiзi по середин печ1

У даному дослщженш, пiд час математичного моделювання процесу скловаршня, не було вра-ховано додатковi засоби та процеси котрi iнколи зустрiчаються на промислових скловарних печах, таю, як барботаж та примусове перемшування скломаси. Це пов'язано iз тим, що даш складов! процесу скловаршня рщко використовуються од-ночасно, а також iз тим, що на кожнш печi вони реалiзуються по своему, виходячи iз умов, в котрих пiч використовуеться, та задач поставлених перед конкретною тччю. Також не розглянуто роботу ре-генераторiв. Оскiльки за своею складшстю регене-ратори прирiвнюються до скловарних печей, вони можуть розглядатись як окремий об'ект для моде-лювання i дослiджень. Тому, цiлком закономiрним продовженням дослiджень е математичне моделювання вищенаведених процесiв, та розробка мож-ливостi включення 1х, за потреби, в загальну ма-тематичну модель. Це дасть можлившть отримати

математичну модель будь-яко! модифжацп реально! регенеративно! скловарно! ne4i i3 пiдковоподiбним напрямком полум'я.

■

2.20е+03 2.11е+03 2.01 е+03 1 92е+03 1.82еИз 1.73е+03 МЗеШЗ 1.5®+03 1.44е+03 1 35е+03 1.25е+03 1.16е+03 1,06е+03 9 65е+02 8.70е+02 7 75е+02 6.80е+02 5 85еШ2 4.90е+02 3 95е+02 3.00е+02

Рис. 4. Розподiл температури в поперечному горизонтальному nepepi3i печi на висотi 2 м

6. Висновки

Отримана математична модель основних фiзи-ко-хiмiчних процесiв, що протжають у скловарнiй

печi. Дана модель базуеться на усереднених за Рей-нольдсом рiвняннях Нав'е-Стокса. Структура отрима-но1 модел1 включае в себе основш закони збереження поеднаш початковими та граничними умовами. В якосп коефвденпв вщповщних р1внянь та при розробщ тривим1рно1 геометрп скловарно! печ1 були взят! даш ¿з реального об'екта - одше! з скло-варних печей Гостомельського склотарного заводу ВАТ Ветропак. Моделювання температурного розподьчу проводилось методами обчислювально! гщродинамжи (СРО). Моделювання турбулентних потоюв зд1йснене за допомогою к-е модел1 турбулентность Розв'язок р1вняння переносу енергп ви-промшюванням базуеться на апроксимацп методу сферичних гармошк для с1рого двотемпературного середовигца. За допомогою формул Френеля розра-ховано нашвсферичну ступшь чорноти м1жфазно1 границ! як у димов1 гази, так 1 у розплав скла. За допомогою сучасних програмних засоб1в дана математична модель розв'язана та отримаш ЗО зобра-ження розподьчу температурних пол1в по всьому об'ем1 скловарно! печь Представлен! рисунки по-казують стан температурного розподьчу в конкрет-ний момент часу в залежност! вщ початкових та граничних умов. Наявшсть дано! модел! дозволяе проводити р!зномаштш дослщження, починаючи вщ впливу температури повиря котре подаеться на вхщ, на температуру в будь-якiй точщ печi, закiнчуючи впливом часу переключення полум'я у ваннiй регенеративнiй печi iз пiдковоподiбним напрямком горшня, на однорiднiсть температури у печг Саме дослiдженню вище наведених залежностей та розробщ оптимально! системи керування скловарною тччю i будуть присвяченi подальшi дослiдження.

Лiтература

1. Лисиенко, В. Г. Математическое моделирование теплообмена в печах и агрегатах [Текст] : уч. пос. / В. Г. Лисиенко, В. Г. Волков, А. Л. Гончаров; под ред. В. Г. Лисиенко. - Киев : Наук. думка, 1984. - 230 с.

2. Кошельник, В. М. Применение математических моделей для диагностики технико-экономических параметров системы регенерации тепла высокотемпературных теплотехнологических установок [Текст] / В. М. Кошельник, А. В. Кошельник, Е. Ю. Долженко // Интегрированные технологии и энергосбережение. - 2004. - № 1. - С. 40-44.

3. Viskanta, R. Review of Three-Dimensional Mathematical Modeling of Glass Melting [Text] / R. Viskanta // Journal of Non-Crystalline Solids. - 1994. - Vol. 177. - Р. 347-362. doi: 10.1016/0022-3093(94)90549-5

4. Choudhary, M. K. Recent Advances in Mathematical Modeling of Flow and Heat Transfer Phenomena in Glass Furnaces [Text] / M. K. Choudhary // Journal of the American Ceramic Society. - 2002. - Vol. 85, Issue 5. - Р. 1030-1036. doi: 10.1111/j.1151-2916.2002. tb00218.x

5. Beerkens, R. G. Modeling of the Melting Process in Industrial Glass Furnaces [Text] / R. G. Beerkens. - Mathematical Simulation in Glass Technology, Springer, Berlin, 2002. - P. 17-72.

6. Choudhary, M. K. Heat Transfer in Glass-Forming Melts [Text] / M. K. Choudhary, R. M. Potter. - Properties of Glass Forming Melts, 2005. - P. 249-293. doi: 10.1201/9781420027310.ch9

7. Kuhn, W. S. Mathematical modeling of batch melting in glass tanks [Text] / W. S. Kuhn. - Mathematical Simulation in Glass Technology, Springer, Berlin, 2002. - P. 73-125.

8. Choudhary, M. K. Three-dimensional Mathematical Model for Flow and Heat transfer in Electric Glass Furnaces [Text] / M. K. Choudhary // Heat Transfer Engineering. - 1985. - Vol. 6, Issue 4. - Р. 55-65. doi: 10.1080/01457638508939639

9. Kumar, A. Computational modeling of blast furnace cooling stave based on heat transfer analysis [Text] / A. Kumar, S. N. Bansal, R. Chandraker // Materials Physics and Mechanics. - 2012. - № 15. - Р. 46-65.

10. Aminian, J. Investigation of Temperature and Flow Fields in an Alternative Design of Industrial Cracking Furnaces Using CFD [Text] / J. Aminian, Sh. Shahhosseini, M. Bayar // Iranian Journal of Chemical Engineering. - 2010. - Vol. 3. - Р. 61-73.

11. Prokhorenko, O. A. Radiative Thermal Conductivity of Melts [Text] / O. A. Prokhorenko. - American Ceramic Society, Westerville, OH, USA, 2005. - Р. 95-117.

12. Abbassi, A. Numerical Simulation and Experimental Analysis of an Industrial Glass Melting Furnace [Text] / A. Abbassi, Kh. Kho-shmanesh // Applied Thermal Engineering. - 2008. - Vol. 28, Issue 5-6. - P. 450-459. doi: 10.1016/j.applthermaleng.2007.05.011