МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГіДРОДИНАМіКИ ПЕРЕМіШУЮЧОГО ПРИСТРОЮ З МАГНіТНИМ ПРИВОДОМ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

5. Shapiro, L. G., Stockman, G. C. (2001). Computer Vision. N. J.: Prentice Hall, Upper Saddle River, 608.

6. Simankov, V. S., Lutsenko, E. V. (1999). Adaptive control of complex systems based on the theory of pattern recognition. Krasnodar: Tech. University Cuban. state Indus. University press, 318.

7. Gorda, E. (2010). Identification of defect type "crack" in the optical range. The Mountain. building, road and reclamation machines. Kyiv: KNUBA, 74, 89-93.

8. Gorda, E. (2014). Simulation metrics in the space of a digital image defect type "crack". Managing the development of complex systems. Kyiv: KNUBA, 17, 112-120.

9. Oxtoby, J. (1977). Measure and category. Moscow: Peace, 158.

10. Aleksandrov, P. S. (1977). Introduction to set theory and General topology. Moscow: Nauka, 368.

11. Borisovich, Yu., Bliznakov, N., Izrailevich, Y., Fomenko, T. (1995). Introduction to topology. Moscow: Nauka, Fizmatlit, 416.

12. Halmos, P. (1953). Measure theory. Moscow: Foreign literature publishing house, 282.

13. Ryshkov, S. S., Maltsev, A. A. (2002). Discrete geometry and geometry of numbers. Moscow: Nauka, 335.

14. Bobenko, A. I., Suris, Y. B. (2010). Discrete differential geometry. Integrable structure. Moscow: Publishing house: "SIC "Regular and chaotic dynamics", Institute of computer science," 488.

15. Lukin, A. (2007). Introduction to digital signal processing (mathematical foundations). Laboratory computer graphics and multimedia, Moscow state University. Moscow, 54.

16. Fu, K. (1977). Structural methods in pattern recognition. Moscow: Mir, 320.

Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук, професор М1хайленко В. М.

Дата надходження рукопису 14.03.2016

Горда Олена Володимирiвна, кандидат техшчних наук, доцент, кафедрa "1нформацшш технологи про-ектування i прикладно! математики", Кшвський нацюнальний ушверситет будiвництва i архггектури, пр. Повирофлотський, 51, м. Кшв, Украша, 03680 E-mail: [email protected]

Пузько Олексш Олександрович, асшрант, кафедрa "1нформацшш технологи проектування i прикладно! математики", Кшвський нацюнальний ушверситет будiвництва i архiтектури, пр. Повирофлотський, 51, м. Ки1в, Укра1на, 03680 E-mail: [email protected]

УДК 663.1

DOI: 10.15587/2313-8416.2016.67275

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Г1ДРОДИНАМ1КИ ПЕРЕМ1ШУЮЧОГО ПРИСТРОЮ З МАГН1ТНИМ ПРИВОДОМ

© С. I. Костик, Л. I. Ружинська, В. Ю. Шибецький, О. О. Ревтов

Дана стаття присвячена математичному моделюванню г1дродинам1ки при використанш перемШуючо-го пристрою з магнтним приводом. В статт1 наведенi математичш залежност1, як описують характер руху рiдини i дозволяють визначити складовi швидкостей. Знайдена залежнiсть товщини приграничного шару рiдини бтя перемшуючого пристрою, визначено крутний момент мшалки i потужтсть, яка витрачаеться на перемшування

Ключовi слова: перемшуючий пристрш з магнтним приводом, гiдродинамiка, поле швидкостей

This article is devoted to mathematical simulation of hydrodynamics using a mixing device with magnetic drive. The article contains mathematical formulas describing the motion of fluids and allows to determine the compounds of velocities. Dependence of thickness of near-boundary liquid layer near the mixing device was found, stirrer's torsion torque and the power for mixing process were determined Keywords: mixing device with magnetic drive, hydrodynamics, field of velocities

1. Вступ

Технолопчне обладнання, яке використову-еться при виробнищга лжарських засоб1в чи мжробь олопчних препарапв, являе собою складн i дороп техшчш системи, експлуатащя яких пов'язана з рiз-номанггними ризиками [1].

Сучасш конструкци ферментерiв мають ряд специфiчних недолшв:

- порушення асептичносп в мюцях входу валу в апарат (ущшьнення);

- подчас перемшування утворюються високо-турбулентш зони та зони застою, що е причиною не-

р1вном1рного п1дводу поживних речовин до КЛ1ТИН 1 поганого вщводу метаболтв;

- пошкодження клиини пов'язане з виникнен-ням потошв рвдини велико! енергп (пдравл1чш уда-ри, напруження зсуву);

- виникнення град1ент1в температур в об'ем1 апарату внаслщок нер1вном1рного перемшування, яш згубно впливають на клиини.

Деяш з цих недолтв можна л1кв1дувати шляхом використання перем1шуючого пристрою з магниним приводом. В такому апарат1 немае необ-х1дност1 вводити вал через стшку, оскшьки м1шал-ка приводиться в рух силами магнпно! взаемодп, а отже зникае потреба у використанш ущшьнення, яке не може гарантувати умови асептичностг На даному еташ шформащя стосовно дослщжень в област1 перем1шуючих пристро!в з магниним приводом у ввдкритш лператур1 майже ввдсутня, тому необхщно ретельно розглянути апаратне забезпе-чення процесу перем1шування та мехашзм пд-ромехашчних потошв, що сприяють утворенню воронки.

2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми

2. 1. Теоретичш основи утворення центрально! воронки

Внаслвдок ряду недолтв використання зви-чайних мехашчних перем1шуючих пристро!в в асе-птичному виробнищш, нараз1 все ширшого засто-сування набувають мшалки з магниним приводом.

Перем1шуючий пристрш з магниним приводом, помщений в центр1 посудини, викликае обер-товий рух усього об'ему р1дини. При малих числах оберт1в цей рух приводить до невеликого зниження р1вня р1дини поблизу валу. З1 збшьшенням числа оборопв воронка поступово заглиблюеться, досягае мшалки, а в граничному випадку й днища посудини. Перем1шування при утворенш воронки пов'язане з рядом труднощ1в, тому нижче наводиться опис умов, що викликають появу воронки И вплив на процес [2].

2. 2. Геометрiя i форма воронки механiчних перемiшуючих пристроТв

Якщо в посудин не встановлеш перегородки, то при високому числ оборопв мшалки умови руху р1дини в посудин наближаються до умов так званого вихору Ренина. Анал1зуючи розподш кутових швид-костей у рвдиш й приймаючи кшька спрощень, можна вивести р1вняння, що визначае форму поверхш при утворенш воронки [3-5].

Виводячи формулу виходять 1з наступних м1р-кувань (рис. 1): у посудин рад1усом Я, заповнеий рщиною до висоти Н0, помщена прямокутна мшалка рад1усом гм I шириною Ь, що обертаеться з кутовою швидк1стю т. Якщо знехтувати в'язшстю рвдини, то кутову швидшсть потоку, що слкае з мшалки, можна вважати р1вною кутовш швидкоси мшалки. Пе-редбачаеться, що об'ем рвдини, що обертаеться з1 швидк1стю мшалки, мае форму цилшдра. Рад1ус цьо-го цил1ндра гц менше рад1уса мшалки гм.

Рис. 1. Схема утворення воронки

3. Мета дослщження

Мета дослвджень - встановити залежносп по-тужносп, що витрачаеться на перем1шування, в1д частоти обертання мшалки з магниним приводом та проанал1зувати геометрш воронки пров1вши моде-лювання пдродинам1ки.

Предмет дослвджень - процес перем1шування рвдких середовищ за допомогою перемшуючого пристрою з магниним приводом.

Об'ект дослвджень - перемшуючий пристрш з магниним приводом.

математична модель процесу

4. Фiзична перемiшування

Для того, щоб описати ф1зичну модель процесу перемшування за допомогою перем1шуючого пристрою з магниним приводом необхщно скорис-татись системами р1внянь Навье-Стокса. Виршення системи р1внянь Навье-Стокса може бути здшснено у випадку руху р1дини б1ля цилшдра, який р1вномь рно обертаеться 1з кутовою швидшстю а>, навколо ос г , яка проходить через середнш по довжиш цилшдра перер1з, перпендикулярно до його ос [6-8]. Розрахункова схема перем1шуючого пристрою представлена на рис. 2.

Рис. 2. Розрахункова схема магштного перемшую-чого пристрою

Для визначення характеру руху рвдини б1ля цилшдра, що обертаеться, вибираемо цил!ндричну систему координат. Швидк1сгь мае три складових: в рад!альному напрямку - г, в коловому напрямку - ф { в осьовому напрямку - г . Позначимо проекци вектора швидкосп на координатш оа г, <р, 2 ввдповщ-

но р, Рф, р.

Враховуючи осьову симетрш руху рщини за-пишемо р1вняння Нав'е-Стокса для цилшдрично! системи координат[9, 10]:

W.

dWr dr

.WL + W dW

r z dz

1 dp

=---—+ v

p dr

d2W d f W) d2Wr

2 " + " I

dr dr \

dz2

dW W •W dW, W-- + W-- + W

dr r z dz

'd 2W- df W-) d W

\ r J

dr2 dr '

(1)

dW dW Wr—^ + W dr

1 dp =---—+ v

p dz

dz

d2Wz dr2

dz2

1 dW d2W +--- + -

r dr

dz2

Р1вняння суцшьносп (неперервност!) мае ви-гляд [9, 10]:

dW Wr 3W2 -- + — + —- = 0.

dr r dz

(2)

Для визначення товщини приграничного шару використовуеться р1вняння р1вноваги елементарного об'ему рвдини над цил1ндром, що обертаеться:

у®

tgw-

(3)

5. Визначення потужностi, що витрачаеться на обертання цилшдра

Потужшсть, яка витрачаеться на обертання цилшдра визначаемо з урахуванням припущення, що вона витрачаеться на подолання сил тертя [7, 8].

N = Мр -а.

(4)

Крутний момент, що створюе цилшдр при обертанш:

Мкр = 2 j тст • cos ц • V2п-R • dr • r .

0

Шсля штегрування виразу (5), отримаемо:

(5)

1 9 Ч

Мр =— p•а1 • l3 кр 24

(R + £)2 -R2 R

■ctgy. (6)

Для штегрування системи (1) доцшьно ввести зашсть z, безрозм1рну ввдстань в1д стшки £ = ^ .

Надал1, приймаемо, що складов! швидкосп ! тиску визначаються за формулами:

(7)

W = r •&• F(0,W = • = r-ю-G(0,Wz H (О;

P = P(z) = p• v • а • P(0. П!сля п!дстановки цих вираз!в Wr, W, W, P в

р!вняння (1) ми отримаемо для визначення чотирьох невщомих функц!й F, G, H, P в наступну систему диференцшних р!внянь:

2F + H ' = 0; F2 + FH - G2 - F" = 0; 2FG + HG'- G" = 0; P' + HH' - H" = 0.

(8)

Граничш умови:

при ^ = 0 ^

при Q = ж ^

F = 0; G = 1; H = 0, P = 0.

F = 0; G = 0.

(9)

(10)

Ршення дано! системи диференцшних р!внянь було здшснено Кохреном, який визначив значения функцш Е, О, Н, Р методом чисельного штегруван-ня, що дае нам змогу виршити систему диференцш-них р!внянь (1) за допомогою пакету MathCad14.

6. Результати дослвдження

За отриманими масивами даних було побудо-вано крив! поля швидкостей в рад!альному, коловому ! осьовому напрямку: р, р' Р (див. рис. 3).

При розгляд! залежност! швидкосп руху р!дини в!дносно ос! г, в апарат! з мшалкою !з магн!тним приводом видно, що швидшсть поблизу поверхн! пе-ремшуючого пристрою пост!йна ! близька до нуля, як ! швидк!сть рвдини, яка знаходиться на ос! обертання.

Змша швидкост! по м!р! вщдалення в!д повер-хн! м!шалки ввдбуваеться по парабол!чному закону. Максимальне значення швидкост! РРГ = 4.752 м / с досягаеться при максимальному вщдаленш точки ввд ос! обертання.

Швидк!сть !з зб!льшенням вщсташ в!д по-

верхн! м!шалки поступово зменшуеться, а швидк!сть в напрямку рад!уса г зростае за лшшним законом. Також варто зазначити, що швидшсть поблизу ос! обертання перемшуючого пристрою постшна ! близька до нуля. Максимальне значення швидкост! Р^ = 26.253 м / с розвиваеться в точщ максимально

вщдаленш в!д ос! обертання ! знаходиться на поверх-н! перемшуючого пристрою.

Швидшсть в осьовому напрямку р в!д рад!у-са перемшуючого пристрою ! в!дстан! в!д його пове-рхн!, для кутово! швидкост! обертання: ю = 315 рад / с. Швидшсть спадае з! зб!льшенням в!дстан! в!д поверхш перем!шуючого пристрою. Ма-

=v

ксимальне значения швидкосп W =-0.015 м / с, знак «-» показуе, що швидк1сть рвдини направлена до днища апарата, що в свою чергу е причиною утворення воронки.

Рис. 3. Поля швидкостей Жг, ,

7. Висновки

1. Розроблена математична модель процесу пе-ремшування мшалкою з магниним приводом. Побу-дована математична 1 комп'ютерна модель адекватно описуе пдродинашчну обстановку в апарап, що шдт-верджуеться збйом з експериментальними даними.

2. Теоретично визначеш поля швидкосп при перем1шуванш магштним перемшуючим пристроем. Анал1з пол1в швидкостей дозволяе стверджувати, що саме складова швидкосп в1дпов1дае за утворення воронки в апарап.

3. На основ1 розв'язку математично! модел знайдена залежшсть товщини приграничного шару р1дини б1ля перемшуючого пристрою, що дало змогу визначити крутний момент мшалки, що обертаеться 1 в свою чергу визначити потужшсть, яка витрачаеть-ся на перем1шування.

Лiтература

1. Лжарсью засоби. Надежна виробнича практика: СТ-Н МОЗУ 42-4.0:2015 [Текст]. - К.: ДП «ДНЦЛЗ», 2015. - 319 с.

2. Стренк, Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками [Текст] / Ф. Стренк. - Л.: «Химия», 1975. - 384 с.

3. Штербачек, З. Перемешивание в химической промышленности [Текст] / З. Штербачек, П. Тауск. - Л.: ГХИ, 1963. - 416 с.

4. Иногамов, Н. А. Гидродинамика перемешивания [Текст] / Н. А. Иногамов, А. Ю. Демьянов, Э. Е. Сон. - М.: Изд-во МФТИ, 1999. - 464 с.

5. Брагинский, Л. Н. Гидродинамика перемешивания при турбулентном режиме [Текст] / Л. Н. Брагинский, В. И. Бегачев, В. М. Барабаш. - М.: Химия, 1984. - 273 с.

6. Касаткин, А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии [Текст] / А. Г. Касаткин. - М.: «Химия», 1973. - 752 с.

7. Павлов, К. Ф. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии [Текст]: уч. пос. / К. Ф. Павлов, П. Г. Романков, А. А. Носков. - Л.: Химия, 1987. - 576 с.

8. Тимофеев, В. Н. Прикладная магнитная гидродинамика [Текст]: уч. пос. / В. Н. Тимофеев, Е. А. Головен-ко. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. - 108 с.

9. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя [Текст] / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1969. - 728 с.

10. Черный, С. Г. Численное моделирование течений в турбомашинах. [Текст] / С. Г. Черный, Д. В. Чирков, В. Н. Лапин, В. А. Скороспелов, С. В. Шаров. - Новосибирск: Наука, 2006. - 202 с.

References

1. Medicines. Good manufacturing practice: ST-H Ministry of Health 42-4.0: 2015 (2015). Kyiv: SE "DNTSLZ", 319.

2. Strenk, F. (1975). Mixing and equipment with stirrers. Lviv: GHI, 384.

3. Shtrebachek, Z., Tausk, P. (1963). Mixing in chemical industry. Lviv: GHI, 416.

4. Inoghamov, N. A., Dem'janov, A. Ju., Son, Je. E. (1999). Hydrodynamics of mixing. Moscow: MFTI, 464.

5. Braghinskii, L. N., Begachev, V. I., Barabash, V. M. (1984). Hydrodynamics of mixing within the turbulent regime. Moscow: "Chimia", 273.

6. Kasatkin, A. G. (1973). Basic processes and apparatus of chemical technology. Moscow: "Chimia", 752.

7. Pavlov, K. F., Romankov, P. G., Noskov, A. A. (1987). Examples and tasks on the course of processes and apparatus of chemical technology. Lviv: "Chimia", 576.

8. Timofeev, V. N., Golovenko, E. A. (2007). Applied magnetic hydrodynamics. Krasnoyarsk: Siberian federal university, 108.

9. Schlichting, G. Moscow: "Nauka", 728.

10. Cherniy, S. G., Chirkov, D. V., Lapin, V. N., Skorospelov, V. A., Sharov, S. V. (2006). Numerical simulation of flows in turbomachinery. Novosebirsk: "Nauka", 202.

(1969). Boundary layer theory.

Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук, професор Мельник В. М.

Дата надходження рукопису 15.03.2016

Шибецький Владислав Юршович, кандидат техшчних наук, асистент, кафедра бютехшки та iижеиерil, Па^тальний техтчний ушверситет Украши «Кшвський полггехтчний шститут», пр. Перемоги, 37, м. Ки1в, Украша, 03056 E-mail: [email protected]

Костик Сергш 1горович, кандидат техтчних наук, асистент, кафедра бютехшки та шженери, Нацюна-льний техшчний ушверситет Украши «Кшвський полiтехшчний шститут», пр. Перемоги, 37, м. Кшв, Украша, 03056 E-mail: [email protected]

Ружинська Людмила 1вашвна, кандидат техшчних наук, доцент , кафедра бютехшки та шженери, На-цiоиальиий техшчний уиiверситет Украши «Кшвський полiтехнiчиий шститут», пр. Перемоги, 37, м. Кшв, Украша, 03056 E-mail: [email protected]

Ревтов Олексш Олександрович, кафедра бiотехнiки та шженери, Нацюнальний техиiчиий уиiверситет Украши «Кшвський полгтехшчний iиститут», пр. Перемоги, 37, м. Кшв, Украша, 03056 E-mail: [email protected]

УДК 004.942:004.021

DOI: 10.15587/2313-8416.2016.67616

МНОГОЦЕЛЕВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ СО СВЯЗАННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ОКНА

© П. С. Швец, Д. А. Монова, В. В. Бондаренко, Е. А. Оборотова

Проанализированы проблемы, возникающие при многоцелевой оптимизации систем со слабосвязанными аргументами. Предложен интегральный показатель эффективности решения подобных задач, представляющий собой сумму глубин оптимизации отдельных подсистем по единому слабосвязанному аргументу. Разработан метод многоцелевой оптимизации систем со слабосвязанными аргументами с помощью метода скользящего окна. Разработан метод оптимизации зоны связности систем со слабосвязанными аргументами

Ключевые слова: многоцелевая оптимизация, зона связности, интегральный показатель эффективности, метод скользящего окна

The problems arising in multi-objective optimization o f systems with loosely coupled arguments are analyzed. The integral indicator for efficiency of solving such problems is proposed. It is a sum of optimization levels of the individual subsystems for loosely coupled single argument. The multi-objective optimization method for systems with loosely coupled argument using the sliding window method is developed. The method for optimizing the connectivity zone of systems with loosely coupled arguments is developed

Keywords: multi-objective optimization, connectivity zone, integral efficiency index, sliding window method

1. Введение

Задачи многоцелевой оптимизации возникают практически во всех областях человеческой деятельности. Чаще всего они связаны с ограниченностью ресурсов и невозможностью максимально (оптимально) удовлетворить потребности отдельных составляющих оптимизируемых систем. Многочисленные внешние и внутренние ограничения лишь усугубляют создающиеся при этом трудности, снижая эффективность принимаемых решений [1].

Само понятие «эффективности» многоцелевой оптимизации связано с существованием связей между ее аргументами, - действительно, если аргументы не связаны, то ничто не мешает рассмотреть многоцелевую оптимизацию как множество одноцелевых, решение которых тривиально. В то же время, неоднозначность понятия «эффективность» заставляет прикладных математиков предварительно договариваться, какие методы расчета этой эффективности применять. Ведь существуют приложения, где даже такие традиционные и общепризнанные методы, как оптимизация по Парето, могут оказаться недостаточно эффективными.

Примером такого приложения являются задачи оптимизации систем со слабосвязанными аргументами, в которых именно эта слабая связь является не просто дополнительным ограничением, а целью, непосредственно связанной с предметной областью, например, с технологией.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

В технических приложениях проблема связности аргументов возникает практически при любой попытке оптимизировать сложную систему. Чаще всего она возникает в процессе проектирования при решении обратных задач поиска наилучших параметров системы, удовлетворяющих, тем не менее, предъявляемым к ней требованиям [2]. Примерами такой связности могут служить соотношение скоростей вращения шлифовальных кругов, сидящих на одном валу (жесткая связь) [3], или магнитного поля статора и ротора асинхронного двигателя (слабая связь) [4]. Перечень существующих нежестких (слабых) связей в различных объектах может быть существенно расширен: это температуры внутри камеры одной металлургической печи [5], скорости движения ступеней и перил в эскалаторах [6, 7], параметры конструкции и технологии изготовления резиноме-таллических амортизаторов [8-10], параметры взаимодействия элементов в измерительных системах [11, 12] и многое другое.

Такие условия чаще всего накладывают дополнительные, зачастую, нежесткие связи между оптимизирующими аргументами - параметрами объекта и среды, приводящие к существенным изменениям математических методов оптимизации в проектировании, особенно, автоматизированном, так как эти методы требуют большого объема компьютерных вычислений [13].