CC BY
13
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ
УДК 621.3.013:519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
MATHEMATICAL DESCRIPTION OF SOLUTION OF THE THREE-DIMENSIONAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE STATIONARY MAGNETIC FIELD IN THE CYLINDRICAL COORDINATE SYSTEM
Аннотация. В статье предложен метод формирования численного проекционно-сеточного алгоритма на регулярной триангуляционной сети для расчетов трехмерных моделей магнитного поля синхронных магнитоэлектрических генераторов с возбуждением от постоянных магнитов (с использованием рекуррентных выражений, полученных для «регулярного элемента»). Использование «регулярного элемента» позволяет максимально автоматизировать процесс формирования глобальной системы линейных алгебраических уравнений в проекционно-сеточном методе Галеркина в сочетании с методом конечных элементов, минуя этап построения «элементных» систем уравнений. Центральное место в уточнении решения задачи оптимизации конструкций тихоходных синхронных магнитоэлектрических машин занимает расчет магнитного поля. По известному распределению индукции магнитного поля в областях, занятых обмоткой с током, вычисляются индуктивность обмотки, противо-ЭДС, рабочие характеристики.
Ключевые слова: метод конечных элементов, метод Галеркина, магнитное поле, магнитная система.
Разработка тихоходных синхронных магнитоэлектрических машин с постоянными магнитами с учетом требований технического задания предусматривает расчет его магнитного поля [1-5]. В качестве примера магнитной системы, для которой необходимо применять методы расчета электромагнитного поля, выбрана базовая конструкция тихоходного синхронного генератора с постоянными магнитами (СГПМ), представленная на рис. 1.
Е. Г. Андреева, А. А. Татевосян
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
E.G. Andreeva, A.A. Tatevosyan
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
DOI: 10.25206/2310-9793-7-2-4-9
I. Введение
Рис. 1. Магнитная система СГПМ
Магнитная система СГПМ представляет собой магнитоэлектрическую машину, имеющую 6 пар полюсов, причем каждый полюс является расщепленным и реализован двумя постоянными магнитами 1, расположенных на роторе 2 генератора, обмотка СГПМ трехфазная 3, распределена в 36 пазах статора 4. Таким образом, математическая модель, описывающая магнитную систему, должна объединять уравнения для отдельных компонентов: постоянных магнитов, обмоток с током, активных частей магнитопровода.
II. Постановка задачи
В данной работе краевая задача для СГПМ представляет собой распределение квазистатического магнитного поля по объему моделирования V [6-7]. Система уравнений магнитного поля в магнитной системе, где наряду с постоянными магнитами присутствуют токи проводимости, имеет вид:
rotH = J,
divB = 0, (1)
B = MH + M0M0,
где J - плотность тока проводимости; л = л0лг - абсолютная магнитная проницаемость; B , H - соответственно векторы магнитной индукции и напряженности магнитного поля; Ы0 - вектор остаточной намагниченности; л0 - магнитная постоянная; /л - относительная магнитная проницаемость.
Введем в рассмотрение векторный магнитный потенциал A , удовлетворяющий уравнениям
rot A = B
- (2)
divA = 0
тогда согласно (1) можно записать:
rot (rot A) =/rotH +л0 rotM0 (3)
Для расчетной модели синхронной тихоходной магнитоэлектрической машины примем следующие допущения:
• относительная и абсолютная магнитная проницаемость стальных элементов конструкции магнито-провода при фиксированных положениях подвижной части постоянна;
• при описании постоянного магнита учитываются только поверхностные токи вследствие наличия линейного участка на кривой размагничивания и высокого значения магнитной твердости магнитов из редкоземельных постоянных магнитов.
Последнее допущение справедливо для высокоэнергетических постоянных магнитов. Намагниченность таких магнитов можно считать постоянной по всему объему.
Поверхностные токи намагниченности определяют скачкообразное изменение тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля на границе постоянного магнита и воздушной окружающей среды. Средняя плотность поверхностных токов намагниченности записывается в виде:
iM = rotM0 = [n,M02 -M01 ], (4)
где n - нормаль (единичный вектор) к границе раздела двух сред с различными магнитными свойствами; M01, M02 - соответственно векторы намагниченности сред.
Для воздушной окружающей среды вектор намагниченности M02 = 0 , поэтому справедливо выражение
iM =[n - M01 ] = [M01 ,n] = [M0 ,n ] (5)
Среднюю плотность поверхностных токов намагниченности можно также записать через вектор остаточной намагниченности M0. По аналогии с записью выражения объемной плотности тока намагничивания
Jм = rot ^ (6)
л
плотность поверхностного тока намагничивания i будет
i = rot
ММо М
(7)
Для магнитных систем с высокоэнергетическими постоянными магнитами, имеющими осевую симметрию, плотность поверхностного тока намагничивания /м имеет одну составляющую. При радиальном направлении намагничивания постоянного магнита плотность поверхностного тока / в цилиндрической системе координат направлена вдоль угла в. При совпадении вектора намагниченности Ы0 с осью г выражение (7) можно преобразовать к виду:
i = M0cos( плг )
(8)
Также одну составляющую будут иметь вектор плотности электрического тока J = iф Jф = rotH и векторный магнитный потенциал А = .
III. Теория
Уравнение Пуассона для трехмерного магнитного поля в цилиндрической системе координат имеет вид
1—
r д r
( 1 дА ^ 1 д ( 1 дА ^
— г-
М dr
r dz
— r-
М d z
_d_
дв
(
1 дА
М дв
1 А
---J = ~J - 'л
М r2
(9)
При переходе к функции магнитного потока
Ф
У( r,e,z ) = — = гА (r,e,z)
(10)
J k
Рис. 2. Трехмерный конечный элемент
Условие У (г, в, т) = со ш! определяет уравнение силовой линии трехмерного магнитного поля. Для случая составляющие вектора магнитной индукции можно записать [6]
1 дУ дУ
r дz дв
1 дУ дУ
Br =-\ + , Bz =-\ - — + , Вв = -\ - — +
r dr дв
1дУ 1ду
r дr r дz
(11)
Уравнение Пуассона в однородном отдельном объеме V имеет вид
д(11дУ) д(11дУ) д(11дУ)
д r
М r д r
+ —
дz
М r д z
дв
М r дв
= -J - i,
(12)
x
/
\
/
ч
/
На внешней грани расчетного объема V заданы нулевые граничные условия. На оси модели функционал равен нулю, на внешних гранях прямоугольного объема также выполняется равенство ¥ = 0 .
Для конструкции магнитных систем синхронных магнитоэлектрических машин характерны однородные элементы: объем; входящие в состав отдельных компонентов стальной магнитопровод, катушка, постоянные магниты.
Для каждого из этих однородных элементов можно записать уравнение Лапласа-Пуассона: • для стального магнитопровода
д г
(
\
/лс г д г
\
У
&
(
\
/лс г д 2
\
У
д_
~дв
(
\
/лс г дв
\
= 0
(13)
У
• для объема, занятого обмоткой с током, плотность тока намагничивания постоянного тока J = 0, магнитная проницаемость равна Л0 :
(
д г
1_ д¥_ г д г
д +—
д2
(_ дуЛ г д 2
(
дв
_
г дв
\
=
(14)
где J =
М
у , ; Гобм = Гобм1 + Усбм2 + ■■■ + Vобмi -суммарный объем обмоток на пару полюсов.
'обмкз
для постоянного магнита и воздушного пространства уравнение Пуассона можно записать в виде
_д_
д г
_
г дг
д_
д2
г д 2
д_
дв
_
г дв
= ~М0'м,
(15)
причем плотность тока намагниченности 1м Ф 0 только на границе постоянного магнита. В остальных случаях
'м = 0 .
Уравнения (13)-(15) дополнены внешними нулевыми граничными условиями (на гранях ^функция магнитного потока ¥ = 0) и условиями сопряжения на внутренних гранях расчетного объема V. Используя уравнение (15), уравнение Пуассона представим в виде:
2пР- Р}. СОЯ | + Рд СОЯ (пв^ + Рг СОЯ
8 Мг
ым -
-2ж\ — 8 Лг
ду 1 ду 1
дУ , 1
дг дг г дв дв г д2
ду
д2
гё8 +
(16)
+2л\[Ыт % Л0 (-1 +'т )^ = 0
5
Так как на внешней грани S моделируемого объема V заданы нулевые краевые условия, значение первого интеграла равно нулю. Тогда
5 Мг
ду ду ду
дг дг
дв дв
д2 д2
-
(17)
+|[ Ыт X Л0 (J + 'т ) ^ = 0 5
В соответствии с методом конечных элементов (МКЭ) [6-11] используем трехмерный симплекс-элемент, который содержит константу и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного пространства. Интерполяционный полином для тетраэдра в декартовой системе координат имеет вид:
д
д
У
У
ср = а,1 +а2Х + азу +
В цилиндрической системе координат уравнение (18) имеет вид:
У-Я1 + Х2г + Я3г + Х4в
(18)
(19)
Для симплекс-элемента характерны два свойства:
• функция У изменяется линейно между двумя любыми узлами;
• любая линия, вдоль которой У принимает одинаковые значения, есть прямая, пересекающая две стороны элемента.
Коэффициенты Я] , Х2 . . /._/ определяются через координаты вершин тетраэдра и )■ к. '.
У г
Ук
1
г
г г ■
гк гк
г г г
%
(20)
В сокращенной форме записи
{У} = [ аМ,
(21)
г 1-1
Выполним расчет обратной матрицы [ А] , тогда получим
а ъ с йг -1
1 а1 ъ1 с1 й1 У]
¿3 ак ьк ск Ук
¿4 а (> V с( С]{ _
При составлении глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
[и ]{у} = {^ }
Рекуррентные соотношения для формирования глобальной СЛАУ из элементных уравнений (22):
1 (ь(г %{Г 1) + е^г Щг 1) + й (г 1)й (г %
\иш ъз + ст сз + йт й в 1 +
Иг 1
1 (Ь(г2)ь(г2) + е(г2)е(г2) + й(г2)й(г2))+ ,
(ът ъ$ + ст + йт ) + ит!
при тФ б
Иг 2
ит -ь
И1
(е<г1) + е<г1>
)+-(
' Иг2
е(г2) + е(г2) )
ст +
?(пг )
(22)
(23)
(24)
и - У_^(Ъ( г)Ь( г) + е( г)с( г)+ й( г)й( г)) + и
итт - ^ I ът ът + ст + йт 1 + итт
г-1 Иг Л ' ,,,,
20 при т - б (25)
и'тт - (Ст )+ ^))^т) г-1
где г1, г2 - номера конечных элементов с узлами т и ^ (рис.3), h - длина ребра.
Рис. 3. Трехмерный регулярный элемент
В качестве примера для пояснения структуры глобальной СЛАУ рассмотрим «регулярный элемент» на равномерной триангуляционной сети.
Запишем уравнение для 11-го узла «регулярного элемента» [12, 13] (рис. 3):
«11,1(1 10 + «11,п¥п + «11, sWs + «11,9^9 + «11,112 + «11,lll3 + «щ1м + «11,16^16 +
+«11.18^18 + «11,915 + «11,19919 + «11,2lV 21 + «11,2(9 20 + «11,917 + (28)
+«11,3W3 + «11,4W4 + «11,6 l6 + «11,7I7 + «11,5l5 + «11,2l2 + «11,1l1 = F13
IV. Выводы и заключение
Из уравнения (28) видно, что решением глобальной СЛАУ при заданных граничных и начальных условиях являются значения функции магнитного потока {i} в узлах триангуляционной сети магнитной системы
СГПМ, представленной на рис. 1. Для решения глобальной СЛАУ могут быть использованы прямые и итерационные методы.
Список литературы
1. Шарафеддин К. Ф., Цырук С. А., Сангов Х. С., Михеев Д. В. Система автоматического регулирования напряжения трехфазного самовозбуждающегося асинхронного генератора ветроэнергетической установки // Промышленная энергетика. 2018. № 12. С. 33-41.
2. Шевченко А. Ф. Многополюсные синхронные машины с дробными q <1 зубцовыми обмотками с возбуждением от постоянных магнитов // Электротехника. 2007. № 9. С. 3-8.
3. Шевченко А. Ф. Многополюсные магнитоэлектрические генераторы с дробными однозубцовыми обмотками для ветроэлектрических установок // Электротехника. 1997. № 9. С. 13.
4. Исмагилов Ф. Р., Вавилов В. Е., Герасин А. А. Экспериментальные исследования высокооборотных генераторов с магнитопроводов статора из аморфного железа // Авиакосмическое приборостроение. 2017. № 12. С. 3-11.
5. Кулешов Е. В., Рогачевская Г. С. Магнитоэлектрический синхронный ветрогенератор с емкостным компенсатором // Труды дальневосточного гос. техн. ун-та. 2003. № 135. С. 17-19.
6. Segerlind L. J. Applied Finite Element Analysis / 2nd edition, Wiley, New York, 1984.
7. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975. 296 с.
8. Dr. G. R. Liu, mr. S. S. Quek. Finite Element Method. A Practical Course. 2003.
9. Tamm I. Е. Basics of Electricity theory. Мoscow: Nauka, 1989. 504 p.
10. Marchuk G. I, Agoshkov V. I. Introduction in projection grid methods. Moscow: Science, 1981. 416 p.
11. Zienkiewicz O. C., Morgan K. Finite Elements and Approximation / University of Wales, Swansea, United Kigdom, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, New York Crichester Brisbane Toronto Singapore, 1983.
12. Andreeva E.G., Kovalev V. Z. Mathematical stimulating of the electrical complexes. Omsk, 1999. 172 p. http://search.rsl.ru/ru/record/01000650141.
13. Andreeva Е. G. «Regular element» of the global SLAE finite element method in modeling electromagnetic processes of electrical devices // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1050. DOI: 10.1088/17426596/1050/1/012003.
