Математическое описание процессов тепло- и массоопереноса в колбасных изделиях при их тепловой обработке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 637.523.27:536.25

Математическое описание процессов тепло- и массопереноса в колбасных изделиях при их тепловой обработке

д.т.н. Вороненко Б.А., д.т.н. Пеленко В.В., аспирант Стариков В.В.

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

Для описания процессов тепло- и массообмена в продукте, представляющим собой дисперсную систему, рассмотрим колбасный батон не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную. На основе предпосылок предложена математическая модель совместного тепломассопереноса тепловой обработки колбасного батона цилиндрической формы.

Ключевые слова: капиллярно-пористые тела, тепловая обработка,

тепломассоперенос, математическая модель, система дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия.

Основные способы массопереноса при созревании мясного фарша, сушке, варке, превращении его в готовый продукт, как и у всех пищевых продуктов животного происхождения, — это перенос вещества на молекулярном уровне (молекулярная диффузия) и перенос на макроуровне в результате движения жидкости и пара (конвективный перенос) [1].

Фаршевые мясопродукты относятся к коллоидным капиллярно-пористым телам, так как наряду с развитой системой пор и капилляров они содержат и коллоидные частицы, входящие в каркас стенок.

Удаление влаги из материала связано с преодолением сопротивления со стороны продукта. Сопротивления возникают как при переходе от одного элемента объема тела к другому, так и при изменении состояния влаги в теле, ее формы связи.

Изучение процессов пищевой технологии должно базироваться на комплексном математическом описании целого ряда превращений сырья с использованием современной вычислительной техники. При этом компьютер выступает как средство не только вычисления, но и моделирования возможных технологических ситуаций, предвидеть которые без применения современных подходов практически невозможно. Системный анализ позволяет представить сырье как сложную систему, состоящую из ряда взаимосвязанных элементов, а технологический процесс — как совокупность преобразований этой системы, протекающих на разных, но взаимосвязанных уровнях. Такого рода представления удобны для последующей формализации с использованием ЭВМ, прежде всего в виде кибернетических моделей. Сочетание системного

анализа с аналитическим описанием процесса наиболее плодотворно, так как позволяет в качестве аппроксимирующих зависимостей использовать не случайные полиномиальные функции, а математические зависимости, вытекающие из фундаментальных законов природы, лежащих в основе математического описания тепловых и массообменных процессов [1].

Применительно к технологическим схемам производства мясных продуктов (варено-копченых колбас) отдельный батон можно считать биореактором, в котором последовательно и параллельно протекают гидромеханические, массообменные и тепловые процессы [1]. Для каждого продукта авторы выделяют ряд уровней, на каждом из которых сырье превращается в готовый продукт.

В производстве варено-копченых колбас основными процессами являются гидромеханические, массообменные и тепловые.

Колбасные батоны представляют собой твердообразные системы (частицы), содержащие элементы как исходных компонентов, в основном животных тканей, так и структуру, полученную при измельчении и смешивании компонентов. Эти частицы неоднородны по величине, структуре и физическим свойствам [2]. Поэтому для описания процессов тепло- и массообмена в продукте следовало бы написать дифференциальные уравнения для каждой отдельной частицы, что сделать невозможно. Однако размеры частиц и расстояния между ними ничтожно малы по сравнению с размерами массы материала, подвергаемого термообработке в коптильной камере (реакторе), что дает возможность колбасный батон, представляющий собою дисперсную систему, рассматривать не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную.

Анализ работы применяемых в промышленности камер Autotherm показал, что основным способом передачи теплоты является конвективнорадиационный. В этом случае, если считать колбасный батон, подвергаемый тепловой обработке в камере, телом, имеющим форму неограниченного цилиндра, условия взаимодействия которого с окружающей средой выражаются граничными условиями второго рода (экспериментально найденными функциональными зависимостями удельных потоков тепла и вещества на поверхности тела от времени), краевую задачу совместного тепломассопереноса (дифференциальные уравнения и условия однозначности) можно сформулировать следующим образом:

требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных производных [3]

д t 1 д ( д t Л ер д и

э7= а<гдг{гдг) + “Ъ7; (1)

ди 1 д ( ди Л „1 д ( дt Л

эга";эгы+а"г;эг1гэг ]; (2)

(0 < Т<Т{, 0 < г < Я)

при следующих начальных

t (г,0)= Л (г); (3)

и граничных условиях

ъ (0,т) ди (0,т) 0. (5)

дг дг 7 К ;

t (0,-т) < ¥.и (0,-т) < ¥. (6)

—1 4 (Т)“(1 ~е')РЧт (Т) = 0 (7)

ди(Я,т) дt(Я,т) , .

ашГ0 дг + атГ0$ дг + Чш (*) = 0 (8)

Здесь введены следующие обозначения:

t=(г,т)— температура, К, °С; tо =тшг - частный случай начальной

t 1—1 =^ температуры; шс - максимальная температура среды; шс 0 ;

Т(Х, Я?) = ^Х,Т) —0

ітс іо - безразмерная температура;

и (г,г) влагосодержание, кг влаги/кг абс. сух. вещества; и° соті-

в(Х, №) = и ~1(Х,Т)

частный случай начального влагосодержания; и - безразмерное

и X = г/

влагосодержание; г - текущая координата, м; К - радиус цилиндра, м; / к -

безразмерная координата; т - время, с;

1 - время окончания первого периода термической обработки - прогрева

— Т (г) Т (г)

и периода постоянной скорости сушки;71' ’ и -,2У ’ распределение температуры

и влагосодержания в материале соответственно; 0 - коэффициент

температуропроводности, м2/с; є - коэффициент фазового перехода (0 < є < 1);

Р- удельная теплота испарения, Дж/кг; с^ - удельная теплоемкость материала,

Дж/(кг-К); °т - коэффициент потенциало- (влаго-) проводности м2/с;

5 - термоградиентный коэффициент, 1/К; 1 - коэффициент

теплопроводности, Вт/(м-К);

q(т) - плотность теплового потока - количество тепла, подводимого к единице площади поверхности твердого тела в единицу времени, Вт/м2;

Чпк^)—плотность потока массы вещества кг/(м2-с); - плотность абсолютно

сухого вещества, кг/м3;

(1) - уравнение теплопереноса; (2) - уравнение массо- (влаго-) переноса; равенства (3) и (4) - начальные условия; (5) и (6) - условия симметрии и физической ограниченности температуры и влагосодержания.

Граничное условие (7) является уравнением баланса тепла: подведенное

тепло к поверхности тело ?(г) расходуется на испарение жидкости РЧт (г) и на

Эг

У

Граничное условие (8) - уравнением баланса массы вещества - условие сушки влажных дисперсных сред в данном случае.

Коэффициенты системы уравнений и граничных условий - постоянные (усредненные) величины, различные для различных этапов процесса.

Для определения зависимости потока массы вещества от времени в заводских условиях был поставлен эксперимент по протеканию процесса термической обработки колбасных изделий под действием радиационного нагрева. В результате аналитической обработки была получена следующая зависимость удельного потока массы вещества от времени:

чт М = Мо е - к2 {Т)

где ^2 - эмпирическая постоянная - коэффициент сушки, 1/с.

(9)

Аналогично была найдена зависимость q(т).

Поставленная краевая задача (1) - (8) решена методом последовательного применения конечного интегрального преобразования Ханкеля [3-5] и интегрального преобразования Лапласа [3].

Распределения полей температуры и влагосодержания в безразмерном виде при отмеченных допущениях получены в следующем виде:

^0 (МпХ) / Р^

Т (X, Рв ) = 2

| Щ (X) J0 (цХ )йх +1 - е~Рй1рв

2 I .. 2 Рй^

Ьи ) -рй^Ев еКвРй2

=1 'Л (тп ) 1Мп Рй1

г \

т1ЬиРв Ьие~т”рв

е

- рй1Ев — е~Мпрв

+

(Мп2 - Рй2 )

Мп -

Р^2

Ьи

Ьи-1

е

Мп

- Рй2 Мп2 - Рй2

Ьи

)

в( X, Ев)=2£

^2 2 И=1 У 2 -У1

Т______е - ь-м1п1 Рв

(10)

(11)

где

ааТ

Рв =- ?

Ьи = ат-

К критерий гомохронности (число Фурье);

а

Кв =

« критерий

гАи

СЧА

число

(число Лыкова) взаимосвязи массо- и теплопереноса;

- числа Предводителева (теплообменное и

1 1 То = \ ХР1( X) J о(МпХ )йх во = \ ХР2(Х) J о(МпХ )йх

Коссовича;

массообменное).

г, = РпТо + (У - 1)во, где

у =-

г 2

в+(- 1Г^ - Ь-

л

, где

а = 1 + -1 + еКвРп Ьи

Мп

последовательные положительные корни уравнения

Jl(М) = о

о

2

о

о

1

J (z) J (z)

°w и iv / _ функции Бесселя от вещественного аргумента z первого рода и нулевого порядка соответственно.

Литература.

1. Афанасов Э.Э., Николаев Н.С., Рогов И.А. и др. Аналитические методы описания технологических процессов мясной промышленности. - М.: Мир, 2003. - 184 с.

2. Бражников А.М. Теория термической обработки мясопродуктов. - М.: Агропромиздат, 1987. - 271 с.

3. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. - М._Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 536 с.

4. Снеддон И. Преобразование Фурье. - М.: Изд_во иностранной литературы, 1955. - 667 с.

5. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. - М: Изд_во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 228 с.

Mathematical description of heat and mass transfer in heat treated sausage goods

B.A. Voronenko DSc, V.V.Pelenko DSc, V.V.Starikov graduate student

Saint-Petersburg State University of Refrigeration & Food

Engineering

To describe heat and mass transfer in a product that is a disperse system, a long sausage loaf is assumed to be analyzed not as an aggregate of isolated discrete particles but as a solid homogeneous and isotropic medium. On the basis of prerequisites a mathematical model of combined heat and mass transfer is proposed for heat treatment of a long cylinder sausage loaf.

Key words: capillary-porous bodies, heat treatment, heat and mass transfer, mathematical model, differential equation set, initial and boundary conditions