МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОРИОЛИСОВЫХ ВИБРАЦИОННЫХ ГИРОСКОПОВ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА Текст научной статьи по специальности «Физика»

An analysis of the digital control system of a complex multi-circuit object with a Von Neumann type controller was carried out. General analytical models of the functioning of the control object and the process of data processing by the digital controller are obtained. It is shown that the transfer functions obtained from the analytical description of the processing of discrete data by the controller can be combined with the transfer functions obtained from the analytical description of the control object into a general transfer function of a closed multi-circuit control system for complex objects. A typical structural scheme and an analytical mathematical model of the system functioning have been developed, taking into account the time delays between transactions caused by the sequential interpretation of the operators of the control algorithm and the random nature of the processed data. It is shown that time delays between transactions lead to the appearance of both.

Key words: digital control system, von Neumann controller, control algorithm, semi-Markov process, delay, closed system, transfer function.

Larkin Eugene Vasilyevich, head of chair, doctor of technical science, professor, elarkin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Privalov Aleksandr Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov. 61@mail. ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University. L.N. Tolstoy

УДК 531.383

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-9-304-311

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОРИОЛИСОВЫХ ВИБРАЦИОННЫХ ГИРОСКОПОВ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

В.В. Матвеев, М.Г. Погорелов, В.В. Лихошерст, А.В. Каликанов, М.Д. Кирсанов, Д.С. Стрельцов

Дана классификация кориолисовых вибрационных гироскопов (КВГ). Приводится математическая модель КВГ в форме дифференциальных уравнений, передаточных функций и структурной схемы по огибающим амплитуд колебаний чувствительного элемента. Рассматриваются частные решения математической модели КВГ при постоянстве угловой скорости основания в общем случае и при условии резонансной настройки. Показано, что амплитуды установившихся первичных и вторичных колебаний чувствительного элемента КВГ описываются нелинейной функцией угловой скорости основания. Приводятся результаты моделирования огибающих амплитуд первичных и вторичных колебаний ЧЭ при резонансной настройке.

Ключевые слова: кориолисов колебательный гироскоп, математическая модель, огибающая колебаний.

Научные и технические проблемы информационно-измерительных и управляющих систем подвижных объектов наземного, морского и воздушно-космического базирования связаны с разработкой и внедрением конкурентоспособных образцов датчиков первичной информации параметров движения, а также систем ориентации, стабилизации и навигации на их основе. Информационно-измерительные системы подвижных объектов помимо заданной точности должны удовлетворять целому ряду технических требований, наиболее существенными из которых являются: ограничения по массе, габаритам и потребляемой мощности; малое время готовности; минимизация количества подвижных узлов; высокая надежность; невысокая стоимость.

Данные требования позволяют удовлетворить кориолисовые вибрационные гироскопы (КВГ), выполненные по кремниевой технологии микро-электромеханических систем (МЭМС), либо высокоточной обработки металла или кварцевого стекла. Если разработка МЭМС-КВГ в России ведется с некоторым отставанием от зарубежных компаний, то развитие КВГ с объемным резонатором, так называемых волновых твердотельных гироскопов (ВТГ), в последнее время достигло определенных успехов [1].

Кориолисовый вибрационный гироскоп (КВГ) - устройство, содержащее материальный объект, который совершает быстрые периодические движения, и чувствительное вследствие этого к вращению в инерциальном пространстве [2]. Следуя стандарту IEEE 1431-2004 Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Coriolis Vibratory Gyros [3] материальным объектом - носителем быстрых периодических движений может быть вибрирующие пластины (vibrating plates) (рис. 1), вибрирующие балки (vibrating beams) (рис. 2), вибрирующие оболочки (vibrating shell) (рис. 3), камертоны (tuning fork) (рис. 4).

Возбуждаемые в носителе быстрых периодических движений (резонаторе) колебания называются соответственно первичными колебаниями. При возникновении угловой скорости основания возникают кориолисовы силы инерции, которые приводят к возникновению вторичных колебаний резонатора.

LL-типа

Рис. 1. Гироскопы в форме вибрирующих пластин

В зависимости от формы первичных и вторичных колебаний линейных (linear) или вращательных (rotary) гироскопы в виде вибрирующих пластин разделяются на гироскопы LL-типа, LR-типа, RL-типа RR-типа (рис. 1.) [5].

Вторичные колебания

Первичные колебания

Первичные колебания

Вторичные колебания

Рис. 2. Гироскопы в форме вибрирующих балок

МЭМС-гироскопы, как и кориолисовые вибрационные гироскопы в целом имеют ряд контуров управления, таких как автоматическая настройка усиления амплитуды возбуждения, настройка частоты вибрации на резонансной частоте, обнуление квадратурной составляющей и т.д. В КВГ прямого измерения (с разомкнутым контуром) движение чувствительного элемента (ЧЭ) непосредственно преобразуется в электрический сигнал, который далее демодулируется и после соответствующей обработки непосредственно выдается на выход прибора. В компенсационных КВГ реализуется силовая обратная связь компенсирующая движение ЧЭ. В этом случае информация об угловой скорости основания считывается с обратной связи.

Полусферический резонатор

Кольцевой резонатор

Цилиндрический резонатор

L \утовая

"^Дскорость

Рис. 3. Гироскопы в форме вибрирующих оболочек

Первичные колебания

Вторичные колебания

Рис. 4. Камертонный гироскоп

Математическая модель КВГ. Математическая модель КВГ может быть сведена к системе двух дифференциальных уравнений, описывающих соответственно первичные и вторичные колебания [6]:

Х1 + 2^ш01 Х1 + ш° х1 = /0sin vt + 2К1Ох0 + N¿1 . Х2 + 2^ш00 Х2 + ш;°2 х2 = -2 К2Ох1 - М20,.

(1)

где х1, х0;

ш

01'

ш 02 - фазовые координаты и собственные частоты колебаний чувствительного элемента

в режиме первичных и вторичных колебаний соответственно; Е - относительный коэффициент демпфирования; О - угловая скорость основания; К1, К2 - коэффициенты кориолисового ускорения; /0, V -удельная амплитуда и частота возбуждения исполнительных элементов (актюаторов); N, N2 -коэффициенты углового ускорения.

Обычно упругий подвес КВГ стремятся сделать таким, чтобы частоты собственных колебаний совпадали (ш01 = ш02 = ш0), тогда при постоянстве угловой скорости основания математическую модель КВГ можно представить в виде

.. 2

Т

т'

ш о х1 = /о sin vt + 0К1Ох2

®о х2 = -0К2ОХх1,

(2)

где Т - постоянная времени, определяемая соотношением

т = од / ш0, (3)

где д = 1/ (2Е) - добротность колебательного контура.

Частное решение системы уравнений (2) при постоянстве угловой скорости основания (О = 0), характеризующее установившиеся колебания, имеет вид

х^о)=.а ^(у -ф1),

хуст (V) = х2а cos(vt -ф2),

где амплитуды и начальные фазы установившихся колебаний определяются следующими зависимостями:

ха =

/0^(ш2 -V2)2 + 4ш0/ Т2

Б

2К о /рУО Б '

Т(®2 - v2)[(ю2 -V2)2 - 4ККоО^2 + 4v2 /Т2]

2. .2

ф1 = -агс^

ф2 = -arctg

Ош0[4К1К2О2у2 + (ш2 - V2)2 + 4v2 /Т2] 4(ш0 - v2)v / Т

(4)

(5)

(6) (7)

4ККгО^2 - (шО - v2)2 + 4v2 / Т2 В соотношениях (4), (5) обозначено

О 0ч0 4ш

Б = . (шО-vО)О +

Т0

-8 К1К0О 0

( 4щ!

Т0

- (шО -v0)0 + 2К1К0О0у0

Для повышения чувствительности КВГ к измеряемой угловой скорости осуществляют резонансную настройку, которая обеспечивается при равенстве собственной частоты ш0 частоте возбуждающего воздействия v со стороны исполнительных элементов. При условии резонанса (ш0 = V) амплитуды первичных (4) и вторичных (5) колебаний приобретают вид:

Т/0

ха =

2ш0(1 + пО0)' Т2 К 2/0 О 0ш0 1 + пО2'

(8)

(9)

где п = К1К0Т0, [с2].

Из соотношений (8), (9) следует, что амплитуды установившихся первичных и вторичных колебаний ЧЭ описываются нелинейной функцией угловой скорости основания О. Начальные фазы в условиях резонанса обращаются в ноль (ф1 = ф0 = 0), поэтому в идеальном случае вторичные колебания ЧЭ происходят в фазе с первичными.

2

ха =

2

Для иллюстрации нелинейной зависимости амплитуд первичных и вторичных колебаний ЧЭ на рис. 5 приведены результаты моделирования для параметров КВГ: /0 = 0,1 м/с2, у = ш0 = 6000Гц, 0 = 30000 (§ = 0,00001667), К1 = К2 = 0,4 (КВГ с цилиндрическим резонатором), Т = 1,6 с.

-300

300

Угловая скорость, градус/с

Рис. 5. Зависимость установившихся амплитуд первичных и вторичных колебаний КВГ

Таким образом, по мере возрастания угловой скорости О амплитуда первичных колебаний снижается. При этом амплитуда вторичных колебаний возрастает при достижении некоторой угловой скорости От, а затем начинает снижаться. Анализируя соотношение (9) на экстремум, нетрудно установить, что амплитуда вторичных колебаний ЧЭ максимальна при угловой скорости основания

О =-1. = т 4п Т^КК

2

Если основание вращается с угловой скоростью От определяется так:

Т

V

К2 {

К ; 0

4у

(10)

то амплитуда вторичных колебаний

(11)

Приравнивая правые части соотношений (8) и (9) друг к другу можно установить, что при угловой скорости основания От амплитуды первичных и вторичных колебаний будут равны, т.е.

ха = ха •Л"! л 2

О = О,

при т

Из соотношений (8) (9) также следует, что отношение амплитуды вторичных колебаний к амплитуде первичных колебаний соотносятся следующим образом:

= ТК 2О,

< 2

(12)

которое линейно зависит от угловой скорости основания.

Таким образом, при работе КВГ прямого измерения в качестве информационного параметра, функционально зависящего от угловой скорости основания, целесообразно использовать не амплитуду сигнала вторичных колебаний, а отношение амплитуд вторичных колебаний к первичным.

Математическая модель КВГ по огибающим колебаний ЧЭ. Известно [4 - 6], что огибающая амплитуд первичных колебаний ЧЭ в резонансном режиме описывается передаточной функцией апериодического звена первого порядка

Щ°г( з) = Х1°г( = Т

(13)

/0( з) 2ш0(Тз +1)

В силу симметрии дифференциальных уравнений (2), передаточную функцию по огибающей амплитуд вторичных колебаний ЧЭ аналогично представим в виде

Ж°г( з) =-^^-=-Т----(14)

2 -2 К2Ох°г( з) 2у(ГЗ +1)

Учитывая, что операции дифференцирования сигнала для огибающей соответствует умножению на частоту V, структурную схему КВГ для случая резонансной настройки по огибающим амплитуд колебаний ЧЭ представим в форме, приведенной на рис. 6. Структурная схема соответствует случаю постоянства угловой скорости основания и резонансной настройки по контуру первичных и вторичных колебаний.

/о

О

-2К2У

Т =

2е

—►

ог

х2 —►

Рис. 6. Структурная схема КВГ для огибающих амплитуд первичных и вторичных колебаний ЧЭ при резонансной настройке

Структурная схема КВГ в соответствии с рис. 6 позволят проводить анализ КВГ без высокочастотной несущей колебаний ЧЭ и отличается от результатов работ [6 - 8] наличием перекрестной обратной связи от контура вторичных колебаний к контуру первичных колебаний, что более достоверно отражает динамику КВГ. На рис. 7 - 9 приведены графики переходных процессов огибающих амплитуд первичных и вторичных колебаний КВГ, а также их отношение при К1 = К2= 0,4, Т = 1,6 с, V = ш0 = 6000 Гц в зависимости от угловой скорости основания, полученные на основе моделирования по структурной схеме на рис. 6.

К

2,5

2 1'5 И

0,5

----10 °/с ---50 °/с --100 °/с ----150 °/с ...........200 °/с

----

> .—' - ^

/ ' ч

г

4 5 6

Время, с

8 9

10

Рис. 7. Переходные процессы огибающих амплитуд первичных колебаний при вращении ЧЭ

с различными угловыми скоростями

2

0

2

3

7

Анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод об увеличении колебательности переходного процесса огибающей с возрастанием угловой скорости основания О. Передаточные функции по огибающим первичных и вторичных колебаний при одновременном воздействии угловой скорости О и возбуждающего сигнала /0 имеют вид:

И

<ч К

1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

шг^) =

Т Т+1)

хГ( л) =_

») 2v[(Ts +1)0 + пО0]

оУ' /0( л) 2v[(Ts +1)0 + пО0] ---10 °/с ---50 °/с -100 °/с ..........150°/с ..........200 °/с

/V _ - ---- "-........

/ / у Л'........ ""

; ✓ *

//у / ✓ / ✓ ✓ /

В/ ' ¿V * —-

4 5 6 Время, с

10

(15)

(16)

Рис. 8. Переходные процессы огибающих амплитуд вторичных колебаний при вращении ЧЭ

с различными угловыми скоростями

0

2

3

7

8

9

----50 °/с

---100 °/с

150 °/с

2

3

7

8

10

4 5 6 Время, с

Рис. 9. Отношение огибающих амплитуд колебаний

Переходные характеристики, полученные по передаточным функциям (15), (16), при постоянстве угловой скорости основания и возбуждающего воздействия /0 имеют вид

,ог ^ _ /0Т

х- (V) =

2^

2v(1 + пО ) - /0Т2 К оО,

[1 -е Т ^(д/КК^) + ^К\К2Ое Т К\К2Оt)],

х°г^) = -10' "О0 [1 - е Т ^(ТК*^)

0v(1 + пО)

Л/К1К 2 ОТ

е Т sln(Л/К\К2Оt)]..

(17)

(18)

t

t

1

Из соотношений (17), (18) следует, что частота затухающих колебаний огибающей амплитуд определяется произведением 2 Q. Если, например, Kx = K2 = 0,4, а угловая скорость вращения

основания составляет 150 °/с, то частота колебаний огибающей составляет 0,167 Гц.

Заключение. Приведенное математическое описание позволяет исследовать характеристики проектируемого КВГ. Показана нелинейная зависимость амплитуд первичных и вторичных колебаний чувствительного элемента КВГ в зависимости от угловой скорости основания. Структурная схема по огибающим амплитуд колебаний ЧЭ позволяет исследовать КВГ без учета высокочастотной несущей колебаний. Установлено, что с увеличением угловой скорости основания возрастает колебательность огибающих амплитуд колебаний для КВГ прямого измерения. Даны аналитические зависимости для огибающих колебаний ЧЭ.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственного задания по теме «Развитие теории инерциальных датчиков первичной информации для навигационных систем высокоманевренных летательных аппаратов (FEWG-2022-0002)».

Список литературы

1. Волновой твердотельный гироскоп с металлическим резонатором / Под ред. В.Я. Распопова. Тула: Издательство ТулГУ, 2018. 189 с.

2. Сборник научно-нормативной терминологии. Гироскопия. Терминология. М.: Институт проблем передачи информации РАН. 1994. Выпуск 118. 38 с.

3. IEEE Std 1431-2004. Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Coriolis Vibratory Gyros / IEEE Aerospace and Electronic Systems Society, 2004. 69 p.

4. Lynch D. D. Vibratory gyro analysis by the method of averaging/ In: Proceedings of the 2nd St. Petersburg conference on gyroscopic technology and navigation. St. Petersburg. 1995. P. 26-34.

5. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учебное пособие. М.: Машиностроение, 2007.

400 с.

6. Кучерков С.Г. Использование интегрирующих свойств вибрационного микромеханического гироскопа с резонансной настройкой для построения датчика угловой скорости компенсационного типа / С.Г. Кучерков // Гироскопия и навигация. 2002. №2. С.12-18.

7. Информационные характеристики микромеханических гироскопов на основе кремниевой технологии микроэлектромеханических систем / Л.А. Северов, С.К. Золотарев, Н.А. Овчинникова и др. // Изв. вузов «Приборостроение». 2011. №8. С. 12-22.

8. Информационные характеристики микромеханического вибрационного гироскопа / Кучер-ков С.Г., Несенюк Л.П., Шадрин Ю.В. и др. // Гироскопия и навигация. 2002. №2. С. 12 - 18.

Матвеев Валерий Владимирович, д-р техн. наук, доцент, ведущий научный сотрудник, mat-weew.valery@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Погорелов Максим Георгиевич, канд. техн. наук, заведующий лабораторией, mgpogoreloff@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лихошерст Владимир Владимирович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, lvv_01 @inbox.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Каликанов Алексей Владимирович, младший научный сотрудник, kalikanov.aleksei@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Кирсанов Максим Дмитриевич, младший научный сотрудник, KirsanovMD@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Стрельцов Дмитрий Сергеевич, лаборант-исследователь, 30st01@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MA THEMA TICAL DESCRIPTION OF CORIOLIS VIBRA TION GYROSCOPES BY THE METHOD OF ENVELOPES OF OSCILLATION AMPLITUDES OF THE SENSING ELEMENT

V.V. Matveev, M.G. Pogorelov, V.V. Likhoshurst, A.V. Kalikanov, M.D. Kirsanov, D.S. Streltsov

The classification of Coriolis vibrating gyroscopes (CVG) is given. A mathematical model of the CVG is presented in the form of differential equations, transfer functions and a block diagram for the envelopes of the amplitudes of the oscillations of the sensitive element. Particular solutions of the mathematical model of the CVG are considered at a constant angular velocity of the base in the general case and under the condition of resonant tuning. It is shown that the amplitudes of the steady primary and secondary oscillations of the sensing

310

element of the CVG are described by a non-linear function of the angular velocity of the foundation. The results of modeling the envelope amplitudes of the primary and secondary oscillations of the SE with resonant tuning are presented.

Key words: coriolis vibrating gyroscope, mathematical model, oscillation envelope.

Matveev Valery Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, leading researcher, mat-weew.valery@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pogorelov Maxim Georgievich, candidate of technical sciences, head of the laboratory, mgpogore-loff@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Likhosherst Vladimir Vladimirovich, senior researcher, lvv_01@inbox.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kalikanov Alexey Vladimirovich, junior researcher, kalikanov.aleksei@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kirsanov Maxim Dmitrievich, junior researcher, KirsanovMD@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Streltsov Dmitry Sergeevich, laboratory assistant, researcher, 30st01@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 517.87

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-9-311-316

АЛГОРИТМЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ (СЕТИ ФЕЙСТЕЛЯ)

А.Л. Куленцан, С.В. Ситанов

В данной статье показаны основные методы и средства защиты данных. Приведен пример реализации программы шифрования и дешифрования использующие сети Фейстеля. Отмечается, что данные алгоритмы имеют преимущества, по сравнению с другими методами шифрования.

Ключевые слова: методы, защита данных, сети Фейстеля, шифрование, дешифрование.

Вопросы и проблемы, связанные с информационной безопасностью, в настоящее время, являются одними из ключевых для любого государства. На их решение тратятся не только большие денежные, но и физические ресурсы. Защита информации - это обеспечение целостности [1], конфиденциальности и доступности информации, передаваемой или хранимой в какой-либо форме. Информацию необходимо защищать от нарушения её целостности и конфиденциальности в результате вмешательства нелегального пользователя [2]. В ГОСТе Р 50.1.056-2005 были приведены следующие понятия: Доступность представляет собой такое состояние информации, при котором субъекты, имеющие права доступа, могут реализовать их свободно. Конфиденциальность представляет собой такое состояние информации, при котором к ней доступ выполняет только субъект, имеющий на него право. Целостность представляет собой такое состояние информации, при котором никакого изменения не происходит, либо изменение происходит только преднамеренно субъектами, которые имеют на него право [3].

Основные методы и средства защиты данных представлены на схеме 1 [1]. Так, например, криптографические методы по области применения подразделяются на методы общего использования и ограниченного использования, по особенностям алгоритма шифрования на одноключевые (симметричные), двухключевые (асимметричные) и комбинированные (составные), по количеству символов сообщения, шифруемых или расшифровываемых по однотипной процедуре преобразования на потоковые и блочные, по стойкости на совершенные, практически стойкие и нестойкие [4-6].

Шифры перестановки и замены имеют свои плюсы. Однако для того чтобы построить безопасную криптосистему лучше всего воспользоваться объединением данных способов шифрования. Способ объединения нескольких криптографических функций получил название продукционного шифрования. Примером такой системы является шифровальная машина военного времени «Enigma» ("Загадка"), в которой ряд кодовых колес переставлял и преобразовывал символы сообщения в кодовые символы. Огромное количество современных коммерческих способов шифрования основаны прежде всего на проведении большого количества сравнительно простых преобразований и перестановок, которые и образуют безопасную систему [7, 8].