Математическое описание движения жидкости в трубопроводе с учетом распределенности параметров Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 628.1

Н. А. Автушенко, Г. С. Леневский, канд. техн. наук, доц.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ

Рассмотрено математическое описание движения воды в системах магистральных трубопроводов, основанное на уравнении неразрывности среды, системы уравнений Навье-Стокса.

Полученный математический пакет описывает систему с распределенными параметрами и выполнен, исходя из условия динамического равновесия в точке потока, с учетом зависимости от характера течения потока и физических свойств среды. Расчет выполнен с использованием функций Бесселя. Методика расчета гидродинамической составляющей движения воды в системах магистральных трубопроводов носит универсальный характер и может быть использована при расчете, моделировании, оценке устойчивости гидравлических систем теплоснабжения и водоснабжения, а также для описания рабочего органа при построении систем управления гидравлическими параметрами схем тепло-, водоснабжения со значительной протяженностью трубопроводов.

Введение

Для решения конкретных задач в магистральных системах водоснабжения могут быть использованы квазиодномерные модели неустановившихся потоков. В таких моделях состояние потока рабочей среды в каждый момент времени характеризуется усредненными по сечению значениями давления, скорости и плотности, при этом в уравнения вводятся, полученные при усреднении по сечению потока перечисленные гидродинамические величины с коэффициентами количества движения, кинетической энергии и гидравлического сопротивления. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что мгновенные коэффициенты усреднения гидродинамических величин отличаются от квазистационарных значений [1].

Линейная математическая модель неустановившегося движения

жидкости в трубе

При течении жидкости удовлетворяется условие сплошности среды, полученное при выделении элементарного объема с неоднородной средой р = /(.X, у, 2 $ [3].

I р

В Тр

Уравнение неразрывности среды в декартовой системе координат имеет вид:

др + д(рих) + д(риг) + д(ри2) = 0 дї дх ду дг

Скорости деформации частицы в момент ее прохождения через точку 0 с координатами х, у, г нормальны к поверхности второго порядка

X = -У = -■ 7 = -

д и ( х, у, г ) ;

д х ’

д и ( х, у, г ) ;

ду ’

д и ( х, у, г ) дг ’

где и = /(.х, у, г) - потенциальная функция.

Квадрат скорости течения жидкости в точке в данный момент

2 2,2,2 и — и х + Му + и^ .

В этой системе скорости деформации частицы направлены вдоль ее осей.

Форма поверхностей, ортогональных скоростям деформации и напряжениям в точке, не зависит от выбранной системы координат, следовательно, зависимость напряжений (о1, а2, о3,) от частных производных соответствующих составляющих скорости примет вид:

СГ1 — 2^

дих

ди

а2— 2^~дг;

ду

<т3 — 2и

дМг

дг

Т — 2ив1 — и

диу ди

+ ■ 2

дг ду

Т2 — 2цв2 — и

V ^ ^ У

гди ди Л

X ______2_

т3 — 2цвъ — и

дг

диу ди

дх ду

где и - динамическая вязкость движущейся жидкости.

Рассмотрим вопрос определения сил, возникающих в точке потока за счет вязкости для течения ньютоновской жидкости. Пусть проекция на ось 0х сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке координатами х, у, г:

дох дт3 дт2

дх ду дг

— и

2 д2 и + д

2—X +—

дх 2 ду

диу ди

у + '

л

дх ду

+ •

д

дг

дих ди„

+

дг ду

Дифференцируется уравнение неразрывности по х, получим:

д

дх

дих ди ди„

V

дх ду дг

или

у

д (дих ^ д 1 со а* д

дх к дх у дх V ду дг у

Тогда проекция сил на оси 0х, 0у, 0г, возникающих за счет вязкости жидкости, равна:

и

д2 их д2 их д2 их

X + X + X

2

2

дх2 ду

2

дг

2

и

д2 и„ д2 и„ д2 и„

-+•

-+■

ду дг

и

■+■

- + ■

ду2 дг2

2

2

Уравнения Эйлера примут вид:

ди

X

дt

диу

+ и

ди

'X

X

дt

ди2

+и

X

дt

+и

X

дх

диу

дх

ди2

дх

+и

ди

X

+и

+и

ду

диу

ду

дщ

ду

+и

ди

X

дг

+и

+и

диу

дг

ди2

дг

-1Ф+X+и

р дх 1 др

д2 их + д2 их + д2 их

-----+У + и

рду р

-1 ?р+2 + и

р

р|_ дх~ ду2 дг2

д2 и д2 иу д2 иу

+

дх1 ду

+

дг2

р дг

д2 иг д2 иг д2 и„

+

дх1 ду

+

дг2

Полученная система уравнений носит название Навье-Стокса [2].

Эта система уравнений описывает условия динамического равновесия в точке потока при условии замены реальной жидкости среды сплошной средой, в которой напряжения не являются нормальными к площадкам, на которых они возникают. Значения производных, характеризующие наличие дополнительных, кроме давления напряжений, зависят от характера течения потока и физических свойств среды.

От общей системы уравнений перейдем к цилиндрическим координатам, т.к. рассматривается трубопровод.

При описании неустановившегося движения рабочей среды в цилиндрической круглой трубе поток считается осесимметричным с достаточно малыми изменениями температуры и давления для того, чтобы вязкость среды могла приниматься постоянной. Объемная вязкость среды при исследуемых процессах может не учитываться. При сделанных предположениях уравнение (2) описывается в цилиндрических координатах, ось х которых направлена по оси трубы, а координата г измеряется по радиусу поперечного сечения трубы, приводится к двум уравнениям Навье - Стокса:

■ + м„

дих дt

ди

—- + иг—^

дt дх

дМх

дх

диг

+и

+и

дих

дг

диг

дг

1 др

+ у

4 д2их д2их 1 дих 1 д

р дх

1 др

---------— + V

р дг

3 дх2

+

+

+

дг г дг 3 дх

диг + мг_ дг г

4 д2иг 4 диг 4иг д

+

+

+

3 дг Зг дг Зг дх

1 дих и„

З дг

■ + —

х

(5)

, (6)

где их, иг - проекции скорости на оси х и г.

Третье уравнение Навье-Стокса, содержащее угловые координаты, в данном случае исключается благодаря предположению об осесимметричном течении. Уравнение (5) в цилиндрических координатах имеет вид

др -------+ р

дt дг

диг и„ ди х др др

+ р—+ р—- + Мг —— + Мх —— — 0.

• • --ч г ^ х --ч

г дх дг дх

(7)

Систему уравнений (5)...(7) можно упростить, если пренебречь членами, порядок которых значительно ниже порядка удерживаемых в уравнениях членов. Неустановившееся движение вязкой сжимаемой среды в трубе описывается системой, состоящей из двух уравнений:

дМ х дt

1 др р дх

+ V

д2их 1 дих 1 д (ди

дг г дг З дх

дг

и

г +___г

л

(8)

г

др диг иг дих

— + р—- + р— + р—- = 0. ді дг г дх

(9)

Плотность, входящая в коэффициенты уравнений, является величиной постоянной.

Умножив (8) и (9) на 2лт& и проинтегрировав в пределах от г = 0 до г = г0, получим:

д го 1 д го го

— 12лги х йг =-----------------------1 Іжгрйг + V12пг

ді о р дх о о

д и х 1 дих л V д (ди и Л

—2т + ~ х аг + 2пг г | г

дг г дг 3 дх о кдг г у

йг; (1о)

д_

ді

'0 '0

12жжрйг + р12жж

диг + иг дг г

д0

йг + р — 2жжи йг = 0. дх х

(11)

Производную от скорости их по г при г = г0 можно связать с нестационарным касательным напряжением на стенке трубы тОН, используя закон вязкого трения

'о

ТОН = -р ■у |2п

ди

X

дг

(12)

Если труба абсолютно жесткая, то значение иго будет равно нулю. При наличии деформации стенок трубы иго определяется скоростью деформации стенок трубы:

дго

иг =^т

о ді

Приращение йг0 выражено через приращение напряжения в стенке трубы:

йгп

Е

-йа,

(13)

ст

где Ест - модуль упругости материала стенки. Так как и = рг0/б, то

йа

др дго

др

+ Р

ді

йі.

(14)

Используя интегралы и вышеперечисленные преобразования, уравнение (1о)

2

после деления всех его членов на пго приведем к виду:

ди = 1 др 2тон + 2уг„ д2р

ді р дх рго 38Ест дхді

(15)

где и = Q / пг02 - средняя по сечению трубы скорость среды в рассматриваемый момент времени.

Для выяснения влияния последнего члена правой части уравнения (15) запишем его в виде:

г

г=г

о

г

о

г

о

ди _ 1 д

д? р дх

Г Р 2руГо др^ 2тон

Р-----------------------

Ъ8ЕСТ д?) рг0

(16)

При принятом выше масштабе времени, определяемом как 1/с0, некоторые члены уравнения (16) будут пренебрежимо малой величиной.

При этом уравнение неразрывности (9) после деления на пг02 приводится к виду:

др 2рг0 др ди .

— + ——— + р----------------------------------------------_ 0. (17)

д? дБСт д? дх

Исключив из уравнения (17) производную др/д?, уравнение примет вид:

ди 2тОН 1 др ди 1 др

— + —---------------; —_--------------------, (18)

д? рг0 р дх дх ВтР д?

где ВтР - приведенный модуль упругости трубы;

о _ В 111 5ЕСт

Втр о ; — + ; Е ст — . (19)

1 + 20В Втр В Е'ст Ст 2г0 v ;

<Е

и^ст

Таким образом, для неустановившегося ламинарного движения сжимаемой среды в упругой цилиндрической трубе круглого сечения имеем систему уравнений (13) и (14). Эти уравнения применимы и в случае неустановившегося турбулентного движения среды, если неизвестные величины считать усредненными по Рейнольдсу, что будет допустимым, когда характерное время исследуемого процесса значительно превышает временной масштаб турбулентных пульсаций. В уравнение (13), кроме р и и, входит нестационарное касательное напряжение на стенке тон трубы. Для получения замкнутой системы уравнений необходимо связать тон с и или с р. При установившемся движении среды ( ди/ дх — 0) касательное напряжение на стенке трубы в установившемся потоке тоУ полностью определяется перепадом давления на данном участке трубы. Величину тоУ можно вычислить по известному из гидравлики соотношению

_ А 2

ТОУ(г—00) 8 риУ ,

где А - коэффициент сопротивления трения трубы при установившемся движении среды; и у - средняя по сечению скорость в установившемся потоке.

Квазистационарное значение касательного напряжения тоу КС на стенке трубы в неустановившемся потоке принимается равным тоу, когда мгновенная средняя по сечению скорость V равна vу, т. е.

тоу КС —Ас р°2, (20)

где АКС - квазистационарный коэффициент сопротивления трубы, равный А при

иу.

При ламинарном потоке, для которого А = 64/Яе

и = Оу

4рv

тОУ КС — и. (21)

г0

Соотношение (21) можно получить также по уравнению (12), принимая параболическим закон распределения местных скоростей по сечению трубы. Следовательно, величина тон в уравнении (18) может быть заменена квазистационарным значением тоу КС только при условии, что действительное распределение местных скоростей по сечению потока мало отличается от квазистационарного. В реальном неустановившемся потоке закон распределения местных скоростей может существенно отличаться от квазистационарного. Например, при колебаниях ламинарного потока среды в круглой трубе изменение местных скоростей в пристенных слоях опережает во времени изменение местных скоростей в центральных слоях [1].

Вследствие изменения закона распределения местных скоростей по сечению потока значения тон в действительности отличаются от тоу кс. Так как величина тон изменяется по времени, связь ее со средней по сечению скоростью V среды следует искать в виде дифференциального уравнения или в виде динамических характеристик, принятых в теории автоматического регулирования и управления. При линейной модели неустановившегося течения наиболее полное представление о зависимости тон от V можно получить с помощью передаточной функции.

^')—й’ <22>

где т(8) и и (б) - изображения по Лапласу нестационарного касательного напряжения на стенке трубы и средней по сечению потока скорости среды соответственно.

Для определения передаточной функции (21) воспользуемся уравнением (8), пренебрегая в нем теми членами, которые, как было показано выше, являются малыми. В результате имеем:

дих 1 др

-----—--------------+ у

дх г дх

д и х + 1 ди х

дг2 г дг

(23)

Такое же уравнение можно получить, если среду считать несжимаемой и по-прежнему рассматривать ее движение в круглой цилиндрической трубе за пределами начального участка. Далее используем только уравнения (18), (23) и закон вязкого трения, поэтому полученная зависимость тон от и будет справедливой для несжимаемой и сжимаемой среды в пределах допущений, принятых при выводе указанных уравнений.

Если величины их р и и принять за отклонения от значений, соответствующих установившемуся течению среды, то после преобразования по Лапласу уравнения (23) при нулевых начальных условиях получим

д 2их 1 дих (^) тх (?)

ТТ- +-------дг2-----— — ^х СО, (24)

дг р дг V

где ^ - переменная в преобразовании Лапласа; их(&) - изображение по Лапласу местной скорости их; рх - изображение по Лапласу др / дх.

Решение уравнения (2 4) имеет вид:

их (*) = С1-0

рх (5) р

(25)

где

У

- функции Бесселя нулевого порядка соответственно

первого и второго рода; С и С2 - постоянные интегрирования [3]. В соответствии с законом вязкого трения

т = -ру-

ди±

дг

(26)

можем записать в изображениях по Лапласу следующее соотношение:

дих(5 )

т( 5 ) = -ру

дг

(27)

Продифференцировав функцию (13) по г и подставив результат в соотношение (27), получим

т(5) = -

Рх (5)

РРХ (5)

І

|— Ґ

°1 У V

]г

(28)

Чтобы найти Тон($>), достаточно в формуле (19) принять г = г0. Полученное после этого выражение будет определять зависимость тоН($) от рх (5). Изображение

и = Q / 7П"0 можно заменить изображением и (5). Для этого выполняется

преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях, при г = г0 и с учетом соотношения (22) получена передаточная функция для касательного напряжения на стенке трубы в нестационарном потоке среды

jP(s) -Л

К (5) = ■

jГo•

V

2

jГ0

V

(29)

Передаточная функция (29) описывает обобщенный закон гидравлического сопротивления трения трубы при неустановившемся ламинарном течении среды.

Для упрощения решения применяем аппроксимированное уравнение. Это уравнение находится после разложения числителя и знаменателя передаточной функции (29) в степенные ряды с переходом к оригиналам тоН(Х) и и(1:) [4]. Уравнение имеет вид:

ш 2р ш £апПптон (I) = £ ЬпО^«),

(30)

0 П=0

V

0

п

(31)

С добавлением уравнения (30) система уравнений (18), (19) будет замкнутой и при заданных граничных условиях полностью описывает неустановившееся ламинарное движение вязкой сжимаемой жидкости в упругой трубе. При использовании уравнения (30) число членов в его левой и правой частях должно быть ограничено в соответствии с требуемой точностью расчета. В ряде случаев достаточно взять слева и справа первые два или три члена.

Большинство реальных периодических процессов в гидросистеме могут быть представлены суммой конечного числа гармонических составляющих (гармонические колебания). При колебаниях рабочей среды в трубопроводе или в каком-либо другом напорном канале распределение скоростей течения по сечению потока отличается от закона, описывающего это распределение в случае установившегося движения среды. Так, при колебаниях ламинарного потока жидкости в круглой цилиндрической трубе нарушается параболическое распределение скоростей, которое, как известно из гидравлики, является характерным для ламинарного установившегося движения жидкости в трубе [4].

В пристенных слоях жидкости скорости течения изменяются почти синфазно с изменением градиента давления вдоль трубы, в то время как в центральной части потока скорости течения отстают по фазе от градиента давления. Изменение закона распределения местных скоростей по сечению потока при неустановившемся движении среды в трубе сопровождается изменением диссипации энергии.

Динамические характеристики однородной линии круглого сечения

с упругими стенками

Динамические характеристики однородной линии круглого сечения с упругими стенками при движении вязкой сжимаемой среды можно определить с помощью уравнений (18) и (19) в частных производных, которые описывают процессы в линии с учетом распределенности параметров по ее длине. Проведя при нулевых начальных условиях одномерное преобразование по Лапласу этих уравнений и применив передаточную функцию (22), получаем

Решение системы уравнений (32) и (33) определяет для выбранного сечения линии мгновенные отклонения от установившихся значений давления и скорости среды. Каждая из этих величин будет представлять собой сумму одноименных с ней величин во фронте возмущения, распространяющегося по линии в прямом и обратном направлениях. Мгновенные отклонения давления и скорости среды, а также скорость распространения возмущения по линии зависят от свойств среды, жесткости стенок и гидравлического сопротивления линии. Влияние перечисленных

(32)

(33)

факторов на динамические характеристики линии учитывает операторный коэффициент распространения возмущений

ад=±

Б,

ТР

2Wтv( ^)

(34)

Знак для 5(5) принимают положительным, если возмущение распространяется в положительном направлении оси х. Для волны, распространяющейся

в отрицательном направлении оси х, знак принимают отрицательным.

При гармонических колебаниях среды коэффициент распространения принимает комплексную форму:

5(jо) = ±(3 + ]а). (35)

Входящие в соотношение (35) величины бив называют коэффициентом затухания и коэффициентом фазы соответственно. Коэффициент затухания характеризует уменьшение по длине линии амплитуды давления или амплитуды скорости среды в волне возмущения, распространяющегося по линии с фазовой скоростью сЛ = о/а .

На рис. 1 показана затухающая по длине линии волна давления,

распространяющегося в положительном направлении оси в моменты t0 и ^ +Ш.

р(иу

0

- бх

ёх=е ё1= а ^

л а

ёх= —лё1= уПЦ

аа

Рис. 1. Кривая изменения давления вдоль линии для двух близких моментов времени

Для вычисления величин б и а выполняется замена 5 = jо в соотношение (34):

^ С/'о) = а + ^ (36)

откуда

1

Б.

ТР

2 2Ьо

ро +

V

Г

Ь2 = -

0

2а о

г Б

0 ТР

откуда д + js = ■^b^-+jb1; д2 -в2 = Ь1; д2 +в2 = ^Ьх2 + Ь^.

Величины б и а определим, решив эти два уравнения, и подставив значения Ь1 и Ь2, получим

г,

0

1

д = о

р

Б.

ТР

1+■

2Ь

Рог0

+

2 2 2 Р ОГ0

2Ь

+----------1

Рог0

(37)

2

Е = 0

Р

Б.

ТР

/ \ 2 ^+_“

V Рог0 у

+

2 2 2 Р 0 г0

2Ь , +-----------+1

Р°г0

(38)

Формулы (37) и (38) показывают, что коэффициент затухания б и коэффициент фазы а зависят от частоты возникающих в линии колебаний, параметров линии Р, ВТР, г0 и от величин а и Ь. При колебаниях ламинарного потока величины а и Ь являются соответственно вещественной и мнимой частями амплитудно-фазовой частотной характеристики (37), поэтому

а

4ХаР

Ь =

(ХРР- 1)Ргс°

Ха =

(4о -л/0)о

(2-\/0 - 1)(4о - 2-\/0 +1)

(4о - 2л/0 +1)

где Ха, Хр, о - безразмерные коэффициенты.

Подставив эти значения, а также а и Ь в формулы (37) и (38), находим

б = £0

ХрР

2

1 +

г Л2

8хаУ

уХр°К у

+1

(39)

а = а

Хв

2

1 +

с л2

8Ха^

КХРР0Г1 у

+ 1

(40)

2

г

0

8 = 08,

Р

Бг

(41)

ТР

Для значений о > 10 формулу можно упростить, записав в следующем виде:

4Ха^

б

в = о

Р

(42)

II

ХрРР

В

(43)

ТР

2

г

0

Передаточные функции системы с распределенными параметрами

Продифференцировав уравнение (32) по х, исключив с помощью уравнения (33) производную йи(5)/^, и применив соотношение (34), получим

д рО)

ах2

Уравнение (44) имеет решение

52(5) р(5) = 0. (44)

Р(5, х) = С/'5)х - С2е5)х. (45)

Постоянные интегрирования С] и С2 определяются граничными условиями. Пусть х = 0, тогда

Зр( 5, х) 52(5) ВТР

дх 25

и1(5,0); (46)

С1 = р^О) -5^(5)Втр с2 = рХО)+ 5Ч5)БТР и( 0).

1 2 25 1 2 2 25 1

После подстановки выражений для С] и С2 решение (45) принимает вид:

р(5 х) = р1(5,0) (2(^)х + е-52(^)х)- 5 (5)Втри1(5,0) (е52(^)х _ е-»2(5)х) 2 2 5

(47)

Примем длину линии равной I и обозначим изображения по Лапласу давления и скорости среды в концевом сечении линии (х = I) соответственно р2, (б, I) и У2 (5, I). Тогда при х = I уравнение (47) может быть записано в виде гиперболических функций:

р2(5,х) = рх(5,0)• еН[3(5)1 ] -(52(^)Втр • и(5,0)/5)-5/г[5(5)/]; (48)

и2(5,1) = и1(5,0) • еИ[3(5)1 ] - (5 • рх(5,0)/52(5)ВТР )• 5^[5(5)/] . (49)

Заключение

Для описания гидродинамических систем с распределенными параметрами используется система уравнений (19), (31), (34), (47). Полученный математический пакет описывает систему с распределенными параметрами и выполнен, исходя из условия динамического равновесия в точке потока, с учетом зависимости от характера течения потока и физических свойств среды. Полученная методика расчета гидродинамической составляющей движения воды в системах магистральных трубопроводов носит универсальный характер и может быть использована при расчете, моделировании, оценке устойчивости гидравлических систем теплоснабжения и водоснабжения со значительной протяженностью трубопроводов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов, Д. Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем : учебник для вузов по специальности «Гидропневмоавтоматика и гидропривод» и «Гидравлические машины и средства автоматики» / Д. Н. Попов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Машиностроение, 1987. - 464 с. : ил.

2. Альтшуль, А. Д. Гидравлика и аэродинамика : учебник для вузов / А. Д. Альтшуль, Л. Д. Животовский, Л. П. Иванов. - М. : Стройиздат, 1987. - 414 с. : ил.

3. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - 13-е изд., испр. - М. : Наука, 1986. - 544 с.

4. Попов, Д. Н. Нестационарные гидромеханические процессы / Д. Н. Попов. - М. : Машиностроение, 1982. - 240 с.

Белорусско-Российский университет Материал поступил 15.02.2006

N. A. Avtushenko, G. S. Lenevsky Mathematical description of movement of water in systems of the main pipelines, as distributed parameter system

Belarusian-Russian University

The mathematical description of movement of water in systems of the main pipelines, based on the equation of indissolubility of environment, system of equations Navie-Stoks is considered.

The received mathematical package describes the distributed parameter system and is executed proceeding from a condition of dynamic balance in a point of a stream in view of dependence on character of current of a stream and physical properties of environment. Calculation is executed with use of functions Besselia.

Design procedure of a hydrodynamical component of movement of water in systems of the main pipelines has universal character and can be used at calculation, building models, an estimation of stability of hydraulic systems of a heat supply and water supply; procedure can be used for the description of the object of operation at construction of control systems in hydraulic parameters of the system of warm water and water supply with significant extent of pipelines.