CC BY
26
что противоречит принятому предположению (18).
Значит, при любом п план из класса С^ лучше другого плана того же объема. Поэтому оптимальный план X" надо искать в классе С¡¡¡,. Определим
п" < N"
для которого еще спра-
2ут _ „
Опре-
т.е. N"2--N" — — = y(N") < 0,
ср
объем оптимального плана X,
N"
найдем при
каком п< ЛРменяет знак разности
мХ"„ — мХ"„_, = ДМП;Х; е с"; хи е си.
vT+ пс[2 + Р(п+1)/2 vT(n+1)c(2 + np)/2 п = (Рп+1) (п -1)р + 1 '
В результате преобразований имеем
п2 + n(1 + q)/p + 2(с - vTP)/cP2 ' — ■ ,п> 0 (23)
Покажем, что ведливо (15), делим в интервале [0, Ы"] искомые значения п".
Из (23) имеем /(п) = п2 + п(1 + д)/р + 2(с-Тьгр)/ср2 = п2 — п — 2Ту/ср + +[2/р2 + 2п/р], откуда следует, что /(0)>у(0) — 21УГ/ср и y(N)=2N-1<f(ri) = 2
2Ы — 1 + - при п=Ы=0. Теперь запишем явное выражение для плана X". Из определения Ак следует, что Ак=рАы + ср(Ы--1 — К)/р (24) или
Ак={^ — (к+1)с-+ = (к +
К (РЫ+1 ^ ' V 2v(pN+1) J (_р«+1 4
Т
{.рЫ+1 V ' 2у рЫ+1
для моментов проверок, опре-
' V 2v(pN+l) J (_р«+1 4 ' V 2у рЫ+1 J
Таким образом, деляющих оптимальный план ХМ", имеет место фор мула (26) при любом к=1+1>0 к< N — 1;
(.pw+1 2v pN+1
2v J
(26)
1=0,1,..,N.
Выражение (26) совпадает с (6), что и требовалось доказать.
п 2(рп + 1)[1 + (п — 1)р]
Так как знаменатель в (23) положителен, то для определения и", доставляющего минимум функции
МХ"п как функции п, необходимо исследовать числитель (23), представляющий собой квадратный трехчлен (обозначим его через
/(п)). При анализе поведения функции/(п) необходимо учесть два варианта: либо п" определяется как наибольшее п, для которого /(тт) < 0 при С< уТр, т.е.
С р2и2 + 2(сри + С — ьгрТ) — Ср2и<0, либо ri"=0, если с> vTP.
ЛИТЕРАТУРА
1. Северцев Н.А. Статистическая теория подобия в задачах безопасности и надежности динамических систем М.: Радиотехника 2016 стр.3-99
2. Северцев Н.А. Вектор анализа и наблюдение как оценка качества создаваемой технической системы. М.: Журнал «Наукоемкие технологии» №2 2015 г. стр. 5-10
3. Северцев Н.А., Мухин А.В. Журнал «Наукоемкие технологии» №2 2015 г. стр. 16-19
УДК 658.512.2.011.56 Северцев Н.А.
Вычислительный центр при федеральном исследовательском центре информатики и управления РАН, Москва, Россия
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ СНИЖЕНИЯ ТЕРРОРИСТИЧЕСКИХ АКТОВ И МИНИМИЗАЦИЯ ПРОРЫВА ТЕРРОРИСТОВ К ЦЕЛИ
В статье на формализованной основе представлены научные направления исследования современного терроризма. Рассмотрены задачи о прорыве террориста для совершения террористического акта к движущейся цели. Определена вероятность прорыва на основе определения производящей функции в зависимости от времени действия террориста и движения цели. Дана оценка вероятности прорыва от закона распределения расстояния между целями ¥(х) при фиксированном среднем расстоянии п, чтобы вероятность прорыва была наименьшей
Ключевые слова.
Вероятность, цель, прорыв, террорист, производящая функция. Оценка вероятности прорыва, метод минимизации прорыва
В настоящее время можно обозначить три основных направления научного исследования проблем современного терроризма: [1] [3].
Исторические взаимосвязи, причины и условия развития.
Современное состояние терроризма.
Прогнозирование, меры предупреждения и активная борьба против терроризма.
Первое направление - могут быть такие как: региональные, экономические, политические, религиозные, этнические, исторические причины и условия возникновения терроризма; виды терроризма и особенности его проявления на различных этапах развития общества. При раскрытии причин и условий терроризма необходимо придерживаться основополагающей идеи о том, что до тех пор, пока человечество не определится в них, не выяснит антологию этого феномена, не научится активно влиять на причины и условия их неизбежного устранения, оно все время будет запаздывать в своих мерах воздействия. Нельзя принимать во внимание и то, что террор для большинства экстремистских групп по-прежнему является главным средством побуждения властей удовлетворять их требования.
Второе направление - это региональные и национальные стратегии борьбы с терроризмом; основные методы борьбы с международным терроризмом и противодействие ему; особенности полицейских и военных мер, специальных операций как эффективных форм борьбы с международным терроризмом и др. В процессе научных исследований проблем современного состояния терроризма важное значение должно придаваться не только раскрытию его от-
дельных проявлений, но и изменению самого характера преступления. Из сугубо криминального терроризм превратился в социально-политическое явление, содержащее в себе определенные социальные противоречия. Не переставая быть опасным преступлением, терроризм сегодня угрожает жизнедеятельности человека, общества и государства. Его питательной средой является:
- глубинные противоречия в политике и экономике;
- снижение защитных механизмов в сфере нравственности, морали и патриотизма;
- низкая эффективность, а то и отсутствие такового, деятельности государственного аппарата правоохранительных органов;
- растущая преступность после развала СССР и другие известные причины морового терроризма.
Без осознания, особенно на высшем уровне государства, указанных процессов и принятия жестких мер, а также анализа и исследования феномена терроризма сложно, и даже невозможно оценить и победить этот феномен.
Третье направление должно включать следующий анализ и исследование разработки научной технологии в областях:
- прогнозирование дальнейшего возможного развития терроризма; проблемы создания антитеррористического международного фонда; национальные и международные доктрины по координации усилий международного сообщества в борьбе с терроризмом;
- правовое и организационное, техническое и ресурсное (в широком понимании) обеспечение международных и собственных сил быстрого реагирования на проявления терроризма.
Терроризм эволюционирует в результате недооценки его опасности международным сообществом и процветает там, где имеется среда, отсутствуют скоординированные, целенаправленные, решительные и высокопрофессиональные действия по борьбе с этим международным злом. По числу и характеру совершаемых в настоящее время террористических актов можно сделать вывод (вполне обоснованный): терроризм перешел в активное наступление, им брошен вызов всему цивилизованному миру. Это отрицательно характеризует международное сообщество и его государственные институты. В этом случае в России должна быть эффективная и профессиональная наступательность в борьбе с терроризмом.
В связи с отмеченным выше, по нашему мнению являются актуальными исследования, направленные, (в конечном счете), на создание технологических научных основ противодействия современному терроризму на базе фундаментально-прикладных основ и технических достижений, реализуемых с помощью быстродействующих компьютерных си-стем[5]. В начале рассмотрим задачу о проникновении террориста на объект для совершения зла [1] [2] рис.1. Пусть на оси слева из - от движется бесконечная последовательность точек, которые будем называть целями.
Рисунок 1
Самую правую цель назовем головной. Предположим, что все цели движутся вправо с постоянной скоростью, равной единице, а расстояние между соседними целями тк (к = 1,2). Суть независимые случайные величины, каждая из которых распределена по закону
р=гт <у}_(/М пРи
Г { 0 при х<0
Допустим, что существует среднее значение этой величины Ь=/0 х^Р(х). Когда головная цель (выбранная террористом) приходит в точку - т0, террорист начинает действовать. Случайная величина (выбранная цель) т0 имеет распределение
_ , (С(х)при х>0 , гм
Р={го < х}_| 0прИ х < 0 со сРеДним Пс=]0 xdG(x). Предположим, что террорист воздействует всегда только на выбранную (для себя) головную цель, т.е. самая правая на рис.1, а в действительности - на вагон в Петербургском метро на станции Технологический институт.
Характер воздействия на цель таков, что независимо от предшествующего воздействия, независимо от номера выбранной цели и ее расположения, вероятность поражения цели на участке длины Дх равна
1-ЯДх + 0(Дх). (1)
Отсюда следует, что длительность воздействия
1
на цель подчинена экспоненциальному закону и -
х
есть среднее время воздействия террориста на данную одну выбранную цель. Для дальнейшего исследования предположим, что начальная головная цель имеет нулевой номер, а остальные цели (в нашем случае вагоны поезда в метро) нумеруются по порядку. Обозначим через рп вероятность того, что цель с номером п первой достигла начала ко-ординат.[3] В этом случае Р = Х"=0Рп — есть вероятность прорыва террориста к цели.
Задача заключается в определении этой вероятности Рп. Пусть головная цель для террориста в какой-то момент 10 находится в точке х0. Обозначим через т(х) число возможных пораженных целей, начиная с момента 10и до момента, когда головная цель (намеченная террористом) впервые после момента 10 придет в точку х0+х. Тогда случайная величина (СВ) т(х) не зависит ни от номера головной цели, пришедшей в точку х0, ни от времени воздействия террориста на нее до момента Ь0, ни от положения отрезка [х0, х0+х] . Для двух соседних участков длины х и у имеем v(x+y)=v(x)+v(y)r (2) причем в силу вышеизложенного, величины т(х) и т/(у) независимы. Сделаем обозначение
р(х1г) = м^(х)] = ^ р„ (х)гп.
п=0
Р(2)=£:=0 Рп2" Р^) = ГР^^х)
(3)
(4)
Для решения задачи достаточно найти производящую функцию Р(Х12) . Из (2) получим
Р(Хх+У, z)=M[Zv(x+y)]=}M[Zv(x)+v(y)] = М[^'(х)]ММ[^'(у)]=Р(Х,И) Р(У,2).
Отсюда следует [1], что функция Р(Х12) имеет
вид
р(х1г)=е-ху(г) . (5)
[5] На бесконечно малом участке длины Дх выбранная головная цель будет либо поражена либо нет. Если же головная цель поражена, то начинается (террористом) воздействие на следующую цель, отстоящей от данной точки на случайное расстояние тк, и в этом случае т(Дх) будет равно т(тк)+1. Таким образом М[2"(Дх)]=1-1-Дху(г)=1-ДхуИ + о(Дх) = (1 — ядх)м(г0) + +ядхм[г(т«)+1 ] + 0(дх)=1-ядх + ЯДх2/0"1-^(г^ (t)+0( Дх).
В пределе при Дх —>0 получим уравнение -у(2)= Я— Яг/^-Г^^^), или
-у(2)= Я— Л7д[у(г)], (6) где д (Р)=/0"Р-р^Р(0.
искомая производящая функция P(Z) из (4) равна
Р(2)=/0" 1ху(г) = Ь[у(г)], (7)
где Ь(р) = Используя (3), (6), (7)
определим искомые вероятности Рп-прорыва террориста для поражения выбранной цели.
Рассмотрим уравнение (6) . Так как функция
Z=Z(y) =Я у регулярна в окрестности у=х, то об-Яа(у)
ратная к ней функция у^) будет регулярна и однозначна в окрестности точки z=0. Поэтому при п> 0
Рп
1 Г р(2),
1 г ь[у(г)Ь
п=2ш^с "^тгсЛ2' где с контур охва"
тывает начала координат. Последний интеграл преобразуем интегрированием по частям.
Р„=—Г. ^(^)■dy(z). сделаем в интеграле замену
переменного, положив £ = у(г)
: 2ш Ся 2ш ■'Сд Л(£-Я)"
н —]'
Контур С х охватывает точку £ = Я. Отсюда конечная формула для вероятностей прорыва террориста к цели.
Я„(-1)"
*"= и! [д (°)]£=я (8)
Определим теперь оценку вероятности прорыва. Выше определено
Р =
= %(!)] = &(«),
(9)
а = у(1) и определяется из уравнения а = Я — Яд(а) или 1- ^=<р(а)
Используя выпуклость функции о(х) рис.2, можно получить такой результат. Если Яй < 1, то а = 0, и в этом случае вероятность прорыва террориста к цели Р=Ь(0)=1. Если Яй>, то 0<а<Я
п=0
и, следовательно, вероятность прорыва меньше единицы.
Тогда возникает задача, каков должен быть закон распределения расстояния между целями F(:0
при фиксированном среднем расстоянии h>
а'
вероятность прорыва была наименьшей. будем иметь ввиду следующее. [1] [5]
Для
чтобы этого
Рисунок 2
или a(P)>{-Ph, на
Лапласа для закона
преобразование
Fo(x) =
0,x<h
1,x>h
Отсюда геометрически очевидно (рис.2), что наибольшее значение корня уравнения (9) будет в том случае, когда а(Р) = {-рк, т.е. когда все расстояния между соседними целями равны п. Это наибольший корень а0 определяется рядом:
— (10) что легко получается тем же методом, которым была получена формула (8).
Рисунок 3
Но очевидно, что при этом небольшом а0 вероятность прорыва террориста к цели Р=Ь(а0) будет наименьшей, так как функция ЬИ монотонно убывает.
Итак для движущихся целей типа поездов в метро и других движущихся целей наименее выгодным будет регулярный порядок, при котором все расстояния между соседними целями равны. Возникает вопрос: при каком ¥(х) со средним Ъ вероятность
прорыва террориста к цели будет наибольшей? Ответ: надо найти такие законы, для которых вероятность прорыва сколь угодно будет близка к единице. Например, если
a(P) =
(m> 0), то при m—a(p)—>1
т^1+тНр
при любом фиксированном P/ Следовательно, корень а при этом стремится к нулю, а вероятность прорыва Ь(а) - к единице.
ЛИТЕРАТУРА
1. Северцев Н.А., Шмалько Е.Ю. Эффективность стратегий обеспечения безопасности автотранспортного движения в мегаполисе. Журнал «Наукоемкие технологии» №2 2015, стр. 11-14.
2. Северцев Н.А. Моделирование оценки математического ожидания дисперсии случайных функций, характеристик сложной технической системы. Журнал «Надежность и качество сложных систем» №3. 2014, стр.16-21
3. Бецков А.В., Прокопьев И.В. Журнал «Наукоемкие технологии». Модель уменьшения вероятности столкновений аэромобильных комплексов в воздушном пространстве.
4. Земцова Н.И. Задачи гомографической динамики в ньютоновой проблеме многих тел. Журнал «Наукоемкие технологии» №2 2 015, стр.75-79.
5. Бецков А.В., Дарьина А.Н. Возможный вариант оценки требований безопасности полетов при ограниченной статистике тяжелых летных происшествий. Журнал «Наукоемкие технологии» №2 2 015, стр.3438.
о
о
-Ph
I
1
