МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫПУСКА ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.351

математическое моделирование выпуска тросовой системы из вращающегося центрального тела

© 2017 г. зыков А.в.1' 2, Субботин А.в.1

1 Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru

2Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ) Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., Российская Федерация, 141700,

e-mail: info@mipt.ru

В статье исследуется задача выпуска весомого троса, представляющего часть полотнища круглого солнечного паруса в уложенном состоянии, под действием центробежных сил инерции. Аналитическим путем находится угол наклона квазистационарной формы троса при выпуске с постоянной скоростью. Рассматриваются различные способы выпуска троса: при постоянной скорости, при равномерно убывающей скорости и при скорости, обеспечивающей постоянное отклонение конца троса от радиального направления. Рассматриваются преимущества и недостатки каждого из способов выпуска. Основное внимание уделяется минимизации возмущающего воздействия троса на центральное вращающееся тело, из которого выпускается сложенное полотнище паруса. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании систем первоначального этапа раскрытия солнечных парусов на космических платформах с большими вращающимися солнечными парусами.

Ключевые слова: солнечный парус, квазистационарная форма, способы выпуска из уложенного состояния, математическое моделирование.

MATHEMATICAL MODELING

of releasing the tether system from a rotating central body

Zykov A.v.1' 2, Subbotin A.v.1

1S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str., Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru

2Moscow Institute of Physics and Technology (State University) (MIPT) 9 Institutskiy per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation, e-mail: info@mipt.ru

The article studies a problem of releasing a heavy tether representing a part of a circular solar sail cloth in a folded configuration subject to centrifugal inertia forces. The slope angle of a quasistationary shape of the tether being released with a constant speed is analytically calculated. Consideration is given to various methods of tether release: at a constant speed, a uniformly decreasing speed and a speed ensuring a permanent deviation of the tether end from the radial direction. The advantages and disadvantages of each release method are considered. Most of the focus is on minimizing the disturbing effect of the tether on the central rotating body, from which the folded sail cloth is released. The results obtained can be used in designing systems of the initial phase of deploying solar sails on space platforms with large rotating solar sails.

Key words: solar sail, quasistationary shape, methods of releasing from the folded configuration, mathematical modeling.

зыков А.в. субботин а.в.

ЗЫКОВ Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник РКК «Энергия», доцент факультета аэрофизики и космических исследований МФТИ, e-mail: aleksandr.zykov@rsce.ru

ZYKOV Alexander Vladimirovich — Candidate of Science (Physics and Mathematics), Senior research scientist at RSC Energia, Associate Professor of the Department of aerophysics and space research, MIPT, e-mail: aleksandr.zykov@rsce.ru

СУББОТИН Алексей Владимирович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru

SUBBOTIN Alexey Vladimirovich — Candidate of Science (Physics and Mathematics), Senior research scientist at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

введение

В последнее время большое внимание уделяется разработке космических платформ с вращающимися солнечными парусами [1-6]. Одной из задач, решаемых при исследовании динамического поведения вращающегося солнечного паруса, является его раскрытие из уложенного состояния. В работе [7] предлагается способ укладки солнечного паруса в виде четырех симметрично расположенных тросов, уложенных в специальных контейнерах на центральном теле, и моделируется выпуск одного из тросов в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно, при этом система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса.

В настоящей работе с помощью численного моделирования исследуется влияние скорости выпуска троса на возмущения центрального тела со стороны троса. Приведено несколько методов выпуска троса с разными законами изменения скорости выпуска (равномерный выпуск, равномерно замедленный, обратно пропорциональный квадратному корню из времени), и проведен анализ преимуществ и недостатков каждого метода. Основное внимание уделено минимизации воздействия выпускаемого троса на вращающееся центральное тело. Полученные результаты легко переносятся с модельного случая на любые габариты и массовые характеристики троса.

1. кинематическая схема выпуска солнечного паруса из уложенного состояния

На начальном этапе роспуска солнечного паруса из вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг продольной оси цилиндрического тела, содержащего в контейнерах компактно уложенную полиамидную пленку (материал полотнища паруса), выпускаются тросы, состоящие из уложенной пленки. В первоначальном состоянии тросы уложены в контейнеры, равномерно распределенные по ободу центрального цилиндра симметрично относительно оси вращения. По мере выпуска из контейнеров центробежными силами вытягиваются тросы (полотнище солнечного паруса). Количество синхронно вытягиваемых тросов варьируется в зависимости от выбранной для конкретного аппарата кинематической схемы — от четырех на японском аппарате IKAROS [4] до восьми в эксперименте «Знамя-2» [3].

Для описания режима раскрытия солнечного паруса на начальном этапе с учетом центральной симметрии расположения катушек с тросами достаточно рассмотреть динамику выпуска одного троса в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно, и система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса.

Из точки А на ободе вращающегося цилиндрического тела радиуса а выпускается весомый трос. Рассмотрим систему координат Охуг, вращающуюся вместе с центральным телом. Ось Ох проходит из центра вращения О через точку выпуска троса А на ободе цилиндра, ось Ог совпадает с осью вращения цилиндра, ось Оу дополняет систему координат до правой тройки. Будем считать, что выпуск троса происходит в плоскости вращения Оху (т. е. возмущениями по оси Ог пренебрегаем). Угловая скорость вращения центрального тела вокруг оси Ог поддерживается постоянной и равной О, О > 0.

При выпуске троса большую роль играет сила Кориолиса. В результате ее действия при постоянной скорости выпуска возникает некое равновесное положение троса, около которого происходят колебания троса вследствие придаваемых ему в процессе выпуска возмущений (например, направления выпуска из точки на ободе). Общий вид квазистационарной формы троса при постоянной скорости выпуска V и постоянной скорости вращения О для весомого троса был получен в работе [7]:

у = 2Ш-1(1 - х/а),

из которого определяется угол наклона квазистационарной формы к радиусу:

аа = агС^(2^Па). (1.1)

Этот результат был получен при линеаризованном подходе. Покажем, что при более точном рассмотрении справедлива формула

а$( = агсзт(2 V/Q,a). (1.2)

Действительно, рассмотрим условие равновесия сил, действующих на элемент выпускаемого троса (рис. 1). На рис. 1 изображены инерционные ускорения, действующие на элемент троса (ускорения приложены к центру масс элемента Р) массы Аш: переносное инерционное ускорение (центробежное) О2г (г — радиус-вектор точки Р) и кориолисово инерционное ускорение 2Ух О. Эти два ускорения уравновешиваются ускорением от силы натяжения АХ являющейся суммой сил, действующих на элемент троса с одной и другой стороны элемента со стороны остальной части троса.

Обозначим через у угол между тросом и радиусом-вектором точки Р. Из параллелограмма ускорений О2г и 2Ух о находим

2 Ш 2 V апу = = ^

и из теоремы синусов для треугольника АРАО

а г

Рис. 1. Схема ускорений, испытываемых элементом троса Аш, при выпуске троса со скоростью У

Формула (1.1) по сравнению с (1.2) дает заниженное значение угла наклона квазистационарной формы к радиусу. Из формулы (1.2) видно, что при V> Оа/2 квазистационарная форма перестает существовать (трос начинает наматываться на цилиндрическое тело).

Роль квазистационарной формы в картине выпуска троса, даже в случае, если скорость выпуска будет переменной, хорошо будет заметна в результатах моделирования (см. разд. 3).

2. Описание модели

В данном разделе рассматривается приближенная дискретная математическая модель выпуска троса. Модель троса представляет собой совокупность материальных точек, последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями (цепь). В этих точках сосредоточены действующие на трос центробежные силы, силы Кориоли-са и силы натяжения соединяющих цепь нитей. Кроме того, такая модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений и позволяет учесть массу троса и действие на него сил инерции вследствие вращения центрального цилиндрического тела. Силы считаются приложенными к указанным материальным точкам (далее для краткости

именуемым «шариками») и определяются их массами, положением в пространстве и скоростями. Данный способ моделирования был предложен В.В. Сазоновым [8]. Аналогичную математическую модель, в которой связи между точками представлены в виде пружинок, можно найти в работе [9].

Выпуск троса из контейнера, находящегося на ободе цилиндрического тела, моделируется выпуском невесомой нерастяжимой нити с закрепленными на ней материальными точками. Находящейся на центральном цилиндре точке в начале ее выпуска придается начальная скорость, совпадающая по величине со скоростью выпуска. После этого между этой точкой и следующей, находящейся на центральном цилиндре, поддерживается длина нити, меняющаяся по заданному закону. После того как расстояние между этими двумя точками достигает определенного значения, точка, закрепленная на центральном цилиндре, выпускается с заданной начальной скоростью, и рождается новая масса на центральном цилиндре. В момент отделения каждой такой точки от центрального цилиндра число точек модели увеличивается на единицу.

Пусть N > 1— натуральное число; Pv P2, ..., PN — материальные точки, образующие модель. Точки P и P. + 1 соединены невесомой нерастяжимой нитью длины l. (i = 1, 2, ..., (N - 1)). В рамках этой модели точка P1 — первый выпущенный шарик, PN — шарик, закрепленный на центральном барабане. Шарики с номерами 1, 2, ..., (N - 1) свободно движутся под действием центробежных сил и сил Кориолиса (сила инерции от углового ускорения центрального барабана не учитывается, так как угловая скорость Q поддерживается постоянной). Введем обозначения: mi и г. — масса и радиус-вектор точки P; T. — сила натяжения нити между точками Pi и Pi + 1. Уравнения движения точек в предположении, что все нити натянуты, записываются в виде

.1 = v1; V = - г1е1 m

Ri = V V = Hi + T A- ! /mi - Те,/m; (2.1) i = 2, ..., (N - 1);

R = V ; V = 0

lN VN' N U'

Здесь

ei = (г, - Г + t)/| r - Г + ! ^ i = 1, 2, (N - 1);

a, = -Q X (Q X г,) - 2Q X V, i = 1, 2, ..., (N - 1) -

сумма переносного и кориолисова инерционных ускорений.

Точка РЛ считается закрепленной на центральном цилиндре, поэтому посл еднее уравнение системы (2.1) имеет вид УЛ = 0 с начальными условиями для Л-го шарика

vлr(fлr) = (0, 0, 0)т; г^) = (а, 0, 0)т,

где tN — время рождения Л-го шарика. Начальное условие для отпускаемого (л - 1)-го шарика в этот момент времени становится

VN - l(tN) = (V, 0, 0)т; Гл- (л) = (а, 0, 0)т, (2.2)

где V — текущая скорость выпуска троса; т. е. мы выбрасываем (Л - 1)-ый шарик со скоростью V в направлении от цилиндрического тела строго по радиусу.

Длины нитей, соединяющих точки Р1, ..., Р 1, поддерживаются постоянными, т. е. в процессе выпуска должны выполняться равенства

|г, - г, + 1| = I,, , = 1, 2, ..., (Л - 2), (2.3)

выражающие условия нерастяжимости нитей. Эти соотношения позволяют найти силы натяжения Т. с помощью процедуры, применяемой при исключении реакций связей в уравнениях Лагранжа первого рода. Силы определяются следующим образом. Возведем обе части каждого равенства (2.3) в квадрат и продифференцируем их дважды по времени:

(г, - г, + , V, - V, + 1) + (V - V + 1)2 = 0, (24)

, = 1, 2, ..., (Л - 1). Подставив в соотношения (2.4) выражения V, из уравнений (2.1), получим

(V. - V. + 1)2 + [г. - г. + 1, а. - а. + 1 +

, , + 1 , , + 1 , , + 1

+(Т - 1е; - 1 - Те)/т - (Те - Т+1е,+1)/т,+1] = 0;

, = 1, 2, ..., (Л - 1).

После преобразований придем к трех-диагональной системе линейных алгебраических уравнений относительно т,:

/ л

1 1 — + —

m

\

mn

T -

A,

— т2- в-

m 1

/

A.

—T +

m. 1

1

m

m

T

A

i+ 1

m.^. i+-1

. +1

T...-B.

(2.5)

, = 2, ..., (Л - 2). Здесь для всех , = 1, ..., (Л - 1)

А = (е. е, - 1);

В = (е, а, - а, + 1) + (VI - V + 1)2/|г, - г, + 1|.

Между шариками РЛ _ 1 и РЛ поддерживается заданная длина нерастяжимой нити 1Л- 1(t).

Сила натяжения нити, соединяющей Ры _ 1 и Р^ определяется следующим образом.

Уравнение (2.3) при I = N _ 1 принимает вид

| Г„ _ ! _ ГN | = (2.6)

(таким образом, ¡к_ {(Ь) представляет собой текущую скорость выпуска троса V(t)). Действуя аналогичным использованному выше способом, получим вместо (2.4) при I = N _ 1

(Г _ Г V _ V ) + (У _ У )2 =

V V N _1 VN/ V N _ 1 * N1

= ¡ы 1(02 + N l(t) ¡ы 1(0.

(2.7)

Подставляя в (2.7) выражения для VN _ 1 и VN из (2.1), получаем уравнение

АЫ 1 1

ТМ-2 + т 1~ ВМ- 1' (2.8)

т М- 2 т

тм- 1 тм- 1

где

AN_ 1 (eN_ 2, eN _ 1);

В* _ 1 = (eN _ , aN _ 1 _ + ((УN _ 1 _ У/

_ /2 _ I I ) / |Г _ Г |

N _ 1 N _ 1 N_ 1/ / I N_ 1 NI'

(2.9)

Величины aN и Удг полагаются равными нулю, а Гд, = (а, 0, 0)Т.

Объединяя систему (2.5) с уравнением (2.8), приходим к полной трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений с условием диагонального преобладания, которую можно решить методом прогонки, являющимся в данном случае устойчивым.

Здесь следует сделать замечание относительно начала выпуска ^ _ 1)-го шарика. В начальный момент положение ^ _ 1)-го шарика совпадает с положением N-го шарика, который в процессе выпуска остается закрепленным на цилиндрическом контейнере. Поэтому расстояние (2.6) в начале выпуска очень мало и, следовательно, полученные формулы для коэффициентов последнего уравнения трехдиагональной системы линейных уравнений нельзя прямо применять из-за деления на ^ _ 1 _ Гк |.

На первоначальном этапе выпуска ^ _ 1)-го шарика определение сил натяжения выполняется следующим образом. Перепишем уравнение (2.7) в виде

V , V) N /Л2 .. (е V _ V ) + ^1 ^_"'1 = I (t)

^ _1, УN_1 ^ 1 ^_ Л

Когда расстояние ¡н _ 1(t) мало, применяем ко второму слагаемому в левой части правило Бернулли _ Лопиталя, и после простых преобразований находим

1 + ■

К - ()

(V - V ) V - V

V N - 1 ^' N - 1 * Л

= 3 N - (). (2.10)

Естественно, что такая процедура пригодна только при ¡н _ < в, где в — достаточно малое положительное число (в расчетах в принималось равным 10_6).

Подставляя в равенство (.2.10) выражение для VN_ 1 и учитывая, что VN = 0, а также используя равенство

^ _ , УN _ 1 _ У,) = К _ l(t), (2.11)

окончательно получим уравнение (2.8) в виде

2

(eN- 1> eN-2) + 1 7Т (VN- 1 VЛ ^-2)

ш.

N -1< О

3

х Г % - 1<0 + - 1 аN eN - 1> +

ш

+

N - 1 2

N - { О

(aN _ 1 VN -1 VN)■

Величины aЛ и VЛ полагаются равными нулю, а Гн = (а, 0, 0)Т. Таким образом, коэффициенты уравнения (2.8) при ¡к_ < в должны вычисляться по формулам

е 2

AN- 1~ íeN - Г EN- 2) + 7ТТ ^VN - 1 _ ^ EN- 2)'

N -IV 1>

В1 - 1 = -3 ^ - 1<О + (\ - 1 - ^ eN - 1) + 2

N -!< О

(aN - 1 а№ VN - 1 '^г) '

а коэффициент при Тк _ 1 должен быть равным 3/шЛ_ 1. При ¡к _ 1(t) > в следует пользоваться формулами (2.9).

Единственным препятствием к вычислениям по последним формулам является неопределенность единичного вектора

^ _ 1 = (ГN _ 1 _ ГМ)/\ГN _ 1 _ ^ который следует представлять в виде

е^ = (созф, зтф, 0)Т,

где угол ф подлежит определению. Записывая вектор УЛ _ 1 _ УЛ в виде

^ _ 1 _ = У _ 1 _ Ут | (cosv, siпv, °)Т;

_п < у < п, согласно формуле (2.11) имеем

4 -!<

Ф = у ± , 8 = агссов |

V - V

N-1

2

1

X

Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от поведения траектории до текущего момента времени. В случае, когда начальная скорость (М - 1)-го шарика задается в радиальном направлении, при достаточно малом времени от начала его выпуска можно полагать, что траектория точки РМ- 1 изогнется вниз, если смотреть на плоскость Оху с конца оси г, и поэтому следует выбирать знак «+» (см. рис. 1, из которого видно, что при отклонении элемента троса от квазистационарного положения на элемент троса будет действовать ускорение, возвращающее его к квазистационарному положению).

На начальном этапе N = 2. При достижении функцией - 1(^) заданного значения - 1 порядок системы уравнений (2.1) увеличивается на двойку (так как при численном интегрировании дифференциальных уравнений рассматриваем движение только в плоскости Оху).

3. Результаты моделирования

Приведем результаты моделирования с помощью численного интегрирования полученной выше системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1) для разных способов выпуска весомого троса. При каждом способе выпуска приводим поперечную составляющую силы, действующей со стороны троса на центральное тело. Все дальнейшие вычисления проводились при значениях параметров а = 5 м, О = 0,5 рад/с. Число шариков в модели ограничивалось 51-м, расстояния между шариками задавались равными I. = 0,5 м, т. е. трос выпускался на длину 25 м. Распределение масс предполагалось равномерным, т. е. все ш1 = 1 кг.

3.1. Равномерный выпуск. Зададим скорость выпуска троса постоянной У(£) = 0,01 м/с. Время выпуска t = 2 500 с. На рис. 2 изоб-

1 ^ вып 1

ражены промежуточные формы троса в моменты времени, когда выпущен N = 11, 21, 31, 41, 51 шарик. Пунктирная линия изображает квазистационарную форму троса.

Как видно из начального условия (2.2) для (М - 1)-го шарика, отпускаемый шарик выбрасывается со скоростью V в радиальном направлении. Если отпускаемый шарик будет выкидываться в направлении квазистационарной формы, т. е. вместо условия (2.2) будет рассматриваться начальное условие

Ум - = - ^па,

^ - = (а, 0, 0)т,

то это приведет к меньшим возмущениям относительно квазистационарной формы. Проиллюстрируем данный эффект графиками

(3.1)

отклонений формы выпущенного троса в конце выпуска от положения квазистационарной формы (рис. 3) в случае выброса отпускаемых от центрального тела шариков в направлении радиуса (синяя линия) и в случае выброса отпускаемых шариков в направлении квазистационарной формы (красная линия).

0

-0,05 -0,10 -0,15 -0,20

у, м

0

-0,05 0.10 -0,15 -0,20

0

-0,05 -0,10 -0,15 -0,20

у, м

у, м

0

-0,05 -0,10 -0,15 -0,20

у, м

М= 11

10

15 а)

20

25

X, м

10

Л-21

о б)

20

25

х, м

Лт=31

10

15

20

25

х, м

в)

ЛГ=41

10

20

„г, м

г)

1э д)

Рис. 2. Промежуточные (а-г) и окончательное (д) положения троса при равномерном выпуске со скоростью V = 0,01 м/с:

а — N = 11; б — N = 21; в — N = 31; г — N = 41; д — N = 51

Рис. 3. Отклонения финального положения троса при равномерном выпуске со скоростью V = 0,01 м/с от квазистационарной формы троса в случаях: — — начального условия (2.2); — — начального условия (3.1)

Отклонения от квазистационарной формы на рис. 3, показанные красной линией, объясняются расчетными ошибками при численном интегрировании модели.

При выпуске троса важно минимизировать его влияние на центральное цилиндрическое тело. За это отвечает поперечная составляющая силы натяжения, действующая между шариками PN_ 1 и PN, она создает момент, пытающийся замедлить вращение центрального цилиндрического тела. Система поддержания постоянной угловой скорости вращения цилиндрического тела должна компенсировать этот возмущающий момент для управляемости процессом выпуска троса. Она будет равна поперечной составляющей силы натяжения, действующей на нить, соединяющую точки PN_ 1 и PN. Зная натяжение нити TN_ 1, эту силу вычисляем по формуле

ум-1 Ум

Т = Т

У м- 1 X

м- 1

х„

(напомним, что у^^ = 0 и xN = a). График поперечной составляющей силы натяжения, действующей со стороны троса на цилиндрическое тело, приведен на рис. 4.

О

0,2 -0,4 -0,6 0,8 -1,0 -1.2 1,4 1,6 -1.8

\

\

\

) 500 1000 1500 2000 ||

Рис. 4. Поперечная составляющая силы натяжения нити, соединяющей точки Ря _ и Ря, при равномерном выпуске со скоростью V = 0,01 м/с

Таким образом, величина возмущающей силы нарастает приблизительно по квадратичному закону и достигает в конце выпуска значения =1,8 Н.

3.2. Равнозамедленный выпуск. Зададим теперь скорость выпуска так, чтобы в его конце скорость выпуска была равна нулю, а в промежутке между началом и концом выпуска она менялась с начального значения V0 = 0,01 м/с до нуля линейно. При этом длина выпущенного троса также равна 25 м, время выпуска увеличится в сравнении с равномерным выпуском в два раза, т. е. будет равно = 5 000 с. На рис. 5 изображены промежуточные формы троса при таком способе выпуска. Видно, что в конце выпуска ^ = 51) трос принимает радиальное направление.

0

-0,05

-0,08

•V- 1Г ЛГ= 51

\ Лг= 21 N = 41

10 15 20 25 х, м

Рис. 5. Формы троса приравнозамедленном выпуске с начальной скоростью V0 = 0,01 м/с и замедлением А = 0,000002 м/с2

Из рис. 2 и 5 видно, что максимальное поперечное отклонение при равнозамед-ленном выпуске более чем в два раза меньше отклонения при равномерном выпуске. Кроме того, при окончании процесса равно-замедленного выпуска трос находится в радиальном направлении, поэтому после окончания выпуска не возникнут колебания троса около радиального направления, в то время как при равномерном выпуске после того, как он будет закончен, возникнут колебания троса около радиального направления с большой амплитудой (=0,2 м) и частотой юсобств = 1)(Т+у/2), где

V — первый положительный корень уравнения Р^(а/(а + l)) = 0, в котором Ру — функция Лежандра первого рода порядка V; l -длина выпущенного троса. Несмотря на то, что время равномерного выпуска вдвое меньше времени равнозамедленного выпуска с той же начальной скоростью, на успокоение этих колебаний будут затрачиваться дополнительное время (при естественном демпфировании колебаний) или ресурсы системы поддержания угловой скорости центрального вращающегося тела (при активном демпфировании колебаний троса).

Приведем график возмущающей силы, действующей со стороны троса на цилиндрическое тело при равнозамедленном выпуске (рис. 6).

Рис. 6. Поперечная составляющая силы натяжения нити, соединяющей точки Рк _ 1и Ря, при равнозамедленном выпуске с начальной скоростью У0 = 0,01 м/с и замедлением А = 0,000002 м/с2

Из рис. 4 и 6 можно видеть, что возмущающая поперечная сила (а значит, и возмущающий момент), действующая на центральное тело со стороны троса, более чем в три раза меньше в случае равнозамедлен-ного выпуска по сравнению с равномерным выпуском.

3.3. Выпуск с постоянным поперечным отклонением троса. Рассмотрим еще один способ выпуска троса. Выведем закон изменения скорости эвристически из требования, чтобы отклонение конца выпускаемого троса оставалось постоянной малой величиной в .

У

Исходя из формулы (1.2) в линеаризованном виде и предполагая, что в каждый момент времени форма троса имеет вид квазистационарной формы, отклонение конца выпускаемого троса в каждый момент времени приблизительно будет равно

г , 2 V

(3.2)

где У(Ь) — переменная скорость выпуска. Обозначая интеграл в левой части (3.2) через /(Ь) (длина выпущенного троса в момент времени Ь), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

/ ~Т =

е Оа

У 2

Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие /(0) = 0, приходим к формуле

/(О = VеуО.Ш ,

дифференцируя которую, окончательно находим скорость выпуска

Л

Уф- -21ераА.

Чтобы избежать бесконечно больших скоростей при временах, близких к нулю, зададим скорость выпуска равной постоянному значению У0 при Ь < 40 с и обратно пропорциональной квадратному корню из времени У(Ь) = У^40/Г при Ь > 40 с. Чтобы время выпуска было сравнимым с равномерным выпуском, выберем У0 = 0,05 м/с. Промежуточные формы троса при выпуске по такому закону приведены на рис. 7. Полное время выпуска составляет Ь = 1 823 с.

1 ^ вып

у, М 0

-0,04

-0,08

-0,12

-0,16

N =11

АГ=21\ '. Л— зп Лг= 41

10 15 20 25 д,м

Рис. 7. Формы троса при выпуске со скоростью У0 = 0,05 м/с при t ^ 40 с и скоростью У^) = У/40/Т при t ^ 40 с

Рис. 7 подтверждает эвристически найденную формулу для скорости выпуска для поддержания постоянства отклонения конца троса при выпуске. График возмущающей силы, действующей со стороны троса на цилиндрическое тело, изображен на рис. 8.

Рис. 8. Поперечная составляющая силы натяжения нити, соединяющей точки Р и Ря, при выпуске со скоростью У0 = 0,05 м/с при t ^ 40 с и скоростью У(€) = V 40'/Т при t ^ 40 с

Из рис. 8 можно сделать вывод, что величина возмущающей силы в конце выпуска достигает значений больше 1,3 Н, однако данный способ выпуска лишен недостатка равнозамедленного выпуска, а именно, немонотонности возмущающей силы, действующей на центральное тело.

Приведем аналогичные графики для выпуска по такому же закону, но с У0 = 0,03 м/с. Время выпуска с такой начальной скоростью составляет Ь = 4 767 с.

вып

Из рис. 9 и 10 видим, что и величина отклонения троса от радиального положения, и значения возмущающей силы при последнем способе выпуска сопоставимы с аналогичными величинами для равноза-медленного выпуска, в то же время обладая преимуществом монотонного характера изменения возмущающей силы. Таким образом, выпуск со скоростью, обратно пропорциональной квадратному корню из времени, является разумным компромиссом между равномерным и равнозамедленным способами выпуска весомого троса. у, м 0

-0,02

-0,04

-0.06

лг=ш iV= 2l\ Лг= 31 ' Л' = 41 ' N= 51

10

15

20

25

х, м

Рис. 9. Формы троса при выпуске со скоростью У0 = 0,03 м/с при t ^ 40 с и скоростью У@) = V0т/ 40/ при t ^ 40 с

Рис. 10. Поперечная составляющая силы натяжения нити, соединяющей точки Р и Р , при выпуске со скоростью У0 = = 0,03 м/с при t ^ 40 с и скоростью У(€) = У^40/Г при t ^ 40 с

4. Заключение

Исследована задача выпуска весомого троса (лепестка), являющегося укладкой полотнища круглого солнечного паруса, из вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндрического тела, с использованием центробежных сил инерции. Получено точное значение угла квазистационарной формы троса при выпуске с постоянной скоростью. Рассмотрена математическая модель выпуска троса, позволяющая исследовать выпуск с произвольным распределением массы по длине троса и произвольной переменной скоростью выпуска троса.

Рассмотрены различные способы выпуска: равномерный, равнозамедленный, выпуск с обратно пропорциональной корню квадратному из времени скоростью, показаны преимущества и недостатки каждого из способов выпуска. Основное внимание уделено минимизации возмущающего воздействия троса на центральное вращающееся тело, из которого выпускается сложенное полотнище паруса. Полученные результаты служат целью помочь проектированию системы первоначального этапа раскрытия солнечных парусов на космических платформах с большими вращающимися солнечными парусами, предлагая широкий спектр методов выпуска уложенной в виде весомых тросов пленки солнечного паруса.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научных проектов № 15-08-01795, 16-38-00910 и 17-08-01635.

Список литературы

1. Легостаев В.П., Субботин А.В., Тима-ков С.Н., Черемных Е.А. Собственные колебания вращающейся мембраны с центральной жесткой вставкой (применение функций Хойна) / / Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 224-238.

2. Легостаев В.П., Субботин А.В., Тима-ков С.Н., Зыков А.В. Исследование динамики управляемого углового движения космического аппарата с вращающимся солнечным парусом // Труды МФТИ. 2013. Т. 5. № 2. С. 106-119.

3. Райкунов Г.Г., Комков В.А., Мельников В.М., Харлов Б.Н. Центробежные бескаркасные крупногабаритные космические конструкции. М.: Физматлит, 2009. 448 с.

4. Shirasawa Y, Mori O, Sawada H., Imaizumi T., Mimasu Y, Sato S, Tanaka K., Motooka N., Kitajima M., Kawaguchi J. Demonstration of solar sail deployment system using a high altitude balloon. 27th International Symposium on Space Technology and Science, 5-10 July 2009, Tsukuba, Japan.

5. Платонов В.Н., Тимаков С.Н. Разработка, анализ устойчивости и экспериментальная отработка на корабле «Прогресс» алгоритмов активного демпфирования колебаний большого вращающегося пленочного диска // Гироскопия и навигация. 1993. № 2. С. 64-65.

6. Богданов К.А., Тимаков С.Н. Синтез адаптивного алгоритма управления движением космической платформы с вращающимся

солнечным парусом // Космическая техника и технологии. 2017. № 1(16). C. 89-102.

7. Зыков А.В., Легостаев В.П., Субботин А.В., Сумароков А.В., Тимаков С.Н. Динамика вращающегося солнечного паруса в процессе его раскрытия // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 1. С. 48-60.

8. Сазонов В.В. Математическое моделирование развертывания тросовой системы

с учетом массы троса. Препринт № 58. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2006. 36 с.

9. Тененбаум С.М. Математическая модель сматывания нити с катушки. Наука и образование (электронное научно-техническое издание). 2014. № 5. С. 102-120. БОГ: 10.7463/0514.0704634. Статья поступила в редакцию 01.06.2017 г.

Reference

1. Legostaev V.P., Subbotin A.V., Timakov S.N., Cheremnykh E.A. Sobstvennye kolebaniya vrashchayushcheisya membrany s tsentral'noi zhestkoi vstavkoi (primenenie funktsii Khoina) [Natural oscillations of a rotating membrane with a central rigid insert (application of the Heun function)]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2011, vol. 75, issue 2, pp. 224-238.

2. Legostaev V.P., Subbotin A.V., Timakov S.N., Zykov A.V. Issledovanie dinamiki upravlyaemogo uglovogo dvizheniya kosmicheskogo apparata s vrashchayushchimsya solnechnym parusom [A study of dynamics of controlled angular motion of a spacecraft with a rotating solar sail]. Trudy MFTI, 2013, vol. 5, no. 2, pp. 106-119.

3. Raikunov G.G, Komkov V.A., Mel'nikov V.M., Kharlov B.N. Tsentrobezhnye beskarkasnye krupnogabaritnye kosmicheskie konstruktsii [Centrifugal frameless large space structures]. Moscow, Fizmatlitpubl,, 2009. 448p.

4. Shirasawa Y, Mori O., Sawada H, Imaizumi T, Mimasu Y, Sato S, Tanaka K., Motooka N., Kitajima M., Kawaguchi J. Demonstration of solar sail deployment system using a high altitude balloon. 27th International Symposium on Space Technology and Science, 5-10 July 2009, Tsukuba,Japan.

5. Platonov V.N., Timakov S.N. Razrabotka, analiz ustoichivosti i eksperimental'naya otrabotka na korable «Progress» algoritmov aktivnogo dempfirovaniya kolebanii bol'shogo vrashchayushchegosya plenochnogo diska [Development, analysis of stability and experimental development on Progress spacecraft of the algorithms for actively damping oscillations of a large rotating film disk]. Giroskopiya i navigatsiya, 1993, no. 2,pp. 64-65.

6. Bogdanov K.A., Timakov S.N. Sintez adaptivnogo algoritma upravleniya dvizheniem kosmicheskoi platformy s vrashchayushchimsya solnechnym parusom [Synthesis of adaptive algorithm to control motion of the space platform with a rotating solar sail]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2017, no. 1(16), pp. 89-102.

7. Zykov A.V., Legostaev V.P., Subbotin A.V., Sumarokov A.V., Timakov S.N. Dinamika vrashchayushchegosya solnechnogo parusa v protsesse ego raskrytiya [Dynamics of a rotating solar sail during its deployment]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2015, vol. 79, issue 1, pp. 48-60.

8. Sazonov V.V. Matematicheskoe modelirovanie razvertyvaniya trosovoi sistemy s uchetom massy trosa [Math simulation of a tethered system deployment taking into account the mass of the tether]. Preprint № 58. Moscow, IPM im. M.V. Keldysha RAN publ., 2006.36 p.

9. Tenenbaum S.M. Matematicheskaya model' smatyvaniya niti s katushki. Nauka i obrazovanie (elektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie) [Math model of a wire being reeled of. Science and education (electronic science and technology publication)]. 2014, no. 5, pp. 102-120. DOI: 10.7463/0514.0704634.