МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СХЕМЫ ВОЗДУШНОГО ПОТОКА ЧЕРЕЗ ФИЛЬТРАЦИОННОЕ УСТРОЙСТВО Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СХЕМЫ ВОЗДУШНОГО ПОТОКА ЧЕРЕЗ ФИЛЬТРАЦИОННОЕ УСТРОЙСТВО Худайбердиев О.Ж.1, Рахматов С.Х.2, Карабекян С.Х.3, Жумабоев Э.О.4 Email: Khudayberdiev6117@scientifictext.ru

1Худайбердиев Ойбек Жумабоевич - старший преподаватель; 2Рахматов Сафарбой Худайбердиевич - доцент; 3Карабекян Светлана Хамдамовна - ассистент; 4Жумабоев Элбек Ойбек угли - ассистент, кафедра высшей математики и информационных технологий, Навоийский государственный горный институт, г. Навои, Республика Узбекистан

Аннотация: одной из важнейших задач современного производства является очистка запыленных воздушных потоков в фильтрационном устройстве компрессоров экскаваторов и других машин горной промышленности. Перспективным направлением является замена низкоэффективных пылеуловителей на более совершенные фильтры, которые обеспечивают эффективность очистки от пыли при небольшом гидравлическом сопротивлении. В данной статье исследован процесс протекания воздушного потока по фильтрационному устройству и создана математическая модель этого процесса. Изучены характеристики векторного поля, образованного вектором скорости воздушного потока, и проведены расчеты для каждой составляющей.

Ключевые слова: фильтрационное устройство, воздушный поток, вектор скорости, векторное поле, градиент, поток, циркуляция.

MATHEMATICAL MODELING OF THE CALCULATION OF THE AIR FLOW SCHEME THROUGH THE FILTRATION DEVICE Khudayberdiev O.J.1, Rakhmatov S.Kh.2, Karabekyan S.Kh.3, Jumaboev E.O.4

1Khudayberdiev Oybek Jumaboyevich - Senior Lecturer;

2Rakhmatov Safarboy Khudoyberdievich - Assistant Professor;

3Karabekyan Svetlana Khamdamovna - Assistant; 4Jumaboev Elbek Oybek ugli - Assistant, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGIES, NAVOI STATE MINING INSTITUTE, NAVOI, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: от of the most important tasks of modern production is the cleaning of dusty air flows in the filtration device of compressors of excavators and other machines mining industry. A promising direction is the replacement of low-efficiency dust collectors with more advanced filters that ensure the efficiency of dust removal with a small hydraulic resistance. In this article, the process of air flow through the filtration device is investigated and a mathematical model of this process is created. The characteristics of the vector field formed by the air flow velocity vector are studied and calculations are performed for each component. Keywords: filtration device, air flow, velocity vector, vector field, gradient, flow, circulation.

УДК 519.6

Математическая модель вычисления схемы воздушного потока через устройства фильтрации основывается на уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса), которое рассматривается как уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы

divp-aC) = 0, (1)

где р - плотность кг/м3, С - вектор скорости, м/с. Уравнение неразрывности в декартовой (прямоугольной) системе координат имеет следующий вид:

д(р-сх) | д(р-ту) | d(p-wz) = 0

дх ду dz '

где С х , Су С z - проекции вектора скорости на прямоугольной системе координат соответственно.

Из курса высшей математики [1] известно, что воздушный поток, проходящий через фильтрационное устройство, создаёт некоторое поле, которое образовано вектором скорости Ш в определенную область

С, являющейся фильтрационным устройством. Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, циркуляция, потенциал, дивергенция, ротор и т.д. [1, 2].

Используя эти понятия для поля, создаваемой воздушным потоком в фильтрационном устройстве,

образованном вектором скорости О , проведём полный сравнительный анализ изучаемых однослойных

и двухслойных фильтрационных устройств. В этих целях вектор скорости О рассмотрим как

О = Р(X, у, z)z + Q(X, у, 2)] + Я(X, у, 2)к ,

где функции Р(X, у, 2), Q(X, у, 2) и Я(X, у, 2) - являются проекциями вектора О на

соответствующие оси прямоугольной системы координат Ох, Су, 02.

Теперь начнем вычисление векторной линии, потока, градиента, дивергенции, циркуляции и ротора воздушного потока фильтрационного устройства. При этом за пространственную область V берем корпус фильтрационного устройства. Поверхность фильтрационного устройства можно брать как цилиндрическую, т.к., она является цилиндром. Далее, остальные все величины берем как данные цилиндра (высоту н, радиус К) [3-8].

Тогда основание цилиндра будет равно 5 = пЯ2 , боковая поверхность 5бок = 2пЯН , объем

V = пЯ2 Н .

Учитывая вышесказанное, определим векторную скорость О воздушного потока. При этом предполагаем, что фильтрационное устройство расположено на плоскости Оху вертикально. Воздушное отверстие фильтрационного устройства находится посередине корпуса, и воздух поступает параллельно плоскости Оху. Тогда по предположению векторная скорость имеет следующий вид:

О = XI + у] + 0к = XI + у],

где X, у , 2 - координаты произвольной точки М(X; у; 2) цилиндра.

После того, как определен вектор, образующий векторное поле, можно вычислить: 1) Векторную линию векторного поля по приведенному уравнению

dx йу й2

Р( X, у, 2) Q( X, у, 2) Я( X, у, 2)' Здесь Р(X, у, 2) = X, Q(X, у, г) = у , Я(X, у, г) = 0 . Получим dx йу й2 X у о .

Отсюда йу _dx у X

или <,

йу _й2

йу _ dx у X й2 = 0

у о

Интегрируя данную систему имеем:

г йу г dx ~ ,

) — = .) — + Гь у = 1п X + 1п а1= Пи у = 1п С! X I у = С1.х

| й2 = С, =12 = С2 =12 = С2 I2 = С2

где, для простоты дальнейшего описания в взято ~ = 1п С ■ Из полученных равенств следует, что векторные линии являются прямыми у = С^, параллельными плоскости Оху и перпендикулярными оси Оz.

2) Воздушный поток векторного поля по уравнению

<

К = \\3 ■ ndS

S

где S - поверхность, стягивающая область G , П - единичный вектор нормали к поверхности S , т.е.

n = cos а ■ i + cos Р ■ j + cos у ■ k

здесь а, Р, у - углы, образованные нормалью с осями координат.

Здесь нужно уточнить что, если рассмотреть векторное поле Ш как поле скорости текущего воздуха через замкнутую поверхность, то величина потока К даёт разность между количеством воздуха, вытекающем из области G и количеством воздуха, втекающем в неё за единицу времени [1].

В этом случае поверхность S берем как боковую поверхность корпуса фильтрационного устройства, которая определена

K = jjonds = jj (х cosa + y sin a)dxdy

бок

(х cosa +

S S

где

СО = xi + yj, n = n (cos a, cos ¡, cos у).

ж ж

Здесь cos ¡ = cos(— -a) - sin a, y = — =) cosy-0 .

Т.к. основание цилиндра есть окружность x2 + y2 = R2, то

R R

■ + y sin a)dxdy = j j(x cos a +

S 0 0

R v2 R R2 = j (xy cosa + — sin a)|R dx = j (xR cos a +--sin a)dx =

RR

jj(x cos a + y sin a)dxdy = j j(x cos a + y sin a)dxdy -

o 2 J0 2

,x2 R2 . r R3 R3 . R3 / \

= (—R cosa + x—sin a) L = — cosa+--sin a = —(cosa + sin al.

v 2 2 2 2 2

ж ж

Не нарушая общности, для простоты вычисления, можно положить a = —, хотя 0 < a < — . Тогда

4 2

v R3 ж .ж. R3 .л/2 л/2. R3 ;

K = — (cos —+ sin —) = — (--1--) = —1= м/с.

2 4 4 2 2 2 42

Это означает, что воздушный поток в корпус фильтрационного устройства поступает со скоростью

R3

—== м/с. V2

3) Градиент векторного поля, образованного вектором CO = xi + yj, будет иметь вид

до - до - до -т , - , - _ г т -grado = — г +--j +--k = 1-1 +1- j + 0 • k = i + j.

dx dy dz

4) Далее находим дивергенцию векторного поля воздушного потока, образованного вектором скорости О = xi + yj

„ dP dQ dR divo = — + + — dx dy dz

где P(x, y, z) = x, Q(x, y, z) = y, R(x, y, z) = 0. Тогда

ap=1 dQ-\ dR=0

dx dy ' dz Отсюда

diva = 1 +1 + 0 = 2.

Это величина указывает на распределение воздушного потока в фильтрационном устройстве, который распределяется с удвоенной скоростью.

5) Ещё одной величиной векторного поля, созданного вектором С, является циркуляция. Её определим по формуле

С = | С • dr ,

L

где L - замкнутый контур, который состоит из окружности x2 + y2 = R2. Из формулы для циркуляции получим

С = | С dl = | P( x, y, z)dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z)dz = | Pdx + Qdy.

L L L

Из курса высшей математики известно, что по теореме Остроградского-Гаусса [1]

í Pdx + Qdy = IT (— - — )dxdy.

L D dx dy

На основании этого получим:

C = í xdx + ydy = JJ (0 - 0)dxdy = 0,

L D

где D - область интегрирования, состоящая из круга x + y < R .

Т.к. С = 0, то в фильтрационном устройстве не происходит циркуляции. Этот процесс объясняется тем, что воздушный поток, поступающий из одного отверстия фильтрационного устройства, втекает в другое отверстие, т.е. воздух в фильтрационном устройстве поступает извне и, очищенный фильтром, высасывается в трубу, находящуюся по центру корпуса и поэтому не происходит циркуляции воздуха.

6) Теперь определим ротор (вихрь) векторного поля, образованного вектором С = xi + yj , по формуле

SR SQ - SP SR - SQ SP -rota = (— -Q + (— -—)j + (SQ-—)k .

Sy Sz Sz Sx Sx Sy

Для нахождение ротора имеем:

P( x, y, z) = x, Q( x, y, z) = y, R( x, y, z) = 0,

тогда

SR_ SR SQ_ (SQ_q SP-SP-o

Sx Sy Sz Sx Sy Sz Следовательно

rota = (0 - 0)i + (0 - 0) j + (0 - 0)k = 0.

Равенство нулю ротора воздушного потока означает, что этот поток не создает вихря. Из этого следует, что воздушный поток является постоянным, а векторное поле потенциальным (или безвихревым).

Таким образом, нами определены все характеристики векторного поля, образованным вектором скорости С воздушного потока. По полученным выше данным имеем

R з

diva = 2, c=o, rote = 0, K = м/с.

л/2

Эти данные говорят о том, что:

2

- дивергенция (распределение) воздушного потока внутри устройства с объёмом

К = TTR 2 H

происходит с удвоенной силой (в отличие от вне корпуса фильтрационного устройства);

- циркуляция внутри фильтрационного устройства отсутствует;

- воздушный поток (векторное поле) является потенциальным (безвихревым);

- векторные линии воздушного потока являются прямые y = C-^x, протекающие на высоте z = С2 фильтрационного устройства.

Список литературы /References

1. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике: полный курс». М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.

2. Бодунов М.А. и др. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Теория поля. Методические указания. МГТУ «МАМИ». Москва, 2005.

3. Коберниченко В.Г. Расчет и проектирование цифровых фильтров. Учебно-методическое пособие. Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2013. 64 с.

4. Виноградов В.В. Повышение эффективности щелевых фильтров для очистки газов от промышленной пыли. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Иркутск, 2018.

5. Худайбердиев О.Ж., Карабекян С.Х., Норов Г.М., Жумабоев Э.О. Математическое моделирование процесса гололедообразования и вычисление массы льда на линиях электрических проводов. Научно-технический и производственный журнал "Горный вестник Узбекистана". № 2 (85). Навои. Апрель-июнь, 2021. Стр. 88-90.