CC BY
0УДК 519.688; 519.63
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВУЮЩИХ ТОРЦЕВЫХ, ПОВЕРХНОСТНЫХ И ОБЪЕМНЫХ СИЛ ШПИНДЕЛЕЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ
НАГРУЖЕНИЯХ
Исомиддинов Анваржон Иномжонович НамИСИ, доцент, +998932507500, e-mail: isomiddinov_a@mail.ru, isomiddinovga@gmail.com
Аннотация. В качестве объекта моделирования рассмотрены шпиндели уборочного аппарата при пространственном динамическом нагружении. Полученные математические модели описываются системами дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с естественными граничными и начальными условиями в скалярном и векторном форме. Подробно описаны все воздействующие силы.
Аннотация. Моделлаштириш объекти сифатида динамик кучлар таъсиридаги йигувчи аппарат шпинделлари каралган. Олинган математик моделлар иккинчи тартибли хусусий хосилали дифференциал тенгламалар системаси куринишидаги скаляр ва вектор х,олатда берилган. Барча таъсир этувчи кучлар батафсил тавсифланган.
Annotation. As an object of modeling, the spindles of the harvesting apparatus are considered under spatial dynamic loading. The resulting mathematical models are described by systems of partial differential equations of the second order with natural boundary and initial conditions in scalar and vector form. All acting forces are described in detail.
Ключевые слова: математическое моделирование, торцевые силы, поверхностные силы, объемные силы, шпиндель, динамическая задача, трение, напряженное состояние, вариационный принцип, система дифференциальных уравнений, граничные условия, начальные условия, векторное уравнение
Калит сузлар: математик моделлаштириш, четки кучлар, сирт кучлари, хджмий кучлар, шпиндел, динамик масала, ишкаланиш, кучланганлик х,олати, вариацион принцип, дифференциал тенгламалар системаси, чегаравий шартлар, бошлангич шартлар, вектор тенглама
Key words: computational algorithms, systems of differential equations, boundary conditions, difference schemes, approximations, modifications of A.A. Samarsky - I.V. Fryazinov, vector equation, sweep method, matrix, vector, grid step.
В этапах моделирования надо обратить внимание на особенности изучаемых процессов и явлений. При этом построение расчётных схем реальных процессов является очень актуальным. Исходя из этого, построим расчетные схемы шпинделей уборочных аппаратов при пространственно-динамических нагружениях (рис.1,2).
Из вариационного уравнения Гамильтона-Остроградского получаем следующую систему дифференциальных уравнений частными производными с естественными граничными и начальными условиями [1-5]:
-►
Рис. 1. Расчетные схемы шпинделей. Выход из зоны колодки
д 2и д2и + -
Ь2
д!2 дх2 ЕЕА
д2 V 1 д2 V Ь да ■ +
N Р + N &));
Ь2
д!2 2(1 + ц)дх2 2А(1 + ц) дх Е¥й
(012 (Рг) + 012 (Д2));
д2 w 1 д2 ^ +
Ь да
Ь2
д!2 2(1 + ц)дх2 2А (1 + ц)дх ЕБй
(013 (Рз)+& Ы);
/у д2а !у да Ь дw
¥й2 д!2 + ¥й2 дх2 1 2А(1 + ц) дх 2А2 (1 + ц)"2 ЕЕё
+
Ь2
Ь2
2 (Му(Р) + Му(д)); (1)
/г д а2 /г д а2 ^ Ь дг
Ь2
_ Ь2
Её2 д!2 ' Её2 дх2 2А(1 + ц)дх 2А2 (1 + ц) 2 ЕЕё
(/у + /я )д20, {/у + /2) д2в Ь
\М2 (Р) + Мг (д));
--_—|---_--
Её2 д!2 2ЕА2 (1 + ц)дх2 ЕЕА2
(мх (Р2, Рз)+Мх (Д2, дз));
ЙМ-*-►
здесь
Рис. 2. Расчетные схемы шпинделей. Вход в зоны ремней
Объемные силы Поверхностные силы Размерности
^х(Р) * 0; 012(Р2) * 0; йз(Рз) * 0; Ю = 0; 612(02) = 0; 01з(0з) = 0; кг _ см ]
Му (Р)* 0; М2(Р) * 0; Мх (Р2, Рз) = 0; МУ (01) = 0; М2 (01) = 0; Мх (02, 0з) = 0 . кг • см _ см ]
где, объемные силы принимается так:
2л Я
(Р) = |гРхёгс1у = р |с1у • |Ыг = р |с1у • |Ыг = Р [/];
Л
= р [2 л- 0>
Гя2-г^
= РлК2 - г2 )= л(я2 - г2 )р (х);
я
2
г
2
И
0
г
г
г
г
2
(р) = | трdrdy = р1 ё7 • | rdr = р1 ё7 • | тёт =
F
" т2" Я Г Я2 - т21
= р • 2л • т
2 1 2 I
= р2 ИГ
где р =[- Я, +Ф Г ]
л(я2 - г2 )• р;
- 30,75-^ + 75,33-^
' 3 ' 3
см см
= 44,58
кг
см
012(р) = л(я2 - Г2)• р = 3,14• (1,152 - 0,762)[см2]• 44,58 Ql2{P2) = л(я2 - г2)• Р2 • СС8Г , 7 = ^ = 300
кг
см
кг
= 106,39—; см
^ (р) = л(я2 - г2 )• р • СС87 = 106,39 — • сс8|-| = 106,39— • — = 92,14 —
см I 6 I см 2 см
2л Я
Qз (Р ) = |грёгё7 = р |ё7 • |тёт = р |ё7 • |тёт =
F
7 т
0 т
р, [7]
= р • 2л •
^Я^-тА
л(я2 -т2)• Р;
где р, =[- Яв +Ф Ь+ь ] =
- 30,75-^ + 75,33-^
см
см
= 44,58
кг
см
Q1з (р) = л(я2 - т2 )• р = 3,14• (1,152 - 0,762)[см2 ]• 44,58 Q1з(Pз) = л(я2 -т2)• р3 • 81Й7, 7 = Л = 300
кг
см
= 106,39—; см
й3 (р) = л(я2 - т2 )• р • Бт 7 = 106,39—• б1П| Л | = 106,3^^ •1 = 53,20—.
см I 6 I см 2 см
Му(р) = Й3(р3)• X = [л(я2 -т2)• р • ип^X ; Му (р ) = ([л(я2 - т2 )• р • Бт 7] - ь) (х) , х = Ь • X
Му (р ) = [л(я2 - т2 )• р • Бт 7] Ь • х = 53,20
Мг (р) = й2(р2) • х = [л(я2 - т2 )• р2 • со87} х; М2 (р ) = ([л(я2 - т2 )• р • соБ7} Ь)• (х) , х = Ь • х
Му (р ) = [л(я2 - т2 )• р • соБ7} Ь • х = 92,14
кг
см
• 63,5 [см ]= 3378,20
кг • см
см
• 63,5 [см ]= 5850,89
кг • см
см
При построении векторного уравнения используем следующие векторы:
0 т
7 т
Я
2
т
2
2
т
Г и > Г (ад)+#х(д,)) ^ Г N (Р) ^
V (012( Р2) + 612(02)) 012 (Р2)
; V (Рд )= (йз(Р) + 01з(0з)) (М, (Р) + Му (0!)) V Р ) = йз( Рз) М, (Р1)
а2 (М (Р)+М2 &)) М2 (Р1)
[(Мх (Р2, Рз) + Мх (02, [ 0 ;
V (Рд) =
Г N (Р1) >
012 (Р2)
01з( Рз)
М, (Р1)
М2 (Р1)
[ 0 ;
л(я2 - г2 )• Р (х)
л (я2 - г 2 )•(- яв + Ф Ь+ъ ) л (я 2 - г 2 )•(- Яв +Ф Г ) (я2 - г2)•(- яв +ФТ)• зшг л (я2 - г 2 )•(- яв +Ф Ь +ъ )• СС87 0
л
• СОБХ
• Ь • х
• Ь • х
Если учитываем введенные векторы (2), то имеем следующие матрицы:
(2)
Т =
-1 0 0 0
0 0
0 -1 0 0
0 0
0 0 -1 0
0 0
0 0 0
Ий2 0
0
0 0 0 0
Ий2 0
0 0 0 0
0
(I,+/.)
Ий2
А =
Г1 0
0
0 0 0
0 1
2(1 + ц) 0
0 0 0
0 0
1
2(1 + ») 0
0 0
0 0
Ий2 0
0
0 0
0
Ий2 0
0 0
0 0
(I,+1..)
2Ий2 (1 +
0
0
0
в =
Г 0 0
0
0
0 0
0 0
0 Ь
2ё (1 + /) 0
0 0
0 Ь
2ё (1 + /) 0 0
0 0
0
0
0 0
0 Ь
2ё (1 + /) Ь
2ё (1 + /) 0
0 0
01 0
0
0
0 0
С =
Г 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ч0 0 0 0
0
0
0 Ь2
2ё2 (1 + л)
ы_
2ё2 (1 + л) 0
01 0 0 0
0 0
0
Б =
Ь2
EFd 0
0
0
0
0
0 Ь2
EFd 0
0
0
0
0
1
ЕЕё 0
0
0
0 0
0
1
ЕЕё2 0
0
0
0
0 Ь2
0
EFd2 0
0
0
0
0
0 Ь2
ЕЕё2
(3)
С использованием введенных векторов (2) и матриц (3), получим систему дифференциальных уравнений (4) в векторной форме:
д 2У д 2У дУ - ч
Т ^ + А + В — + СУ = БУ р) дТ2 дх2 дх 4 '
(4)
граничные условия
(
т ди Ь
- 1 — +-
дх ЕЕё
N (<ц)
ди
= 0;
Ь дУ
■ + ■
_ Ь
:«2 +■
2(1 + /) дх 2ё(1 + /) 2 ЕГё Ь д^
Q12 (^2 )
дУ
Ь ь2
2(1 + /) дх + 2ё(1 + л)^2 + ЕЁё^3 (^3)
д
= 0;
= 0.
Г 1уЬ да, Ь2 ( чУ
у 1 2 Му №) да
Fd2 дх EFd
= 0;
0
х
х
х
х
II да, Ь2
¥й2 дх Е¥й:
-Мг (р)
¿а,
= 0;
¿С1, +Л)
д0 Ь2 ^
о / \--1--т Мх (р2, р3 )
2^2 (1 + дх ЕЕй2 х 4 2 3 7
—
у
= 0;
Значения торцевых сил:
при х = 0 при х=Ь
N (Р1) х=0 = 0; (Р)х=Ь =ж(К2 - г2 )- р;
012 (Р2 )х=0 = ж(к2 - г2)- Яв • совУ; 012 (Р2 )х=Ь = Л(К2 " г2 )- КА - СОВУ;
013 (Рэ)х=0 = ж(к2 - г2)- Кв • вшу; 013 (р )х=ь =ж(к2 - г2 )• ЯА • вшу;
М (Р1) х=0 = 0; Му (рЦ=[ж(к2 - г2 )• Ка • вшу]-Ь;
М, (р) х=0 = 0; М2 (р ) х=ь =[ж(к2 - г 2 )• Яа • сову]-Ь;
Мх (Р2Р ) х=0 = 0 Мх (Р2,Р3 )х= Ь = 0;
к =Ф Ь+ь (Ь - Хо ) = 75,33-(63,5 - 37,58) = 1952,51 = 30?5
Ь
63,5
63,5
кг
см
к _ФЬ+\ _ 75,33-37,58 _ 2830,83 ^^
Ь
63,5
63,5
кг
см
Определение торцевых сил при х = 0:
2л К
012 (Р2)х=0 = | гР2йгйУ = Р21 йУ-1 гёг = Р21 йу -1 г^г = Р2 [г];
2л
0
К2 - г2 / , 9\ = р- 2л--= л(К2 - г2 )-р; р= Кв = 30,75
У Г
22
0 г
кг
см
012 (Р2 )х=0 = ж(К2 - Г2 )- Р2 • СО8У ИЛи 012 (Р2 )х=0 = ж(К2 - Г2 )- КВ ■ I У = Л = 300
л2 \У2 лх=0
кг (ж
012 (р2)х=0 = ж(к2 - г2 )• Яв • сов/ = 73,38— • сов| Л ) = 73,38^ • ^ = 63,55^. х=0 см ^ 6 у см 2 см
013 (Р3 )х=0 = | гР3 йгйУ = Р31 йУ-1 гйг = Р3 | йУ-1гйг = Р3 И
51 у г 0 г
К2 - г 2 ( , Л = р- 2ж--= ж(К2 - г2)-р; р= Кв = 30,75
2ж
0
Я
кг
см
Й3 (Р3) х=0 = ж (я 2 - Г 2 )-р3 = 3,14-0,76[см2 ]- 30,75
кг
см
= 73,38—; см
х
х
<
К
2
г
2
5
г
2
г
2
г
^3 (т )х=0 =л(я2 - т2 ^т • Б1п7 или Q13 (т )х=0 =л(я2 - т2 ^ Яв • 81П7; I 7 = л = 300
^ (т) =л(я2 - т2)• Я • б1П7 = 73,38— • л | = 73,338— •1 = 36,69 х=0 см I 6 I см 2
Определение торцевых сил при х = Ь:
^ ^ х=Ь = | тmdтd7 = т | d7 • |т^ = т1 ^ • |тdт = т И = т[2л- 0]
12л
7 т
0 т
Я2 - т2
(Я2 - т2)
= р 2л • Я - ' 7 = л(Я2 - т2 )• р;
кг
где л = 3,141592654} я = 11,5мм = 1,15см; т = 7,5мм = 0,75см; р = 1850г8 = 1,85см
кг
см
кг
= 4,41—; см
7 т
= л(я2 - т2 )т2;
N(т=л(я2 - т2)• р = 3,14• 0,76[см2 ]• 1,85
N (т)| х=Ь = л(я2 - т2 )• р
2л Я
Й2 (т) х=Ь = | тт ^7 = т | ^^т^ = т { ^^ {т^ = т И
где т= Я = 44,58
Й2 (т )х=Ь = л(я2 - т2)• т = 3,14• 0,76[см2]• 44,58 (т)х=Ь = л(я -т2\т • со7 или Q12(т)х=Ь = л(я-т2}яа ■ со7 [7
кг
см
кг
см
= 106,39 —; см
= л = 300 6
кг Г л | _____кг л/3 _ кг
Ql2(т)х=Ь =л(я2 -т2)• Яа • со87 = 106,39 — • соБ ^ | = 106,3^— ^ = 92,14—
см V 61 см 2 см
7 т
0 т
Й3 (т) х=Ь = | тт ^7 = т1 ^ • |тdт = т | ^ • |= т И где т= Я = 44,58
= л(я2 -т2)•%;
кг
см
Qlз (т )х=Ь = л(я2 -т2)• т = 3,14^0,76[см2]• 44,58
Й3 (т )х=ь =л(я2 - т2 )
кг
см
= 106,39—; см
= л(Я2 -т2 )• т • 81П7; или Q1з I
'Л3\^3\ х=ь
г2 - т2
17 = _
1х=Ь
см
= л(я2
/
л
-• б1П
V "6
-т
а • 81П7;
кг 1
,39---
см 2
7 = л = 300 6
кг I—
см
V 6 у
кг см
Я
2
т
2
т
Я
2л Я
2
т
2
т
А
Му (Р)| х = Ь = 013(Р3)| х=Ь •Ь;
Му(р)|^ = [ж(к2 - г2)• Яа • вш у]-Ь;
[ж(к2 - г2)• р • вт у]- Ь • х = 53,20
М
у 1 х=Ь
М, Р)|х= Ь = 012(Р2)|х=Ь • Ь;
М,(р)|х=ь = [ж(к2 - г2)• Я • сову]-Ь; М,(р)|х=Ь = [ж(к2 - г2)• Ка • сову]-Ь = 92,14
кг
см
63,5 [см ] = 3378,20
кг • см
см
кг
см
• 63,5 [см ] = 5850,89
кг • см
см
Введя матрицы А0, В0, С0 и вектор (р) на (5), перепишем граничные условия при х = 0 :
В0 =
А0 =
(0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 Ь2
0000
2й (1 + /) Ь2
2й (1 + /) 0
0
0
0 ^ 0
0
0 0 0
- Ь 0 0 0 0
Ь
0 0 0 0
2(1 + /)
Ь
0 0 0 0
2(1 + /)
II
0 0 0 - У 0
¥й2
I Ь
0 0 0 0 г
¥й2
0 0 0 0 0
' Ь2
• с =
1 Г»
Е¥й 0
0
0
0
0
0 Ь2
Е¥й 0
0
0
Ь
Е¥й 00
0 0
0 0
0 0
0 0
ь(1у + л ) 2¥й2 (1 + /)
0
0
0 Ь2
Е¥й2 0
0
0 0 0 0
Е¥й2 0
0
0
0
0
0 Ь2
Е¥й2
0
V
У Р) =
Г мх (Р1) > Г 0 ^
012 {Р2 ) ж(я2 - г2 )• Я • собу
013 {Рз) ж(я2 - г2 )• Я • ыпу
Му (р ) 0
М (р) 0
1Мх (Р2.Рз ^ 1 0 )
(6)
На основе введенных матриц и вектора (6), запишем граничные условия (5) в векторном виде:
_ дУ - - — - / ч ^0 + ВоУ + СоУо (<р) дх
= 0.
(7)
х=0
Введя матрицы Аы, В^, С^ и вектор Ук (р) на (5), перепишем граничные условия при х = Ь :
------ (8)
А — А ■ Я — Я С — С
АМ А0 ; Вм В0 ; См С0
Ум Р) =
( мх {(1 012 {(2 йз (Рз Му (Р
М {(1 УМх {(2.Рз I
^ ^ л(я2 - г2 )• р ^ ^Я 2 - г )• Я • собу ж(я2 - г2 )• Я • БШу
ж(я2 - г2 )• Я • вту л(я2 - г )• Я • собу 0
• Ь
• Ь
(9)
)
На основе введенных матриц (8) и вектора (9), запишем граничные условия (5) в векторном виде:
- дУ - - — - , ч Ам — + ВмУ + СмУм (р) дх
= 0.
(10)
х=м
начальные условия
( рЬдй_Л
У !0Е д!
дй
= 0:
У !йЕ д!
д
= 0;
Г рЬ дг г = 0;
У !0 Е д! у ! У
р1уЬ до1Л
гЕЕё2 д!
да,
= 0;
Р1Ь да2 У г{)ЕЕй2 д!
да
= 0;
ГР(1У + Л ^
2 д^
!0ЕЕё2
д!
зе
= 0;
(11)
При начале движения О = 0, с = 0 и ! = 0. Значит при ! = 0 элементы вектора перемещений равняются к нулю:
У (х, !) = У (/, у ) = У (/,0) = 0.
С учетом (12) начальные условия (11) в векторной форме имеет вид:
SV -— SV St
= 0 (13)
В результате мы сформулировали краевые задачи (4), (7), (10) и (13) шпинделя для первой открытой зоны в холостом ходе.
Разработанная математическая модель обобщает раннее известные работы по моделированию динамического расчета шпинделей и решения их с учетом реальных силовых факторов.
В дальнейших исследованиях на основе разработанных математических моделей будут выполнены динамические расчеты шпинделей уборочных аппаратов в «холостом» и «рабочем» ходе движений.
При этом в разработанной математической модели будут учитываться разные виды нагружений шпинделей: давление ремней и колодок, силы трений, давление и сопротивление кустов хлопчатника, давление съемника, и т.п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Юлдашев, Т., & Исомиддинов, А. И. (2011). Алгоритмы решения системы дифференциальных уравнений второго порядка и сравнительный анализ результатов. Журнал, Проблемы математики и информационные технологии, (2).
2. Собиров, Н. Х., Исомиддинов, А. И., & Абдусаттаров, А. (2021). Численный расчёт тонкостенных стержней при пространственно-переменном нагружении с учетом повреждаемости.
3. Абдусаттаров, А. А., Исомиддинов, А. И., Абдукадиров, Ф. Э., & Сабиров, Н. Х. (2021). Численное решение задач для упругопластических стержней при пространственно-переменном нагружении с учетом обобщенного принципа мазинга и повреждаемости материалов.
4. Юлдашев, Т., & Исомиддинов, А. И. (2018). Вычислительные алгоритмы прикладных задач, описываемых системами дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Проблемы вычислительной и прикладной математики, (1), 77-85.
5. Inomjonovich, I. A. (2016). Boundary problems of elastic rods and their solution by finite difference method in various approximations. European science review, (1-2), 145-148.
